Một chất thuốc được đưa vào máu với một tốc độ không đổi 0,5 ml/s và bị đào thải khỏi cơ thể ở một tốc độ bằng 0,2 lần nồng độ của nó trong máu tại cùng thời điểm.... Tốc độ biến thiên c[r]
(1)BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
(2)1 Giới hạn đạo hàm hàm biến
1.1 Tập số thực giới hạn dãy số
1.1.1 Tập số thực
1.1.2 Giới hạn dãy số
1.1.3 Bài tập
1.2 Giới hạn hàm số hàm số liên tục
1.2.1 Giới hạn hàm số
1.2.2 Hàm số liên tục
1.2.3 Bài tập
1.3 Đạo hàm vi phân
1.3.1 Đạo hàm
1.3.2 Vi phân
1.3.3 Bài tập
1.4 Áp dụng
1.4.1 Các định lí giá trị trung bình khai triển Taylor
1.4.2 Một số toán thực tế
1.4.3 Bài tập
2 Nguyên hàm tích phân xác định 11 2.1 Nguyên hàm 11
2.1.1 Khái niệm tính chất 11
2.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm 11
2.1.3 Bài tập 11
2.2 Tích phân xác định 12
(3)2.3 Tích phân suy rộng 13
2.3.1 Khái niệm tích phân suy rộng 13
2.3.2 Dấu hiệu hội tụ 13
2.3.3 Bài tập 13
2.4 Áp dụng 14
2.4.1 Áp dụng hình học 14
2.4.2 Áp dụng kĩ thuật 14
2.4.3 Áp dụng kinh tế 14
2.4.4 Bài tập 14
3 Chuỗi phương trình vi phân 16 3.1 Chuỗi 16
3.1.1 Khái niệm 16
3.1.2 Dấu hiệu hội tụ 16
3.1.3 Bài tập 16
3.2 Phương trình vi phân 17
3.2.1 Phương trình vi phân cấp 17
3.2.2 Phương trình vi phân cấp 17
3.2.3 Bài tập 17
3.3 Phương trình sai phân 18
3.3.1 Khái niệm 18
3.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 18
3.3.3 Bài tập 18
3.4 Áp dụng 19
3.4.1 Một số áp dụng khoa học tự nhiên 19
3.4.2 Một số áp dụng kinh tế 19
3.4.3 Bài tập 19
(4)GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
1.1 Tập số thực giới hạn dãy số
1.1.1 Tập số thực 1.1.2 Giới hạn dãy số 1.1.3 Bài tập
Bài 1.1.1 Chứng minh giới hạn sau định nghĩa: a) lim
n→+∞
1 n=
b) lim
n→+∞
(−1)n n+ =
c) lim
n→+∞
2n n+ 1=
d) lim
n→+∞(n
2+ 1) = +∞. Bài 1.1.2 Xét hội tụ dãy số sau:
a) xn =
2n+ n+
b) xn =
1 + n
n
c) xn = 2n
d) xn =
2n n!
Bài 1.1.3 Tính giới hạn dãy số sau a) lim
n→+∞
2n3−n2+
1−3n+n3 b) n→lim+∞
(5)c) lim
n→+∞
√
n2+ 3n+ 1
2n+ d) n→lim+∞
n(n+ 1) + 2n+n3 Bài 1.1.4 Tính giới hạn dãy số sau
a) lim
n→+∞(n−
√
n2−n+ 1).
b) lim
n→+∞(
√
n2+ 1−√n2+n−1).
c) lim
n→+∞n(
√
n2+a2−n).
d) lim
n→∞(n+
3
√
1−n3). Bài 1.1.5 Tính giới hạn dãy số sau
a) lim
n→+∞
1 + + .+n 1−2n2
b) lim
n→∞
sinn n
c) lim
n→+∞
1 + 2+
1
22+ .+
1 2n
d) lim
n→+∞
1.2+
2.3+ .+ n(n+ 1)
1.2 Giới hạn hàm số hàm số liên tục
1.2.1 Giới hạn hàm số 1.2.2 Hàm số liên tục 1.2.3 Bài tập
Bài 1.2.1 Chứng minh giới hạn hàm số sau định nghĩa a) lim
x→1(2x+ 1) =
b) lim
x→0e x = 1.
c) lim
x→2
x2−4 x2−2x=
d) lim
x→asinx= sina Bài 1.2.2 Tính giới hạn hàm số sau
a) lim
x→1
2x2−3x+ x3−1
b) lim
x→2
x3−2x2+x−2 x2−4
c) lim
x→+∞
x3−x+ 1−2x+x3
d) lim
x→−∞
√
x2+x+ 2
1 + 2x
(6)a) lim
x→2(2x
3+ 3x+ 1).
b) lim
x→−1
ex−1−1 x−1
c) lim
x→1
ln(1 + 2x) x+
d) lim
x→2
sinx x
Bài 1.2.4 Tính giới hạn hàm số sau a) lim
x→+∞
√
x2+x+ 1−x
b) lim
x→2
√
1 + 3x−2 √
x−1
c) lim
x→−∞
√
x2+x+ +x
d) lim
x→0
3
√
1 +x−√3
1−x
x
Bài 1.2.5 Tính giới hạn hàm số sau a) lim
x→0
tan 2x sin 3x
b) lim
x→0
arctanx
x
c) lim
x→+∞
x+
x−1
2x
d) lim
x→∞
x2+
x2+ 2
3x2+1
Bài 1.2.6 Tính giới hạn hàm số sau a) lim
x→1
ex−1−1 x2−1
b) lim
x→0
e3x−ex
x
c) lim
x→0
ln(2x+ 1)−ln(x2+ 1)
x
d) lim
x→0
ln(cos 2x) tan2x
Bài 1.2.7 Tính giới hạn hàm số sau a) lim
x→0xsin
1 x b) lim x→∞ cosx x c) lim
x→0xarctanx
d) lim
x→+∞
e−x2 x2+ 1 Bài 1.2.8 Xét tính liên tục hàm số sau
a) f(x) =
e2x−1
x x6=
1 x=
b) f(x) =
ln(1 + 2x2)
x3+x2 x6=
(7)c) f(x) =
1−cos 2(x−1)
x−1 x6=
0 x=
d) f(x) =
√
3x2+ 1
x x≥1
1−2x x <1
Bài 1.2.9 Tìm a để hàm số sau liên tục a) f(x) =
x3−8
x2−4 x6=
a+ x=
b) f(x) =
ex−3−1
x2−9 x6=
2a−1 x=
c) f(x) =
(
ln(x2+x+ 1) x≥1 2ax+ x <1
d) f(x) =
(
ex+ x <0 x+a x≥0
Bài 1.2.10 Chứng minh phương trình sau có nghiệm a) x2−x= cosx b) x7−3x5+x+ =
1.3 Đạo hàm vi phân
1.3.1 Đạo hàm 1.3.2 Vi phân 1.3.3 Bài tập
Bài 1.3.1 Tính đạo hàm hàm số sau định nghĩa a) f(x) =x2+ 2x+ x=−1
b) f(x) = sinx x=
c) f(x) = ex x=
d) f(x) = ln(2x+ 3) x=−1
Bài 1.3.2 Tính vi phân hàm số sau a) f(x) = x
x2+ 1
b) f(x) = ln(1 + sin2x)
c) f(x) = x
2+ 1
2x+ 1
d) f(x) = xsin(cosx)
(8)a) f(x) =
x2sin1
x x6=
0 x=
b) f(x) =
(
x2+ x≥1 2−x x <1
c) f(x) =
ln(1 +x2)
x x6=
0 x=
d) f(x) = x|x|
Bài 1.3.4 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau a) f(x) = e2x
b) f(x) = lnx
c) f(x) = sinx
d) f(x) =
x2−3x+ 2 Bài 1.3.5 Xét tính khả vi hàm số sau
a) f(x) =
xsin1
x x6=
0 x=
b) f(x) =
(
ex12 x >0
x x≤0
1.4 Áp dụng
1.4.1 Các định lí giá trị trung bình khai triển Taylor 1.4.2 Một số toán thực tế
1.4.3 Bài tập
Bài 1.4.1 Kí hiệu C(x) tổng chi phí sản xuất x đơn vị sản phẩm
1 Hãy tìm tốc độ thay đổi chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm x đơn vị sản phẩm sản xuất
2 Hãy ước lượng chi phí sản xuất sản phẩm thứ x+ theo tổng chi phí sản xuất x sản phẩm
Bài 1.4.2 Biết sức nặng W tính pound người trung bình cho cơng thức
(9)Trong h chiều cao người tính inch Hãy ước lượng thay đổi W h tăng từ 40 lên 42
Bài 1.4.3 Tính giới hạn hàm số sau a) lim
x→0
tanx−x x−sinx
b) lim
x→0
e2x−2x−1
x2
c) lim
x→0 + sin 2x 1x.
d) lim
x→0
sin2x ln(cosx)
Bài 1.4.4 Chứng minh
a) |sinx−siny| ≤ |x−y| với x, y ∈R b) x
x+ <ln(1 +x)< x với x >0
c) ex ≥1 +x với x∈R d) x+ x
3
3 <tanx với x∈
0,π
Bài 1.4.5 Áp dụng vi phân tính gần giá trị sau a) √401
b) p3
1,012.
c) ln(0,982) d) e0,02
Bài 1.4.6 Khai triển Taylor hàm số sau lân cận điểm x0
a) f(x) =√x với x0 =
b) f(x) =xex với x0=
c) f(x) = x5−2x4+ 8x−2 x= d) f(x) = sinx x=
Bài 1.4.7 a) Xấp xỉ hàm số f(x) = √3 x với biểu thức chứa luỹ thừa
bé (x−1) áp dụng tính gần √31,1.
b) Xấp xỉ hàm số f(x) = cosx với đa thức bậc x áp dụng tính gần cos
(10)Bài 1.4.9 Một hình hộp chữ nhật có đáy hình vng khơng nắp đậy, thiết kế để tích 216m3 với giá 5000 đồng mỗim2 đáy 2500 đồng mỗim2 cho mặt bên Xác định kích thước hình hộp để chi phí thấp
Bài 1.4.10 Số vé Q bán hãng xe buýt liên hệ với giá vé P
(11)NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1 Nguyên hàm
2.1.1 Khái niệm tính chất
2.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm 2.1.3 Bài tập
Bài 2.1.1 Chứng minh F(x) nguyên hàm f(x)
a) F(x) = x+ ln|sinx+ cosx|
2 , f(x) =
cosx sinx+ cosx
b) F(x) = ln|x+√x2+a2|, f(x) = √
x2+a2 Bài 2.1.2 Tính tích phân bất định sau a)
Z x+ 1
√ x dx
b)
Z cos 2x
cos2xsin2xdx
c)
Z
x(1 + 2x)(1 +x)2dx d)
Z
(sinx+x√x+ e−x)dx
Bài 2.1.3 Tính tích phân bất định sau a)
Z
x5px3+ 1dx.
b)
Z 4x+ 1
2x2+x−3dx
c)
Z e2x
√
ex+ 1dx
d)
Z dx
(12)Bài 2.1.4 Tính tích phân bất định sau a)
Z √x
4
√
x3+ 1dx
b)
Z dx
√
x2+x+ 1
c)
Z 1 +√4 x
1 +√xdx
d)
Z x+ 1
√
x2+x+ 1dx Bài 2.1.5 Tính tích phân bất định sau
a)
Z
xln(2x+ 1)dx b)
Z
(2x−1) cosxdx
c)
Z
x2exdx d)
Z
exsinxdx
2.2 Tích phân xác định
2.2.1 Khái niệm tính chất
2.2.2 Phương pháp tính tích phân xác định 2.2.3 Bài tập
Bài 2.2.1 Tính tích phân xác định sau a)
Z
0
x2(x+ 1)dx b)
Z π2
0
(sinx+ cosx−x)dx
c)
Z ln
0
(1 + e2x)e−xdx d)
Z
1
x√x+√1 x+x
dx
Bài 2.2.2 Tính tích phân xác định sau a)
Z
0
x2+x+ (x+ 1)(x2+ 1)dx
b)
Z
2
5x+ x2+x−2dx
c)
Z π2
sin 2x+ cos2x sinx+ cosx dx
d)
Z π4
π
6
(13)a)
Z
0
x3 √
3x2+ 1dx
b)
Z 32
0 p
9−4x2dx.
c)
Z ln
0
√
ex−1dx.
d)
Z π2
sinxcos3xdx
Bài 2.2.4 Tính tích phân xác định sau a)
Z π2
xcos 2xdx b)
Z
0
xe2xdx
c)
Z e
1
xln2xdx d)
Z e
1
(2x+ 1) lnxdx
Bài 2.2.5 Chứng minh a) 1≤
Z
0
esin2xdx≤e b) π
16≤
Z π2
dx
5 + cos2x≤
π 10
Bài 2.2.6 Tính đạo hàm hàm số sau a) f(x) =
Z x
0
et2dt b)
f(x) =
Z x3
0
dt √
1 +t4
Bài 2.2.7 Tính tích phân sau a)
Z
0
|x2−4x+ 3|dx b)
Z
2 p
x2−6x+ 9dx.
c)
Z
0
f(x)dxvớif(x) =
(
x2 0≤x≤1 2−x 1< x≤2
d)
Z e
1 e
|lnx|dx
2.3 Tích phân suy rộng
2.3.1 Khái niệm tích phân suy rộng 2.3.2 Dấu hiệu hội tụ
2.3.3 Bài tập
(14)a)
Z +∞
0
xe−xdx b)
Z +∞ −∞
dx x2+ 1
c)
Z −∞
xexdx d)
Z +∞
2
dx xlnx
Bài 2.3.2 Xét tính hội tụ tích phân sau a)
Z +∞
1
1 +x2 x3 dx
b)
Z +∞
1
1−cos2 x
dx
c)
Z +∞
1
e−x2 x2 dx
d)
Z +∞
0
cosxdx
Bài 2.3.3 Tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ) a)
Z
0
dx √
1−x2dx
b)
Z
0
xlnxdx
c) Z x2 p
(4−x2)5dx
d)
Z −1
1 xdx
2.4 Áp dụng
2.4.1 Áp dụng hình học 2.4.2 Áp dụng kĩ thuật 2.4.3 Áp dụng kinh tế 2.4.4 Bài tập
Bài 2.4.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) Đường cong y=x2, đường thẳng y= đường thẳng x= với x≥0 b) Parabol y=x2+ đường thẳng x−y+ =
c) Đồ thị hàm số y=x3 đường thẳng y =x, y= 2x d) Đường elip x
2
a2+
y2
(15)Bài 2.4.2 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh Ox Oy
a) Đồ thị y = 4−x2 đường thẳng y=
b) Đường cong xy= đường thẳng y = 0, x= 1, x=
Bài 2.4.3 Hãy xác định công P lực biến thiên F(x) = x3+√3x khi dịch
chuyển chất điểm từ x= đếnx=
Bài 2.4.4 Tìm chi phí C(Q) biết hàm cận biên chi phí M C =Q+ 10
và chi phí cố định Cf = 1000
(16)CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3.1 Chuỗi
3.1.1 Khái niệm
3.1.2 Dấu hiệu hội tụ 3.1.3 Bài tập
Bài 3.1.1 Tính tổng (nếu có) chuỗi số sau a)
∞ P n=1
1 n(n+ 1)
b)
∞ P n=0
2n+1 3n
c)
∞ P n=1
2n+ n2(n+ 1)2
d)
∞ P n=1
1 2n−1
Bài 3.1.2 Xét hội tụ chuỗi số sau a)
∞ P n=1
n+ 2n+
b)
∞ P n=1
1 + cosπn n2
c) ∞ P n=1 p
n(n+ 1)
d)
∞ P n=1
(−1)n n−lnn
Bài 3.1.3 Xét hội tụ chuỗi số sau a)
∞ P n=1
n+
n n2 b) ∞ P n=1
n2−1
3n2+ 2 n
(17)
c)
∞ P n=1
3nn!
nn d)
∞ P n=1
n2+ 2n Bài 3.1.4 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau a)
∞ P n=1
xn n2+
b)
∞ P n=1
(−1)n
2n−1(x−1)
n.
c)
∞ P n=1
(x−3)n n4n
d)
∞ P n=0
x2n √
n
Bài 3.1.5 Tính tổng S(x) sau a) S(x) = x+x
3
3 + x5
5 +
b) S(x) = 1−2x+ 3x2−4x3+
3.2 Phương trình vi phân
3.2.1 Phương trình vi phân cấp 1 3.2.2 Phương trình vi phân cấp 2 3.2.3 Bài tập
Bài 3.2.1 Chứng minh a) Hàm số y =
1 +Cx+ lnx nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy0+y=y2lnx
b) Hàm số y= sinx+ nghiệm riêng phương trình y0 = cosx với điều kiện đầu y(0) =
c) Hàm sốy= ex(a.cos 2x+b.sin 2x+1
3cosx)là nghiệm tổng quát phương
trình vi phân y00−2y0+ 5y= excosx
(18)a) xp1−y2dx+y√1−x2dy= b) xdx−y2dy = với y(0) =
c) (x2+y2)dx+xydy = d) xy0 =x.eyx +y với y(1) =
Bài 3.2.3 Giải phương trình vi phân sau a) y0+ 2xy= 2xe−x2
b) y0+ y x=x
c) y0−2xy= 3x3y2 d) 2xyy0−y2+ 2x=
Bài 3.2.4 Giải phương trình vi phân sau a) y00−2y0+y= với y(0) = 2, y0(0) = b) y00+ 4y = với y(0) = 0, y0(0) =
c) y00+ 3y0= với y(0) = 0, y0(3) =
d) y00+ 3y0+ 2y = với y(0) = 1, y0(0) = −1
Bài 3.2.5 Giải phương trình vi phân sau a) y00−3y0+ 2y= ex(3−4x)
b) y00−5y0+ 4y=xe2x
c) y00+y= 4xsinx d) y00−2y0+y =xex
3.3 Phương trình sai phân
3.3.1 Khái niệm bản
3.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 3.3.3 Bài tập
(19)a) yt+1−2yt=
b) yt+1+yt=
c) yt+1−3yt =
d) yt+1+ 4yt = Bài 3.3.3 Giải phương trình sai phân sau
a) yt+1−4yt= với y0 =
b) 2yt+1= 6yt−3 với y0 =
c) yt+1−yt = với y0 =
d) yt+1+yt = với y0= Bài 3.3.4 Giải phương trình sai phân sau
a) yt+2−2yt+1+yt =
b) 2yt+2−6yt+1+ =
c) yt+2+ 2yt+1+ 4yt =
d) yt+2−3yt+1+ 2yt = Bài 3.3.5 Giải phương trình sai phân sau
a) yt+2−5yt+ 6yt = 4t
b) 2yt+2+ 5yt+1−6yt = 2t
c) yt+2−4yt+1+ 4yt = 2t
d) yt+2−3yt+1+ 2yt =
3.4 Áp dụng
3.4.1 Một số áp dụng khoa học tự nhiên 3.4.2 Một số áp dụng kinh tế
3.4.3 Bài tập
Bài 3.4.1 Một cộng đồng gồm 1000cá thể giả thiết đồng có 10 cá thể vừa trở từ cộng đồng khác mắc phải loại dịch bệnh Giả sử cộng đồng ban đầu không tiêm ngừa bệnh tất cá thể mắc bệnh Khảo sát thực nghiệm cho thấy dịch bệnh có khuynh hướng lây lan theo tốc độ 0,5 lần tích số cá thể mắc bệnh số cá thể không mắc bệnh Hãy xác định số cá thể mắc bệnh y(x) thời điểm x= 10
(20)a) Hãy xác định nồng độ x(t) thuốc thể thời điểm t b) Tính nồng độ chất thuốc máu thời điểm t biết x(0) =
Bài 3.4.3 Giả sử phân tử chất C sinh kết hợp phân tử chất
A phân tử chất B ngược lại Nồng độ A B ban đầu mol/cm3 mol/cm3 nồng độ chất C thời điểm t x(t) Tốc độ biến thiên nồng độ chất C 0,5 lần tích nồng độ chất A chất
B thời điểm t Hãy xác định nồng độ chất C thời điểm t biết thời điểm ban đầu nồng độ chất C
Bài 3.4.4 Biết tốc độ tăng dân số địa phương bằng2% số dân thời điểm số dân thời điểm ban đầu 100,000 người Hãy xác định số dân địa phương thời điểm t
Bài 3.4.5 Giả sử lượng cung Qs lượng cầu Qd loại hàng hoá
thời kì t cho phương trình
Qd(t) = 3−p(t), Qs(t) =−2 + 4p(t)
(21)[1] Đậu Thế Cấp (chủ biên),Giải tích tốn học, Nhà xuất giáo dục, 2007 [2] Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Tốn cao cấp phần giải tích, Nhà xuất Giáo
dục, 2007
[3] Trần Phước Đường (chủ biên),Bài giảng mơn học vi tích phân B, Trường Đại học Cần Thơ, Tài liệu lưu hành nội bộ, 2002
[4] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển Tạ Duy Phượng, Giải tích tốn học hàm số biến, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005
[5] Nguyễn Đình Phư Nguyễn Văn Ngun, Tốn cao cấp, Nhà xuất Đại học Quốc gia, 2009
[6] Lê Đình Th, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Nhà xuất Đại học Kinh tế quốc dân
[7] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tốn học cao cấp, Tập 2-3, Phép tính giải tích biến số, Nhà xuất giáo dục, 2005
[8] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Bài tập Tốn học cao cấp, Tập 2-3, Phép tính giải tích biến số, Nhà xuất giáo dục, 2005