b) Gọi D là giao điểm của AH và BM. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH theo a. ĐỀ CHÍNH THỨC.. Tính giá trị của biểu thức:. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013
Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Tốn chung)
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
x 3x
A 4x 12
x
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
x 3 c) Tính giá trị A Câu 2: (2,0 điểm)
a) Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b, biết đồ thị đường thẳng song song với đường thẳng y = – 2x + qua điểm M(1 ; – 3)
b) Giải hệ phương trình (khơng sử dụng máy tính cầm tay): 2x y
2x y
Câu 3: (2,0 điểm)
1
y x
2
Cho parabol (P): đường thẳng (d): y = (m – 1)x – (với m tham số) a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) điểm có hồnh độ dương
c) Với m tìm câu b), xác định tọa độ tiếp điểm (P) (d) Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Qua C kẻ đường thẳng d vng góc với AC Từ trung điểm M cạnh AC kẻ ME vng góc với BC (E thuộc BC), đường thẳng ME cắt đường thẳng d H cắt đường thẳng AB K
a) Chứng minh: ∆AMK = ∆CMH, từ suy tứ giác AKCH hình bình hành
b) Gọi D giao điểm AH BM Chứng minh tứ giác DMCH nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác
c) Chứng minh: AD.AH = 2ME.MK
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013
Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Tốn chung)
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn gồm 02 trang)
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 (2,0)
a) (0,5)
Điều kiện: x ≥ x 3
0,25 0,25 b)
(1,0)
2
2 3
x x x
Biến đổi được:
3 3
4 12
x x x
x x
.2 3
3 x x x x x A = 0,25 0,25 0,25 0,25 c)
(0,5)
2
4 3
x
Biến đổi được: Tính được: A = –
0,25 0,25 Câu 2 (2,0) a) (1,0)
+ Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = – 2x + nên a = – (không yêu cầu nêu b ≠ 1)
+ Thay tọa độ điểm M (1 ; – 3) a = – vào y = ax + b + Tìm được: b = –
0,5 0,25 0,25 b)
(1,0)
2 x y x y 2 y x y
Tính được: y = 2 x =
2Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x ; y) = ( ; 1)
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3
(2,0) (0,5)a) + Lập bảng giá trị (chọn tối thiểu giá trị x phải có giá trị x =0) + Vẽ dạng (P)
0,25 0,25 b)
(1,0) + Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):1 2 x (m 1)x
2
x2 – 2(m – 1)x +4 = 2
'
1 '
0
m b m
a + Lập luận được:
m hc m
m
(3)+ Kết luận được: m = 0,25 c)
(0,5) xab ' m 11 1 2+ Tìm hồnh độ tiếp điểm:
+Tính tung độ tiếp điểm: y = kết luận tọa độ tiếp điểm (2; 2)
0,25 0,25
Câu Nội dung Điểm
Câu 4 (4,0)
Hình vẽ (0,25)
0,25
a)
(1,0)
0
KAM HCM 90 ,AMK CMH + AM = MC (gt) , (đđ)
AMKCMHg.c.g
+
+ suy ra: MK = MH
+ Vì MK = MH MA = MC nên tứ giác AKCH hình bình hành
0,25 0,25 0,25 0,25 b)
(1,0)
+ Nêu được: CA BK KE BC , suy M trực tâm tam giác KBC + Nêu được: KC // AH BM KC, suy BM AH.
0
HDM HCM 90 90 180 + => Tứ giác DMCH nội tiếp.
MCH 90 + => Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH trung
điểm MH
0,25 0,25 0,25 0,25 c)
(1,0)
+ Chứng minh hai tam giác ADM ACH đồng dạng (g.g)
2
ìAC=2AM
AM AD
AM AC AH AD AM AH AD v
AH AC
+
2 (1)
2
AH AD AM
+ Ta lại có: MC2 = ME.MH MH=MK nên MC2 = ME.MK (2) + Mặt khác: MC = MA (gt) (3)
AH AD
ME MK
Từ (1), (2), (3) => => AH.AD = 2ME.MK
0,25
0,25 0,25 0,25 d)
(0,75) 3+ ABC vng A, góc C = 300 nên AC = a
ACB MHC 30 + (cùng phụ góc CMH) => MH = 2MC
3 Mà AC = 2MC nên: MH = AC = a.
+ Độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH là:
(4)MH a
C 2 a
2
0,25
d
(0,75) 3+ Tam giác ABC vuông A nên: AC = AB.cotC = a.
CMH 90 ACB 60 +
MC AC
MH AC a
cosCMH 2cos60
=> Diện tích hình trịn (O):
2
2
(O) MH a 3
S a
2
+
(5)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013
Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Chun Tốn)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
a a
4 a a
a) Rút gọn biểu thức: A = (với a ≥ a ≠ 4) 28 16
x
3
P (x 22x 1) 2012 b) Cho Tính giá trị biểu thức: Câu 2: (2,0 điểm)
3(1 x) x 2 a) Giải phương trình:
2
x xy 4x
y xy
b) Giải hệ phương trình: Câu 3: (1,5 điểm)
Cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = (3 − m)x + − 2m (m tham số). a) Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B
b) Gọi yA, yB tung độ điểm A, B Tìm m để |yA − yB| = Câu 4: (4,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, AD = cm Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng AB AD E F
a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn
b) Gọi I giao điểm đường thẳng BD EF Tính độ dài đoạn thẳng ID
S S
2
c) M điểm thay đổi cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD N Gọi S1 diện tích tam giác CME, S2 diện tích tam giác AMN Xác định vị trí điểm M để
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho a, b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2 a 2b
1 a 2b
Chứng minh:
(6)Họ tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013
Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Chun Tốn)
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn gồm 03 trang)
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(1,5 điểm) a a
4 a a
a) (0,75) A = (a ≥ a ≠4) ( a 2)( a 3)
(2 a )(2 a ) a
A =
a
2 a a
=
= −1
0,25 0,25 0,25 28 16
x
3
P (x 22x 1) 2012b) (0,75) Cho Tính:
2
(4 3) ( 1) x
3 3
1 =
2
x 2x 1
2 2012
P (x 2x 1) 1
0,25 0,25 0,25 Câu 2
(2,0 điểm) 3(1 x) x 2a) (1,0) Giải phương trình: (1) Bình phương vế (1) ta được:
3(1 x) x 3(1 x)(3 x) 4 3(1 x)(3 x) x
2
3(1 x)(3 x) 2x x
x x 0 x = x =−2 Thử lại, x = −2 nghiệm
0,25
0,25 0,25 0,25
2
x xy 4x (1) y xy (2)
b) (1,0) Giải hệ phương trình: (I) Nếu (x;y) nghiệm (2) y ≠
2 y x
y
Do đó: (2) (3)
(7)Thay (3) vào (1) biến đổi, ta được: 4y3 + 7y2 + 4y + = 0
(y + 1)(4y2 + 3y + 1) = (thí sinh bỏ qua bước này) y = –
y = – x =
Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = (2 ; −1)
0,25
0,25
Câu Nội dung Điểm
Câu 3
(1,5 điểm) a) (0,75) (P): y = − x
2 , (d): y = (3 − m)x + − 2m.
Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):
− x2 = (3 − m)x + − 2m. x2 + (3 − m)x + − 2m = (1)
= (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m +
Viết được: = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − kết luận
0,25 0,25 0,25 b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| =
Giải PT (1) hai nghiệm: x1 = − x2 = m − Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2
|yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3|
|yA − yB| = m2 − 2m − = m2 −2m − = −2 1 61 2 m = m =
0,25 0,25 0,25 Câu 4
(4,0 điểm)
a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường trịn Ta có:
ADB ACB
AEC ACB BAC ( phụ với )
ADB AEC
tứ giác EBDF nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25
b) (1,5) Tính ID
Tam giác AEC vuông C BC AE nên: BE.BA = BC2
BC
BE
BA
IB BE
ID CD 4 BE//CD
(8)BD
ID 4
ID BD
3
2 tính được: BD =
ID
(cm)
0,25 0,25
Câu Nội dung Điểm
Câu 4
(tt) 32
c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 Đặt AM = x, < x <
MB = 4− x , ME = − x
AM AM
MB MB
AN BC x
AN
BC xTa có:
1
S BC.ME x
2
2
2 x
S AM.AN
2 x
, 3 2 x
4 x S1 = S2 5− x = x2 + 18x − 40 = x = (vì < x < 4)
Vậy M trung điểm AB
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5
(1,0 điểm) 1 a2 a 2b 1 2b 87
Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh :
1a1 2 b7Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
1 2
a b
1 1
2
1
( 1)( )
2 2 a b a b
Ta có: = (1) (bđt Cơsi)
1
1 2
( 1)( )
2
a b
a b
(bđt Cô si)
2
7 ( 1)( )
2
a b
(2)
1a1 2 b7 Từ (1) (2) suy ra:
2
5
4Dấu “=” xảy : a + = b + a + b = a = b =
0,25 0,25
0,25
(9)