Đang tải... (xem toàn văn)
Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn thay vào hàm số rồi sử dụng MTCT để tính giới hạn.. Hướ ng d ẫ n gi ả i.[r]
(1)GIỚI HẠN A - LÝ THUYẾT CHUNG
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn n dần đến dương vô cực viết
lim n
nu viết tắt limun 0 un 0 , số hạng dãy sốđều có giá trị tuyệt
đối nhỏhơn sốdương bé tùy ý, kể từ số hạng trởđi
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn số thực a ndần đến dương vô cực viết lim n
nu a , viết tắt limun a un a , nlimun a0 2 Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim1 n ;
1
lim k
n với k nguyên dương
b) limqn 0 q 1
c) Nếu un c (c số) limun limcc II Định lý giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
a) Nếu limun a , limvn b limunvnab
limunvnab
limu vn na b
lim n
n u a
v b(nếu b0 )
b) Nếu un 0 với n limun a thìa0 lim un a III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u u u1, 2, 3, , un có cơng bội q với q 1 gọi cấp số nhân lùi vơ hạn Tổng
S cấp sốnhân là: 1 1
1
u S u u q u q
q
IV Giới hạn vơ cực 1. Định nghĩa:
Ta nói dãy số un có giới hạn với sốdương tùy ý, số hạng dãy số, kể từ
một số hạng trởđi, lớn sốdương Khi ta viết lim un lim( )un un
Ta nói dãy số un có giới hạn với số âm tùy ý, số hạng dãy số, kể từ
(2)Khi ta viết lim un hoặc limun un
2 Một vài giới hạn đặc biệt
a) limnk với k nguyên dương
b) limqn q1
3. Định lý 2:
a) Nếu limun a limvn lim n n u v
b) Nếu limun a0 , limvn 0 vn 0 với n lim n n u v
c) Nếu limun limvn a0 limu vn n
V Một số lưu ý:
Khi làm tập trắc nghiệm, ta có thểlàm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với u cầu tốn
Ngồi sử dụng nhận xét để có kết quảnhanh chóng, xác Có số tập nhận xét nhanh để loại trừđược phương án không phù hợp
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định lý:
a) Giả sử
0
lim
xx f x L
lim
xx g x M Khi đó:
0 lim
xx f x g x LM
0 lim
xx f x g x LM
0
lim
xx f x g x L M
lim
x x
f x L
g x M
(nếu M 0)
b) Nếu f x 0với xJ\ x0 , J khoảng chứa x0 L0
lim
xx f x L 2 Một vài giới hạn đặc biệt
lim k
xx với k nguyên dương
lim k
xx k số lẻ
lim k
xx k số chẵn 3 Một vài quy tắc giới hạn vô cực
Định lý giới hạn tích thương hai hàm số áp dụng hàm số có giới hạn hữu hạn
Sau số quy tắc tính giới hạn tích thương hai hàm số hai hàm số có giới hạn vơ cực
Nếu
0
lim
xx f x L
lim
(3)
lim
xx f x g x (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “- “ hai giới hạn khác
dấu
lim
x x f x g x
lim
x x g x
f x
(dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “-“ hai giới hạn khác dấu
Các quy tắc áp dụng cho trường hợp :
0
xx, xx0 , x x
HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 Hàm số liên tục điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định khoảng K x0K Hàm số y f x gọi liên tục xx0
0
lim
xx f x f x
Hàm số không liên tục xx0 gọi gián đoạn x0 2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn
Hàm số y f x liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số
y f x gọi liên tục đoạn a b; liên tục khoảng a b, lim x a
f x f a
;
lim
xb f x f b
3 Một số định lý bản
Định lý 1: Hàm sốđa thức liên tục tập Hàm số phân thức hữu tỉ(thương hai đa thức)
các hàm sốlượng giác ysinx , ycosx , ytanx, ycotx hàm số liên tục tập xác
định chúng
Định lý Giả sử y f x yg x hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số y f x g x , y f x g x y f x g x liên tục điểm x0
b) Hàm số
f x y
g x
liên tục x0 g x 0 0
Định lý Nếu hàm số f x liên tục đoạn a b; f a f b 0 tồn điểm
;
c a b cho f c 0
B - BÀI TẬP Câu Tìm limun biết
2
1 n n
k u
n k
(4)Câu Tìm limun biết
dau can
2
n n
u
A. B. C.2 D.
Câu Tìm giá trịđúng 1 1
2 2n
S
A 21 B. C. 2 D.
2 Câu Tính giới hạn
1 1
lim
1.2 2.3 n n
A. B.1 C.
2 D. Khơng có giới Câu Tính
1 1
lim
1.3 3.5 n 2n
A. B. C.
3 D.
Câu Tính giới hạn:
1 1
lim
1.3 2.4 n n
A.
4 B.1 C. D.
2 Câu Tính giới hạnlim 1
1.4 2.5 n n( 3)
A. 11
18 B. C. D.
3 Câu Tính giới hạn: lim 12 12 12
2 n
A. B.
2 C.
1
4 D.
3 Câu Tính giới hạn dãy số
1
1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n u
T T T
( 1)
2 n
n n T .:
A. B. C.
3 D.
Câu 10 Tính giới hạn dãy số
3 3
3 3
2 1
2 1
n
n u
n
.:
A. B. C.
(5)Câu 11 Tính giới hạn dãy số
1
2
2 n
n k
k k u
.:
A. B. C.3 D.
Câu 12 Tính giới hạn dãy số 2
1 n n
k n u
n k
.:
A. B. C.3 D.
Câu 13 Tính giới hạn dãy số
2 n
n
u q q nq với q 1.:
A. B. C
1 2 q
q
D 1 2
q q
Câu 14 Biết
3 3
3
1
lim ,
1
n a
a b
n b
Giá trị của 2
2a b là:
A. 33 B. 73 C. 51 D. 99
Câu 15 Tính giới hạn dãy số 1
2 2 ( 1)
n u
n n n n
:
A. B. C.0 D.
Câu 16 Tính giới hạn dãy số
3 3
3
( 1)
3
n
n n
u
n n
:
A. B. C.
9 D.
Câu 17 Cho số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn
2
2
1
lim
1
n n
a a a
I
b b b
A. B. C.
1
b
a D.
Câu 18 Cho dãy số (un) xác định bởi:
0
1
2011
n n
n u
u u
u
Tìm
3
limun n
A. B. C.3 D.
Câu 19 Cho dãy số un xác định
1
2 n n
u
n u nu n
Tính limun
A limun 1 B. limun 4 C. limun 3 D. limun 0
Câu 20 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:
1
1
1
1
,
2
n
n u
u n
u
Tìm kết quảđúng limun
A. B.1 C. 1 D.
(6)Câu 21 Cho dãy số un thỏa mãn
1
1
2
2 ,
1
n
n
n u
u n
u
u
Tính u2018
A u2018 7 B u2018 2 C u2018 7 D u2018 7
Câu 22 Cho dãy số (xn) xác định 1 1, 1 ,
2 n n n
x x x x n
Đặt
1
1 1
1 1
n
n S
x x x
Tính limSn
A. B. C.2 D.
Câu 23 Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)!
k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A. B. C. 1
2012!
D. 1
2012!
Câu 24 Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)!
k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A. B. C 1
2012!
D. 1
2012!
Câu 25 Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n3n*với a b c, , số thỏa mãn
0
a b c Khẳng định sau đúng?
A lim
x f n B xlim f n 1 C xlim f n 0 D xlim f n 2 Câu 26 Cho a b, , ( , )a b 1;nab1,ab2, Kí hiệu rn số cặp số ( , )u v cho
naubv Tìm lim n n
r n ab
A. B. C.
ab D. ab1.
Câu 27 Cho dãy số xác định với Gọi tổng số hạng
đàu tiên dãy số Tìm
A C B D
Câu 28 Cho dãy số xác định với Tìm (un) u13, 2un1 un 1 n1 Sn n
(un) limSn
limSn limSn 1 limSn limSn 1
(un) 1, 2,
2
n n
n
u u
u u u
(7)A B. C. D.
Câu 29 Cho dãy số xác định với Tìm
A C B D
Câu 30 Cho dãy số xác định với Khi
A B.0 C.1 D.2
Câu 31 Cho dãy số xác định với ,
và số thực cho trước, Tìm giới hạn
A C B D
Câu 32 Cho dãy số với , tham số Để có giới hạn giá trị tham sốa là?
A. -4 B.2 C.4 D.3
Câu 33 Tìm hệ thức liên hệ số thực dương để:
A B C D
Câu 34 Tìm số thực cho
A. B C. D
Câu 35 Cho dãy số Biết với Tìm
A. B. C.0 D
Câu 36 bằng:
A. B. C. D.
2
5
4
(un) 1
1 ,
4
n
n n
u
u u u n1 limun
lim n
u lim
2 n
u limun 0 limun
(un) u11,un1un 2n1 n1 lim n n u
u
(un)
1 , ,
2
n n
n
u u
u a u b u
n1 a
b ab (un)
limun a
2 lim
3 n
a b
u limun b
2 lim
3 n
a b u
(un)
2
4
5
n
n n
u
an
a (un)
a b 2
lim( n an 5 n bn3)2
2
a b a b 2 a b 4 a b 4
a b 3
lim( 1n an b )0
1
a b
1
a b
1
a b
0
a b
(un)
2
1
3
2
n k k
n n
u
n1
1
1 n k k n
u nu
2
2
1 3 lim
5
k n
k k
17 100
17 200
(8)GIỚI HẠN HÀM SỐ Câu 37 Tìm giới hạn
0
0
lim , ( , 0)
n
n n
m x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b
A. B. C.
3 D. Đáp án khác
Câu 38
2
2
3 5sin cos lim
2
x
x x x
x
bằng:
A. B. C. D.
Câu 39 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để giới hạn: hữu hạn:
A B C D
Câu 40 Cho số thực khác Kết quảđúng bằng:
A B C D
Câu 41 Cho tham số thực Tìm để
A B C D
Câu 42 Cho số thực khác Nếu bằng:
A B C D
Câu 43 Giới hạn
3
1
lim
4
x
x x
x x
a
b (phân số tối giản) Giá trị ab
A. B.
9 C. 1 D.
9
Câu 44 Biết phân số tối giản, số nguyên
dương Tổng bằng:
A B C D
Câu 45 Biết phân số tối giản, số nguyên
dương Khi bằng:
A B C D
Câu 46 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để
a b a b
2
2 lim
6
x
a b
x x x x
4
a b a3b0 a2b0 a b 0
a
4
lim
x a
x a
x a
3
3a 2a3 a3 4a3
2
2
1
lim ,
1 x
x mx m
C m
x
m C2
2
m m 2 m1 m 1
a b
2
lim
2
x
x ax b x
a b
2 4 6
3 2
8 11
lim
3
x
x x m
x x n
m
n m n
2m n
68 69 70 71
3
6 27 54
lim ,
3 18
x
x x m
n
x x x
m
n m n
3m n
55 56 57 58
, ,
a b c a b c, ,
2
9
lim
1
x
ax b x cx
(9)A. . B. . C. D.
Câu 47 Cho tham số thực Biết thỏa mãn hệ thức hệ thức đây?
A B C D
Câu 48 Cho số thực dương Tính giới hạn
A.bằng B.là C.là D.không tồn
Câu 49 Cho sốnguyên dương Tính giới hạn
A. B. C. D
Câu 50 Tìm tất giá trị tham số thực cho giới hạn hữu hạn
A B . C. D
Câu 51 Tìm giới hạn
0
1
lim ( *, 0)
n
x
ax
B n a
x
:
A. B. C. a
n D.
n a
Câu 52 Tìm giới hạn
0
1
lim
1
n
m x
ax A
bx
với ab0:
A. B. C. am
bn D.
am bn
Câu 53 Tìm giới hạn
0
1
lim
m n
x
ax bx
N
x
:
A. B. C. a b
mn D.
a b mn Câu 54 Tìm giới hạn
0
1
lim
1
m n
x
ax bx
N
x
:
A. B. C 2an bm
mn
D.0
Câu 55 Tìm giới hạn
0
1 1
lim
m n
x
ax bx G
x
:
3
a b
c
a 3b
c
a 3b
c
a 3b
c
a b
2
4
lim ,
1
x
x x
ax b a
cx
b
9
a b a b 9 a b 9 a b 9
a
2
1 1
lim
xa x a x a
2
1
a
n
1
1 lim
1 n
x
n
x x
2
n
2
n
2
n
2
n
k 2
1
lim( )
1
x
k
x x
2
(10)A. B. C. a b
mn D.
a b mn Câu 56 Tìm giới hạn
0
(2 1)(3 1)(4 1)
lim n
x
x x x
F
x
:
A. B. C.
n D.
Câu 57 Tìm giới hạn
3
0
1 1
lim x
x x x
B
x
với 0.:
A. B. C
4
B D
4
B
Câu 58 Tìm giới hạn 2
0
1
lim
n m
x
mx nx
V
x
:
A. B. C
2
mn n m
D
2
mn n m
Câu 59 Tìm giới hạn
1
1
lim
1
n
n x
x x x
K
x
:
A. B. C.
!
n D.
Câu 60 Tìm giới hạn
2
0
1
lim
n n
x
x x x x
L
x
:
A. B. C. 2n D.
Câu 61 Tìm giới hạn
3
1
lim
1
n m
x
mx nx
V
x x
:
A. B. C 2an bm
mn
D. mn n m
Câu 62 Tìm tất giá trị tham số thực cho hàm số có giới hạn hữu hạn
A B C D
Câu 63 Giới hạn
A B. C. D
Câu 64 Cho số thực khác Biết , tổng
A B C D
m
9
f x mx x x
x
m m 3 m0 m0
2
lim ( 5+ax) = +
x x x
1
a a1 a1 a1
a b
2
lim ( 2)
x ax x bx a b
(11)Câu 65 Cho số thực khác Biết số lớn hai số
số sốdưới đây?
A B C D
Câu 66 Biết phân số tối giản, sốnguyên dương Tìm bội số chung nhỏ
A B C D
Câu 67 Cho sốnguyên dương Biết , hỏi thỏa mãn hệ thức đây?
A B. C D
Câu 68 Tìm giới hạn lim [ (n 1)( 2) ( ) ] n x
C x a x a x a x
:
A. B. C a1 a2 an
n
D.
n
a a a
n
Câu 69 Cho số thực khác Giới hạn bằng:
A B C D
Câu 70 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để:
A B C D
Câu 71 Cho sốnguyên dương phân biệt Giới hạn bằng:
A B C D
Câu 72 Tìm giới hạn
1
sin( )
lim
sin( )
m n x
x A
x
:
A. B. C. n
m D.0
Câu 73 Tìm giới hạn 2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
H
x
:
A. B. C
2
b a
n m D.0
a b
lim (ax+b- 2)
x x x
a b
4
3
2
lim ( 27 5)
x
m
x x x x
n
m
n m n
m n
135 136 138 140
a b 3
lim ( + ax 27 5)
27
x x x bx a
b
2 33
a b a2b34 a2b35 a2b36
a b
0
1
lim sin x
ax bx
2 a
b
a b
2a
b
2a b
, , c
a b 0, 3b2c0 a b c, ,
3
tan
lim
2
1
x
ax
bx cx
1
3 10
a b c
1
3
a b c
1
3 2
a b c
1
3 12
a b c
m n
1
sin
lim m n
x
x x x
m n n m
m n
(12)Câu 74 Tìm giới hạn 2
0
1 cos
lim n
x
ax M
x
:
A. B. C
2 a
n D.
Câu 75 Cho f x( ) đa thức thỏa mãn
3
( ) 15
lim 12
3 x
f x x
Tính
3
5 ( ) 11 lim
6
x
f x T
x x
A
20
T B
40
T C
4
T D
20 T
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 76 Cho hàm số
1
0 ,
0
ax e
khix x
f x
khix
với a0 Tìm giá trị a để hàm số f x liên tục
tại x0 0
A. a1 B
2
a C. a 1 D
2 a
Câu 77 Tìm a để hàm số
4 1
( ) (2 1)
3
x
x
f x ax a x
x
liên tục x0
A.
2 B.
1
4 C
1
D.
Câu 78 Cho hàm số
2
3
,
2
,
1
sin ,
x x
x
f x x
x x x x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
A. f x liên tục B. f x liên tục \ 0
C. f x liên tục \ 1 D. f x liên tục \ 0;1
Câu 79 Tìm tất giá trị m để hàm số
1
1
1
x x
x x
f x
x
m x
x
liên tục x0
A. m1 B. m 2 C. m 1 D. m0
Câu 80 Tìm m để hàm số
3
2
( ) 1
3
x x
x
f x x
m x
(13)A. m1 B
3
m C. m2 D. m0
Câu 81 Tìm m để hàm số
2
2
( ) 1
2
x x
f x x
x
x mx m
liên tục
A. m1 B
6
m C. m5 D. m0
Câu 82 Cho hàm số liên tục Tính
A B C D
Câu 83 Chon hàm số Tìm tất giá trị tham số thực để hàm
số liên tục
A B. C. D
Câu 84 Cho hàm số
2
2
( 2)
( )
8
ax a x
x
f x x
a x
Có tất giá trị a để hàm số liên tục x1?
A. B. C. D.
Câu 85 Cho hàm số
12
2 12
9
x f x ax b
x x
Biết a, b là giá trị thực để hàm số liên tục x0 9 Tính giá trị Pab
A.
2
P B. P5 C. P17 D
2 P
Câu 86 Cho phương trình tham số thực Chọn khẳng
định khẳng định sau
A Phương trình vơ nghiệm với
B.Phương trình có nghiệm với
C. Phương trình có hai nghiệm với
2
2
2
3
2
x x
neáu x x
f x x b neáu x a b neáu x
2
x I a b?
9 30
I 93
16
I 19
32
I 173
16 I
3
3.
khi
x
x
f x x
m x
m
3
x
m m m1 m 1
0
x ax bx c a b c, ,
1 a b c, ,
1 a b c, ,
(14)D. Phương trình có ba nghiệm với
Câu 87 Phương trình 5
x x x x x có nghiệm
A. B.3 C.4 D.
Câu 88 Tìm tất giá trị tham số thực cho phương trình sau có nghiệm
A. B C D
1 a b c, ,
m 2017 2018
2m 5m2 x1 x 2 2x 3
\ ; 2
m
;1 2;
2
m
1 ; 2
m
(15)C - HƯỚNG DẪN GIẢI
GIỚI HẠN DÃY SỐ Câu Tìm limun biết
2
1 n n
k u
n k
A. B. C.3 D.1
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2 2
1 1
, 1, 2, ,
k n
n n n k n
Suy
2
1 n
n n
u
n n n
Mà
2
lim lim
1
n n
n n n
nên suy limun 1
Câu Tìm limun biết
dau can
2
n n
u
A. B. C.2 D.1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
1 1 1
2 2
2
n
n
n u
,nên
1
2
lim lim 2
n
n u
Câu Tìm giá trịđúng
1 1
2
2 2n
S
A 21 B. C. 2 D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 1 1 2
2
1 n
S
Câu Tính giới hạn
1 1
lim
1.2 2.3 n n
A. B.1 C.
2 D.Không có giới
hạn
Hướng dẫn giải
(16)Đặt :
1 1
1.2 2.3
A
n n
1 1 1
1
2
n n
1
1
n
n n
1 1
lim lim lim
1
1.2 2.3 1 1
n
n n n
n
Câu Tính
1 1
lim
1.3 3.5 n 2n
A. B. C 2
3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
1 1
1.3 3.5
A
n n
2 2
2
1.3 3.5
1 1 1 1
2
3 5
1
2
2
2
A
n n A
n n n
A
n n
n A
n
Nên
1 1 1
lim lim lim
1
1.3 3.5 2
2
n
n n n
n Câu Tính giới hạn:
1 1
lim
1.3 2.4 n n
A.
4 B.1 C. D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có :
1 1 2
lim lim
1.3 2.4 2 1.3 2.4
n n n n
1 1 1 1
lim
2
n n
1 1
lim
2 2
n
Câu Tính giới hạnlim 1 1.4 2.5 n n( 3)
(17)A. 11
18 B. C. D.
3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1:
1 1 1 1 1 1
lim lim
1.4 2.5 n n( 3) n n
1 1 1
lim
3 n n n
2
11 12 11 11
lim
18 18
n n
n n n
Cách 2: Bấm máy tính sau: lim [ (n 1)( 2) ( ) ] n x
C x a x a x a x
so đáp án (có
thể thay 100 số nhỏhơn lớn hơn)
Câu Tính giới hạn: lim 12 12 12
2 n
A. B.
2 C
1
4 D.
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
2 2
1 1 1 1 1
lim 1 lim 1 1 1
2 n 2 3 n n
1 1
( )( )
n n n n n
y x y x y y x x
1 1 1
n n
n n n
y x y x
y y x x
Cách 2: Bấm máy tính sau: lim ( ) lim 1 2 1 n n
n n n
x x
y x y x
y y x x
so đáp án (có
thể thay 100 số nhỏhơn lớn hơn)
Câu Tính giới hạn dãy số
1
1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n u
T T T
( 1)
2 n
n n T .:
A. B. C.
3 D.
Hướng dẫn giải
(18)Ta có: 1 ( 1)( 2)
( 1) ( 1)
k
k k
T k k k k
Suy lim
3
n n
n
u u
n
Câu 10 Tính giới hạn dãy số
3 3
3 3
2 1
2 1
n
n u
n
.:
A. B. C.
3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
3
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]
k k k k
k k k k
Suy
2
2
lim
3 ( 1)
n n
n n
u u
n n
Câu 11 Tính giới hạn dãy số
1
2
2 n
n k
k k u
.:
A. B. C.3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 1 12 11 11
2 2 2
n n n n
n u u
1
1
lim
2 n 2n n
n
u u
Câu 12 Tính giới hạn dãy số 2
1 n n
k n u
n k
.:
A. B. C.3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: 2 2 2 2
1 1
n n
n n n
n u n u
n n n n n
2
1 lim
1
n n
n
u u
n
Câu 13 Tính giới hạn dãy số
2 n
n
(19)A. B. C
1 2 q
q
D
1 2 q
q
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
n n
n n
u qu qq q q nq
1
(1 )
1 n
n n
q
q u q nq
q
Suy lim n 1 2
q u
q
Câu 14 Biết
3 3
3
1
lim ,
1
n a
a b
n b
Giá trị
2
2a b là:
A. 33 B. 73 C. 51 D. 99
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 15 Tính giới hạn dãy số 1
2 2 ( 1)
n u
n n n n
:
A. B. C.0 D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: 1
(k1) k k k1 k k1
Suy 1 lim
1
n n
u u
n
Câu 16 Tính giới hạn dãy số
3 3
3
( 1)
3
n
n n
u
n n
:
A. B. C.
9 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
3 3 ( 1)
1
3
n n
n
Suy
2
3
( 1)
lim
3(3 2)
n n
n n
u u
n n
(20)Câu 17 Cho số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn
2
2
1
lim
1
n n
a a a
I
b b b
A. B. C.
1
b
a D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có 1, ,a a2, ,an
cấp số nhân công bội a
1
2
1
1
n
n a
a a a
a
Tương tự
1
2
1
1
n
n b
b b b
b
Suy lim
1
1
1
1
lim
1
1
n
n a
b a
I
b a
b
( Vì a 1,b1 liman1 limbn1 0)
Câu 18 Cho dãy số (un) xác định bởi:
0
1
2011
n n
n u
u u
u
Tìm
3
limun n
A. B. C.3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta thấy un 0, n
Ta có: n31 n3 33 16 n n
u u
u u (1)
Suy ra: un3 un31 3 un3 u033n (2)
Từ (1) (2), suy ra:
3 3
1 3 2
0 0
1 1
3
3 3
n n n
u u u
u n u n n n
Do đó: 3
0
1
1 1
3
3
n n
n
k k
u u n
k k
(3)
Lại có: 2
1
1 1 1
1 2
1.2 2.3 ( 1)
n
k k n n n
2
1
1
2
n n
k k
n n
k k
Nên: 3
0
2
3
9
n
(21)Hay
3 3
0 2
3
9
n
u u u
n n n n n
Vậy
3
limun
n
Câu 19 Cho dãy số un xác định
1
2 n n
u
n u nu n
Tính limun
A limun 1 B. limun 4 C. limun 3 D. limun 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 20 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:
1
1
1
1
,
2
n
n u
u n
u
Tìm kết quảđúng limun
A. B.1 C. 1 D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5.;
2
u u u u u
Dựđoán
1 n
n u
n
với
* n
Dễ dàng chứng minh dựđoán phương pháp quy nạp Từđó lim lim lim 1
1
1 1
n
n u
n
n
Câu 21 Cho dãy số un thỏa mãn
1
1
2
2 ,
1
n
n
n u
u n
u
u
Tính u2018
A u2018 7 B u20182 C u2018 7 D u2018 7
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 22 Cho dãy số (xn) xác định 1 1, 1 ,
2 n n n
(22)Đặt
1
1 1
1 1
n
n S
x x x
Tính limSn
A. B. C.2 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ công thức truy hồi ta có: xn1xn, n 1, 2, Nên dãy (xn) dãy sốtăng
Giả sử dãy (xn) dãy bị chặn trên, tồn limxn x
Với x nghiệm phương trình:
1
xx x x x vô lí
Do dãy (xn) khơng bị chặn, hay limxn Mặt khác:
1
1 1
( 1)
n n n n n
x x x x x
Suy ra:
1
1 1
1
n n n
x x x
Dẫn tới:
1 1
1 1
2 lim lim
n n
n n n
S S
x x x x
Câu 23 Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)!
k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A. B. C 1
2012!
D. 1
2012!
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k nên
1
( 1)!
k x
k
Suy 1 1 1
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
Mà: x2011n x1nx2n x2011n n 2011x2011
Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 2012! n
(23)Vậy lim 1 2012! n
u
Câu 24 Cho dãy (xk) xác định sau:
2! 3! ( 1)!
k
k x
k
Tìm limun với n 1n 2n 2011n
n
u x x x
A. B. C 1
2012!
D. 1
2012!
Hướng dẫn giải
ChọnC
Ta có: 1
( 1)! ! ( 1)!
k
k k k nên
1
( 1)!
k x
k
Suy 1 1 1
( 2)! ( 1)!
k k k k
x x x x
k k
Mà: x2011n x1n x2n x2011n n 2011x2011 Mặt khác: 2011 2011 2011
1
lim lim 2011
2012! n
x x x
Vậy lim 1 2012! n
u
Câu 25 Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n3n*với a b c, , số thỏa mãn
0
a b c Khẳng định sau đúng?
A lim
x f n B xlim f n 1 C xlim f n 0 D. xlim f n 2
Hướng dẫn giải
ChọnC
Câu 26 Cho a b, , ( , )a b 1;nab1,ab2, Kí hiệu rn số cặp số ( , )u v cho
naubv Tìm lim n n
r n ab
A. B. C.
ab D. ab1.
Hướng dẫn giải
ChọnC
Xét phương trình 0;n n
(24)Gọi ( ,u v0 0) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử ( , )u v nghiệm nguyên
dương khác ( ,u v0 0) (1)
Ta có au0bv0 n au bv, n suy a u u( 0)b v v( 0)0 tồn k nguyên
dương cho uu0kb v, v0ka Do v sốnguyên dương nên 0
1
1 v
v ka k
a
(2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên
dương cộng với Do 1 1 n
v n u
r
a ab b a
Từđó ta thu bất đẳng thức sau: 1 n
u u
n n
r
ab b a ab b a
Từđó suy ra: 1 1
n
u r u
abnbna n abnbnan
Từđây áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n n
r n ab
Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
9
cos lim
2 10
x
x x so đáp án
Câu 27 Cho dãy số xác định với Gọi tổng số hạng
đàu tiên dãy số Tìm
A C B D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: Ta có Đặt
Khi đó: Vậy cấp số nhân có cơng
bội Gọi tổng số hạng
Ta có: Suy ra:
Vậy
Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình: (un) u13, 2un1 un 1 n1 Sn n
(un) limSn
limSn limSn 1 limSn limSn 1
1
2un un1
1
2
n n
u u
vn un1
1
1 1
1 1
2 2
n n n n n
v u u u v vn
2
q Tn n vn
1
1
1
n n
q
T v
q
1
2
1
2
n
v
1
1
2
n v
n n
S T n 11
n v n
l imSn
1
: :
2
(25)Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm = liên tiếp ta thấy giá trị A ngày tăng cao
Câu 28 Cho dãy số xác định với Tìm
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Sử dụng MTCT
Qui trình bấm máy Kết thu
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2======= ======================================== ======================================== ========================================
Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hoàn ta
Vậy giới hạn dãy sốtrong trường hợp
Bổ sung: Cho dãy số xác định , , với ,
trong số thực cho trước, Người ta chứng minh
Câu 29 Cho dãy số xác định với Tìm
A C B D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn Khi ta có:
Tuy nhiên đến ta khơng cịn cứđể kết luận hay
0
(un) 1, 2,
2
n n
n
u u
u u u
n1 limun
2
5
4
1,
5 1, 66666667
3
5 un u1 a u2 b
1
2 n n n
u u
u
n
,
a b ab
2 lim
3 n
a b u
(un)
2
1
1 ,
4
n
n n
u
u u u n1 limun
lim n
u lim
2 n
u limun 0 limun
L
2 L
LL 2L2 L
0 L L
0
L
(26)Ta sử dụng MTCT tương tự tập thấy giới hạn dãy số Vậy chọn Chọn B
Câu 30 Cho dãy số xác định với Khi
A B.0 C.1 D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Ta có
; ; ;
Dựđốn Khi Vậy
Suy
Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình
Qui trình bấm máy Kết thu
QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1= ===================
Bấm r, máy hỏi X? nhập , máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị , ta thấy giá trịđó dần
Nhận xét: Ở phải bấm phím = liên tiếp nhiều lần, chưa đủ lớn chênh lệch xa nên giá trị xa so với
Câu 31 Cho dãy số xác định với ,
và số thực cho trước, Tìm giới hạn
A C B D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đây toán chứa tham số
0
9
2
1, 706192802.10
X Y X
(un) u11,un1 un 2n1 n1
lim n
n u
u
2 1
u u2 1 2.1 1 22 u3222.2 9 32
n
u n un1un2n 1 n12
1 n
u n n 2
1
2
lim n lim
n
n u
u n
1 Y
X
n
n12 n2
2
2
1
n n
1
(un) , ,
2
n n
n
u u
u a u b u
n1 a
b ab (un)
limun a lim
3 n
a b
u limun b lim
3 n
(27)Vì tốn trắc nghiệm nên có cách cho giá trị cụ thể, sử dụng
MTCT để tìm giới hạn, từđó tìm đáp án
Chẳng hạn cho Khi , đơi
khác
Nhập vào hình:
Qui trình bấm máy Kết thu
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3====== ====================================== ====================================== =====================================
Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn , ta
Vậy giới hạn dãy sốtrong trường hợp
Bổ sung: Cho dãy số xác định , , ,
đó số thực cho trước,
a) Chứng minh dãy dãy giảm, dãy dãy tăng
b) Chứng minh
c) Chứng minh
d) Chứng minh có giới hạn giới hạn
Câu 32 Cho dãy số với , tham số Để có giới hạn giá trị tham số là?
A. -4 B.2 C.4 D.3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dễ thấy với
Thật vậy:
Nếu
Nếu
Do để
a b
2,
a b
3
a b
3 ab
, , ,2
3
a b a b
a b
2, 2, 6
8 un u1a u2 b
1
2
2
n n
n
u u
u n
,
a b ab
u2n u2n1
2 1
2
n n n
x x
x x n
2
2xn xn 2x x n un
2 a b
(un)
2
4
5 n
n n u
an
a (un)
a
2
a
2
2
4
lim lim
2
n
n n
u
n
0
a
2
4
lim lim
n
n n
u
0
a
2
2
4
lim lim
5 n
n n u
an a
limun 2
4
2 a
(28)Câu 33 Tìm hệ thức liên hệ số thực dương để:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ kết quảđã trình bày phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có:
Suy Do để
Câu 34 Tìm số thực cho
A B C. D
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có Để hữu hạn
( xem lại phần ví dụ )
phần Ví dụ) Ta có Vậy
Câu 35 Cho dãy số Biết với Tìm
A. B. C.0 D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Suy
a b 2
lim( n an 5 n bn3)2
2
a b a b 2 a b 4 a b 4
2
2
2
5
5
a b n
n an n bn
n an n bn
2
2
5
1
a b n
a b
n n n n
2
lim
2 a b n an n bn
2
lim n an5 n bn3 2
2 a b
a b
a b 3
lim( 1n an b )0
1
a b
1
a b
1
a b
0
a b
3
lim 1n an b 0 3
lim
b n an
3
lim 1n an
0
a
3
lim 1n n 0 b0
(un)
2
1
3
2
n k k
n n
u
n1
1
1 n k k n
u nu
2
2 2
1
1
3 9
3 3
2
n n
n k k
k k
n n n n
u u u n n
3
n
(29)Vậy
Câu 36 bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Do nên khó để sử dụng MTCT tốn Ta có:
2
1
1
lim lim
2 3 2.3
n k k n
n n
u
nu n n
2
2
1 3 lim
5
k n
k k
17 100
17 200
1
1
1
2
1
3 3
lim lim
5
k i k
n n
i
k k
k k
1
1
2
1 1
3
3
3 3 1 5 5 17
3
5 2.5 50 50 50 50 200
1
5
k i
k k
k
n n n n
i
k k
k k k k
(30)GIỚI HẠN HÀM SỐ Câu 37 Tìm giới hạn
0
0
lim , ( , 0)
n
n n
m x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b
A. B. C 4
3 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
ChọnD
Ta có:
1
0
1
0
( )
lim
( )
n n n
n n
x m m m
m m
a a
a x a
x x x
A
b b
b x b
x x x
Nếu
1
0
0
1 0
0
lim
n n
n n
x m m
m m
a a
a a
a
x x x
m n A
b b
b b
b
x x x
Nếu
1
0
1
0
lim
( )
n n
n n
x m n
m m
m m
a a
a a
x x x
m n A
b b
b x b
x x x
( Vì tử a0, mẫu 0)
Nếu mn, ta có:
1
0 0 0
1
1 0 0
0
( ) 0
lim
n m n n
n n
x m m
m m
a a
a
x a a b
x x x
A
b b
b a b
b
x x x
Câu 38
2
2
3 5sin cos lim
2
x
x x x
x
bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
ChọnB
2
2 2
3 5sin cos 10sin cos 10sin cos
lim lim lim lim
2 4
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
2
10 sin cos
lim
2
x
x x
x
(31)2
10sin cos 101
2 4
x x
x x
Mà lim 1012
2
x x nên
10sin cos
lim
2
x
x x
x
Câu 39 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để giới hạn: hữu hạn:
A B C D
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có
Ta có
Do giới hạn cần tìm vơ cực theo quy tắc Từđó chọn đáp án C
(Thật vậy,
Và
Cách 2: Sử dụng MTCT Với đáp án, lấy giá trị cụ thể , thay vào hàm
số tính giới hạn
Từđó chọn đáp án làC
Câu 40 Cho số thực khác Kết quảđúng bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Ta có
a b a b
2
2 lim
6
x
a b
x x x x
4
a b a3b0 a2b0 a b 0
2
6
a b a b
x x x x x x x x
3
2 4
a x b x g x
x x x x x x
2 2
lim 0; lim 1; lim 2; lim
x x x x x x x g x b a
2
lim
x
g x b a
lim
x
g x b a
2
2
6 4
a b bx b b
x x x x x x x x x
2
2
lim lim
6
x x
a b b b
x x x x x x
a b
a
4 lim
x a x a
x a
3
3a
2a
a
4a
3
2 3
2
3
4 ) (
lim ) )(
( lim
lim x xa x a a a
a x
a xa a x x a x a
x a x
a x a
x a
x
(32)Cách 2: Cho giá trị cụ thể tính giới hạn máy tính cầm tay Chẳng han với
ta có Do chọn Chọn D
Câu 41 Cho tham số thực Tìm để
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
Vậy
Cách 2: Thay giá trị vào, tìm gặp kết dừng lại
Câu 42 Cho số thực khác Nếu bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Đặt Rõ ràng khơng thể hữu hạn Do điều kiện
Khi
Vậy
Câu 43 Giới hạn
3
1
lim x x x x x
a
b (phân số tối giản) Giá trị ab
A. B.
9 C. 1 D.
9
Hướng dẫn giải
Chọn A
a a 4 2
lim 32 4.2
2 x a x x 2 1 lim , x
x mx m
C m
x
m C2
2
m m 2 m1 m 1
2 1 lim ) )( ( ) )( ( lim 1 lim 1 2 m x m x x x m x x x m mx x C x x x 2
m
C
m C C 2
a b
2
lim
2
x
x ax b x
a b
2 4 6
b ax x x
g( ) g( )2 0
2 ) ( lim x x g x ( )
g 0 2a b 4
) )( ( )
(x x x b
g
2 ) ( lim ) ( lim 2 b b x x x g x
x 2 ) ( lim
2
b a a b
b x
(33)Câu 44 Biết phân số tối giản, số nguyên
dương Tổng bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Ta có ;
Do
Vậy
Câu 45 Biết phân số tối giản, số nguyên
dương Khi bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Sử dụng MTCT ta tính được: ;
nên Vậy
Giải tự luận: Đặt
3 2
8 11
lim
3
x
x x m
x x n
m
n m n
2m n
68 69 70 71
3
8x 11 x+7 3x
x
3
2
8x 11
3x 3x
x
x x
2 3
2
( 2)( 1)( 3)
( 2)( 1)( (8x 11) 11 9)
x x
x x x
x x
2 3
8
( 1)( 3)
(x 1)( (8x 11) 11 9) x x
2
2 3
8
lim
27 ( 1)( (8x 11) 11 9)
x x
1
lim
6
( 1)( 3)
x x x
2
8x 11 x+7
lim
3x 27 54
x x
7; 54
m n 2m n 68
3
6 27 54
lim ,
3 18
x
x x m
n
x x x
m
n m n
3m n
55 56 57 58
3
6x 27x-54 (x 3)(x 3x-18)
3
6x 27x-54 (x 3) (x 6)
3
6x 27x-54 lim
( 3)
x x
1
lim
6
x x
2
6x 27x-54 lim
( 3)( 3x-18) 54
x x x
3m n 57
3
t x
3
lim
x t
2
6x 27x-54 (x 3)
3
6t 27t+27
t
3
2
6t (t 3) (t 3) 27t 27
t t
(34)Câu 46 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để
A. . B. . C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ta có
Do
Câu 47 Cho tham số thực Biết thỏa mãn hệ thức hệ thức đây?
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Do
Câu 48 Cho số thực dương Tính giới hạn
A.bằng B.là C.là D. không tồn
Đáp án D
Cách 1: Ta có
Do
, ,
a b c a b c, ,
2
9
lim
1
x
ax b x cx
3
a b
c
a 3b
c
a 3b
c
a 3b
c
lim lim lim
x x x
ax bx a b
ax b x x x a b
cx cx c c
x
2 2 2
2
9
9
1
1
lim
x
ax b x a b
cx c
9
5
1
a b
2
4
lim ,
1
x
x x
ax b a
cx
b
9
a b a b 9 a b 9 a b 9
lim lim
x x
x x ax b x ax b
x x
2
4 11
4
2
lim ;
x
x x ax b a b a b
x
2
4
0
2
a
2
1 1
lim
xa x a x a
2
1
a
a x
x a x a ax x a ax x a
1 1 1
lim lim ;
x a x a x a x a ax x a
1 1
lim lim ;
x a x a x a x a ax x a
(35)Vậy nên không tồn
Cách 2: Cho a giá trị cụ thể, chẳng hạn thay vào hàm số sử dụng MTCT để tính giới hạn
Câu 49 Cho sốnguyên dương Tính giới hạn
A. B. C. D
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với giá trị cụ thể rooif so sánh với đáp án Chẳng hạn ta có
Cách 2:
Do
Lưu ý:
Câu 50 Tìm tất giá trị tham số thực cho giới hạn hữu hạn
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Ta có Mà nên để
là hữu hạn điều kiện cần
Thật vậy, Nên
Lưu ý: hữu hạn
lim lim
x a x a x a x a x a x a
1 1 1
lim
x a x a x a
1 1
,
a1
n
1
1 lim
1 n
x n x x n
n
2
n
2
n
n
n3 lim
x x x
1
3
1
1
n n
n n n
n x x x
n x x x
x
x x x
2 2 1
1
1 1
1
1 1
n n
x x x x x x
x x x
2 2
2
1 1
1
lim n
x n n x x 1 1
lim n
x n n x x 1 1 k 2 1 lim( ) 1 x k x x
k k2 k2 k2
k x k
x x x
2 2
1
1 1 1 limx x k k; limx x
1 1
lim x k x x
1
1
1 1 2 k k
, x
k
x x x x
2 2
1 1
2
1 1 1 limx limx
k
x x x
1
1 1
1 1
lim n x k x x 1
(36)Câu 51 Tìm giới hạn
0
1
lim ( *, 0)
n
x
ax
B n a
x
:
A. B. C. a
n D.
n a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Nhân liên hợp Ta có:
1
1
0
( 1)( (1 ) (1 ) 1)
lim
( (1 ) (1 ) 1)
n n
n n n n
n n
x n n n
ax ax ax ax
B
x ax ax ax
1
0
lim
(1 )n (1 )n 1
x n n n
a a
B
n
ax ax ax
Cách 2:Đặt ẩn phụ
Đặt 1
n
n t
t ax x
a
x0 t
1
1
1
lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n
t t
t t a
B a a
t t t t t n
Câu 52 Tìm giới hạn
0
1
lim
1
n
m x
ax A
bx
với ab0:
A. B. C. am
bn D.
am bn
Hướng dẫn giải
Chọn C
Áp dụng toán ta có:
0
1
lim lim
1
n
m
x x
ax x a m am
A
x bx n b bn
Câu 53 Tìm giới hạn
0
1
lim
m n
x
ax bx
N
x
:
A. B. C. a b
mn D.
a b mn
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
0
1 1
lim lim
m n
x x
ax bx a b
N
x x m n
Câu 54 Tìm giới hạn
0
1
lim
1
m n
x
ax bx
N
x
:
A. B. C 2an bm
mn
(37)Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
0
1 1
lim
1
m n
x
ax bx x
N
x x x
2( )
.2
a b an bm
m n mn
Câu 55 Tìm giới hạn
0
1 1
lim
m n
x
ax bx G
x
:
A. B. C a b
mn D.
a b mn
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
0
1 1 1 1
lim lim
m n
m
x x
ax bx ax b a
G
x x n m
Câu 56 Tìm giới hạn
0
(2 1)(3 1)(4 1) lim
n
x
x x x
F
x
:
A. B. C.
n D.0
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt y n(2x1)(3x1)(4x1)y1 x0
Và:
0
1 (2 1)(3 1)(4 1)
lim lim
n
x x
y x x x
x x
Do đó:
0
1
lim
n
n n
x
y F
n x y y y
Câu 57 Tìm giới hạn
3
0
1 1
lim x
x x x
B
x
với 0.:
A. B. C
4
B D
4
B
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: 1x31x41x 1
3
1 x x( x 1) x(( x 1) ( x 1)
3
3
0
1 1
lim( 1 ) lim
x x
x x
B x x x
x x
0
1
lim x
x x
Câu 58 Tìm giới hạn 2
0
1
lim
n m
x
mx nx
V
x
:
A. B. C
2
mn n m
D
2
(38)Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 2 2
0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
lim lim
m n
x x
nx mnx mx mnx
V
x x
( )
2 mn n m
Câu 59 Tìm giới hạn
1
1
lim
1
n
n x
x x x
K
x
:
A. B. C.
!
n D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3
1
1
lim
! (1 )( 1) (n n 1)
x K
n
x x x x
Câu 60 Tìm giới hạn
2
0
1
lim
n n
x
x x x x
L
x
:
A. B. C. 2n D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
0 2
1 1
lim
1
n n
n x
x x x x
L n
x x x
Câu 61 Tìm giới hạn
3
1
lim
1
n m
x
mx nx
V
x x
:
A. B. C 2an bm
mn
D. mn n m
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
2 3
0
1 (1 )
lim
1
n m
x
mx nx x
V
x x x x
( )
.2 ( )
2 mn n m
mn n m
Câu 62 Tìm tất giá trị tham số thực cho hàm số có giới hạn hữu hạn
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án A
m f x mx 9x23x1
x
(39)Cách 1: Sử dụng MTCT tính tốn ta kết
Vậy ta chỉxét đáp án A D
Lại sử dụng MTCT tính tốn ta kết
Vậy loại Chọn D Do đáp án làA
Cách 2:
+ Nếu
+ Nếu
Ta thấy
Ngược lại
Vậy đáp án làA
Câu 63 Giới hạn
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn , ta
Từ suy đáp án D
Cách 2:
Vì nên để
Câu 64 Cho số thực khác Biết , tổng
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có
3
m
1 ) (
lim
x x x
x
1
m
( 1)
lim x x2 x
x
) (
lim ) (
lim
f x x mx x x
x
0
m
( ) lim( 1)
lim f x mx x2 x
x x
0
m lim lim
x mx x x xx m x x
2
2
3
9
3
m lim
x m x x
3
9
( 1)
lim mx x2 x
x m3 2
1 ) (
lim
x x x
x
2
lim ( 5+ax) = +
x x x
1
a a1 a1 a1
va`
a1 a0
lim ; lim
x x x x x x x
2 3 5 3 5
2
lim lim
x x x ax xx a x x
2
2
3
3
lim
x xlim x x ax
2 3 5 a 1 0 a 1.
a b
2
lim ( 2)
x ax x bx a b
2 6 5
lim lim
x x
b
ax x bx x a
x x
2
2
2
(40)Do Vậy Khi
Vậy: Do
Câu 65 Cho số thực khác Biết số lớn hai số
số sốdưới đây?
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Do Vậy Khi ta có
Vậy: DO số lớn hai số số
Câu 66 Biết phân số tối giản, sốnguyên dương Tìm bội số chung nhỏ
A B C D
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số ta kết
Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn ta có
Vậy
Từ chọn đáp án làA
Cách 2:
a1 lim
x ax x bx
2 2 a1.
lim lim
x x
bx b
x x bx
x x bx
2
2
2
2
b b
3 6
2 a b 5
a b lim (ax+b- 2)
x x x
a b
4
lim lim
x ax b x x xx a x x b
2
2
6
6
a1 lim
x ax b x x
2 6 2 a1.
lim lim
x x
x
x b x x b b b
x x x
2
2
6
6
2
6
b b
3 a b
3
2
lim ( 27 5)
x
m
x x x x
n
m
n m n
m n
135 136 138 140
x 1010
,
0 185 27
m
n
5 27
x x x x x x x x x x
3
2 2
(41)Suy
Câu 67 Cho sốnguyên dương Biết , hỏi thỏa mãn hệ thức đây?
A B. C. D
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Làm tương tự câu 49, ta có:
Do Suy số chẵn Vậy số chẵn Từ loại đáp án A vàC
Giải hệ
Giải hệ (loại)
Câu 68 Tìm giới hạn lim [ (n 1)( 2) ( ) ] n x
C x a x a x a x
:
A. B. C. a1 a2 an
n
D.
n
a a a
n
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt n( 1)( 2) ( )
n
y x a x a x a
1 1
( )( )
n n n n n
y x y x y y x x
1 1 1
n n
n n n
y x y x
y y x x
1
lim ( ) lim
n n
n n n
x x
y x y x
y y x x
1
1 1
1
lim
n n n
n n n
x
n
y x
x C
y y x x
x
Mà lim 1 lim ( 1 2 32 1)
n n
n n
n n
x x
b b
b
y x
a a a
x x x x
1 n
a a a
1
1
lim 0, ,
k n k n x
y x
k n
x
1
1
lim
n n n
n x
y y x x
n x
x x
x x x x x x x x x
2
2 3 2 3 3 2 2
3
2
9 27 4 5 3 27 4 5 9
lim
x x x x x
3
2 2
9 27
6 9 27
a b 3
lim ( + ax 27 5)
27
x x x bx a
b
2 33
a b a2b34 a2b35 a2b36
lim
x
a b b a
x ax x bx
3
2 2
9 27
6 27 54
b a
2 14 a a b2
a b
b a
2 34
2 14 a2;b16
a b
b a
2 36
2 14 a
(42)VậyC a1 a2 an n
Câu 69 Cho số thực khác Giới hạn bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
Mà nên
Cách 2: Cho giá trị cụ thể, thay vào tính giới han Chẳng hạn với , sử dụng MTCT ta tính Từđó chọn đáp án B
Câu 70 Cho số thực khác Tìm hệ thức liên hệ để:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1:
Lại có
Vậy
Do hệ thức liên hệ
Cách 2: Sử dụng MTCT Với đáp án, chọn giá trị cụ thể thỏa mãn hệ thức thay vào để tính giới hạn Nếu giới hạn tìm đáp án
a b
0
1
lim sin x
ax bx
2 a
b
a b
2a
b
2a b
lim lim( )
sin sin
x x
ax ax bx
bx x bx b
0
1 1 1
lim ;
sin
x
ax a
bx
1
2 lim0sinbx 1 bx
x sin 2 ;
1 lim
0 b
a bx
b ax x
a b ab1
0
1 1
lim
sin
x
x x
, , c
a b 0, 3b2c0 a b c, ,
3
tan
lim
2
1
x
ax
bx cx
1
3 10
a b c
1
3
a b c
1
3 2
a b c
1
3 12
a b c
3
tan tan
1 x 1 x 1 1
ax ax x
a ax
b c bx cx
0
tan sin a
lim lim( )
cosax
x x
ax x
ax ax
3
0
1 x x
lim
x
b c
x
0
1 x 1 x
lim( )
x
b c
x x
2
b c b c
3
tan 6a
lim
3
1 x x
x
ax
b c
b c
, ,
a b c 6a 1
3 2 12
a b c b c
, ,
a b c
(43)Chẳng hạn, với đáp án A, chọn , sử dụng MTCT tính
Vậy A đáp án
Tương tự B C đáp án
Câu 71 Cho sốnguyên dương phân biệt Giới hạn bằng:
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Ta có
Mà ; nên
Cách 2: Cho m n giá trị cụ thể, thay vào sử dụng MTCT tính giới hạn Chẳng hạn
với ta tính
Vậy đáp án C
Câu 72 Tìm giới hạn
1
sin( )
lim
sin( )
m n x
x A
x
:
A. B. C. n
m D.0
Hướng dẫn giải
Chọn C
1 1
sin (1 ) sin (1 ) (1 )
lim lim lim lim
sin (1 ) (1 ) sin (1 )
m m n n
n m n m
x x x x
x x x x
A
x x x x
1
1
1
1 (1 )( 1)
lim lim
1 (1 )( 1)
n n n
m m m
x x
x x x x n
x x x x m
1; 4;
a b c
3
tan
lim
5
1
x
x
x x
m n
1
sin
lim m n
x
x x x
m n n m
m n
1 nm
n( 1) s in(x-1) 1
m n m n
si x x
x x x x x
1
lim
m n
x
x x
m n x
n( 1)
lim
1
x
si x x
n( 1)
lim m n
x
si x
x x m n
3;
m n 3
1
n( 1) 1
lim
2
x
si x
x x m n
(44)Câu 73 Tìm giới hạn 2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
H
x
:
A. B. C
2
b a
n m D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 2
0
2
cos 1 cos
lim
sin 2
m n
x
ax bx
b a
x x
H
x n m
x
Câu 74 Tìm giới hạn 2
0
1 cos
lim n
x
ax M
x
:
A. B. C
2 a
n D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
1 cos
1 cos
1 cos ( cos ) ( cos )
n
n
n n n
ax ax
ax ax ax
2
0
1 cos x
lim lim
1 n cos ( cosn ) ( cosn )n
x x
a M
x ax ax ax
1
2
a a
n n
Câu 75 Cho f x( ) đa thức thỏa mãn
3
( ) 15
lim 12
3 x
f x x
Tính
3
5 ( ) 11 lim
6
x
f x T
x x
A
20
T B
40
T C
4
T D
20 T
Hướng dẫn giải
(45)HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 76 Cho hàm số
1
0 ,
0
ax e
khix x f x
khix
với a0 Tìm giá trị a để hàm số f x liên tục
tại x0 0
A. a1 B
2
a C. a 1 D
2 a
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 77 Tìm a để hàm số
4 1
( ) (2 1)
3
x
x
f x ax a x
x
liên tục x0
A.
2 B.
1
4 C
1
D.1
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có :
0
4 1
lim ( ) lim
2
x x
x f x
x ax a
0
4
lim
2
2 1
x ax a x a
Hàm số liên tục
2
x a
a
Câu 78 Cho hàm số
2
3
,
2
,
1
sin ,
x x
x
f x x
x x x x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
A. f x liên tục B. f x liên tục \ 0
C. f x liên tục \ 1 D. f x liên tục \ 0;1
Hướng dẫn giải
ChọnA
TXĐ: D
(46)Với 0x1 ta có hàm số
3
2
x f x
x
liên tục khoảng 0;1 2 Với x0 ta có f x xsinx liên tục khoảng ; 0 3
Với x1 ta có f 1 1;
1
lim lim
x f x xx
;
3
1
2
lim lim
1
x x
x f x
x
Suy
1
lim 1
x f x f
Vậy hàm số liên tục x1
Với.x0 ta có f 0 0;
3
0
2
lim lim
1
x x
x f x
x
; xlim0 f x xlim0x.sinx
0
sin
lim lim
x x
x x
x
suy
0
lim 0
x f x f
Vậy hàm số liên tục x0 4
Từ 1 , 2 , 3 4 suy hàm số liên tục
Câu 79 Tìm tất giá trị m để hàm số
1
1
1
x x
x x
f x
x
m x
x
liên tục x0
A. m1 B. m 2 C. m 1 D. m0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 80 Tìm m để hàm số
3
2
( ) 1
3
x x
x
f x x
m x
liên tục
A. m1 B
3
m C. m2 D. m0
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Với x1 ta có
3 2 2 1 ( )
1
x x
f x
x nên hàm số liên tục khoảng \ 1
Do hàm số liên tục hàm số liên tục x1
Ta có: f(1)3m2
3
1
2
lim ( ) lim
1
x x
x x
f x
(47)
3
1 3
2 lim
( 1) ( 2)
x
x x
x x x x x
2
2
1 3
2
lim
2 ( 2)
x
x x
x x x x
Nên hàm số liên tục 2
x m m
Vậy
3
m giá trị cần tìm
Câu 81 Tìm m để hàm số
2
2
( ) 1
2
x x
f x x
x
x mx m
liên tục
A. m1 B
6
m C. m5 D. m0
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Với x2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục khoảng ; 2 liên tục x2
Hàm số liên tục ; 2 tam thức
2
( ) 2 3 2 0, 2
g x x mx m x
TH 1:
2
' 3 17 17
2
(2)
m m
m
g m
TH 2:
2
2
3
'
2 '
' ( 2)
m m
m m
m
x m
m
3 17
3 17
6
2
m
m m
Nên 17
2
m (*) g x( )0, x
2
lim ( ) lim 3
x x
f x x
2
2
1
lim ( ) lim
2
x x
x f x
x mx m m
Hàm số liên tục 3
x m
(48)Câu 82 Cho hàm số liên tục Tính
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 83 Chon hàm số Tìm tất giá trị tham số thực để hàm
số liên tục
A B. C D
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm sốđã cho xác định
Ta có
Tương tự ta có (có thểdùng MTCT để tính giới hạn hàm số)
Vậy nên không tồn Vậy với , hàm sốđã cho khơng liên tục
Do đáp án A
Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số để hiểu rõ
Câu 84 Cho hàm số
2
2
( 2)
( )
8
ax a x
x
f x x
a x
Có tất giá trị a để hàm số liên tục x1?
2
2
2
3
2
x x
neáu x x
f x x b neáu x a b neáu x
2
x I a b?
9 30
I 93
16
I 19
32
I 173
16 I
3
khi 3.
khi
x
x
f x x
m x
m
3
x
m m m1 m 1
2
3 3 3
3 3
lim lim lim lim lim 1
3 3
x x x x x
x x x
f x
x x x
lim
x
f x
3
lim lim
x f x x f x limx3 f x m
3
x
3
(49)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
1 1
1
( 2)
lim lim lim
3
x x x
x ax a ax a x
ax a x a
x x
Hàm số liên tục
1
0
1 lim 8
8
x
a
x f x f a a
a
Câu 85 Cho hàm số
12
2 12
9
x f x ax b
x x
Biết a, b là giá trị thực để hàm số liên tục x0 9 Tính giá trị Pab
A.
2
P B. P5 C. P17 D.
2 P
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 86 Cho phương trình tham số thực Chọn khẳng
định khẳng định sau
A Phương trình vơ nghiệm với
B.Phương trình có nghiệm với
C. Phương trình có hai nghiệm với
D. Phương trình có ba nghiệm với
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dễ thấy phương trình trở thành Vậy A, C, D sai Do
đó B
Giải thích thêm: Xét tốn “Chứng minh phương trình
ln có nghiệm với ” Ta có lời giải cụ thểnhư sau:
Đặt Ta có:
+ với nên tồn giá trị cho
0
x ax bx c a b c, , 1 a b c, ,
1 a b c, ,
1 a b c, ,
1 a b c, ,
0
a b c 1 x3 0x0
0
x ax bx c
, , a b c
f x x ax bxc
lim
x x ax bxc a b c, , xx1
(50)+ với nên tồn giá trị cho
Vậy mà liên tục nên suy có nghiệm khoảng Từđó suy ĐPCM
Câu 87 Phương trình
5
2
x x x x x có nghiệm
A. B.3 C.4 D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 88 Tìm tất giá trị tham số thực cho phương trình sau có nghiệm
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn D
+ Nếu phương trình cho trở thành
+ Nếu phương trình cho đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết quảđã biết, phương trình có nghiệm
Vậy với phương trình cho ln có nghiệm
lim
x x ax bxc a b c, , xx2
2 f x
1
f x f x f x f x 0
x x1; 2
m 2017 2018
2m 5m2 x1 x 2 2x 3
\ ; 2
m
;1 2;
2
m
1 ; 2
m
m
2
2m 5m20 3
2 x x
2
2m 5m 2 0,