Về độ cao phép sao của ngôn ngữ chính quy Về độ cao phép sao của ngôn ngữ chính quy Về độ cao phép sao của ngôn ngữ chính quy luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp
PHẠM MINH CHUẨN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẢM BẢO TỐN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TỐN NGÀNH: ĐẢM BẢO TỐN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TỐN VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH QUY PHẠM MINH CHUẨN 2006 - 2008 Hà Nội 2008 HÀ NỘI 2008 PHẠM MINH CHUẨN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - PHẠM MINH CHUẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẢM BẢO TOÁN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TỐN NGÀNH: ĐẢM BẢO TỐN HỌC CHO MÁY TÍNH VÀ CÁC HỆ THỐNG TÍNH TỐN VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH QUY NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 2006 - 2008 Hà Nội 2008 TS Phan Trung Huy HÀ NỘI 2008 A BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN ĐỀ TÀI: VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH QUY Luận văn trình bày chương Chương 1: Cung cấp kiến thức sở như: lý thuyết nhóm, khái niệm liên quan đến ngôn ngữ, ôtômát hữu hạn, biểu thức quy, độ cao phép ngơn ngữ quy, vị nhóm đa tạp Chương 2: Trình bày kết biết độ cao phép sao: tính chất đại số ngơn ngữ phi sao, tốn tử bảo tồn cho độ cao phép sao, hàm dãy tích bện Chương 3: Trình bày kết ngơn ngữ có độ cao phép 1: bổ đề chuyển sở để chứng minh kết sau, số kỹ thuật kiểm tra độ cao phép 1, số kết đa tạp vị nhóm A ABSTRACT OF THE THESIS SUBJECT: ABOUT STAR-HEIGHT OF REGULAR LANGUAGES The thesis presented in chapter Chapter 1: Provide us based knowledge: groups theory, languages theory, finite automata, regular expression, star-height, monoids and varieties Chapter 2: Present some known results on star-height: the algebraic characterization of languages of star-height 0, operations that preserve starheight, sequential functions and weath product Chapter 3: Present some results on languages of star-height 1: tranfer lemma of special interest, some technicals to check languages of star-height 1, and some results on monoids of variety LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài tơi viết Tồn q trình thực tiến hành cách khoa học Các kết trình bày luận văn tham khảo từ tài liệu tiếng anh tiếng việt đáng tin cậy Tác giả luận văn Phạm Minh Chuẩn LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Phan Trung Huy, người giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình làm luận văn Thầy gương lớn tinh thần trách nhiệm, lòng tận tụy, tình yêu nghề ý thức nghiên cứu khoa học nghiêm túc Tôi xin cảm ơn đến thầy viện toán học Việt Nam tạo điều kiện cho tham gia sinh hoạt Seminar hàng tuần Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp khoa Công nghệ Thông tin – Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng yên động viên giúp đỡ tơi q trình học tập Xin cảm ơn người bạn sát cánh Cám ơn người thân ln động viên khích lệ tơi để hồn thành tốt luận văn Tác giả luận văn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm 1.1.1 Vị nhóm 1.1.2 Nhóm 10 1.2 Ngôn ngữ phép tốn ngơn ngữ 12 1.2.1 Bảng chữ 13 1.2.2 Ký hiệu từ 13 1.2.3 Ngôn ngữ 14 1.2.4 Các phép toán ngôn ngữ 15 1.3 Ơtơmát hữu hạn, biểu thức quy độ cao phép 17 1.3.1 Ơtơmát hữu hạn đơn định 18 1.3.2 Các tính chất đóng lớp RL 22 1.3.3 Định lý Kleene 27 1.3.4 Biểu thức quy 28 1.3.5 Độ cao phép ngơn ngữ quy 31 1.4 Vị nhóm đa tạp 33 CHƯƠNG MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO 37 2.1 Một số kết biết độ cao phép 37 2.2 Những toán tử bảo toàn cho độ cao phép 39 2.3 Hàm dãy tích bện 44 CHƯƠNG 3: NGƠN NGỮ CĨ ĐỘ CAO PHÉP SAO BẰNG 47 3.1 Một vài kết ngơn ngữ có độ cao phép 47 3.2 Một số kết đa tạp vị nhóm 62 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT FA Finite Automata - ôtômát hữu hạn DFA Deterministic Finite Automata - ôtômát hữu hạn đa định NFA Nondeterministic Finite Automata - ôtômát hữu hạn đa định RL Regular Language - Ngôn ngữ quy RE Regular Expression - Biểu thức quy Gcom Đa tạp nhóm giao hốn DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Bảng chuyển trạng thái DFA M 22 Bảng 1.2: Bảng chuyển trạng thái DFA M 25 Bảng 1.3: Bảng chuyển trạng thái DFA M’ 25 Bảng 1.4: Bảng chuyển trạng thái NFA M’ 27 Bảng 1.5: Bảng chuyển trạng thái DFA M 28 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1: Biểu đồ chuyển DFA 19 Hình 1.2: Mơ tả DFA 20 Hình 1.3: Biểu đồ chuyển trạng thái ơtơmát M 23 Hình 1.4: Biểu đồ chuyển trạng thái ơtơmát M’ 23 Hình 1.5: Biểu đồ chuyển trạng thái ơtơmát M 27 Hình 3.1: Biểu đồ chuyển trạng thái 52 Hình 3.2: Biểu đồ chuyển trạng thái 54 Hình 3.3: Biểu đồ chuyển trạng thái ơtơmát A’ 60 Hình 3.4: Biểu đồ chuyển trạng thái ôtômát A A ’ 61 Hình 3.5: Biểu đồ chuyển trạng thái ơtơmát A n 65 Chứng minh Lý luận tương tự phần cuối chứng minh mệnh đề 6.8 ta thấy giả sử với r = 1, có nghĩ Q = {0, 1} Cho C tập tất chữ A mà cảm sinh phần tử Q cho B = A\({a} ∪ C) Cho ϕ : A* {a, b}* đồng cấu chữ định nghĩa sau: b , b∈ B ϕ(a) = a, ϕ(b) = 1 , b∈C Cho A’ = ({0, 1}, {a, b}, , 0) ôtômát định nghĩa hàm chuyển 0.a = 1, 1.a = 0, 0.b = 1.b = A A’ biểu diễn hình 3.4 a, b a, B C C 1 a, b a, B A’ A Hình 3.4: Biểu đồ chuyển trạng thái A A’ Cho p(u) (tương ứng p’(u)) đường xác định u A (tương ứng A’) Khi đó, với u ∈ A*, |p(u)|(0, a) = |p(uϕ)|(0, a), hiển nhiên, L(A, (0, a), k, n) = [L(A’, (0, a), k, n)]ϕ-1 Bởi vậy, theo bổ đề 4.7, kết luận h(L(A’, (0, a), k, n)) ≤ Đặt L = L(A’, (0, a), k, n) K = L ∩ {x ∈ {a, b}* | 0.x = 0} Chúng ta chứng tỏ L = K{ε, b}-1 60 Thực vậy, cho u ∈ L cho q = 0.u Nếu q = u ∈ K Nếu q = 1, 0.ub = 1.b = |p’(ub)|(0, a) = |p’(u)|(0, a) Do ub ∈ K Ngược lại, cho u ∈ K{ε, b}-1 Khi u ∈ K hiển nhiên u ∈ L ub ∈ K, từ 0.ub = 1.b = Theo |p’(ub)|(0, a) = |p’(u)|(0, a) u ∈ L, khẳng định chứng minh Cho nên, theo mệnh đề 4.1, ta có h(K) ≤ Cho X mã prefix X = {aa, ab, ba, bb} cho x ∈ X Nếu u ∈ X*, ký hiệu |u|x số lần xuất x phân tích thừa số u tích từ X Khi đó, K = {u ∈ X* | |u|ab + |u|aa ≡ k mod n } = { u ∈ X* | 2|u|ab + 2|u|aa ≡ 2k mod 2n } Hơn nữa, với u ∈ X*, |u|ab + |u|ba + 2|u|aa = |u|a Theo ta có K = { u ∈ X* | |u|a + |u|ab - |u|ba ≡ 2k mod 2n } Do vậy, theo mệnh đề 6.2, K tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng { u ∈ X* | |u|a ≡ s mod 2n } { u ∈ X* | |u|ab - |u|ab ≡ s mod 2n } Ngơn ngữ thứ biểu diễn nhóm giao hốn hiển nhiên có độ cao phép ≤ theo định lý 3.4 Bây xét đến ngôn ngữ thứ Cho ϕ : {a, b}* {a, b}* đồng cấu xác định ϕ(a) = ab ϕ(b) = ba Khi ϕ(A*) = {ab, ba}* phi (chúng ta kiểm tra cú pháp vị nhóm chu kỳ tầm thường áp dụng định lý 3.4) ϕ đồng cấu đơn ánh phi theo định lý 4.4 Cho mod 2n} 61 S = {u ∈ {a, b}* | |u|a - |u|b ≡ s Khi h(S) ≤ theo định lý 3.4 h(ϕ(S)) ≤ theo định lý 4.6 Kết thúc chứng minh, ϕ(S) = { u ∈ X* | |u|ab - |u|ab ≡ s mod 2n } 3.2 Một số kết đa tạp vị nhóm Kết chương cho thấy ngôn ngữ biểu diễn vị nhóm chu kỳ tầm thường nhóm giao hốn có độ cao phép ≤ Trong phần chứng minh số kết tương tự vài đa tạp vị nhóm khác Cho đa tạp vị nhóm V, định nghĩa độ cao phép V sau: h(V) = max{h(L) | L biểu diễn vị nhóm V} Do h(A) = h(Gcom) = (Gcom đa tạp nhóm giao hốn) Chú ý vấn đề mở việc tìm ngơn ngữ (hoặc đa tạp) có độ cao phép > Tuy nhiên chứng minh kết tổng quát h(V) Như ta biết đồng cấu vị nhóm ϕ : M N chu kỳ tầm thường với phần tử lũy đẳng e ∈ N, ϕ-1(e) nửa nhóm chu kỳ tầm thường M Cho đa tạp vị nhóm V, A-1V biểu diễn đa tạp nhỏ chứa tất đa tạp vị nhóm M cho tồn đồng cấu vị nhóm ϕ : M N N ∈ V Đa tạp dạng đóng vai trị quan trọng lý thuyết nửa nhóm Khi có: Mệnh đề 7.1 Với đa tạp vị nhóm V, h(V) = h(A-1V) = h(A *V) Chứng minh Vì V ⊂ A*V ⊂ A-1V ta có h(V) ≤ h(A *V) ≤ h(A-1V) Theo định lý [12], ngôn ngữ L biểu diễn vị nhóm AV tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng L0a1L1a2…akLk k ≥ 0, 62 a1, a2, …, ak ∈ A L0,…, Lk ngôn ngữ biểu diễn vị nhóm V Mặt khác, h(L0), …, h(Lk) ≤ h(V) theo định nghĩa h(L) ≤ h(V) hiển nhiên h(A-1V) ≤ h(V) Có kết mở rộng khác xem bước để tính tốn h(V) Mệnh đề 7.2 Cho F lớp hữu hạn vị nhóm Cho V đa tạp vị nhóm sinh từ F Nếu ngơn ngữ biểu diễn vị nhóm F có độ cao phép ≤ n h(V) ≤ n Chứng minh Cho M ∈ V Khi M ước tích trực tiếp M1 × M2 × … × Mk phần tử F Cho L ⊂ A* ngôn ngữ biểu diễn M Vì M ước M1 × M2 × … × Mk, L biểu diễn M1 × M2 × … × Mk Do tồn đồng cấu vị nhóm η: A* M1 × M2 × … × Mk tập P ⊂ M1 × M2 × … × Mk cho L = η-1(P) Vì L = m∈P η −1 (m) ta khẳng định h(η-1(m)) ≤ n với m ∈ P Ký hiệu πI : M1 × M2 × … × Mk Mi phép chiếu tự nhiên đặt m = (m1, m2, …, mk) Khi η-1(m) = 1≤ i ≤k η −1 (π i−1 (mi )) Nhưng ngơn ngữ Li = η −1 (π i−1 (mi )) biểu diễn Mi h(Li) ≤ n theo giả thiết Do h(η-1(m)) ≤ n Định lý 3.4 mở rộng đến trường hợp nhóm lũy linh hữu hạn mức Định lý 7.3 Mọi ngơn ngữ biểu diễn nhóm lũy linh hữu hạn mức có độ cao phép ≤ 63 Chứng minh Theo định lý 2.2 ngơn ngữ có dạng L(u, k, n), |u| ≤ ≤ k < n, có độ cao phép ≤ Nếu |u| ≤ 1, L(u, k, n) biểu diễn nhóm giao hốn (định lý 2.1) kết theo định lý 3.4 Nếu u = aa với vài chữ a đó, L(u, k, n) biểu diễn nhóm giao v v v hoán Thực vậy, = a có ≡ k mod n aa aa v tồn số nguyên dương r thỏa mãn a ≡ k mod n |v|a ≡ r mod 2n Do 2 vậy, L(aa, r, 2n) hợp hữu hạn ngơn ngữ có dạng L(a, r, 2n) Chúng ta giả sử u = ab với a ≠ b Chúng ta xây dựng ôtômát đơn định đầy đủ sau An = ({0, 1, … , n-1}, A, , 0) Trong hàm chuyển trạng thái xác định q.a = q + mod n q.c = q c ≠ a Ơtơmát biểu diễn hình 3.5 A\{a} n-1 a A\{a} A\{a} A\{a} a a a Hình 3.5: Biểu đồ chuyển trạng thái An Chúng ta quan sát thấy với v ∈ A*; 64 v ab = ∑ i | p (v) |(i , b ) mod k 0≤ i < n Trong p(v) đường xác định v An Theo mệnh đề 6.2, L(ab, k , n) tổ hợp boole ngôn ngữ có dạng L(A, (q, b), ki, n), ≤ ki < n Theo mệnh đề 6.6, có h(L(A, (q, b), ki, n)) ≤ hiển nhiên L(ab, k, n) ≤ Một cách tổng quát hơn, có Định lý 7.4 Cho a b hai chữ bảng chữ A Khi i, j, k, n thỏa mãn ≤ k < n, h(L(aibaj, k, n)) ≤ Chứng minh Cố định i, j k đặt m = (max(i, j)) Và N =m.n Theo toán học sơ cấp ta có s, t số nguyên dương thỏa mãn s ≡ t mod N, s t s t i ≡ i mod n and j ≡ j mod n Lấy u ∈ A* Khi phân tích thừa sơ u = xby xác định xác x a y a i j số lần xuất từ a ba điều tương ứng với số cách để i j lấy i chữ a x j chữ a y Vì vậy, b mà số chữ a đồng dư s N + u a − s với s mod n suy số từ aibaj đồng dư với mod ulo n i j Cho AN = ({0, 1, …, N-1}, A, , 0) ôtômát xác định q.a = q + mod N, 65 q.c = q c ≠ a Vì vậy, theo trực giác, AN đếm số modulo N số lần xuất a Chúng ta có u q N + u a − q ≡ p (u ) ( q , b ) mod n ∑ i i j a ba j ≤ < q N u Vì i j ≡ k mod n tồn số nguyên s thỏa mãn ≤ s < N a ba số nguyên r0, …, rN-1 < N thỏa mãn (a) s ≡ |u|a mod N (b) k ≡ q N + s − q rq mod n ∑ j ≤ q < N i (c) Với ≤ q < N, |p(u)|(q, b) ≡ rq mod n Theo mệnh đề 6.2 L(aibaj, k, n) tổ hợp ngơn ngữ có dạng L(a, s, N) L(AN, (q, a), rq, n) Nhưng h(L(a, s, N)) ≤ theo định lý 3.4 h(L(AN, (q, a), rq, n)) ≤ theo mệnh đề 6.7 Vì h(L(aibaj, k, n)) ≤ Định lý kết quan trọng viết Định lý nàycho thấy ngơn ngữ L(abc, 0, 2) có độ cao phép Định lý 7.5 Cho a, b c chữ bảng chữ A Nếu n số phi bình phương , h(L(abc, k, n)) ≤ với k thỏa mãn ≤ k < n Chứng minh Nếu a = c, b = c a = b, kết nhận từ định lý 7.4 Giả sử a, b c chữ khác n = p1p2…ps pj số nguyên tố với 66 < j ≤ s Cho ≤ i ≤ s, ki số thỏa mãn ≤ ki < pi ki ≡ k mod pi Khi theo định lý Chinese Remainder, x ≡ k mod n x ≡ ki mod pi với ≤ i ≤ s, L(abc, k , n) = 1≤ i ≤ s L(abc, ki , pi ) Vì vậy, giả sử n = p số nguyên tố Việc chứng minh giống hầu hết bước chứng minh định lý 7.4 Mỗi phân tích nhân tử u = xby xác định |x|a|y|c số lần xuất dãy abc Hơn nữa, quan sát thấy |y|c = |u|c - |x|c Cho A = (Q, A, , q0) ôtômát định nghĩa với Q = ( / p ) , q0 = (0, 0) (q1, q2).a = (q1+1, q2) (q1, q2).c = (q1, q2+1) (q1, q2).d = (q1, q2) d ≠ a c Do vậy, trực giác, A đếm tức thời modulo p số lần xuất chữ a c Khi ta có u abc ≡ ∑ q1 (| u |c + p − q2 ) | p (u ) |( q , b ) mod p q∈Q u Do vậy, ≡ k mod p tồn số nguyên s thỏa mãn ≤ s < p abc số nguyên rq < n (với q ∈ Q) cho (a) s ≡ |u|c mod p, 67 (b) k ≡ ∑ q∈Q q1 ( s + p − q2 )rq mod p , (c) Với q ∈ Q, |p(u)|(q, b) ≡ rq mod p Theo đó, L(abc, k, n) tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng L(c, s, p) L(A, (q, b), rq, p) Nhưng h(L(c, s, p)) ≤ theo định lý 3.4 h(L(A, (q, b), rq, p)) ≤ theo mệnh đề 6.8 Do h(L(abc, k, n)) ≤ Phần trình bày hai kết đa tạp có dạng V ∗ W Định lý 7.6 Mọi ngôn ngữ biểu diễn vị nhóm đa tạp Gcom ∗ ( / 2 ) có độ cao phép ≤ Chứng minh Theo định nghĩa, đa tạp Gcom ∗ ( / 2 ) sinh tích bện có dạng G ο ( / 2 ) r G nhóm giao hốn Theo mệnh đề 7.2, ngơn ngữ biểu diễn tích bện có độ cao phép ≤ Cho η : A* G ο ( / 2 ) r đồng cấu đốn nhận ngơn ngữ L Chúng ta ký hiệu π : G ο ( / 2 ) r ( / 2 ) r phép chiếu tự nhiên đặt ϕ = ηπ B = ( / 2 ) r × A Theo nguyên lý tích bện, L tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng X ∩ σ-1(Y) X ⊂ A* biểu diễn ( / 2 ) r , Y ⊂ B* biểu diễn G σ : A* B* hàm dãy định nghĩa sau: σ(a1,…, ar) = (ε, a1)( σ(a1), a2) …(σ( a1,…, ar-1), ar) Vì ( / 2 ) r nhóm giao hốn, h(X) ≤ theo định lý 3.4 h(σ-1(Y)) ≤ Do Y biểu diễn tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng L(b, k, n) (trong b ∈ 68 B, ≤ k < n) Vì σ-1 giao hốn với phép toán boole, điều chứng tỏ h(L) ≤ L = {u ∈ A* | |σ(u)|b ≡ k mod n} Theo mục 3.1, ta có với s thỏa mãn ≤ s < n h(L(A, (q, a), s, n)) ≤ (q, a) cạnh ôtômát A gắn với σ Nhưng A = ( ( / 2 ) r , A, , 1) hàm chuyển trạng thái xác định q.a = q + (aϕ) Vì vậy, h(L) ≤ theo mệnh đề 6.10 Hệ 7.7 Mọi ngơn ngữ biểu diễn nhóm cấp nhỏ 12 có độ cao phép ≤ Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn có cấp n < 12 Nếu n = p n = p2, p số nguyên tố, G giao hốn, n = p3, G nhóm lũy linh mức Vì vậy, n ≠ 10, áp dụng định lý 3.4 định lý 7.3 Nếu n = 2m, G Xyclic (và G giao hoán) nhóm nhị diện Dm Nhưng Dm phân tích tích nửa trực tiếp có dạng ( / m ) ∗ ( / m ) áp dụng định lý 7.6 chứng minh hệ Định lý 7.8 Mọi ngôn ngữ biểu diễn vị nhóm đa tạp A∗Gcom∗A có độ cao phép ≤ Chứng minh Theo mệnh đề 7.1, ta thấy ngôn ngữ biểu diễn vị nhóm đa tạp Gcom∗A có độ cao phép ≤ Theo định nghĩa, Gcom∗A sinh tích bện có dạng G ο M G nhóm giao hốn M vị nhóm chu kỳ tầm thường Vì vậy, theo mệnh đề 7.2 ngơn ngữ biểu diễn tích bện G ο M có độ cao phép ≤ 69 Vì vậy, cho η : A* G ο M đồng cấu biểu diễn ngôn ngữ L Chúng ta ký hiệu π : G ο M M phép chiếu tự nhiên đặt ϕ = ϕπ B = M × A Theo nguyên lý tích bện, L tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng X ∩ σ-1(Y) X ⊂ A* biểu diễn M, Y ⊂ B* biểu diễn G σ : A* B* hàm dãy định nghĩa sau σ(a1,…, ar) = (ε, a1)(σ(a1), a2) …(σ( a1,…, ar-1), ar) Vì M chu kỳ tầm thường, h(X) = theo định lý 3.1 điều cho thấy h(σ-1(Y)) ≤ Vì Y biểu diễn nhóm giáo hoán, Định lý 2.1 cho biết Y tổ hợp boole ngơn ngữ có dạng L(b, k, n) (trong b ∈ B, ≤ k < n) Vì σ-1 giao hốn với phép tốn boole, điều chứng minh h(L) ≤ L = {u ∈ A* | |σ(u)|b ≡ k mod n} Theo mục 3.1, ta có với s thỏa mãn ≤ s < n h(L(A, (q, a), s, n)) ≤ (q, a) cạnh ôtômát A gắn với s Nhưng A = (M, A, , 1) hàm chuyển trạng thái xác định q.a = q + (aϕ), vị nhóm bắc cầu A M, vị nhóm chu kỳ tầm thường Do áp dụng mệnh đề 6.7 để kết thúc chứng minh 70 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết liên quan đến vấn đề mở rộng độ cao phép Trong vấn đề này, toán độ cao phép hạn chế phép toán phần bù xem phép toán Đầu tiên tác giả thấy lớp ngơn ngữ có độ cao phép ≤ n đóng số tốn tử (chẳng hạn: thương trái thương phải, đồng cấu chữ ngược, phép phi đơn ánh) Như biết ngôn ngữ biểu diễn nhóm giao hốn có độ cao phép Có thể mở rộng kết đến nhóm lũy linh mức nhóm có ước tích nửa trực tiếp nhóm giáo hốn xác định ( / 2 ) n Trong cách tiếp cận, tác giả thấy ngơn ngữ mà dự đốn có độ cao phép khoảng 18 năm trước, có độ cao phép Tiếp theo ta thấy ngơn ngữ quy L biểu diễn đa tạp vị nhóm sinh tích bện có dạng M ο ( G o N), M, N vị nhóm chu kỳ tầm thường, G nhóm giao hốn, độ cao phép L nhỏ Cuối ta thấy ngơn ngữ quy có ảnh ngược, vài đồng cấu vị nhóm tự do, có độ cao phép 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH 72 [16] D Thérien, Jean – Eric Pin and H Straubing, Some results on generalized star-height problem, August -2001 TIẾNG VIỆT [17] Nguyễn Văn Ba, Lý thuyết ngơn ngữ tính tốn, NXB Đại học quốc gia, 2006 [18] Nguyễn Văn Ba, Ngơn ngữ hình thức, NXB Khoa học kỹ thuật, 2002 [19] Trần Văn Hạo – Hoàng Kỳ (dịch), Đại số “Serge Lang”, Phần 1, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp 73 ... TỐN VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH QUY NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 2006 - 2008 Hà Nội 2008 TS Phan Trung Huy HÀ NỘI 2008 A BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN ĐỀ TÀI: VỀ ĐỘ CAO PHÉP SAO CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH... ngữ có độ cao phép ≤ n +1 lớp nhỏ ngôn ngữ bao gồm ngơn ngữ có dạng L L* h(L) ≤ n, đóng tốn tử boole phép ghép Vấn đề độ cao phép sao: Liệu có tồn thuật tốn để tính tốn độ cao phép ngơn ngữ quy. .. sao, tốn tử bảo tồn cho độ cao phép sao, hàm dãy tích bện 2.1 Một số kết biết độ cao phép Kết độ cao phép tính chất đại số ngơn ngữ có độ cao phép 0, hay cịn gọi ngôn ngữ phi sao, đề cập Schuzenberger