Đang tải... (xem toàn văn)
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Kh a i triển số đã cho dưới dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này... Tìm giới hạn đó.[r]
(1)MỤC LỤC
PHẦN I LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 14
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 15 – 31
§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 – 40
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 41 – 49
PHẦN II TRẮC NGHIỆM
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 50 – 54
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 59
HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62
ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 63 – 72
(2)CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
PHẦN I LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A KIẾN THỨC CẤN NẮM
1 Giới hạn hữu hạn dãy số
nlim→+∞un =0 un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở
đi
nlim→+∞vn = ⇔a nlim (→+∞ vn − =a)
Dãy số (un) có giới hạn dãy số ( )un có giới hạn
2 Giới hạn vô cực
nlim→+∞un = +∞ uncó thể lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng
trở Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ n→ +∞
Dãy số (un) gọi có giới hạn −∞ n→ +∞ lim(−un)= +∞
Nhận xét: n n
nlim→+∞u = +∞ ⇔nlim (→+∞ −u )= −∞; nlim→+∞un = −∞ ⇔nlim (→+∞ −un)= +∞
Lưu ý: Thay cho viết n n
nlim→+∞u =L, limn→+∞u = ±∞, ta viết limun =a,limun = ±∞ Các giới hạn đặc biệt
a)
n
1
lim =0; k
n
1
lim =0; limnk = +∞, với k nguyên dương
b) limqn =0, q <1; limqn = +∞ q >
c) limc=c; ck
n
lim =0, lim(c un) = climun, với c số,k∈ℕ*
d) nn
q
lim =0 q>1
4 Định lí giới hạn hữu hạn
Định lí Nếu limun =L limvn =M, thì:
lim(un +vn) lim= un+limvn = +L M lim(un −vn) lim= un −limvn = −L M lim u vn n =lim limun vn =L M lim( )c un =c L ( với c hằng số)
n
n
u L
v M
lim = (nếu M ≠0)
Định lí Giả sử limun =L
Nếu un ≥0 với n L≥0 lim un = L lim un = L un L
3
lim = Nếu lim un = +∞
n
u
(3)a) Quy tắc Nếu limun = ±∞ limvn = ±∞thì lim( )u vn n cho bảng: n
u
lim limvn lim( )u vn n
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞ −∞
+∞
b) Quy tắc Nếu limun = ±∞ limvn = ≠L 0thì lim( )u vn n cho bảng: n
u
lim Dấu L ( )
n n
u v
lim +∞
+∞
−∞ −∞
+ − + −
+∞
−∞ −∞
+∞
c) Quy tắc Nếu limun = ≠L limvn =0và vn >0 vn <0 n n
u v
lim
cho bảng:
Dấu L Dấu của n
v
n n
u v
lim +
+ − −
+ − + −
+∞
−∞ −∞
+∞ Chú ý Nếu limun = >L 0,limvn = ±∞ n
n
u v
lim =0 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa mãn q <1
Cơng thức tính tổng S cấp số nhân lùi vô hạn (un)
n
u
S u u u u q
q
1
1 1 ;
= + + + + + = <
− hay
n u
S u u q u q u q q
q
2 1
1 1 − 1 ;
= + + + + + = <
− Định lí kẹp giới hạn dãy số
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) số thực L Nếu un ≤ ≤vn wnvới n lim un = lim wn = L dãy số (vn) có giới hạn lim vn = L
8 Lưu ý
a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn
b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn
c) Nếu limun = a limun + = a d) Số e:
n n
e
n
1 lim
→+∞
= +
9 Phương pháp tìm giới hạn dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn dãy số ta thường đưa giới hạn dạng đặc biệt áp dụng định lí giới hạn định lí giới hạn vơ cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa lũy thừa n, chia tử mẫu
cho nk, với k số mũ cao
+ Nếu biểu thức có chứa n dấu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp
(4)- Nhận dạng xem dãy số cho có phải cấp số nhân lùi vơ hạn khơng Sau áp dụng cơng thức tính tổng biết
- Cách tìm cấp số nhân lùi vơ hạn biết số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm cơng bội số hạng đầu
- Cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng số nhân lùi vơ hạn tính tổng
B BÀI TẬP
Bài 1.1 Biết dãy số (un) thỏa mãn un n n2
1
+
≤ với n Chứng minh lim un = HDGiải
Đặt vn n n2
1
+
= Ta có vn n n n
n
2
1
1
lim lim lim
1
+ +
= = = Do đó, vn nhỏ số dương bé tùy
ý kể từ số hạng trở (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ ≤vn vn (2)
Từ (1) (2) suy un nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghĩa
lim un =
Bài 1.2 Bằng định nghĩa tính giới hạn n
n n sin lim
3
π
+ −
HDGiải
Ta có
n n
n n
n n
3 sin 1 sin
lim lim
3
3
π π
+ −
= + −
Mặt khác, ta lại có nn n n
sin 1 1
3 3
π
≤ =
n n
1
lim lim
3
= =
nên n
1
3 nhỏ số dương bé
tùy ý kể từ số hạng trở
Từ suy nn
sin
π
nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở
Nghĩa nn
sin
lim
3
π
= Vậy
n n
n n
n n
3 sin 1 sin
lim lim 1
3
3
π π
+ −
= + − =
Bài 1.3 Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với n Chứng minh limun = +∞ HDGiải
Vì limn2 = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n2 lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở
Mặt khác, theo giả thiết un > n2với n, nên un lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng
(5)Bài 1.4 Biết dãy số (un) thỏa mãn un
n3
1
− < với n Chứng minh limun =1 HDGiải
Ta có
n3
1
lim =0 nên
n3
1
có thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt
khác, ta có un
n3 n3
1
1
− < = với mọi n
Từ suy un−1 nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩ lim(un – 1) = Do limun =
Bài 1.5 Cho dãy số (un) xác định un n n
2
2
+ =
+
a) Tìm số n cho un
100
− <
b) Chứng minh với mọi n > 2007 số hạng dãy số (un) đều nằm khoảng (1,998; 2,001)
HDGiải
a) Ta có un n
n n n
2 3
2
2 2
+ −
− = − = =
+ + + Khi un n
n
1
2 298
100 100
− < ⇔ < ⇔ >
+
b) Khi n n
n
3
2007 2009
2 2009
> ⇔ + > ⇔ <
+
n n n
u 3 u 1,998 u 2,001
2009 2009 2009
⇔ − < ⇔ − < < + ⇔ < <
Bài 1.6 Tính giới hạn sau
a) n
n
6
lim
3
−
+ b)
n n n
2
4
lim
− −
+ c)
n n n
2
3
lim
2
+ −
+ d)
n n
n
3
2
lim
1
− +
−
HDGiải
a)
1 1
6 6
6
lim lim lim
2
3 3 3
n n
n n
n
n
n n
−
−
− = = =
+
+ +
b) n n n n
n
n
2 2
2
2
1
4
4
lim lim
3
3 2
− −
− − = =
+ +
c) n n
n
2
3
lim
2
2 + − =+1 d)
n n n n
n
n
3 2 3
3
3
2
2
2
lim lim
1
1 4
− +
− + = = −
− −
Bài 1.7 Tính giới hạn sau:
a)
n n
n n 5.4 lim
4
+
+ b)
n n n n
( 2) lim
( 2)+ +
− +
− + c) n
n n
n
1 cos lim
3 + +
d)
n n ( 1) lim
2
−
+
HDGiải
a)
3 3
4 5
4 4
3 5.4
lim lim lim
4 2 1
1
2
n
n n
n n
n n n n
n
+ +
+ = = =
+
+
+
(6)b)
n n n n
( 2)
lim
3 ( 2) + +
− + =
− +
c) n nn n nn
n n
1 cos cos
lim lim lim
3
+ +
+ = + =
d)
n n
n
( 1)
lim lim lim
2
−
+ = + − =
Bài 1.8 Tính giới hạn
a) n n
n
2
3
lim
1
+ +
− b)
n n
n
2
( 1)(3 ) lim
1
+ −
+ c)
n n n
2
9
lim
4
− +
− d)
n n
n
2
4
lim
2
+ + +
HDGiải
a)
n n
n n n n n n
n n
n
2 2 2
2
2
1 1
3
3
lim lim lim
1
1 2 2
+ + + +
+ + = = =
− − −
b) n n n n n n n n
n n
n
2 2 3
3
3
8
4
( 1)(3 )
lim lim lim
1
1 1
− − +
+ − = − − + = =
+ + +
c)
n
n n n n
n n
2 2
1
3
9 9
lim lim
4 4
− +
− + = =
− −
d) n n n
n
n
2 2
1
4
4
lim lim
1
2 2
+ +
+ + = =
+ +
Bài 1.9 Tính giới hạn sau
a) lim( n2+ −n n2−1) b) lim( n2− −n n)
c) lim( n4+ + −n2 n2) d) limn( n2 − −1 n2+2)
HDGiải
( ) ( n n n )( n n n )
a n n n
n n n
2 2
2
2
1
)lim lim
1
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
n n n
n n n
n
n n
2
2
1
1
lim lim
2
1 1 1
+
+
= = =
+ + − + + −
b) ( ) ( )( )
n n n n n n n
n n n
n n n
n
n
2
2
2
1
lim lim lim
2
1
− − − + −
− − = = = −
− + − +
(7)c) ( n n n ) n n n n
n n n
n n
4 2
4 2
4 2
2
1
1
lim lim lim
2
1
1 1 1
+ + + −
+ + − = = =
+ + + + + +
( ) n( n n )( n n )
d n n n
n n
n
n
n n
2 2
2
2
2
1 2
)lim lim
1
3
lim
2
1
1
− − + − + +
− − + =
− + +
−
= = −
− + +
Bài 1.10 Tính giới hạn sau:
a) lim( n2+ + −n n+1) b)
n n
1 lim
3 + −2 +1
c) n n
n
2 1 1
lim
3
+ − +
+ d) n2 n n
1 lim
2
+ −
HDGiải
a) +∞ b) c)
3
d) n n n n
n n n
n n n
2
2
2
2
1
1
lim lim lim
2
2
+ +
+ +
= = =
+ −
+ −
Bài 1.11 Tính giới hạn sau
a) lim( n2+3n n− +2) b) lim(3n3−2n2 −n)
c) lim n( n− −1 n) d) n n
n n n
2
4
lim
2
+ − +
+ −
HDGiải
a) ( ) ( )( )
n n n n n n
n n n
n n n
2
2
2
3
lim lim
3
+ − + +
+ − + = +
+ +
n n
n n
3
lim lim
2
3 1 1
1
= + = + =
+ + + +
( ) ( )
( )
( )
n n n n n n n n n
b n n n
n n n n n n
2
3 3 3 2
3
2 3
3 2
3
2 2
)lim lim
2
− − − + − +
− − =
− + − +
n
n n n n n n n
n n n
2
3 3 2
3
4
2 2
lim lim
3
4
4 1 1 1
− −
= = = −
(8)c) n( n n) n n( n) n
n n
n
n
1 1
lim lim lim
2
1 1 1
− −
− − = = − = −
− +
− +
( )( )( )
( )( )( )
n n n n n n n
n n
d
n n n n n n n n n n n
2 2
2
2 2
4 (2 1) (2 1)
4
) lim lim
2 2 (2 1)
+ − − + + − + +
+ − + =
+ − + − + + + − −
( )
( )
n n n n n
n n n
n n
2
2
2
2 1
4 4
lim lim
4
1
2 (2 1) 4 2
+ +
+ +
= = = =
+ + − + + −
Bài 1.12 Tính giới hạn sau:
a) lim 3n4−10n+12 b) lim 2.3( n−5.4n) c) lim( n2− +n n) d) lim 2.3n − +n
HDGiải
a) +∞; b) −∞
c) ( n n n) n
n
2
lim − + =lim 1− + = +∞1
d) ( )
n n
n n
n
n
2.3
3
− + = − + với n Vì lim nn 0;lim 2n
3 = = nên
n n
n
lim 2
3
− + = > Ngoài ( )
n lim = +∞
Do lim 2.3n− + = +∞n
Bài 1.13 Tính giới hạn sau:
a) n
n
2
lim
1
−
+
b) n n n
2
lim(− + +1)
c) n n
n2 n
1 lim
1
+ + + +
+ + d)
n n2 n2 n2 n2
1
lim
1 1
−
+ + + +
+ + + +
HDGiải
a) n n n n n
n n
n n
3 2
2
2
1
1
2
lim lim lim
1
1
+ −
+ −
− = = = +∞
+ +
+
b) n n n n
n n
2
2
1
lim(− + + =1) lim(− ) 1 − + = −∞
c)
n n n
n n n
n n n n
n n
2
2
1
( 1) 1
1 2
lim lim lim
2
1 2 1 1
+ +
+ + + + = = =
+ + + + + +
(9)d) n n n n
n2 n2 n2 n2 n2 n2
1 1 ( 1) ( 1)
lim lim lim
2
1 1 1 2
− + + + + − −
+ + + + = = =
+ + + + + +
Bài 1.14 Tìm giới hạn sau
a) lim 3.2( n−5n+1+10) b)
n n
n n
1
2 3.5
lim
3.2 7.4
+ − +
+ c)
n n
n n
1
2 11
lim
3
+
+ +
− +
+ −
d)
n
n n
n
13.3 lim
3.2 5.4
−
+ e)
n n n
1
3 lim
5 + + +
+ f)
n
n
lim 3.4 − +2 HDGiải
a) ( )
n
n n n
n
1
lim 3.2 10 lim 5 10
5
+
− + = − +
Ta có lim 5n = +∞,
n
n
2
lim 10
5
− + = − <
Do lim 3.2( n−5n+1+10)= −∞
b)
n
n n n
n n n n
1
2
2
5
2 3.5
lim lim
3.2 7.4 2 4
3 7.2
5
+
− +
− + =
+
+
Ta có
n
n
2
lim 3
5
− + = − <
;
n n
2
lim 7.2
5
+ =
n n
n
2
3 7.2 0,
5
+ > ∀
Vậy
n n
n n
1
2 3.5
lim
3.2 7.4 + −
+ = −∞ +
c) Chia tử mẫu cho 3n, ta
n n
n n
1
2 11
lim
9
3
+
+ +
− + = −
+ −
d) Chia tử mẫu cho 4n, lưu ý nn
q
lim =0 q <1 Vậy
n
n n
n
13.3
lim
5 3.2 5.4
− = =
+
e) Xét
n n
n n
u
1
3
5 + +
+ =
+ , chia tử mẫu cho
n
,
n n n
1
3
lim
3
+ +
+ =
+
Vậy
n n n
1
3
lim
3
+ +
+ =
+
f) lim 3.4n n lim 2n nn 2n
4
− + = − +
Ta có lim 2n = +∞, lim nn 2n
4
− + = > Do lim 3.4n− + = +∞n
Bài 1.15 Tính giới hạn a)
n n
1 1
lim
1.2 2.3 3.4 ( 1)
+ + + +
+
b) n n
1 1
lim
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
+ + + +
− +
c) n n
n
2 2
4
2.1 3.2 ( 1)
lim + + + + d)
n3 n3 n3 n
1 1
lim
1
+ + +
+ + +
HDGiải
a) n
n n n n
1 1 1
lim lim lim 1
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1
+ + + + = = − =
+ + +
(10)b) Ta có
n n n n n
1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 3 2 2
+ + + + − + = − + − + + − − + = − +
Nên
n n
1 1 1
lim
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
+ + + + =
− +
c) n n n n
n n
2 2 3 3 2 2
4
2.1 3.2 ( 1)
lim + + + + =lim + + + + + + + +
n n n n n
n n n n
n
2
2
( 1) ( 1)(2 1) 1 2 3 1
2
lim lim
4
+ + +
+ + + +
= = + =
d) Vì
n3 k n3
1
1
≤
+ + với k
*
∈ℕ
Do n
n
n3 n3 n3 n n3
1 1
0
1
< + + + ≤ <
+ + + +
Mà
n
1
lim =0 nên suy
n3 n3 n3 n
1 1
lim
1
+ + + =
+ + +
Bài 1.16 Tìm giới hạn dãy số (un) sau, biết
a) un
n2 n2 n2 n
1
1
= + + +
+ + + b) un n
1
1
= + + +
c) un
n n n n
1 1
1
= + + +
+ + + d) n
n n
u
n
3sin cos
+ =
+
HDGiải
a) Ta có un n
n n n n n n n n n
*
2 2 2
1 1 1
,
1 1
+ + + ≤ ≤ + + + ∀ ∈
+ + + + + + ℕ
Do đó: n un n
n2+n ≤ ≤ n2+1 Mà
n n
n2 n n2
lim lim
1
= =
+ +
Vậy un
n2 n2 n2 n
1 1
lim lim
1
= + + + =
+ + +
b) Ta có un n n n
n n n n
*
1 1
,
≥ + + + = = ∀ ∈ℕ
Mà lim n= +∞ Vậy un
n
1 1
lim lim
1
= + + + = +∞
c) Ta có un n
n n n n n n n n n
*
1 1 ,
1 1
+ + + ≤ ≤ + + + ∀ ∈
+ + + + + + ℕ
Do n un n
n
n+ n ≤ ≤ +1 Mà
n n
n n n
lim lim
1
= =
+ +
Vậy un
n n n n
1 1
lim lim
1
= + + + =
+ + +
d) Ta có n n n
n n
*
3sin cos
,
1
+ ≤ ∀ ∈
+ + ℕ Mà n
5
lim
1=
+
Vậy un n n
n
3sin cos
lim lim
1
+
= =
(11)Bài 1.17 Tính tổng S 2 1
2
= − + − + −
HDGiải
Dãy số vô hạn 2, 2,1, 1, ,
2
− − cấp số nhân với công bội q
2 2
= − = −
Vì q 1
2
= − = < nên dãy số cấp số nhân lùi vơ hạn
Do S 2 1 2
1
2 1
2
= − + − + − = =
+ +
Bài 1.18 Tính tổng
n n
S 1 12 ( 1)1
10 10 10 −
−
= − + − + + +
HDGiải
Dãy số
n n
2
1 ( 1)
1, , , , ,
10 10 10 −
−
− − cấp số nhân với công bội q
10
= −
Vì q 1
10 10
= − = < nên dãy số cấp số nhân lùi vơ hạn
Do
n n
S 1 12 ( 1)1 10
10 10 10 1 11
10 −
− −
= − + − + + + = = −
− − Bài 1.19 Tìm tổng cấp số nhân 1 1, 2, 3, , 1n,
2 2
HDGiải
Dãy số 1 1, 2 , 3, , 1n ,
2 2 cấp số nhân lùi vô hạn với u1 q
1
,
2
= =
Do S 2 3 n
1
1 1 2
1
2 2 1
2
= + + + + + = =
−
Bài 1.20 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,777…dưới dạng phân số
HDGiải
Ta có 0,777 72 73
10 10 10
= + + +
Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 ,q
10 10
= =
Do đo 2 3
7
7 7 10
0,777
7
10 10 10 1
10
= + + + = =
−
Bài 1.21 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,313131…dưới dạng phân số
HDGiải
2
31 31 31 31 31
0,313131
1
100 100 100 100 100 100 1 99
100
= + + + = =
−
(12)và c = 2,131131131…( chu kì 131) Hãy viết a, b, c dạng phân số HDGiải
Ta có a 2 n
2
2 2 100 101
1,020202 1
1
100 100 100 1 99 99
100
= = + + + + + = + = + =
−
(vì , 2, 2n ,
100 100 100 cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q 100
= )
Ta có b 2 n
13
13 13 13 100 13 211
2,131313 2
1
100 100 100 1 99 99
100
= = + + + + + = + = + =
−
Ta có c 2 n
131
131 131 131 1000 131 2129
2,131131131 2
1
1000 1000 1000 1 999 999
1000
= = + + + + + = + = + =
− Bài 1.23
a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3, tổng ba số hạng 39 25
Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số
b) Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng cơng bội q
3
=
HDGiải
a) Gọi u1 q số hạng đầu công bội cấp số Theo đề bài, ta có
( )
u q
u q
q
1
5 (1)
1
1 39
(2)
1 25
=
−
−
=
−
Thay (1) vào (2), ta 5(1 3) 39
3 −q =25⇔ =q thay vào (1), ta u1=1
b)
n n
u
1
2
−
=
Bài 1.24 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng cấp số nhân 12, hiệu số hạng đầu số hạng thứ hai
4 số hạng đầu số dương HDGiải
Gọi u1 số hạng đầu, q công bội S tổng cấp số nhân cho
Khi S u q
1
1 =
− Theo giả thiết, ta có ( )
u q
u q
u
1 1
12 (1)
3
1 (2)
0
=
−
− =
>
Nhân (1) với (2), ta có u u q
u
2
1
9
3
4
=
⇔ = ⇒ =
>
Vậy u1 q
3 3;
4
(13)Bài 1.25 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết số hạng thứ hai 12
5
tổng cấp số nhân 15
HDGiải
Gọi u1 q số hạng đầu công bội cấp số Theo đề bài, ta có
u q
q u
u q
1
1
12
1
5 12 15
1
=
=
⇔
= =
−
q
u1
4
=
= Bài 1.26
a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10, tổng năm số hạng 155
16
Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số
b) Tính tổng S n13
3 −
= + + + + +
HDGiải
a) Gọi u1 q số hạng đầu cơng bội cấp số Theo đề bài, ta có
( )
u q
u q
q
1
10 (1)
1 155
(2)
1 16
=
−
−
=
−
Thay (1) vào (2), ta 10(1 q5) 155 q
16
− = ⇔ = thay vào (1), ta u1=5
b) Vì 9,3,1, , n13 ,
3 − cấp số nhân lùi vô hạn, có q
= u1=9 nên : n
S 13 27
1
3 1
3 −
= + + + + + = =
−
Bài 1.27 Giải phương trình x x xn
x
2
1
2
+ + + + + = , x <1
HDGiải
Vì x <1, nên với u1 =1,q=x Ta có S u x x xn x
q x
2
1
1
= = + + + + =
− −
Do đó: n
x
x x x
x x x S
x x x x x x
x
2
1
1 1 7 3
1 (1 ) 2
3
=
− +
+ + + + + = + ⇔ + = ⇔ = ⇒
− − =
Bài 1.28 Cho dãy số (un) xác định
n n
u
u u n
1
2
2 ;
+ =
= + ≥
Biết (un) có giới hạn n→ +∞, tìm
giới hạn
HDGiải
Đặt limun = a Ta có un un un un a a a a a
a
2
1
1
2 lim lim 2
2
+ +
= −
= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − − = ⇒
=
(14)Bài 1.29 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi n
n
u
u n
u
1
1
1 ; 1
2 +
=
= ≥
−
Dãy số (un) có giới hạn hay khơng n→ +∞ ? Nếu có, tìm giới hạn HDGiải
Ta có u1 1;u2 2;u3 3;u4
2
= = = = Từ ta dự đốn un n (1)
n
= +
Chứng minh dự đoán qui nạp:
- n = 1, ta có u1 1
1
= =
+ (đúng)
- Giả sử đẳng thức (1) với n = k (k≥1), nghĩa uk k k
=
+ Khi ta có
k
k
k u
k
u k
k
1
1 1
2 2
1 +
+
= = =
− − +
+
, nghĩa đẳng thức (1) với n = k +
- Vậy un n n
n
*
,
= ∀ ∈
+ ℕ Từ ta có n
n u
n
n
1
lim lim lim
1
1 1
= = =
+ +
Bài 1.30 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi
n n
u u
u n
1
2
;
2 + =
+
= ≥
Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn n→ +∞ Tìm giới hạn HDGiải
Ta có u1 2;u2 3;u3 5;u4 9;u5 17
2 16
= = = = = Từ dự đốn
n
*
n n
u ; n
1
2
2 −
−
+
= ∀ ∈ℕ
Chứng minh dự đoán qui nạp (tự chứng minh)
Từ đó,
n n
n
n n n
u u
1
1
2 1
lim lim lim lim
2
2
− −
−
+
= = = + = + =
Bài 1.31 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi n n
n
u
u
u n
u
1
1
2
;
2 +
=
+
= ≥
+
a) Chứng minh un > với n
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn
HDGiải
a) Chứng minh quy nạp: un > với n (1)
- Với n =1, ta có u1 = >
- Giả sử (1) với n = k (k≥1), nghĩa uk > 0, ta cần chứng minh (1) với n = k + Ta
có k k
k
u u
u
1
2
2 +
+ =
+ Vì uk > nên
k k
k
u u
u
1
2
0 +
+
= >
+
Vậy: un > với n
Đặt limun = a Ta có n n n n
n n
u u a
u u a a
u u a
1
2 3
lim lim
2 2
+ +
+ + +
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
+ + +
(15)Bài 1.32 Cho dãy số (un) xác định
n n
u
u u
1
5
6 + = −
= −
Gọi (vn) dãy số xác định bởi = un + 18 a) Chứng minh rằng (vn) một cấp số nhân lùi vô hạn b) Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn (vn) tìm limun
HDGiải a) Ta có vn 1 un 1 18 2un 18 2un 12
3
+ = + + = − + = +
Thay un = – 18 vào đẳng thức trên, ta được:
( )
n n n
v 1 v 18 12 2v
3
+ = − + =
Điều chứng tỏ, dãy số (vn) cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q
2
=
b) Gọi S tổng CSN lùi vơ hạn (vn) Khi đó S v q
1 13 39
2
1 1
3
= = =
− −
Vì limvn =0 nên limun = −18
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.33 Tính giới hạn sau
a)
n n ( 1) lim
2
−
+
+
b)
n n
sin3
lim
4
−
c)
n n
1 lim −
d)
n n
2 lim
1 +
+
Bài 1.34 Tìm limun với
a) un n n
n
2
3
2
− +
=
− b) n
n n u
n
2
2
3
− + +
=
+ c) n
n n u
n
2
2
− =
− d)
n
n n n
u
2.3
= +
Bài 1.35 Tính giới hạn sau:
a) n n n
n n
4
4
40 15
lim
100
− + −
+ + b)
n n n
n n n
3
5
2 35 10
lim
5
+ − +
− + c)
n n n
4
6
lim
2
+ +
+ d)
n n
n n
3.2 8.7 lim
4.3 5.7
−
+ e)
( )
( )
n n n
n n
1
1
2 3.2
lim
3
+ −
−
−
+ f)
( )
( )
n n n
n n
1
2 5.2
lim
3
− −
− +
Bài 1.36 Tính giới hạn sau
a)
n n
n ( 3) 2.5 lim
1
− +
− b)
n n2 n
1 lim
1
+ + + +
+ + c) ( n n n n )
2
lim +2 + −1 + −1
d)
n n
1 lim
2
+ − + e)
n n
n n
2 3
8
lim
4
+ +
+ +
−
+ f)
n n
n n
6 3
2
lim
4
+ +
+ +
− +
Bài 1.37. Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số
a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111…
d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38
a) Tìm tổng cấp số nhân
n
1 1
1, , , , , ,
2
−
− − −
(16)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Giới hạn hữu hạn
− Cho khoảng K, x0∈K hàm số f x( )xác định K (hoặc K\{ }x0 )
x x0 f x L lim ( )
→ =
với dãy số ( )xn bất kì, xn∈K\{ }x0 xn →x0 n nlim ( )→+∞ f x =L
− Cho hàm số f x( ) xác định khoảng ( )x b0;
x x
f x L
lim ( )
+
→ = với dãy số ( )xn bất kì, n
x0 <x <b xn →x0 n nlim ( )→+∞f x =L
− Cho hàm số f x( ) xác định khoảng ( )a x; 0
x x
f x L
lim ( )
−
→ = với dãy số ( )xn bất kì, n
a<x <x0 xn →x0 n nlim ( )→+∞f x =L
− Cho hàm số f x( ) xác định khoảng (a;+∞)
xlim ( )→+∞ f x =L với dãy số ( )xn bất kì, n
x >a xn → +∞ n nlim ( )→+∞f x =L
− Cho hàm số f x( ) xác định khoảng (−∞;a)
xlim ( )→−∞ f x =L với dãy số ( )xn bất kì, n
x <a xn → −∞ n nlim ( )→+∞f x =L Giới hạn vô cực
− Cho hàm số f x( ) xác định khoảng (−∞;a)
xlim ( )→+∞ f x = −∞ với dãy số ( )xn bất kì, xn >a xn → +∞ n
nlim ( )→+∞f x = −∞
− Cho khoảng K, x0∈K hàm số f x( )xác định K (hoặc K\{ }x0 )
x x0 f x lim ( )
→ = +∞
khi với dãy số ( )xn bất kì, xn∈K\{ }x0 xn →x0 n nlim ( )→+∞f x = +∞
−
xlim ( )→+∞f x = +∞ ⇔xlim→+∞−f x( )= −∞ Định lí vể giới hạn hữu hạn
Định lí
Giả sử
x x0 f x L lim ( )
→ = x x0g x M lim ( )
→ = Khi
a)
x x0 f x g x L M lim ( ) ( )
→ ± = ± b)
x x0 k f x k x x0 f x k L k lim ( ) lim ( ) ;( )
→ = → = ∈ℝ
c)
x x0 f x g x L M lim ( ) ( )
→ =
d) x x
x x
x x
f x
f x L
g x g x M
0
0 lim ( ) ( )
lim
( ) lim ( ) → →
→
= = (nếu
x x
M g x
0
0, lim ( ) →
≠ ≠ )
e) Nếu f x( ) 0≥
x x0 f x L lim ( )
→ = L≥0 x x0 f x L
lim ( )
→ =
Các tính chất x→ +∞ x→ −∞
Định lí (Định lí giới hạn bên)
xlim ( )→x0 f x =L x x0 f x x x0 f x L lim ( ) lim ( )
+ −
→ = → =
4 Các giới hạn đặc biệt
a)
(17)b)
x x0c c lim
→ = ; xlim→±∞c=c; x
c x
lim
→±∞ = (c số)
c) k
xlim→+∞x = +∞, với k nguyên dương
d) k
xlim→−∞x = −∞, k số lẻ;
k
xlim→−∞x = +∞, k số chẵn e)
x
x x
0
sin
lim
→ = ; x x
u x u x
u x
0
sin ( )
lim ( ) lim
( )
→ = ⇒ → =
f) x
x x
0
tan
lim
→ = ; xlim tanx
π
→+∞ = ; xlim tanx
π
→−∞ = −
5 Quy tắc giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn tíchƒ(x).g(x)
Nếu
x x0 f x L
lim ( )
→ = ≠ x x0g x lim ( )
→ = +∞ x x0g x
lim ( ) →
= −∞
thì x x0 f x g x lim ( ) ( )
→ tính:
xlim ( )→x0 f x xlim ( )→x0g x xlim ( ) ( )→x0 f x g x
L > +∞ +∞
−∞ −∞
L < +∞ −∞
−∞ +∞
b) Quy tắc tìm giới hạn thương f x
g x ( ) ( ) x x0 f x
lim ( )
→ xlim ( )→x0g x Dấu g(x)
x x f x g x
( ) lim
( ) →
L ±∞ Tùy ý
L >
0
+ +∞
− −∞
L <
+ −∞
− +∞
4 Khử dạng vơ định
Khi tính giới hạn mà áp dụng trực tiếp định lí giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định hàm số dạng áp dụng định lí
Dạng Tính
x x f x g x
( ) lim
( )
→ xlim ( ) lim ( ) 0→x0 f x =x→x0g x = (hay dạng 0)
- Phân tích tử mẫu thành tích nhân tử giản ước Cụ thể ta biến đổi sau:
x x x x x x
x x A x
f x A x
g x x x B x B x
0 0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
−
= =
− tính x x
A x B x
( ) lim
( ) →
- Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa biến dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp, trước phân tích chúng thành tích để giản ước
Dạng Tính
x x f x g x
( ) lim
( )
→ x x0 f x
lim ( )
→ = ±∞ x x0g x lim ( )
→ = ±∞ (hay dạng
∞ ∞)
- Ta chia tử mẫu cho xn với n số mũ bậc cao biến số x ( hay phân tích tử mẫu thành tích chứa nhân tử xn giản ước)
- Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa biến x dấu thức, đưa xk ngồi dấu (k là số mũ bậc cao x dấu căn), trước chia tử mẫu cho lũy thừa x
Dạng Tính
x x0 f x g x lim ( ) ( )
→ − x x0 f x x x0g x lim ( ) lim ( )
→ = → = +∞(hay dạng ∞ − ∞)
Tính
x x0 f x g x lim ( ) ( )
(18)- Nhân chia với biểu thức liên hợp( có biểu thức chứa biến dấu thức) quy đồng mẫu để đưa phân thức ( chứa nhiều phân thức)
B BÀI TẬP
Bài 2.1 Dùng định nghĩa, tìm giới hạn sau:
a) x
x x
2
4 lim
2 →−
−
+ b) x
x x x
2
2
lim
1 →
+ −
− c) x
x x
4
1 lim
3
→
+
− d) x
x x
2
2 lim
3 →+∞
− +
HDGiải a)
x
x x
2
4 lim
2 →−
−
+ Xét hàm số
x f x
x
2 4
( )
2
− =
+
Hàm số xác định ℝ\ 2{ }−
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 xn → −2 n→ +∞ ( hay limxn =−2 )
Ta có n n n
n n
n n
x x x
f x x
x x
2 4 ( 2)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 2)
2
− + −
= = = − = −
+ +
Vậy
x
x x
2
4
lim
2 →− +− = − b)
x
x x x
2
2
lim
1 →
+ −
− Xét hàm số
x x f x
x
2
2
( )
1
+ − =
−
Hàm số xác định ℝ\ 1{ }
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠1 xn →1 n→ +∞ ( hay lim xn = 1)
Ta có
n n
n n
n n
n n
x x
x x
f x x
x x
2
3
2( 1)
2 3
lim ( ) lim lim lim
1
− +
+ −
= = = + =
− −
Vậy
x
x x x
2
2
lim
1
→ + − =−
c) x
x x
4
1 lim
3
→
+
− Xét hàm số
x f x
x
1 ( )
3
+ =
−
Hàm số xác định ;2 2;
3
−∞ ∪ +∞
x
2
4 ;
3
= ∈ +∞
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn 2;
3
∈ +∞
xn →4 n→ +∞
Ta có n n
n
x f x
x
1 1
lim ( ) lim
3 3.4 2
+ +
= = =
− − Vậy x
x x
4
1
lim
3 2
→ + =− d)
x
x x
2
2 lim
3 →+∞
−
+ Xét hàm số
x f x
x
2
2 ( )
3
− =
+
Hàm số xác định ℝ
Giả sử (xn) dãy số xn → +∞ n→ +∞
Ta có n n
n
n
n
x x
f x
x
x
2
2
2
2 5
lim ( ) lim lim
3
3 1
− −
= = = −
+ + Vậy x
x x
2
2
lim
3 →+∞
− = −
+
(19)a) x
x x
5
3 lim
3 →
+
− b) x
x x
3
1 lim
1 →+∞
+
+ c) x
x x
x
2
3
lim
1 →−
− −
+
d)
x x
1 lim
5
→ − e) x x x
1 lim cos
→
HDGiải a)
x
x x
5
3 lim
3 →
+
− Xét hàm số
x f x
x
3 ( )
3
+ =
−
Hàm số xác định (−∞;3) (∪ 3;+∞) x= ∈ +∞5 (3; )
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn∈(3;+∞) xn →5 n→ +∞
Ta có n
n
n
x f x
x
3
lim ( ) lim
3
+ +
= = = −
− − Vậy x
x x
5
3
lim
3
→ −+ = − b)
x
x x
3
1 lim
1 →+∞
+
+ Xét hàm số
x f x
x
3
1 ( )
1
+ =
+ Hàm số xác định ℝ
Giả sử (xn) dãy số xn → +∞ n→ +∞
Ta có
n
n n
n
n
n
x
x x
f x
x
x
3
2
2
1
lim ( ) lim lim
1
1 1
+ +
= = = +∞
+ + Vậy x
x x
3
1 lim
1 →+∞ + = +∞+ c)
x
x x
x
2
3
lim
1 →−
− −
+ Xét hàm số
x x
f x
x
2 3 4
( )
1
− −
= +
Hàm số xác định ℝ\ 1{ }−
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 xn → −1 n→ +∞
Ta có n n n n ( n ) ( n )
n n
x x
x x
f x x
x x
2 3 4 ( 1)
lim ( ) lim lim lim
1
+ −
− −
= = = − = −
+ −
Vậy
x
x x
x
2
3
lim
1 →−
− − = −
+
d)
x x
1 lim
5
→ − Xét hàm số f x x
1 ( )
5
= −
Hàm số xác định (−∞;5)và x= ∈ −∞1 ( ;5)
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn∈ −∞( ;5) xn →1 n→ +∞
Ta có n
n
f x
x
1 1
lim ( ) lim
2
5
= = =
− − Vậy x x
1
lim
2
→ − =
e)
x x x
1 lim cos
→
Xét hàm số f x x x
1 ( )= cos
Với dãy (xn) mà xn ≠0 với n limxn =
Ta có n n
n
f x x x
1
( )= cos Vì n n n
n
f x x x
x
1
( ) = cos ≤ lim xn =0
Nên lim f x( )n = Do
x x x
lim cos
→
=
(20)a) x x x lim → + b) x x x x 2 lim → + −
− c) x
x x x x 2 lim →− − −
+ d) x
x x x x 2 lim →− − + +
HDGiải
a) ( )
( )
x x x x x x
x x
x x x x
x
x x x x
x x
x x x x x
2
2
3 3 3
3
3 3
3
lim lim lim lim lim lim1
1
lim lim
2 lim lim 2.lim lim lim
→ → → → → → → → → → → → → + + + + = + = = = = b) x x x x 2 lim → + −
− =x x x
x x x x
x
x x
2
1 1
2 ( 1)( 2)
lim lim lim( 2)
1
→ → →
+ − = − + = + =
− −
c)
x x x
x x x x x
x x x x x
2
3 2
1 1
2 ( 1)( 2)
lim lim lim
( 1) →− →− →− − − = + − = − = − + + d) x x x x x 2
2
lim
1
→− − + = = −+ −
Bài 2.4 Tính giới hạn sau:
a) x x x lim →− −
+ b) x
x x 2 lim →− −
+ c) x
x x 3 lim → + −
− d) x ( x )
2
lim
→− + −
HDGiải a) x x x x x x 2 3
1
lim lim
1
→− →−
− = − = − = −
+ + − +
b)
x x x
x x x
x
x x
2
2 2
4 (2 )(2 )
lim lim lim(2 )
2
→− →− →−
− = − + = − =
+ +
c) ( )( )
( )
x x
x x
x
x x x
6
3 3
3
lim lim
6 ( 6) 3 3
→ → + − + + + − = − − + + ( ) ( ) x x x
x x x
6
6 1
lim lim
6
( 6) 3 3
→ →
−
= = =
− + + + +
d) ( )
x x
2
lim 5
→− + − = + − =
Bài 2.5 Tính giới hạn sau: a) x x x x x 2 lim → + −
− − b) x
x x 2 lim → −
+ − c) x
x x x 3 lim → − − − d) x x x 2 15 lim ( 2) →− +
+ e) x
x x
3
(1 )
lim → + − f) x x x 2 lim →− + − +
HDGiải a)
x x x
x x x x x
x x
x x x
2
1 1
2 ( 1)( 3) ( 3)
lim lim lim
3
2 2( 1) 2
2 → → → + − = − + = + = − − − + +
b) ( )
( )( ) ( )
x x x
x x x x
x
x
x x x
2 2
(2 ) (2 )
2
lim lim lim
2
7 7
→ → → − + + − + + − = = − + − + − + + ( )
x x
lim
→ = − + + = − c) x x x x
2
lim
1
→
− − = − − =
(21)d) x x x 2 15 lim ( 2) →− +
+ Ta có x x
3
lim(2 15)
→− + = − < x x
2
lim( 2)
→− + = Nên x x x 2 15 lim ( 2) →− + = −∞ +
x x x
x
x x x x x x
x e
x x x
x x
2
3
0 0
2
(1 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(1 )
)lim lim lim
lim (1 ) (1 )
→ → → → + − + + + + + + + + + − = = = + + + + = f) ( )
x x x
x x x
x x x x
2
2 2 2
5 2
lim lim lim
2 ( 2) 5 3 5 3
→− →− →−
+ − = + − = − = −
+ + + + + +
Bài 2.6 Tính giới hạn sau:
a) x x x x x lim
(2 1)( 3)
→
−
− − b) x
x x x2
9 lim → −
− c) x
x x x 2 lim → + −
− d) x 0x x lim → −
HDGiải a) x x x x x 3 4 1 lim
(2 1)( 3) (2.1 1)(1 3) →
− = − =
− − − −
b) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
x x x x
x x
x x
x x2 x x x x x x x x
9 9
3
3 1
lim lim lim lim
54
9 9 3 9 3 3
→ → → → − + − = = − = − = − − − + − + + c) x x x x 4 2
3 3.2
lim
2 2.2
→
+ − = + − =
− −
d)
x 0x x lim → −
Với x≠0, ta có x x x
1
1 ( 1)
− = −
Nên
x 0x x x x
lim lim( 1)
→ →
− = − = −
Bài 2.7 Tính giới hạn sau: a)
x x
2
lim
→ − b) x
x x lim
→− − c) x
x x x
3
2 ( 1) lim → + − d) x x lim
→ − e) x
x x x x 2 lim →− − −
+ − f) x
x x
x
2
2
lim
2 →−
+ − −
+ HDGiải
a) x
x2
3
lim 4
→ − = − = b) x
x x 2 lim →− − = c) x x x x 3
2 ( 1)
lim
6
→ −+ = d) x x
2
lim
→ − = e) x x x x x 2 lim 3 →− − − =
+ − f) x
x x
x
2
2
lim 3 →− + − − = +
Bài 2.8 Tính giới hạn sau:
a) ( )
x x x x
3
lim
→−∞ − + − + b) x
x x
x x
3
2
lim
1 →+∞
+ −
(22)c) x
x x x
x
2 4 1
lim
2
→−∞
− − +
+ d) x ( x x x)
2
lim
→−∞ − +
HDGiải
a) ( )
x x x x x x x x x
3
2
1 1
lim lim
→−∞ →−∞
− + − + = − + − + = +∞
b)
x x
x x x x
x x
x x
3 2 3
3
3
3
2
2
lim lim
1
1 1
→+∞ →+∞
+ −
+ − = = −
− − + − − +
x x x
x x x x
x x x x x x x
c
x x x
2 2
1 1
1 4
4
) lim lim lim
2 3
→−∞ →−∞ →−∞
− − + − − + +
− − + = =
+ + +
x
x x
x
2
1
1
1 lim
3
2 →−∞
− − + +
= =
+
( ) ( )
x x x
x x x x
d x x x
x x x x x
x
2
2
2
4
) lim lim lim
1
4 4 2
→−∞ →−∞ →−∞
− − −
− + = =
− − − −
x
x
x x
x
1 lim
4
4
→−∞
−
= =
− − −
Bài 2.9 Tính giới hạn sau:
a) x
x x
2
lim →+∞
−
− b) x x2
17 lim
1
→+∞ + c) x
x x x
2
2
lim →+∞
− + −
+
d) x
x x
x
2
3
lim
1 →+∞
−
+ e) x
x x
x
2 1
lim
5 →+∞
+ +
− f) x
x x x
x
2 2 4
lim
3
→−∞
− + −
−
HDGiải
a)
x x
x x
x
x 2
lim lim
4
4 1
→+∞ →+∞
−
− = = −
− − b) x x2
17
lim
1 →+∞ + =
c)
x x
x x x x
x
x x
2 2
2
1
2
2
lim lim
3
3
→+∞ →+∞
− + −
− + − = = −∞
+ + d) x x
x x x
x
x
2
2
2
3
lim lim
1
1 1
→+∞ →+∞
−
− = =
+ +
e)
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x
2 2 2 2
1 1
1 1
1
lim lim lim lim
5
5 5 2
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ + + + + +
+ + = = = = −
− − − −
x x
x x x x x
f
x
x
2 2
2
1
2
) lim lim
1
3 3
→−∞ →−∞
− + +
− + − = − = −
(23)Bài 2.10 Cho hàm số f x x x x x
; ( )
1 ;
≥
=
− <
Dùng định nghĩa chứng minh hàm số f x( ) khơng có giới hạn x→0
Phương pháp: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y= f x( ) khơng có giới hạn x x
0
→ ta thường
làm sau
- Chọn hai dãy số khác (xn) (yn) thỏa mãn: xn yn thuộc tập xác định hàm số y= f x( )
và khác x0; xn →x y0; n →x0
- Chứng minh n n
nlim ( ) lim ( )→+∞f x ≠n→+∞f y chứng minh giới hạn không tồn
Lưu ý: Trường hợp x→x x0+; →x0− hay x→ ±∞ chứng minh tương tự
HDGiải
Hàm số xác định ℝ
Lấy dãy số (xn) với xn n
1
= Ta có xn →0 n n
n f x n x n n
1
lim ( ) lim lim (1)
→+∞ = →+∞ = →+∞ =
Lấy dãy số (yn) với yn n
1
= − Ta có yn →0 n n
n f y n y n n (2)
lim ( ) lim (1 ) lim 1
→+∞ →+∞ →+∞
= − = + =
Từ (1) (2) suy hàm số f(x) khơng có giới hạn x→0
Bài 2.11
a) Cho hai dãy số có dạng tổng quát un n3
1
= vn n
2
4
=
+ Tính limun limvn b) Dùng kết câu a), chứng minh hàm số f x
x
( ) sin= π khơng có giới hạn x→0
HDGiải
a) un vn n
n n
n
3
2
1
lim lim 0,lim lim lim (1)
1
4 4
= = = = =
+ +
b) Hàm số f x
x
( ) sin= π xác định ℝ\ 0{ } Ta có
n n
u v, thuộc ℝ\ 0{ }, với n và
n
f u n
n
3
lim ( ) lim sin sin
1
π π
= = = ,
n
n
f v n
n
(4 1)
lim ( ) lim sin lim sin lim sin
2 2
4
π + π π π
= = = + =
+
Vì limun = limvn = 0, lim ( ) lim ( )f un ≠ f vn nên hàm số f x
x
( ) sin= π khơng có giới hạn
x→0
Bài 2.12 Chứng minh hàm số y=sinx khơng có giới hạn x→ +∞
HDGiải
Xét hai dãy số (xn) với xn =2nπ (yn) với yn (n n *)
2
π π
= + ∈ℕ
Ta có limxn =lim 2nπ = +∞, yn n n
n
lim lim lim
2
π π π π
= + = + = +∞
(24)n
x n
lim sin =lim sin π =lim 0= , lim sinyn lim sin 2n lim1
2
π π
= + = =
Vì limxn =limyn = +∞ lim ( ) lim ( )f xn ≠ f yn nên hàm số f x( ) sin= x khơng có giới hạn
x→0
Bài 2.13 Chứng minh hàm số y
x
1 cos
= khơng có giới hạn x→0
HDGiải
Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát xn n
1 π
= yn n
1 (2 1)π =
+
Làm tương tự 2.12
Bài 2.14 Cho hàm số f x x x x x
1;
( )
2 ;
+ ≥
=
<
dãy số (un) với un n
1
= (vn) với vn n
1
= − Tính
n n n n
u v f u f v
lim ;lim ;lim ( );lim ( )
HDGiải
Ta có un vn
n n
1
lim =lim =0,lim =lim− =0 Do ∀ ∈n ℕ*,
n
u n
1
= > vn n
1
= − < Nên f un n
1
( )= +1 f vn n
2 ( )= −
Từ f un f vn
n n
1
lim ( ) lim= + =1 1;lim ( ) lim= − =0
Vì limun =limvn =0 lim ( ) lim ( )f un ≠ f vn nên hàm số y= f x( ) khơng có giới hạn x→0
Bài 2.15 Cho hàm số f x x x x2 x
5 2;
( )
3;
+ ≥
=
− <
Tìm x x x
f x f x f x
1
1
lim ( ), lim ( ),lim ( )
− + →
→ →
HDGiải
Ta có
x f x x x
2
1
lim ( ) lim( 3)
− −
→ = → − = − ; x f x x x
lim ( ) lim(5 2)
+ +
→ = → + =
Vì
x f x x f x lim ( ) lim ( )
− +
→ ≠ → nên lim ( )x→1 f x không tồn Bài 2.16 Cho hàm số f x x x x
x x
2 2 3; 2
( )
4 3;
− + ≤
=
− >
Tìm x f x x f x x f x
lim ( ), lim ( ),lim ( )
− + →
→ →
HDGiải
Ta có
x f x x x x
2
2
lim ( ) lim( 3)
− −
→ = → − + = ; xlim ( ) lim(4→2+ f x =x→2+ x− =3)
Vì
xlim ( ) lim ( )→2− f x ≠x→2+ f x nên lim ( )x→2 f x không tồn
Bài 2.17 Cho hàm số
x x
f x x x ; x
2
9 ; 3
( ) 1;
9
− − ≤ <
= =
− >
Tìm
x x
f x f x
3
lim ( ), lim ( )
− +
→ → lim ( )x→3 f x (nếu có) HDGiải
Ta có
x x
f x x2
3
lim ( ) lim
− −
→ = → − = ; x x
f x x2
3
lim ( ) lim
+ +
→ = → − =
Do
x f x lim ( )
(25)Bài 2.18 Cho hàm số f x x x x mx x
3
1
;
( ) 1
2; − > = − − + ≤
Với giá trị m hàm số f x( )có giới hạn x→1? Tìm giới hạn
HDGiải
Ta có
x x x
x x
x x f x
x x x x x
x x x
x x x x x
2
3
1 1
2
1
1
lim ( ) lim lim
1 ( 1)( 1)
( 1)( 2) ( 2)
lim lim
( 1)( 1) ( 1)
+ + + + + → → → → → + − = − = − − − + + − + + = = = − + + + +
x f x x mx m
lim ( ) lim( 2)
− −
→ = → + = +
f x( )có giới hạn x→ ⇔1 m + = ⇔m = Khi
x f x lim ( )
→ =
Bài 2.19 Tính giới hạn sau: a) x x x lim − → −
− b) x
x x lim + → −
− c) x
x x lim − → − − d) x x x lim + → −
− e) x ( x x )
3
lim
→−∞ − + f) x x x
4
lim 12
→+∞ − +
HDGiải
a) Ta có
x
x
1
lim( 1)
−
→ − = , x – < với x x
x
1
lim(2 3)
−
→ − = − < Vậy x
x x lim − → −− = +∞
b) Ta có
x x
lim( 1)
+
→ − = , x– > với x lim(2x→1+ x− = − <3) Vậy x
x x lim − → −− = −∞
c) Ta có
x
x
1
lim( 1)
−
→ − = , x – < với x và x
x
1
lim(2 7)
−
→ − = − < Vậy x
x x lim − → −− = +∞
d) Ta có
x x
lim( 1)
+
→ − = , x – > với x lim(2x→1+ x− = − <7) Vậy x
x x lim + → −− = −∞
e) ( )
x x x x x x x
3
2
5
lim lim
→−∞ →−∞
− + = − +
Ta có x x x x x
3
2
5
lim ; lim 2
→−∞ →−∞
= −∞ − + = >
Vậy ( )
x x x
3
lim
→−∞ − + = −∞
f)
x x x x x x x
4
2
3 12
lim 12 lim
→+∞ − + = →+∞ − + = +∞
Bài 2.20 Tìm giới hạn sau:
a) x x x x x lim + → +
− b) x
x x 2 lim − → −
− c) x
x x x x ( 1) lim + → − + +
+ d) x
x x x 2 12 lim − → − + −
HDGiải
a) Với x > 0, ta có ( )
( )
x x
x x x
x x x x x
2 2 1 + + = = +
− − − Do x x
x x x
x x x
0
2 2
lim lim
1 + + → → + = + = = − − − −
b) Với x < 2, ta có
x x x
x x x
x x
x x
2
2 2
4 (2 )(2 )
lim lim lim( 2)
2
− − −
→ → →
− = − + = + − =
(26)c) Với x > -1, ta có
x x x
x x x x x x
x x x x x 2
( 1) ( 1) ( 1)
3 ( 1)( 2) 1( 2)
lim lim lim
1 + + + → − → − → − + + = + + = + + = + +
d) Với – < x < 3, ta có
x x x
x x
x x x
x x x
x
2
3 3
(3 )(4 )
7 12
lim lim lim
6
(3 )(3 )
9 − − − → → → − − − + = = − = − + + − Bài 2.21 Tìm giới hạn sau:
a) x
x x x
x 2 lim + → + − b) x x x x 1 lim
2 1
−
→
−
− + − c) x
x x3 3 lim 27 − → −
− d) x
x x x 2 lim + → − −
HDGiải a)
( )
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
2 2
2 2 2 2
0 0
1
lim lim lim
+ + + → → → + − = + − = = +∞ + + + + b) ( )
x x x
x x
x x x x x
1 1
1 1
lim lim lim
2
2 1 2
− − −
→ → →
− = − = =
− + − − + − + −
c)
x x x
x x x
x3 x x x2 x x2
3 3
3 3
lim lim lim
27 (3 )(9 )
− − −
→ → →
− = − = − =
− − + + + +
d)
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
2
3
2
2 2
( 2)( 4)
8
lim lim lim
( 2)
2 + + + → → → − + + − = = + + = +∞ − − −
Bài 2.22 Tìm giới hạn sau: a) x x x x x 2
2
lim
2 →−
+ +
− + b) x
x x x 5 lim →−∞ − +
− c) x
x x x ( 3) lim − → − + + + d) x x x ( 2)
8 2 lim
2
+
→ −
+ −
+ e) x
x x x 2 lim ( 2) → + −
− f) x ( x x x )
2
lim
→−∞ + − +
HDGiải a) x x x x x 3 2
2 27
lim 2 →− + + = = − + b)
x x x
x x
x x x x x x
x
x x
x x
2 2 2
1 5
1
5
lim lim lim
2 2 2
→−∞ →−∞ →−∞ − + − − + − + = = = − − − − c) x x x x ( 3) lim − → − +
+ + Với x< −3, ta có
x x
x x
x x
4
2
1 1.
1 + = + + + + + Vì x x x ( 3)
lim 41
1
−
→ − ++ = − < x ( 3) x
1 lim
3
−
→ − + = −∞ nên x
x x x ( 3) lim − → − + = +∞ + + ( ) x x x x d
x x x
( 2) ( 2)
8 2
) lim lim
2 2
+ + → − → − + − = + − + + + + ( ) x x x x x x x
( 2) ( 2)
2( 2) 2
lim lim
8 2
2 2
+ + → − → − + + = = = + + + + + e) x x x x 2 lim ( 2) → + −
− Vì x x
3 lim
( 2)
→ − = +∞ x
x x
2
4
lim
4
→ −+ = > Nên x
(27)( )
x x x
x x
f x x x
x x x
x x
x x
2
2
4
) lim lim lim
1
4 1 1
→−∞ →−∞ →−∞ − − + − + = = + + + + + + x x x x 1 lim 1 →−∞ − = = − − + − +
Bài 2.23 Tìm giới hạn sau: a) x x x 2 1 lim 16 → + −
− + b) x
x x x lim → −
− c) x
x x
x x
4
2
2
lim →+∞ + − − + d) x
x x x
x lim →−∞ + − +
− e) x x( x x)
2
lim
→+∞ + − f) x x2 x
1 lim + → − − −
HDGiải
a) ( )
( )
x x x
x x
x x
x x x x
2
2
0 2 2
4 16
1 16
lim lim lim
4 16 1 1
→ → →
+ +
+ − = = − + + = −
− + − + + + +
b) ( )
x x x
x x
x x
x
x x
1 1
1
lim lim lim
1 → → → − − = = = − − c) x x
x x x x
x x
x x
4 3 4
2
4
5
2
2
lim lim
1 1 1 →+∞ →+∞ + − + − = = − + − + d) x x
x x x x x
x
x
2 12
4 1
lim lim
1
1 2
→−∞ →−∞
− − +
+ − + = =
− −
e) ( ) ( )
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x x 2 2 2
1 1 1
lim lim lim lim
2
1
1 1 1 1
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ −
+ − = = = =
+ + + + + +
f)
x x x
x x
x
x2 x2 x2
2 2
1 1 ( 2)
lim lim lim
2
4 4
+ + + → → → − + − − − = = = −∞ − − − −
Bài 2.24 Tính giới hạn sau: a) x x x 2 lim →− −
+ b) x
x x x2 lim → − −
− c) x
x x x 2 lim + → − + −
d) n
x
n
x x x
x lim − → + + + − −
e) x
x x lim →+∞ −
+ f) x
x x x lim →−∞ + − −
HDGiải a) x x x 2 lim →− − = + b) ( )( ) x x
x x x x
x x x x
2
2 2
3
lim lim
4 4 3 2
→ →
− − = − +
(28)( ) ( )
x x
x x x
x x x x x x x
2
( 1)( 2) 1
lim lim
16
( 2)( 2) ( 2)
→ → − − − = = = − + + − + + − c) x x x x 2 lim + → − + = −∞
− ( Vì x
+
→ ( )
x x
lim
+
→ − = x− >2 x x
2−3 + → −1 1
)
d) n
x
n
x x x
x lim − → + + + − −
Khi x
−
→ x <1 nên theo tổng cấp số nhân lùi vô hạn, ta
có:x x xn x
x
2
1
+ + + =
− Do x x
x n x n
x x x
1
lim lim
1 1
− − → → − − = = −∞ − − − e) x x x x x x 2
lim lim
3 1 →+∞ →+∞ − − = = + + f) x x
x x x
x
x
2 2
1
1
4 1
lim lim
2
2 3
→−∞ →−∞
− −
+ − =
− −
Bài 2.25 Tính giới hạn sau: a) x x x x 10 lim →− + +
+ b) x
x x x 2 11 30 lim 25 →− + +
− c) x ( )
x x x
x 2 lim →−∞ + + − + d) x x x x x 40 lim
2 21
→+∞
+ −
+ + e) x
x x
x
4
2
lim
2
→−∞
+ +
+ f) x
x x
x3 x2
1 lim (2 1)
2 →+∞
+ +
+
g) ( )
x x x
2
lim 5
→+∞ + − h) x
x2 x x
1 lim
1
→+∞ + + −
HDGiải
a) 2; b)
10; c) 1; d)
e)
x x x
x
x x
x x x x
x
x x
2
4 2
3
1 2 4 3 2 4
2
lim lim lim
1
2 2 2
→−∞ →−∞ →−∞
− + +
+ +
+ + = = = −∞
+ + +
x x x x
x x x x x
f x
x x
x x x x x
2
3 2
1 (2 1) ( 1) (2 1)( 1) 1
) lim (2 1) lim lim lim 2
2 (2 1)
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ + + + +
+ = = = + + =
+ +
g) ( )
x x x x
x x
2
2
1
lim 5 lim
5
→+∞ + − = →+∞ + + =
h)
x x x
x x x x x
x
x x x
x 2 1 1 1
lim lim lim
1 1 1 →+∞ →+∞ →+∞ + + + + + + = = = + + + − +
Bài 2.26 Tìm giới hạn hàm số sau: a) x x x 2 lim → −
− + b) x
x x
1
2 lim
3 →
+ −
+ − c) x
(29)d) x x x x 1 lim + → + − −
− e) x
x x x 1 lim → − − − f) x
x x x
x x
2
3
lim → − − − − − + g) x x x x x 3 lim − → − +
− + h) x x2 x x3
1 lim → − + − −
k) x
x x
x
5
4
lim
5 →
− − + +
−
HDGiải
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
x x x x
x x x x
x
a x
x
x x x
2 2
2 7
2
)lim lim lim lim
2
3 7
→ → → → − + + − + + − = = = − + + = − − − + − + + + ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) (( )) x x x x
x x x
x b
x x x x
x x x
x x x
1
1
2 7 3
2
)lim lim
3 2 3
2( 1) 2 4 4
lim lim
6
( 1) 7
→ → → → + − + + + + + − = + − + + + − + + − + + + + = = = = − + + + + ( )( ) ( )( ) x x
x x x
x c
x x x x
3
2
2
1 3 3
1
1
)lim lim
1 1
→ → − + + − = − − + + ( ) ( ) x x
x x x x
x x x
x
3 3
3 3
1
( 1)( 1)
lim lim( 1)
1 → → − + + + = = + + + = − ( )( ) ( ) ( )
x x x
x x
x x
x x x x
d x
x x x x x
x x x
x x
x x
x x
2
1 1
1
1
1 1
) lim lim lim
1 1 1
1 ( 1)
lim lim
( 1)
1 + + + + + → → → → → − + + − − = − + − = + + − − − − + − − − = + + = + + − + − + x x x x 1
lim
1 + → − = + + = +
( x→1+ ⇒x− >1 0)
( )( )
( ) ( ( )( ) )
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x
x x
x x
x x x x
e
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
3
0 0
3
3 3
0 3
0 3
0 3
1 1 1
)lim lim lim
1 (1 ) 1
1 1
lim lim
1 (1 ) 1
lim lim
1 (1 ) 1
1 1
lim lim
6
1 (1 ) 1
→ → → → → → → → → − − − = − − − − − − − − + − + − − − + = − − + − + − + − = − − + − + − + − = − = − − + − + − + ( )( ) ( )( ) x x
x x x x x x
x x x
f
x x x x x x x
2
2
1 2
(3 2) (3 2)
(3 2)
)lim lim
3 3 2 (3 2) 4 2
→ →
− − − − − + − −
− − − − =
(30)( )( ) ( )
x x
x x x x
x x x x x x x x x x
2
1 2
5 11 ( 1)(5 6)
lim lim
3 (3 2) ( 1)( 2) (3 2)
→ →
− + − +
= =
− + − + − − − − − + − −
( )
x
x
x x x x
1
5
lim
2
( 2) (3 2)
→
+
= =
− − + − −
x x x x
x x
x x x x
x x
g
x x x x x x
x x
2
2
1 1
1 ( 2)
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
3 3
) lim lim lim lim
( 1)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 4) 3
5
− − − −
→ → → →
− −
− + − +
− + = = = − = − =
− − − − − − −
− +
x x
h
x x
x2 x x3 x x2 x
1
1 1
)lim lim
( 1)( 2)
2 ( 1)( 1)
→ →
− = −
− +
+ − − − + +
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x
2
2 2
1 1
1 ( 2) ( 1)( 1) ( 1)
lim lim lim
9
( 1)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1)
→ → →
+ + − − − + +
= = = =
− + + + − + + + + + +
( ) ( )
( )( ) ( )( )
x x
x
x x
x x
x x
k
x x
x x x x
x x x
x x
x x x x x
5
5
5
4
4
)lim lim
5
4 4
1 lim
5 4 1 4 3
1 5 1
lim lim
5 4 1 4 3 4 1 4 3
→ →
→
→ →
− − − + −
− − + + =
− −
− − − + + − + +
= −
− − + + +
− −
= − = − =
− − + + + − + + +
Bài 2.27 Tìm giới hạn sau: a)
x x2 x x2 x
1
lim
3
→
+
− + − +
b) x
x x x
x x x
2
2
lim
4
→+∞
+ − + +
+ − + −
c)
xlim→+∞ x x x
+ −
d) x ( x x x x )
2
lim
→+∞ − − − − +
e) x
x x
x x x
2
3
lim
4
→
− +
− + + f) x
x x x
x x
3
4
lim
3 →+∞
− + +
− +
HDGiải
x x
x x
x x
a
x x x x x x x
x
x x
x x x
2
2 2
2
2
2
1 8
)lim lim
3 ( 2) ( 1)( 3)
2( 2) 2
lim lim
( 1)( 3)
( 2) ( 1)( 3)
→ →
→ →
− +
+ =
− + − + − − −
−
= = = = −
− − −
− − −
x x
x x
x x x x x
b
x x x
x x
x x
2 2
2
2
2
1
2
) lim lim
4
4 1 2 5
→+∞ →+∞
+ − + +
+ − + + =
+ − + − + − + −
x x
x
x x x x x x
x
x x x
x x x
2 2
2
2 2 4 1
1 1 3
4
lim lim
3
4
4 1 2
1
→+∞ →+∞
+ − + +
+ − + +
= = =
+ − + −
+ − + −
(31)Lưu ý:
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
2
2
2
1
2
lim lim
4 5
1
→−∞ →−∞
− + − − −
+ − + + = =
+ − + − − + − − +
x x
x x x x x x
c x x x
x x x
) lim lim
→+∞ →+∞
+ − + +
+ − =
+ +
x x
x
x x x
x
1
lim lim
2
1
→+∞ →+∞
= = =
+ + + +
( )
( )( )
x
x
d x x x x
x x x x x x x x
x x x x
2
2 2
2
) lim
2 7
lim
2
→+∞
→+∞
− − − − +
− − − − + − − + − +
=
− − + − +
x x
x
x x
x
x x x x
x x2 x x2 2
4 4
5 5
5
lim lim
2
2
2 1 1
1
→+∞ →+∞
−
−
= = =
− − + − + − − + − +
Lưu ý:
( )
x x
x
x x x x
x x x x
2
2
4
5 5
lim lim
2
2
1
→−∞ →−∞
−
− − − − + = = −
− − − + − +
x x x
x x x x x
e
x x x x x x x x
2
3 2
1 1
3 ( 1)( 2)
)lim lim lim
3
4 ( 1)( 1)
→ → →
− + = − − = − =
− + + − − − − −
x x
x x x x x x
f
x x
x
x x
3 2 3
4
3
1
1
4
) lim lim
3 1
→+∞ →+∞
− + +
− + + = =
− + − +
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.28 Tìm giới hạn sau: a)
( )
x x
x
3
1 1
lim
3 3
→
−
− b) x ( )
x
x x
4 2
4
lim
2
+
→ −
−
+ −
c) x
x x x
x x
3 2
10 lim
3
→−
− − +
+ + d) x ( x x x x )
2
lim
→−∞ − − − − +
Bài 2.29 Tìm giới hạn sau: a)
x
x x
x
0
9 16
lim →
+ + + −
b)
x
x x
x
2
1
7
lim
1 →
+ − −
(32)c) ( )
x x x
3
lim 1
→+∞ − − + d) x ( x x x x )
2
lim
→±∞ + + − + +
Bài 2.30 Cho hàm số
x
neáu x f x x
mx neáu x
3 1
1
( ) 1
2
−
<
= −
+ ≥
Với giá trị của m hàm số f x( ) có giới hạn
x→1?
Bài 2.31 Cho hàm số f x x x
5 ( )
5
− =
− Tìm giới hạn sau: xlim ( ), lim ( )→5+ f x x→5− f x lim ( )x→5 f x (nếu có)
Bài 2.32 Cho hàm số
2
2 x -1 neáu x f x
2x neáu x
2 ( )
1
≤ −
=
+ >
Tìm giới hạn sau: x→ −lim( 2)+ f x( ), limx→ −( 2)− f x( )và
x f x lim ( )
→ (nếu có)
Bài 2.33 Tìm giới hạn sau:
a) ( )( )
x
x x
x x
2
1 lim
1 →−
+ −
+ + b) x ( )
x x
x x x
2
3 2
11
9 22
lim
( 11) 16
→
− −
− − + c) x ( x x x x)
2
lim
→−∞ + − −
d)
x ( 4) x2 x x
2
lim
4
3
−
→ −
−
+
+ −
e) x
x x x
x x
2
2
lim →−
+ + − −
+ f) x
x x
x
2
7 18
lim
3 2
→
+ −
− −
g) x
x x x
x x
3
3
lim
6 →
+ − −
− − h) x
x x x
x x x
2 2
2
lim
3
→
+ − + −
+ − − k) x
x x
3
10
lim
2 →
(33)§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Hàm số liên tục
Cho hàm số y= f x( )xác định khoảng K x0∈K Hàm sốy= f x( ) liên tục x0
x x0 f x f x0 lim ( ) ( )
→ =
Hàm số y= f x( )không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm
y= f x( ) liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng
y= f x( )liên tục đoạn a b; liên tục khoảng ( )a b;
x a x b
f x f a f x f b
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
+ −
→ = → =
Đồ thị hàm số liên tục khoảng biểu thị “đường liền” khoảng
2 Các định lí Định lí
a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ
b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng
Định lí
Giả sử y= f x( ) y=g x( ) hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số f x( )+g x f x( ), ( )−g x( ) f x g x( ) ( ) liên tục điểm x0
b) Hàm số f x
g x ( )
( ) liên tục x0, g x( ) 00 ≠
Định lí
Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b; f a f b( ) ( ) 0< tồn điểm
c∈( ; )a b cho f c( ) 0=
Mệnh đề tương đương
Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b; f a f b( ) ( ) 0< Khi phương trình f x( ) 0=
có nghiệm khoảng (a; b)
B BÀI TẬP
Bài 3.1 Xét tính liên tục hàm số f x x x
( )
2
=
− x0 =
HDGiải
Hàm số y= f x( )xác định ℝ\ 2{ }, xác định khoảng (2;+∞) chứa x0 =
x x
x
f x f
x
3
lim ( ) lim (3)
2
→ = → − = = Vậy hàm số y= f x( ) liên tục x0 =
Bài 3.2 Cho hàm số
x x
x
f x x
x
2
2 1
( ) 1
5
−
≠
= −
=
Xét tính liên tục hàm số tập xác định
HDGiải
Tập xác định hàm số ℝ
Nếu x≠1thì f x x x
x
2
2
( )
1
− =
−
(34)Vậy liên tục khoảng (−∞;1)và (1;+∞) Nếu x = 1, ta có f(1) =
x x x
x x x x
f x f
x x
2
1 1
2 2 ( 1)
lim ( ) lim lim (1)
1
→ → →
− −
= = = ≠
− −
Vì
x f x f lim ( ) (1)
→ ≠ , nên hàm số không liên tục x =
Vậy hàm số cho liên tục khoảng (−∞;1),(1;+∞)và gián đoạn x =
Bài 3.3 Cho hàm số
x x
x
f x x
x
2 2 3
3
( ) 3
5
− −
≠
= −
=
Xét tính liên tục hàm số tập xác định
nó
HDGiải
Tập xác định hàm số ℝ
Nếu x≠3thì f x x x
x
2 2 3
( )
3
− −
=
−
Đây hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định (−∞ ∪ +∞;3) (3; ) Vậy liên tục khoảng (−∞;3)và (3;+∞)
Nếu x = 3, ta có f(3) =
x x x
x x x x
f x f
x x
2
3 3
2 ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim (3)
3
→ → →
− − + −
= = = ≠
− −
Vì
x f x f lim ( ) (3)
→ ≠ , nên hàm số không liên tục x =
Vậy hàm số cho liên tục khoảng (−∞;3),(3;+∞)và gián đoạn x =
Bài 3.4 Xét tính liên tục hàm số f x( )= 1−x2 đoạn −1;1 HDGiải
Hàm số cho xác định đoạn −1;1 Với x0∈ −( 1;1), ta có
x x0 f x x x0 x x f x
2
0
lim ( ) lim 1 ( )
→ = → − = − = , nên hàm số liên tục khoảng ( )−1;1
Ngồi ra, ta có
x f x x x f
2 ( 1) ( 1)
lim ( ) lim ( 1)
+ +
→ − = → − − = = − x f x x x f
2 ( 1) ( 1)
lim ( ) lim (1)
− −
→ − = → − − = =
Do f x( ) liên tục đoạn −1;1
Bài 3.5 Chứngminh hàm số f x( )= x+1 liên tục nửa khoảng [ 1;− +∞)
HDGiải
Hàm số f x( ) liên tục nửa khoảng [ 1;− +∞)nếu liên tục khoảng ( 1;− +∞)
x→ −lim( 1)+ f x( )= −f( 1) Vì với x0∈ − +∞( 1; ), ta có
x x0 f x x x0 x x0 f x0
lim ( ) lim 1 ( )
→ = → + = + = , nên hàm số liên tục khoảng ( 1;− +∞)
Ngồi ra, ta có
x→ −lim( 1)+ f x( )=x→ −lim( 1)+ x+ = = −1 f( 1)
Do hàm số f x( )liên tục nửa khoảng [ 1;− +∞)
Bài 3.6 Cho hàm số
x
neáu x f x x
neáu x
3 8
2
( ) 2
5
−
≠
= −
=
Xét tính liên tục hàm số tập xác định
HDGiải
Tập xác định hàm số ℝ Nếu x≠2thì f x x
x
3 8
( )
2
− =
(35)Đây hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định (−∞;2) (2;∪ +∞) Vậy liên tục khoảng (−∞;2)và (2;+∞)
Nếu x = 2, ta có f(2) =
x x x
x x x x
f x f
x x
2
2 2
8 ( 2)( 4)
lim ( ) lim lim 12 (2)
2
→ → →
− − + +
= = = ≠
− −
Vì
x f x f lim ( ) (2)
→ ≠ , nên hàm số không liên tục x =
Vậy hàm số cho liên tục khoảng (−∞;2),(2;+∞)và gián đoạn tại x =
Bài 3.7 Xét tính liên tục hàm số
x x
neáu x
f x x
x neáu x
2 2
2
( ) 2
5
− −
>
= −
− ≤
x =
HDGiải
Hàm số
x x
x
f x x
x x
2 2
2
( ) 2
5
− −
>
= −
− ≤
có tập xác định ℝ
Ta có f(2)= (1)
x x x
x x x x
f x
x x
2
2 2
2 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim
2
+ + +
→ → →
− − − +
= = =
− − (2)
x x
f x x
2
lim ( ) lim(5 )
− −
→ = → − = (3)
Từ (1), (2) (3) suy
x f x f lim ( ) (2)
→ = = Vậy f x( ) liên tục x =
Bài 3.8 Xét tính liên tục hàm số
x
neáu x
f x x
x neáu x
1 1
( ) 2 1
2
−
<
= − −
− ≥
x =
HDGiải
Hàm số
x
neáu x
f x x
x neáu x
1 1
( ) 2 1
2
−
<
= − −
− ≥
có tập xác định ℝ
Ta có f(1)= −2 (1)
( )
x x x
x x
x f x
x x
1 1
( 1)
1
lim ( ) lim lim
1
2
− − −
→ → →
− − +
−
= = = −
−
− − (2)
x x
f x x
1
lim ( ) lim( )
+ +
→ = → − = − (3)
Từ (1), (2) (3) suy
x f x f lim ( ) (1)
→ = − = Vậy f x( ) liên tục x = Bài 3.9.Cho hàm số
2
5
1
( ) 1
1
x x
neáu x
f x x
neáu x
+ +
≠ −
= +
= −
Xét tính liên tục hàm số tập xác định
của nó
HDGiải
Tập xác định hàm số ℝ
Nếu x≠ −1thì f x x x
x
2
5
( )
1
+ +
=
+
(36)Nếu x= −1, ta có f( 1)− =
x x x
x x x x
f x
x x x x
2
3
1 1
5 ( 1)( 4)
lim ( ) lim lim
1 ( 1)( 1)
→− →− →−
+ + + +
= = =
+ + − +
Vì
x 1f x f lim ( ) ( 1)
→− = − , nên hàm số liên tục tạix= −1
Vậy hàm số cho liên tục ℝ
Bài 3.10 Chứng minh phương trình x3+2x− =5 có nghiệm
HDGiải
Xét hàm số f x( )=x3+2x−5
Ta có f(0)= −5 f(2) 7= Do f(0) (2) 0f <
y= f x( ) làm hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục đoạn [0; 2] Từ suy phương trình f x( ) 0= có nghiệm x0∈(0;2)
Bài 3.11.Chứng minh phương trình:
a) 2x3 – 6x + = có hai nghiệm
b) cosx = x có nghiệm
HDGiải
a) Xét hàm số f x( )= 2x3 – 6x + Hàm số hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục
các đoạn [0; 1] [1; 2] (1)
Mặt khác, ta có
f(0) 1= ; f(1)= −3và f(2) 5= Do f(0) (1) 0f < f(1) (2) 0f < (2)
Từ (1) (2) suy ta f x( ) 0= có hai nghiệm, nghiệm thuộc khoảng (0; 1), nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
b) Xét f x( )= cosx – x Hàm số hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục đoạn
0;
π
(1)
Mặt khác, ta cóf(0) 1= ; f
2
π π
= −
Do f(0).f
π
<
(2)
Từ (1) (2) suy f x( ) 0= có nghiệm thc khoảng 0;
2
π
Bài 3.12 Chứng minh phương trình:
a) x5 – 3x– = ln có nghiệm
b) cos2x = 2sinx– có hai nghiệm thuộc khoảng ;
6
π π
−
c) x3+6x+ − =1 có nghiệm dương
d) x4 – 3x3 + = có nghiệm khoảng ( )−1;3
HDGiải
a) Xét hàm số f x( )= x5 – 3x – 7 Hàm số hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục
các đoạn [0; 2] (1)
Mặt khác, ta có
f(0)= − <7 0; f(2) 19 0= > f(2) = 19 > Do f(0) (2) 0f < (2)
Từ (1) (2) suy ta f x( )= có hai nghiệm, nghiệm thuộc khoảng (0; 2) Vậy f x( )= ln có nghiệm
b) Xét f x( )= cos2x – 2sinx + Hàm số hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục
các đoạn ;
6
π π
−
và π π2;
(37)f
6
π
− =
; f
π
= −
f ( )π =3 Do f f
π π
− <
f f( )
π π
<
(2)
Từ (1) (2) suy f x( )= có hai nghiệm, nghiệm thc khoảng ;
6 π π
−
, nghiệm
thuộc khoảng ;
2 π π
c) Ta có x3+6x+ − = ⇔1 x3+6x+ = ⇔1 x3+6x− =3
Xét hàm số f x( )= x3 + 6x – liên tục ℝ nên liên tục đoạn [0; 1] (1) Mặt khác, ta có: f(0)= −3; f(1) 4= Do f(0) (1) 0f < (2)
Từ (1) và(2) suy phương trình f x( )= có nghiệm thuộc (0; 1) Vậy phương trình x3+6x+ − =1 có nghiệm dương
d) Xét hàm số f x( )= x4 – 3x3 + liên tục ℝ
Nên f x( )liên tục đoạn [-1; 1] chứa −1;3 Mặt khác, ta có
f( 1) 5− = f(1)= −1 Do f( 1) (1) 0− f <
Suy f x( )= có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1) chứa khoảng ( )−1;3
Vậy f x( )= có nghiệm khoảng ( )−1;3 Bài 3.13 Chứng minh phương trình:
a) x5 – 3x4 + 5x– = có ba nghiệm khoảng ( )−2;5 b) x5 – 5x– 1= có ba nghiệm
c) x3 + 3x2 – 4x– = có nghiệm hay không khoảng (−4;0) ? HDGiải
a) Xét hàm số f x( )= x5 – 3x4 + 5x– liên tục ℝ
Nên f(x) liên tục đoạn [0; 1], [1; 2] [2; 3] chứa −2;5
Mặt khác, ta có
f(0)= −2 f(1) 1= , f(2)= −8và f(3) 13= Do f(0) (1) 0f < , f(1) (2) 0f < f(2) (3) 0f <
Suy f x( ) 0= có ba nghiệm, nghiệm thuộc khoảng (0; 1), nghiệm thuộc khoảng (1; 2) nghiệm lại thuộc khoảng (2; 3)
Vậy f x( ) 0= có ba nghiệm khoảng ( )−2;5
b) Xét hàm số f x( )= x5 – 5x– tương tự câu a), đoạn − −2; , 1;0 − [0;3] c) Xét hàm số f x( )= x3 + 3x2 – 4x– hàm đa thức nên liên tục ℝ
Mặt khác, f(0) ( 2) 0f − < nên phương trình f x( ) 0= có nghiệm khoảng (−2;0) Do có nghiệm khoảng (−4;0)
Bài 3.14 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m: (1 – m2)x5 – 3x – =
HDGiải
Xét hàm số f x( )= (1 – m2)x5 – 3x– 1, hàm đa thức, liên tục ℝ, nên liên tục đoạn −1;0 Mặt khác, ta có
f(0)= − <1 0và f(1)=m2+ >1 nên f(1) (0) 0f < , với m
Suy phương trình f x( ) 0= có nghiệm thuộc khoảng ( )−1;0 , nghĩa phương trình
(38)Bài 3.15 Chứng minh phương trình: (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – = ln có nghiệm với giá trị tham số m
HDGiải
Xét hàm số f x( )= (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x– hàm đa thức nên liên tục ℝ Do đó liên tục đoạn − −2; 1 Mặt khác, ta có
f( 1)− = − <1 0và f( 2)− =m2+ >2 nên f( 1) ( 2) 0− f − < , với m
Do f x( ) 0= ln có nghiệm thuộc khoảng (− −2; 1) với m Nghĩa phương trình (1
– m2)(x + 1)3 + x2 – x– = ln có nghiệm với m
Bài 3.16 Chứng minh phương trình:
a) x2cosx + xsinx + = có nghiệm thuộc khoảng (0; )π
b) sinx = x– có nghiệm
c) x4 – 3x3 + x – = có nghiệm khoảng (−1; 3) khơng ? HDGiải
a) Hàm số f x( )= x2cosx + xsinx + hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục đoạn
0;π
Mặt khác, ta có
f(0) 0= > , f( ) 1π = −π2 <0 nên f(0) ( ) 0f π < Do f x( ) 0= có nghiệm thuộc khoảng
(0; )π Vậy phương trình f x( ) 0= có nghiệm thuộc khoảng (0; )π
b) Hàm số f x( )= sinx – x + 1 hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục đoạn 0;π Mặt khác, ta có
f(0)= − <1 0, f( )π = − >π nên f(0) ( ) 0f π < Do f x( ) 0= có nghiệm thuộc khoảng
(0; )π Vậy phương trình f x( ) 0= có nghiệm
c) Hàm số f x( )= x4 – 3x3 + x– hàm đa thức nên liên tục ℝ Do đó liên tục đoạn −1;0 Mặt khác, ta có
f(0)= − <1 0, f( 1) 0− = > nên f( 1) (0) 0− f < Do f x( ) 0= ln có nghiệm thuộc khoảng ( )−1;0 chứa ( )−1;3 Vậy phương trình f x( ) 0= có nghiệm khoảng ( )−1;3 Bài 3.17 Tìm giá trị tham số m để hàm số
x x
neáu x
f x x x
mx m neáu x
2
3
2
( ) 2
1
− +
<
= −
+ + ≥
liên tục ℝ
HDGiải Tập xác định hàm số D=ℝ
Ta có f(2) = 3m +
x f x x xm m m f
lim ( ) lim( 1) (2)
+ +
→ = → + + = + =
x x x x
x x x x x
f x
x x x
x x
2
2 2
3 ( 1)( 2) 1
lim ( ) lim lim lim
( 2)
2
− − − −
→ → → →
− + − − −
= = = =
− −
Để hàm số liên tục x = 3m 1 m
2
+ = ⇔ = −
Dễ thấy với m, hàm số f liên tục điểm x≠2 Vậy f liên tục ℝ chỉ m
6
= −
Bài 3.18 Tìm già trị m để hàm số
x x
neáu x
f x x
m neáu x
2 2
2
( ) 2
2 − −
≠
= −
=
liên tục x =
(39)Ta có f(2) = m
x x x x
x x x x
f x x
x x
2
2 2
2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 1)
2
→ → → →
− − + −
= = = + =
− −
Để hàm số f liên tục x =
x
f f x m
2
(2) lim ( ) →
= ⇔ =
Vậy m = hàm số f liên tục x =
Bài 3.19 Cho hàm số f x x x neáu x mx neáu x
3
1
1
( ) 1
2
− >
= − −
+ ≤
Với giá trị tham số m hàm số
f x( )liên tục x=1
HDGiải Tập xác định hàm số D=ℝ
Ta có f(1)= +m
x x x
x x f x
x x x x x
2
3
1 1
1
lim ( ) lim lim
1 ( 1)( 1)
+ + +
→ → →
+ −
= − =
− − − + +
x x
x x x
x x2 x x2 x
1
( 1)( 2)
lim lim
( 1)( 1)
+ +
→ →
− + +
= = =
− + + + +
Và
x x
f x mx m f
1
lim ( ) lim( 2) (1)
− −
→ = → + = + =
Để f x( )liên tục x =
x x
f x f x m m
1
lim ( ) lim ( ) 1
+ −
→ →
⇔ = ⇔ + = ⇔ = −
Bài 3.20 Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng
a)
x
neáu x f x x
neáu x
2 2
2
( )
2 2
−
≠
= −
=
b)
x
neáu x
f x x
neáu x
2
1 2
( ) ( 2)
3
−
≠
= −
=
HDGiải
a)
x
x f x x
x
2 2
;
( )
2 2;
−
≠
= −
=
Hàm số xác định ℝ
Nếu x≠ f x x
x
2 2
( )
2
− =
− hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng (−∞; 2)
( 2;+∞)
Tại x= ( )( ) ( ) ( )
x x x
x x
x
x f
x x
2
2 2
2
2
lim lim lim 2 2
2
→ → →
− +
− = = + = =
− −
Do hàm số liên tục x=
Vậy hàm số f x( ) liên tục ℝ
b)
x
x
f x x
x
2
1
;
( ) ( 2)
3;
−
≠
= −
=
có tập xác định ℝ
Nếu x≠2 f x x
x
1 ( )
( 2)
− =
− hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục khoảng (−∞;2)
(40)Tại x = 2, ta có
x x
x
f x f
x
2
1
lim ( ) lim (2)
( 2)
→ →
−
= = −∞ ≠
−
Do hàm số f x( ) không liên tục x =
Vậy hàm số f x( ) liên tục khoảng (−∞;2) (2;+∞) gián đoạn x =
Bài 3.21 Tìm số thực a cho hàm số
f x a x neáu x a x neáu x
2 2
( )
(1 )
≤
=
− >
liên tục ℝ
HDGiải
Ta có ( )
x f x x a x a f
2 2
2
lim ( ) lim (2)
− −
→ = → = = ; xlim ( ) lim 1→2+ f x =x→2+( )−a x=2(1−a)
Hàm số f liên tục x=2
a
a a
a
2
4 2(1 ) 1
2 = −
= − ⇔
=
Hiển nhiên hàm số fliên tục điểm x≠2 với a Vậy hàm số f liên tục ℝ chỉ a 1,a
2
= − =
Bài 3.22
a) Chứng minh phương trình x3+1000x2 +0,1 0= có nghiệm âm b) Chứng minh phương trình x3−1000x2−0,01 0= có nghiệm dương c) CMR với số thực a, b, c, phương trình x3+ax2 +bx c+ =0 có nghiệm
HDGiải
a) Hàm số f x( )=x3+1000x2+0,1 liên tục ℝ Ta có f(0) 0,1 0= > Vì
xlim ( )→−∞f x = −∞ nên tồn số thực a cho f a( ) 0<
Vì f(0) ( ) 0f a < nên, theo hệ định lí giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số
thực c∈( ;0)a cho f c( ) 0= Vậy x=c nghiệm âm phương trình cho b) Hàm số f x( )=x3−1000x2−0,01 liên tục ℝ Ta có f(0)= −0,01 0< Vì
xlim ( )→+∞f x = +∞ nên tồn số thực b đủ lớn cho f b( ) 0>
Vì f(0) ( ) 0f b < nên, theo hệ định lí giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số
thực c∈(0; )b cho f c( ) 0= Vậy x=c nghiệm dương phương trình cho c) Hàm số f x( )=x3+ax2 +bx c+ liên tục ℝ
xlim ( )→+∞f x = +∞ xlim ( )→−∞ f x = −∞ Do phương trình f x( ) 0= có nghiệm với số thực a, b, c
Bài 3.23 Tìm giá trị của a b để hàm số
ax b neáu x f x x neáu x
bx2 a neáu x
1
( )
2
− ≤
= < <
− ≥
liên tục x=1 gián đoạn x=2.
HDGiải Hàm số liên tục tại x = gián đoạn tại x = chỉ x x
x x
f x f x f a b a b
f x f x b a b
1
2
lim ( ) lim ( ) (1) 3 3
lim ( ) lim ( )
− +
− +
→ →
→ →
= = − = = +
⇒ ⇒
≠ − ≠ ≠
(41)Bài 3.24 Tìm m để hàm số
2 x
neáu x
f x x
m x neáu x
2
1
1
( ) 1
1
−
≠
= −
=
liên tục x=1.
HDGiải
Ta có f(1)=m2 ( )( )
( ) ( )
x x x
x x
x
x2 x x x x x
1 1
1
1 1
lim lim lim
4
1 ( 1)( 1) 1 ( 1) 1
→ → →
− +
− = = =
− − + + + +
Để hàm số liên tục x = 1thì
x f x f m lim ( ) (1)
2
→ = ⇔ = ±
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 3.25 Chứng minh hàm số f x x x
x
2
( )
2
= + + +
− liên tục tập xác định
Bài 3.26 Chứng minh phương trình x3+ + =x có nghiệm âm lớn –
Bài 3.27 Chứng minh phương trình m(2 cosx− 2)=2sin 5x+1 ln có nghiệm với giá trị tham số m
Bài 3.28 Chứng minh hàm số
x x
neáu x va øx x x
f x neáu x neáu x
5
2
( )
0
+
≠ ≠
+
= − = −
=
liên tục ℝ
Bài 3.29 Chứng minh hàm số
x x
neáu x
f x x
neáu x
2 3 2
2
( ) 2
2 − +
≠
= −
=
liên tục x=2
Bài 3.30 Cho hàm số
x x
neáu x
f x x
m x neáu x
2 5 6
3
( ) 3
( 1)
− +
≠
= −
− =
Tìm m để hàm số y= f x( ) liên tục x=3
Bài 3.31 Cho hàm số
x x
neáu x
f x x x
ax ax neáu x
2
6 7
( ) 8 7
2
+ −
>
= − +
− + ≤
(42)ÔN TẬP CHƯƠNG IV Bài Tính giới hạn sau:
a) n
n n
n
3
2
lim
1 →+∞
− +
− b) n n
n n
n
2 cos
lim
4 →+∞
+ +
c)
n n n
( 1) lim
3 →+∞
−
+
HDGiải
a)
n n n
n
n n n n n n
n
n
n n
3
3 2 3
3
3
3
2 2 3
2 2
2
lim lim lim
1
1 4 4
→+∞ →+∞ →+∞
− + − +
− + = = = −
− − −
b) n n
n n n
n n n n
n n
2 cos cos
lim lim lim
4
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
+ = +
Ta có
n n
n
n n
2 1
lim lim 2
→+∞ →+∞
+ = + =
n
n n
n
cos 1
4
4
≤ =
với n
n n
1
lim
4 →+∞
=
nên n n
n
cos
lim
4
→+∞ =
Vậy n
n
n n
n
2 cos
lim
4 →+∞
+ +
=
c)
n n
n n
n n n
( 1) ( 1)
lim lim lim
3
→+∞ →+∞ →+∞
− −
+ = + =
(Vì
n n
n n
( 1)
0
3
− ≤ → → +∞
)
Bài Tính giới hạn sau:
a) lim( n2+3n+ −1 n2+2n−1) b) n n
n
4
2
lim
2
− +
− +
c) lim3 n9+8n2 −7 d)
n n
n n
5
lim
3 2.7
− +
HDGiải
( ) n n (n n )
a n n n n
n n n n
n n n
n n n n
n
n n n n
n
n n n n
2
2
2
2
2
2
3
)lim lim
3
2
lim lim
3 1 1
2
1 1
lim
2
3
1
+ + − + −
+ + − + − =
+ + + + −
+
+
= =
+ + + + − + + + + −
+
= =
+ + + + −
n
n n n n n n
b
n
n
n n
2
4 3 4 3 4
2
2
2
2 3
1
2
)lim lim lim
3
2 2 2
− + − +
− + = = = −
− + − + − +
c n n n
n n
3 3 3
7
8
)lim +8 − =7 lim 1+ − = +∞( n
n n
3
7
8
(43)n n
n n n
n n n n
n
d
5
5 1 1
7
5 7
)lim lim lim
2
3 2.7 2 3
2 7 − − − = = = − + + + Bài Tìm giới hạn sau:
a) x x x x x
4
lim
3
→
+ +
+ + b) x
x x x
x x
3
3
lim
6 →
+ − −
− − c) x
x
x x
1
1 lim
6 3
→− + + + d) x x x x
9
lim → + + − e) x x x 10 lim → − −
− f) x
x x
x x
1
8
lim
5
→
+ − +
− − −
HDGiải x
x x
a
x x
5
6
1
4 4.1 9.1
)lim
3 3.1 1
→
+ + = + + =
+ + + +
( )
( )
x x x
x x x
x x x x x
b
x x x x x x x
2
3 2
3 2
2 2
( 2)
3 15
)lim lim lim
11
6 ( 2) 3
→ → →
− + +
+ − − = = + + =
− − − + + + +
( )( )
x x x
x x x
x x x
c x x x x 2
1 1
1 3
1 3
) lim lim lim
3(1 ) 3
6 3
→− →− →− + + − + = = + − = − − + + ( )
x x x
x x x x x
d
x x x x x x
2
0 2
9 5 5
)lim lim lim
6
9
9
→ → → + + − = + = + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) x x x x x e x
x x x
x x
3
2 3 3
2 3 3
10 2
)lim lim
2 2 10 2 10 4
1
lim
12
10 10
→ → → − − = − − − − + − + = − = − − + − +
f) ( )
( ) (( ))
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
1 1
7(1 ) 7
8
lim lim lim
12
5 8(1 ) 8 8
→ → →
− − + − − + −
+ − + = = =
− − − − + + + + + +
Bài Tìm giới hạn sau: a) x x x lim → + −
− b) x
x x2 lim 49 → − −
− c) x ( x x x )
2
lim 3
→+∞ + + −
d) x
x x x2
3 lim − → −
− − e) x
x x x x
x x
2
2
2 6
lim
4
→
− + − + −
− + f) x
x x 2 lim → + − + − HDGiải
a) ( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x
x x
x x
x x x x x x
1 1
3
3 1
lim lim lim lim
1 1 3 2 1 3 2 3 2
→ → → → + − + + + − = = − = = − − + + − + + + + b) ( ) ( )
x x x
x x
x2 x x x x x
7 7
2 1
lim lim lim
56
49 ( 7)( 7) 2 3 ( 7) 2 3
→ → →
− − = − = − = −
(44)c) ( )
x x
x
x x x
x x x
2
2
1
lim 3 lim
6
3
→+∞ →+∞
+
+ + − = =
+ + +
d) ( )
( )( )
x x x
x x x
x x x
x
x x x x x x
2
2
2 2
3 3
( 3)
3
lim lim lim
3
3 6
− − − → → → − + − − = = + − − − − − − + −
Ta có ( )
x x
x x2 x
3
lim 6 0, lim( 3)
− −
→ + − = > → − = x – < với mọi x < Do
x
x x x2
3 lim − → − = −∞ − − e) ( )( ) x x
x x x x x
x x x x x x x x
2
2
3 2
2 6 12
lim lim
4 4 3 2 6 2 6
→ → − + − + − = − + − + − + − + + + − ( )( ) x
x x x x x
3 2
4
lim
3
1 6
→
= = −
− − + + + −
f) ( )
( )
x x x
x x
x x
x x x x
2 2
( 2)
2 3
lim lim lim
2
7 ( 2) 2 2
→ → →
− + +
+ − = = + + =
+ − − + + + +
Bài Tìm giới hạn hàm số sau: a) x x x x 2 lim 11 18 →− +
+ + b) x
x x x
x x x
3
3
3
2
lim
4 13
→
− − −
− + − c)
( ) x x x 3 27 lim → + − d) x x x x lim → + e) x x x x2 x
( 2) lim + → − +
+ + f) x x x3
1 lim 1 → − − −
HDGiải
a) ( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
2
3
2
2 2
( 2)
8 12
lim lim lim
( 2)( 9)
11 18 →− →− →− + − + + = = − + = + + + + +
b) ( )
( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
2
3 2
3 2
3 3
( 3)
2 11
lim lim lim
17
4 13 ( 3) 4
→ → →
− + +
− − − = = + + =
− + − − − + − +
c) ( ) ( )
x x x x x x 0 27
lim lim 27 27
→ →
+ −
= + + =
d) Ta có x x x x
x x
2
2
3
2
+ + =
Với x x x x x
x x 2 3 0, 2 + − +
< = Do
x x x x 3 lim 2 − → + = −
Với x x x x x
x x 2 3 0, 2 + +
> = Do
x x x x 3 lim 2 + → + =
Từđó suy khơng tồn x x x x lim → +
e) Khi x→ −( 2)+ x+ = +2 x Do
x x
x x x
x x2 x
( 2) ( 2)
2
lim lim
(45)f)
x x
x
x x3 x2 x
1
1
lim lim
1 1
→ →
− −
− = = −
− − + +
Bài Tìm giới hạn hàm số sau: a)
x
x x
x x
2
6 lim
3 →−
− − +
+ b) x
x
x x
2
9 lim
2
→−
−
+ + c) x
x x
4
3
lim
2 →
− − − −
d) x
x x
x3 x2
2
lim
3
→+∞
+
+ + e) x
x x
x
3
1
lim →
+ − +
f) ( )
x x x
3
2
lim 1
→+∞ + − −
HDGiải
a) Ta có x x x
x
x x
2
6
− − + = −
+ với x≠ −3 x x
x x x
x
x x
2
3
6
lim lim
3
→− →−
− − + = − = −
+
Do x
x x
x x
2
6 5
lim
3 3
→− − − + = − =+ b)
x
x
x x
2
9
lim
5
2
→−
− =
+ +
c) Với x > 2, ta có x− = −1 x x− = −2 x
Do x x x
x x
x
3 3 1 4
1
2
2
− − − + −
= = = −
− − −
− − với x > x≠4
Vậy
x x
x x
4
3
lim lim( 1)
2
→ →
− −
= − = −
− −
d)
3
3
3
1
2
lim lim lim
1
3 3
x x x
x x x x
x
x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+ = + = =
+ + + + + +
( )( )
( ) ( ( )( ) )
x x x x
x x
x x x x x x
e
x x x x
x x x
x x
x x x x x
3 3
0 0
3
3 3
0 3
1 1 1 1 1
)lim lim lim lim
1 (1 ) 1
1 1
lim lim
1 (1 ) 1
→ → → →
→ →
+ − + = + − + − + = + − − + −
+ − + + + +
+ − + +
= −
+ + + + + +
( ) ( )
x x
x x
x x x x x
0 3
lim lim
1 (1 ) 1
→ →
= −
+ + + + + +
( ) ( )
x x
x x x
0 3
1 1
lim lim
6
1 (1 ) 1
→ →
= − =
+ + + + + +
( ) ( )
( )
x x
x
f x x x x x x
x x x x x x
3
2 3
2 2 3 3 3
3
) lim 1 lim 1
1
lim
1 1 1
→+∞ →+∞
→+∞
+ − − = + − + − −
= + =
+ +
+ − + −
(46)Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số :
x x
neáu x
f x x x
mx m neáu x
2
3
1 ( )
1
− +
<
= −
+ + ≥
liên tục ℝ
HDGiải
Ta có f(1) = 2m +
xlim ( ) lim(→1+ f x =x→1+ xm m+ + =1) 2m+ =1 f(1)
x x x x
x x x x x
f x
x x x
x x
2
1 1
3 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim
( 1)
− − − −
→ → → →
− + − − −
= = = = −
− −
Để hàm số liên tục x = 2m+ = − ⇔ = −1 m
Dễ thấy với m, hàm số f liên tục điểm x≠1 Vậy f liên tục ℝ m= −1
Bài Tìm già trị m để hàm số
x x
neáu x
f x x
m neáu x
2 2
1
( ) 1
1 + −
≠
= −
=
liên tục x =
HDGiải
Ta có f(1) = m
x x x x
x x x x
f x x
x x
2
1
2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 2)
1
→ → → →
+ − − +
= = = + =
− −
Để hàm số f liên tục x =
x
f f x m
1
(1) lim ( ) →
= ⇔ =
Vậy m = hàm số f liên tục x =
Bài Chứng minh phương trình x4−3x2+5x− =6 có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) HDGiải
Xét hàm số f x( )=x4−3x2+5x−6 Hàm số hàm đa thức nên liên tục ℝ Do liên tục
trên đoạn [1; 2] (1)
Mặt khác, ta cóf(1)= − <3 0; f(2) 0= > Do f(1) (2) 0f < (2)
Từ (1) (2) suy ta f x( ) 0= có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 10 Tìm giới hạn sau:
a) lim 2( n−2n+3) b) lim( n4+2n2 −n2)
c)
n n
n n n
n
2 2 cos
lim
2
−
+
−
d) n n n n
n
3
2
4
lim
2
− + +
+
e) ( )
( )
n n
n n
2
1
2
lim
3
+ +
− +
−
+ f)
n n n n n
2 2
3
lim
2
+ +
− −
+ −
Bài 11 Tìm giới hạn sau:
a) n
n n
lim
+ + b) ( n n)
3
lim 1+ − c) lim(3n2−n3 +n)
d) limn n2( − n2+1) e) n n
n n n
2 3
1
lim + +
+ − f)
n n
n n2
1 lim
2 −
−
Bài 12 Tìm giới hạn sau: a)
x
x x
x x
3
2
lim
3
3
→+∞
−
+ −
b) x ( x x)
2
lim
→+∞ + − c) x ( x x)
2
lim
(47)d)
( )
x
x
x x2 x
2
2 lim
( 2)
→
−
− − − e) x ( )
x x x
x x x
2
2
lim
( 3)
→
− − −
− − − f) x
x x 2 lim →±∞ + +
Bài 13 Tìm giới hạn sau: a) x x x x 3 lim → − −
− b) x
x x
x
3
2 1 lim → + + − c) x x x x
1
lim → + − + d) x x x x x
1
lim
2
→
+ − −
+ − + e) xlim→+∞ x x x x
+ + −
f) x ( x x x x)
3 2
lim
→+∞ + − −
Bài 14 Tìm giới hạn sau: a)
x x x x
3
1
lim
3 →−∞
− + − +
b) x ( x x x )
2
lim
→−∞ − + + − c) x x x lim + → − +
− d) x ( x x xx )
2
lim 36
→+∞ − − − −
e)
x x x
4
1
lim
4 →−∞
− +
f) x ( x x x)
2
lim
→+∞ + − +
Bài 15 Tìm giới hạn sau: a) x x x 2 lim + → +
− b) x ( x x x)
2
lim 3
→−∞ + − +
c)
x x x
4
1
lim
4 →−∞
− − +
d) x ( x x x )
2
lim 36 24
→+∞ − − + e) ( ) x x x x 20 lim − → − + −
+ f) x ( x x x )
2
lim
→−∞ − + + −
Bài 16 Tìm giới hạn sau: a) ( ) x x x x 2 20 lim − → − + −
+ b) x ( x x x )
2
lim
→−∞ − + + −
c) ( )
x x x
3
lim
→+∞ − + − d) x ( x x x)
2
lim 36 12
→−∞ − + −
e) ( )
x x x x x
3
lim
→−∞ + + + − + f) x ( x x x x )
3
2
lim 27
→−∞ − + + + +
g)
x x2 x
1 lim − → − − −
h) x
x x x x 2 lim →− − + + − + k) x x x x 2 lim → − − +
− l) x
x x x lim → + − − −
Bài 17 Chứng minh hàm số
x x neáu x
f x x
neáu x x
2 4 2
( ) 2
7 − + = = − ≠ + −
liên tục tập xác định
Bài 18 Chứng minh phương trình x3−3x2+5x+ =7 ln có nghiệm Bài 19. Cho hàm số f x x x neáu x
m x mx neáu x
3
1 1
( ) 1
2
− > = − − + + ≤
Với giá trị tham số m hàm số
(48)Bài 20 Cho hàm số
m x mx neáu x
f x x
neáu x x
2 4 2
( )
2 − + = = − ≠ + −
Với giá trị tham số m hàm số
f x( )liên tục tại x =
Bài 21 Cho hàm số
x x x
neáu x
f x x x
x neáu x
3 2
1 1
( ) 5 4
2 1
− + − > = − + − + ≤
Xét tính liên tục hàm số y= f x( ) tại x = 1.
Bài 22 Cho hàm số
x x x
neáu x
f x x x
x neáu x
3 2
3 2
( ) 3 2
5
+ − − ≠ = − + + =
Xét tính liên tục hàm số y= f x( ) tại x =
2
Bài 23 Xét tính liên tục hàm số
x x
y f x x x
x x
2
2 1
( ) 5 4
1 − + ≤ − = = + + > − +
x= −1
Bài 24 Xét tính liên tục hàm số
x x
y f x x x
x x
4
2
( ) 3 4
2
+ > −
= = − − ≤ − +
x= −2
Bài 25 Xét tính liên tục hàm số
x x
y f x x x
x
x x
4
2
( ) 3 4
1 + ≠ = = + − = − +
x=1
Bài 26 Xét tính liên tục hàm số
x x
x x x
y f x
x x x x
2
3 1
2 ( )
1 2 2 1
3 + + > − + + = = + + − ≤ −
x= −1
Bài 27 Tìm giới hạn sau: a) n n n n 5.2 3.7 lim 2.5 − + b) n n n lim + +
+ c) x
x x x 2 lim →−∞ − + d) x x x
2 2 lim
1 →
+ −
− e)x ( x x x)
2
lim
→+∞ + + − f) x
x x x
x x x
3
3
3
3 11
lim
5 19 14
→
− + −
− + −
g)
x x2 x
1 lim 16 + → − − −
h) x ( x x x x )
2
lim
→−∞ − − − − +
Bài 28 Tìm giới hạn sau:
a) n n
n
2
( 2)(2 ) lim + − + b) n n n n
3 2 2 lim + + − −
+ c) x
x x x
x x x
3 2
2 11 10
lim
2
→ − + − − − + d) x x x x lim
6 3
→−
+
+ + e)x
x x
x
0
9
lim → + + + − f) x x x x x
2
lim →− − − + + g) x x x x x 3
2
lim →−∞
+ −
− h) x ( x x x )
2
lim 12 15
→−∞ + + − i) x
x x x
x x
2
2
9
lim
2
→−∞
− + −
+ − −
j)
5
3
5
lim
1
x
x x x x
x x x
→
− + + −
− − + k) ( )
3 2
lim
x→−∞ x − x + x − x l)
3
2
6 lim
4 26
x x x x x → − − + − +
(49)a) x
x x x
x
3
2
2
lim → − + − − b) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x 2 2
6
lim
9
→+∞ + − − +
c) ( )
x x x x
2
lim
→−∞ − + + d) x x x x
2
lim
1 →
− + −
− e) x
x x x x lim → + − +
+ g) x
x x x
x
3
3
3
lim
27
→
+ − +
−
h) ( ) ( )
( ) ( )
2
3
2
4
3
lim
4
x x x x x →+∞ − + − +
i) ( )
( )
n n n
n n
1
2 5.2
lim
3
− −
−
+ j) x
x x
x
3
2 3 18
lim
3 →
+ − +
− Bài 30 Cho hàm số
m x
f x x x
x x
2
2
( ) 2 5 2
2 = = − + ≠ −
Với giá trị tham số m hàm số
f x( )liên tục x=2 Bài 31 Cho hàm số
m x mx x
f x x
x x
2 4 2
( ) 2
2 − + = = − ≠ + −
Với giá trị tham số m hàm số
f x( )liên tục x=2
Bài 32 Cho hàm số f x x x x m x mx x
3
1 1
( ) 1
2
− ≠ = − − + + =
Tìm m để hàm số f x( ) liên tục x=1
Bài 33 Cho hàm số
x x
x x
f x
m x x x
2 2
4 2
4 ( )
1 2
6 + − − ≠ − = + − =
Tìm m để hàm số f x( ) liên tục x=2
Bài 34 Cho hàm số
x x
x
f x x
m x x x
3 2
3 1
( ) 1
4 + − + ≠ = − − =
Tìm m để hàm số f x( ) liên tục x=1
Bài 35 Cho hàm số
x x
x x
f x
x m2 x m x
1 0
( )
5
(1 ) (1 )
4 + + + − > = + + − − ≤
Tìm m để hàm số f x( ) liên tục
x=0
Bài 36 Cho hàm số
x x
x x
f x
x m2 x m x
9
0 ( )
19
(1 ) (2 1)
12 + + + − > = − + − − ≤
Tìm m để hàm số f x( ) liên tục
x=0
Bài 37 Cho hàm số
x x
x x x x
f x
m
x x
2
2 14
2
( )
3 2
2 + − ≠ − − − = − = +
(50)Bài 38
a) Chứng minh phương trình x5+ − =x 0có nghiệm thực
b) Chứng minh phương trình x3+3x2 −4x− =7 0có nghiệm
c) Chứng minh phương trình 2x4− +x3 3x2−3x− =9 có hai nghiệm
d) Chứng minh phương trình 16x4−16x3+19x2−16x+ =3 có hai nghiệm khoảng (0; 1)
e) Chứng minh phương trình: x2cosx + xsinx + = có nghiệm thuộc khoảng (0; )π f) Chứng minh phương trình: sinx = x– có nghiệm có nghiệm thuộc khoảng (0; )π
g) Chứng minh phương trình x5−3x4 +5x− =2 có ba nghiệm phân biệt h) Chứng minh phương trình x5−5x− =1 có ba nghiệm phân biệt Bài 39
a) Tính tổng
3 27
n n
S = + + + + + + b) Tính ( )
1
1
3
n n
S
+
−
= − + + +
c) Tính tổng cấp số nhân vô hạn ( )
1
1 1
, , , , ,
3 12 3.2
n n
+ −
−
− d) Tính 1 12 ( 1)1
9 9
n n
S = + − + + −− +
e) Tính tổng 12
3 3n
S = + + + + f) Tính
3
n n
S= + + + + +
g) Tính 1 1 1
2 2n 3n
S= − + − + + − +
h) Tính
3 16 32
2 27 81
S= + − + − +
k) Tìm tổng cấp số nhân 1, 2, 13, , ,
2 2 2n l) Tổng cấp số nhân vô hạn
( ) 1
1 1
, , , , ,
2 18 2.3
n n
+ −
(51)PHẦN II TRẮC NGHIỆM §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Câu 1: Tìm =
+ − +
N
n n
1
lim
3 2
A =
−
N
3 B N = 3− C N=0 D N =1
Câu 2: Tìm M=lim 2.3( n−5.4 n)
A M = +∞ B M = −∞ C M=5 D M=
3
Câu 3: Tiính tổng S của cấp số nhân 1 1, 2 , 3 , , 1n,
2 2
A S=1 B S=2 n C 11
2n
S= + D
2
S=
Câu 4: Biết tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3, tổng ba số hạng 39
25 Tìm số
hạng đầu cơng bội cấp số
A u1 =1,q=2 B 1 1,
2
u = q= C 1 2,
5
u = q= D 1 1,
5
u = q=
Câu 5: Tìm tổng 1 1 1
2 2n 3n
S = − + − + + − +
A 1
2 B
2
3 C 1 D
3
Câu 6: Tên học sinh mã hóa số 1530 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, H, N O với
( )
3 5.4
lim lim lim lim
2
n n
n
n n
A H n n n N O
n n
− − −
= = + − = =
+ + −
Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu tương ứng
A HOAN B NHOA C NHAO D HANO
Câu 7: Biết ( n + n n− + )=a b
2
lim , với a b, ∈ℤ a
b tối giản Tính S = + −a b ab
A S=9 B S=23 C S= −14 D S= −5
Câu 8: Tìm = + +
−
n n
L
n
2
3
lim
1
A L= −
2 B L=1 C L =0 D L= −1
Câu 9: Tìm lim ( 1)
2
n n
M= + −
A M =0 B M =4 C M=1 D M=3
Câu 10: Tìm = −
+
n
n n
n
Q lim 13.3
3.2 5.4
A Q=
4 B Q=0 C Q= −∞ D Q=
(52)Câu 11: Tính tổng S 2 1
2
= − + − + −
A S= 1.+ B S=2 C
2 S=
+ D
2 . S=
+ Câu 12: Tìm L=lim( n2− +n n)
A L =2 B L=1 C L = +∞ D L=0
Câu 13: Tìm J=limn( n2− −1 n2+2 ) A J = −3
2 B J = −
1.
2 C J = +∞ D J=1
Câu 14: Tính tổng S n13
3 −
= + + + + +
A
2
S= B 27
2
S= C
2
S= D 35
3
S=
Câu 15: Biết − + =
−
n n a
n b
2
9
lim ,
4 với a b, ∈ℤ a
b tối giản Mệnh đề ?
A a b+ =9 B b a− =1 C 2a b+ =12 D ab+ =2 10
Câu 16: Biết + − + =
+
n n a
n b
2 1 1
lim ,
3 với a b, ∈ℤvà a
b tối giản Tính
2
S=a −b
A S= −8 B S= −2 C S=10 D S=4
Câu 17: Biết + + =
+
n n a
n b
2
4
lim ,
2 với a b, ∈ℤ a
b tối giản Mệnh đề sai ?
A ab+ =4 10 B a b+ =5 C 2b a− = −1 D a−2b= −1
Câu 18: Biết lim( n2+ −n n2− =1) a a, ∈ℚ Tính S =a2+ +a
A S=7
4 B S=
3.
2 C S=
1.
2 D S=1
Câu 19: Tìm = + −
+
n n
K
n
2
( 1)(3 )
lim
1
A K =1 B K = −2 C K =2 D K=4
Câu 20: Tìm
3 sin
lim
3
n
n
n I
π
+ − =
A
3
I = B I =0 C I =1 D
2
I =
Câu 21: Tìm
+ − +
=
+
n n
n n
H
1
2 3.5
lim
3.2 7.4
A H = −3 B H = −∞ C H =2
5 D H= +∞
Câu 22:Tìm số hạng tổng qt cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng công bội q
3 =
A
1
3
n n
u
−
=
B
1
2
n n
u
+
=
C
1
3
n n
u
+
=
D
1
2
n n
u
−
(53)Câu 23: Tìm J=lim 2.3n − +n
A J = B J =1 C J = +∞ D J= −∞
Câu 24: Tìm lim ( 2)1 1
( 2)
n n
n n
H= − + + +
− +
A H =3 B
2
H = − C H =1 D
3
H=
Câu 25: Tìm H=lim( n2 − −n n)
A H = B H = −∞ C H = −1
2 D H =0
Câu 26: Tìm I =lim 3.2( n−5n+1+10 )
A I = −5 B I = +∞ C I = −∞ D I = −2
Câu 27: Tìm F=lim n( n− −1 n) A F= −3
2 B F= −
1
2 C F =1 D F=0
Câu 28: Tìm = +
+
n n
G
n
3sin cos
lim
1
A G=1 B G=7 C G=0 D G=
2
Câu 29: Biết
+
+ +
− + =
+ −
n n
n n
a b
1
2 11
lim ,
3 với a b, ∈ℤ a
b tối giản Tính P=ab a+
A P= −10 B P=9 C P=7 D P= −12
Câu 30: Tìm I =lim( n4+n2+ −1 n2) A I =1
2 B I = +
1 .
3 C I =0 D I =1
Câu 31: Tìm
+ + + =
+
n n
n
P
1
3
lim
5
A P=tan π
6 B
π
=
P sin
3 C
π
=
P cos
4 D
π
=
P cot2
3
Câu 32:Biết dãy số (un) thỏa mãn un
n3
1
− < với n Tìm lim ?un
A limun =0 B limun = −1 C lim
2
n
u = D limun =1
Câu 33: Tính tổng
n n
S 1 12 ( 1)1
10 10 10 −
−
= − + − + + +
A 11
10
S= − B 10
11
S= − C
11
S= D 10
11
S=
Câu 34: Tính tổng S cấp số nhân
n
1 1
1, , , , , ,
2
−
− − −
A
2
S= B
3
S= C
8
S= D
4
(54)Câu 35: Tìm lim3 5.4
4
n n
n n
K= +
+
A
4
K = B
2
K = C K =5 D K=1
Câu 36: Tìm N =lim 3n4−10n+12
A N = B N =0 C N= −∞ D N = +∞
Câu 37: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10, tổng năm số hạng 155
16 Tìm số
hạng đầu cơng bội cấp số
A
1
5
q u
=
=
B
1
q u
=
=
C
1
3
q u
=
=
D
1
5
q u
=
=
Câu 38: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng cấp số nhân 12, hiệu số hạng đầu số hạng thứ hai
4 số hạng đầu số dương
A 1 3;
4
u = q= B 1 3;
4
u = q= C 1 1;
4
u = q= D u1=3;q=3
Câu 39: Tìm E=lim(3 n3−2n2 −n) A E= −2
3 B E= −
1.
3 C E= −1 D E= −2
Câu 40: Giải phương trình x x xn x
2
1
2
+ + + + + = , x <1
A x∈{ }1;2 B
3
x∈
C
1
x∈
D
1
;
3
x∈
Câu 41: Tìm lim cos
3n
n n
J
n
+
= +
A J =2 B J =1 C J =0 D
2
J=
Câu 42: Tính tổng S= +1 0,9 (0,9)+ 2+(0,9)3+ + (0,9)n−1+
A S=11 B S=10 C
10
S= D S=9
Câu 43: Tìm F=lim( n2+ + −n n+1 )
A F=1 B F= +∞ C F=0 D F= −∞
Câu 44: Tìm = − +
L lim 1n2 3sin 2n
2
A L=11
5 B L=
1
2 C L =5 D L= +∞
Câu 45: Tìm =
+ −
M
n2 n n
1
lim
2
A M = −2 B M =0 C M=1
2 D M =1
(55)A lim lim lim
n n
n n
u u
v = v B
1
lim
lim
n n
u = u C
3
lim un = limun D lim vn = limvn
Câu 47: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 1,(2345) viết dạng phân số tối giản a
b Tính
S = −a b
A S =12345 B S =5432 C S =2345 D S=54321
Câu 48: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 7,(23456) viết dạng phân số tối giản a
b Tính
S = −a b
A S =123450 B S =623450 C S =123456 D S=654321
Câu 49: Tìm = − − +
+
n n n
Q
n
3 7 5 8
lim
12
A Q=n B Q=0 C Q= +∞ D Q=1
Câu 50: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3, tổng ba số hạng 39
25 Tìm số hạng
đầu cơng bội cấp số
A
1
q u
=
=
B
1
q u
=
=
C
1
2
q u
=
=
D
1
2
q u
=
= Câu 51: Tìm L=lim 3.4n− +n
A L =0 B L=2 C L= D L= +∞
Câu 52: Tìm = + − +
+ −
n n
P
n n n
2
4
lim
2
A P=1 B P= −1 C P=0 D P=3
(56)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Câu 1: Biết
→+∞
+ − + + =
+ − + −
x
x x x a
b
x x x
2
2
lim ,
4 với a b, ∈ℤ a
b tối giản Mệnh đề ?
A b a− =1 B ab b− =10 C a b+ =7 D a ab+ =12
Câu 2: Biết ( )
→+∞ + − =
x
a
x x x
b
2
lim , với a b, ∈ℤ a
b tối giản Tính P=a b
A P=1 B
2
P= C P=2 D P=3
Câu 3: Biết
2 4 1
lim
2
x
x x x
a
x
→−∞
− − +
+ =
+
Tìm a
A
2
a= − B
2
a= C a=3 D
2
a=
Câu 4: Cho hàm số f x x x x x
1;
( )
2 ;
+ ≥
=
<
dãy số (un) với un n
1
= Tính lim ( )f un
A lim ( )f un = −1 B lim ( ) 0.f un = C lim ( ) 2.f un = D lim ( ) 1.f un =
Câu 5: Biết lim( 5)
x→+∞ x + −x =a Tính cosa
A cosa=1 B cosa=1
2 C cosa=0 D cosa= π ∈k2 ,k ℤ
Câu 6: Tính
+
→
+ − −
=
−
x
x x
M
x
2
1
lim
1
A M = B M =0 C M= +∞ D M=2
Câu 7: Biết
( )
6 2
4
lim
2
x
x x x
a x
→−∞
+ + − =
+
2
40 lim
2 21
x
x x
b
x x
→+∞
+ − =
+ + Tính S= −a b
A S=1
2 B S=0 C S=
10.
3 D S=1
Câu 8: Biết
2
1 lim
1
x a
x x x
→+∞ + + − = Tính 10
a
P C= +a
A P=47 B P=45 C P=100 D P=2
Câu 9: Tính
→
+ − =
− +
x x H
x
2
0
1
lim
4 16
A H = −1
4 B H =0 C H = −4 D H=2
Câu 10: Cho hàm số f x x x x
mx x
3
1
;
( ) 1
2;
− >
= − −
+ ≤
Với giá trị m hàm số f x( )có giới hạn x→1? Tìm giới hạn
A
1
2;lim ( )
x
m f x
→
= = B
1
1;lim ( )
x
m f x
→
= = C
1
2;lim ( )
x
m f x
→
= = D
1
1;lim ( )
x
m f x
→
= =
Câu 11: Biết →
− =
+ − −
x
a b
x2 x x3
1
1
lim ,
2 với a b, ∈ℤ a
(57)A u10 =162 B u10 =27 C u10=20 D u10 =83
Câu 12: Biết
−
→
− =
−
x
x a x
2
4 lim
2 → − +
+ + =
+
x
x x
b
x x
2
5 ( 1)
3
lim , với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A a b> B a b= C a b+ ≥4 D ab=1
Câu 13: Tính
→
− =
−
x x N
x
2
1
lim
1
A N =0 B N =9 C N=6 D N = +∞
Câu 14: Tính
→−
+ − =
+
x x K
x
2
5
lim
2
A K = −2
3 B K =0 C K = +∞ D K=
2
Câu 15: Biết →+∞
+ − =
x
a
x x x
b
lim , với a b, ∈ℤ a
b tối giản Tính
a b
S
b a
= +
A S=1
2 B S=
5.
2 C S=
3.
2 D S=
2.
Câu 16: Tính
+
→ + =
−
x
x x
F
x x
0
2
lim
A F=2 B F=0 C F= −2 D F= −∞
Câu 17: Tính
→
− − − =
x
x x
Q
x
3
1
lim
A Q=30
36 B Q= −
2 .
12 C Q=6 D Q=1
Câu 18: Tính ( )
→−∞
= − + − +
x
Q lim x3 x2 x
A Q= −∞ B Q= +∞ C Q= −1 D Q=0
Câu 19: Biết lim( 2 )
4
x→−∞ x − +x x m+ = Tìm m
A
4
m= B
4
m= C m=1 D
2
m=
Câu 20: Biết
2
10 lim
6
x
x x
a x
→−
+ + =
+
2
2
11 30
lim 25
x
x x
b x
→−
+ + =
− Tính S= +a b
A S=1
5 B S=
1 .
10 C S=2 D S=
21. 10
Câu 21: Biết ( )
→+∞ − − − − + =
x
a
x x x x
b
2
lim , với a b, ∈ℤ a
b tối giản Mệnh đề
sai ?
A a b− =3 B a b =10 C b a− =2 D a b+ =7
Câu 22: Tính
→+∞
− + +
=
− +
x
x x x
I
x x
3
4
lim
3
A I =3 B I = −1 C I =0 D I =1
(58)( )
2
2
2
2
1
3
lim ; lim ; lim ;
1
1
lim ; lim
1
x x x
x x
x x x x
A H N x x x
x x
x x
O T
x x
→−∞ →−∞ →+∞
→ →
− − +
= = = − − −
− −
− +
= =
− −
Vậy tên người là?
A HOAN B THOA C TOAN D THAN Câu 24: Tính
→−
+ =
+
x x H
x
3 2
2 15
lim
( 2)
A H = −1 B H = +∞ C H =
16 D H= −∞
Câu 25: Biết →
− − + + = −
x
x x a
x b
5
4
lim ,
5 với a b, ∈ℤ
a
b tối giản Tính 10
b a
u =a b −
A u10 =3 B u10 =18 C u10=9 D u10 =27
Câu 26: Tính
→ − =
−
x
x x
P
x
1
lim
1
A P=1 B P=0 C P= −1 D P= −3
Câu 27: Biết
→ + −+ − =
x
x a
b x
1
2
lim ,
3 với a b, ∈ℤ
a
b tối giản Mệnh đề ?
A 2a b+ =12 B 2a b− =3 C a−2b=4 D a+2b=10
Câu 28: Biết
4
2
2
lim
x
x x
a
x x
→+∞
+ − =
− +
2
4
lim
1
x
x x x
b x
→−∞
+ − + =
− Tính P=a b +1
A P=2 B P=1 C
4
P= D P= −2
Câu 29: Tính
→
− =
+ −
x
x F
x
2
2
lim
7
A F=0 B F= −6 C F= −1
6 D F= −1
Câu 30: Tính
→
+ −
=
− −
x
x x
E
x x
2
2
lim
2
A E=
2 B E=
3.
4 C E=
4.
3 D E=2
Câu 31: Tính
→
− −
=
−
x
x x
G
x
2
2
lim
1
A G= −1 B G=9 C G=0 D G=
2
Câu 32: Tính
→+∞
+
= +
+
x
x
K x
x3 x2
1
lim (2 1)
2
A K = B K =
2 C K =2 D K=
Câu 33: Cho hàm số f x x x x x x
2 2 3; 2
( )
4 3;
− + ≤
=
− >
(59)A
2
lim ( )
x→ f x không tồn B lim ( ) 3.x→2 f x = C
2
lim ( )
x→ f x = D lim ( ) 1.x→2 f x =
Câu 34: Tính
→
− +
=
− + +
x
x x
P
x x x
2
3
lim
4
A P= −1
4 B P=
1.
6 C P=
1.
2 D P=
1.
Câu 35: Biết
3
2
lim
1
x
x x
c
x x
→+∞
+ − =
− − + Tính
2
1
c
H = +
A H =3 B H = −2 C H = −1 D H =4
Câu 36: Tính →
+ −
=
x
x J
x
3
(1 )
lim
A J = −3 B J=3 C J =0 D J=1
3
Câu 37: Tên người mã hóa 4359 Biết chữ số giá trị biểu thức sau:
( ) ( )
( )
2
2
1
2 1
5 3.12
lim 10 ; lim ; lim ;
12 10
3
lim ; lim
1
n n
n n
x x
x x
A x x x H x x N
x
O T x
x
+
→−∞ →−
→+∞ →
+
= − − − = − + =
+ −
= = −
−
Vậy tên người là?
A THAN B THOA C HOAN D TOAN
Câu 38: Biết α
−
→
− + =
− +
x
x x
x x
3
3
lim tan ,
5 với
π α
< <
0
2 Tính S=sinα+cos α
A S=
2 B
+ =
S
2 C S=
3.
3 D S=
1
Câu 39: Tính
−
→
− +
=
−
x
x x
E
x
2
7 12
lim
9
A E=
6 B E=
5.
5 C E=
3.
3 D E=
2.
Câu 40: Cho hàm số f x x x x2 x
5 2;
( )
3;
+ ≥
=
− <
Tính lim ( ).x→1 f x
A
1
lim ( )
x→ f x không tồn B lim ( ) 7.x→1 f x = C
1
lim ( )
x→ f x = − D lim ( ) 1.x→1 f x =
Câu 41: Tính
+
→
+ − =
x
x x x
J
x
2
lim
A J = −∞ B J=0 C J = +∞ D J=2
Câu 42: Biết
−
→
− =
− + −
x
x a
b
x x
1
1
lim ,
2 1 với a b, ∈ℤ
a
b tối giản Biết , ,a b x theo thứ tự lập thành cấp số
cộng Tìm x
(60)Câu 43: Biết
−
→
− =
−
x
x a x3
3
3 lim
27 x→ + −− =
x
b
x x
3 2
8
lim ,
2 với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A a b< B a b− =0 C a b+ =10 D ab=1
Câu 44: Biết →
− − − − =
− +
x
x x x a
b
x x
2
3
lim ,
3 với a b, ∈ℤ a
b tối giản Tính
( ) 10
a
b S
b
− =
−
A S=5 B S=10 C S=7 D S= −10
Câu 45: Tính →
= +
− + − +
x L
x2 x x2 x
2
1
lim
3
A L =2 B L= −2 C L= −1
2 D L=0
Câu 46: Tính
+
→
= −
− −
x L
x x2
2
1
lim
2
A L = −∞ B L=
(61)§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 1: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A Hàm sốđa thức liên tục toàn tập số thực ℝ
B Nếu hàm sốy= f x( ) liên tục điểm x0, cịn hàm số y=g x( ) khơng liên tục x0
( ) ( )
y= f x +g x hàm số không liên tục x0
C Nếu hàm sốy= f x( ) y=g x( ) liên tục điểm x0 hàm số y= f x( )−g x( ) liên tục x0 D Nếu hàm sốy= f x( ) liên tục điểm x0, hàm số y=g x( ) khơng liên tục x0
( ) ( )
y= f x +g x hàm số liên tục x0
Câu 2: Cho hàm số
3
1
khi 1, 2
( )
2
x
x x
x x
y f x x
x
+
≠ − ≠
− −
= = − = −
=
Khẳng định đúng?
A Hàm số gián đoạn x= −1;x=2 B Hàm số gián đoạn x=2
C Hàm số liên tục khoảng (−2;3 ) D Hàm số liên tục ℝ
Câu 3: Cho hàm số
1 với 1
( ) 1
2 với
x
f x x x
mx x
− >
= − −
+ ≤
Với giá trị tham số m hàm số
f x( )liên tục x=1
A m= −3 B m= −1 C m=1 D m= −2
Câu 4: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A Hàm số y=tanx liên tục ℝ
B Hàm số y= +x sinx liên tục ℝ
C Hàm số
2 3 2
2
x x
y x
+ +
=
+ liên tục khoảng (−∞ −; 2) (− +∞2; )
D Phương trình x5−3x4+5x− =2 có ba nghiệm nằm khoảng (−2;5 ) Câu 5: Cho
2
2
( ) 2
3
x x a khi x
f x a khi x
bx khi x
+ + >
= + =
− <
liên tục x=2với ,a b∈ℚ Tính S = +a b
A S =17 B S =14 C S =15 D S=16
Câu 6: Tìm giá trị của a b để hàm số
2
với ( ) với
với
ax b x
f x x x
bx a x
− ≤
= < <
− ≥
liên tục x=1 gián
đoạn x=2
A
3 a b b = −
≠
B
3 b a a = +
≠
C
3 a b b = +
≠
D
3 b a b = +
≠
Câu 7: Cho hàm số
cos cos
; ( )
;
−
≠
=
=
x x
x
f x x
m x
Với giá trị m hàm số f x( )liên tục điểm x=0?
(62)Câu 8: Tim tham số thực m để hàm số ( )
2
2
3
− −
≠
= − −
+ + =
x x
x
f x x x
x m m x x
liên tục x=2
A
2
m= B
2
m≠ ± C m∈∅ D
2
m= −
Câu 9: Cho hàm số ( )f x xác định đoạn [ ]a b; Trong mệnh đề đây, mệnh đề ?
A Nếu hàm số ( )f x liên tục, tăng đoạn [ ]a b; ( ) ( )f a f b >0 phương trình ( )f x =0 khơng thể có nghiệm khoảng ( )a b;
B Nếu hàm số ( )f x liên tục đoạn [ ]a b; ( ) ( )f a f b >0 phương trình ( )f x =0 khơng thể có nghiệm khoảng ( )a b;
C Nếu ( ) ( )f a f b <0thì phương trình ( )f x =0 có nghiệm khoảng ( )a b;
D Nếu phương trình ( )f x =0 có nghiệm khoảng ( )a b; hàm số ( )f x phải liên tục khoảng ( )a b;
Câu 10: Tìm giá trị tham số m để hàm số
2
3 2 với 2
( ) 2
1 với
x x
x
f x x x
mx m x
− +
<
= −
+ + ≥
liên tục ℝ
A m= −1 B m=6 C
6
m= − D m=4
Câu 11: Tìm giá trị tham số m để hàm số 2
2
1
( ) 3 2 5 6
3
x vaø x
f x x x x x
m x mx x
+ > ≠
= − + − +
− − ≤
liên tục x0 =2
A 21
3
m= ± B
2
m= C m= ±3 21 D 21
4 m= ±
Câu 12: Tìm số thực a cho hàm số
2 2 neáu 2
( )
(1 ) neáu
a x x
f x
a x x
≤
=
− >
liên tục ℝ
A a= −1,a=2 B 1,
2
a= − a= C 1,
2
a= a= D a= −1,a=1
Câu 13: Cho hàm số
2
2
khi
( )
1
ax x
y f x
x x x
≤
= =
+ − >
Tìm giá trị a để hàm số liên tục ℝ
A
4
a= B
3
a= C a=3 D a=4
Câu 14: Tìm m để hàm số
2
1 với 1
( ) 1
với x
x
f x x
m x x
−
≠
= −
=
liên tục x=1
A
2
m≠ ± B
2
m= ± C
2
m= D
2
m= −
Câu 15: Tìm giá trị m để hàm số
2 2
với
( ) 2
với
x x
x
f x x
m x
− −
≠
= −
=
liên tục x=2
(63)Câu 16: Cho phương trình 2x4−5x2+ + =x (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề ?
A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−2;0 )
B Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−2;1 )
C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−1;1 )
(64)ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Câu 1: Cho
2
1 lim
1
x
x x
C
x
→
− =
− ;
1
lim
x
x A
x
→
+ −
= ; ( )
lim
x
N x x x
→+∞
= + − ; lim 44
x
O
x
→−∞
=
Tìm từđược mã hóa chuổi số 30213?
A CONAC B CANOC C CANON D CONAN
Câu 2: Biết
3
n n
u − ≤ Tìm lim un
A limun =2 B lim
3
n
u = C limun =0 D limun = +∞
Câu 3: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn ?
A 3
1
1
lim
1
x x x
→
−
− B ( )
2
lim
x→+∞ x + −x C
2
lim
10
x x x
→−
+
+ D
2
1
lim
3
x x
x x
→
−
− +
Câu 4: Tính = − −( )
+
2
lim
1
n n I
n
A I =0 B =1
2
I C =
2
I D I = −2
Câu 5: Cho hàm số
3 neáu 3
( ) 1 2
neáu x
x
f x x
m x
−
≠
= + −
=
Tìm tham số m để hàm sốđã cho liên tục x=3
A m= −4 B m=4 C m= −1 D m=1
Câu 6: Tính →
+ +
=
+ +
5
4
lim
3
x
x x
I
x x
A I =8 B =
3
I C I =4 D I =2
Câu 7: Cho cấp số nhân vô hạn 1, , 1, ,( 1) ,
2
n n
−
− − Tính tổng S của cấp sốđã cho
A
3
S = − B
2
S = C S = −1 D
4
S= −
Câu 8: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn −1?
A
2
lim
2
n n
n n
+
− − B
2 3
lim
2
n n
n
−
+ C
2
lim
2
n n
+
− D
3
lim
3
n
n +
Câu 9: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn 1, , 1, ( 1) ,
2
n n
−
− −
A
4
S= − B
3
S= − C
2
S= D S= −1
Câu 10: Tính M=lim 1(3 +n3 −n)
A M =3 B M = +∞ C M=2 D M=0
Câu 11: Tính
π
= +
2
lim
4
n n n
N
A N = +∞ B =
4
N C
π
=
(65)Câu 12: Biết
3 2
3 2
3
2
lim lim
4 13
x x
x x x ax bx
x x x cx dx
→ →
− − − = + +
− + − + + , với a b c d, , , ∈ℤ Tính P=abcd
A P=6 B P= −8 C P= −2 D P=4
Câu 13: Tính Q=lim 5( n−cos nπ)
A Q= −1 B Q=1 C Q=0 D Q= +∞
Câu 14: Tính
2
2
3 2( 5)
lim
6
n n
n n
M
+ − →+∞
+ − =
−
A
6
M = B M =1 C M =102 D M =108
Câu 15: Tính
− + +
=
+
3
2
4
lim
2
n n n n
K
n
A K =1 B K =4 C K =3 D K=2
Câu 16: Biết
→1 + − =−
3 lim
1
x
x a
x b với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A ab=4 B a+3b=5 C a b+ =7 D b−2a=3
Câu 17: Tính P=lim (0.99) cos ( n n)
A =
10
P B =11
10
P C P=0 D =
2 P
Câu 18: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn có giới hạn +∞?
A
2 1
lim
2
n n
n
− +
− B
2
3
limn n
n n
− +
+ C
2
2
lim
3
n n
n n
−
+ D
3
2
lim
2
n n
n n
+ −
−
Câu 19: Tính
→
− −
=
−
2
2
lim
49
x
x K
x
A K =0 B K = −56 C = −
56
K D K= +∞
Câu 20: Cho hàm số: ( )
3 2
2
neáu 0, ( )
2 12 neáu
x
x x
y f x x x
x x x
+ −
≠ ≠ −
= = +
− + =
Khẳng định sai ?
A ( )
→
+ −
= +
x x
x x
3
2
lim 12 B Hàm số gián đoạn x=0
C ( )
→
=
x
f f x
0
0 lim ( ) D Hàm số liên tục x=0
Câu 21: Biết ( )
2
2
2
( 2)
8
lim lim
( 2)( )
11 18
x x
x ax bx c
x
x x d
x x
→− →−
+ + +
+ =
+ +
+ + , với a b c d, , , ∈ℤ Tính S= + + +a b c d
A S= −2 B S=9 C S=4 D S=12
Câu 22: Tính
→
− − =
−
3
10
lim
2
x
x P
x
A =
24
P B =
12
P C P=2 D = −
12
(66)Câu 23: Cho hàm số
2
với 1,
( ) với với
x
x x
x
f x x
x x
< ≠
= =
≥
Trong mệnh đề đây, mệnh đề ?
A Hàm số liên tục điểm trừ điểm x thuộc đoạn [0;1]
B Hàm số liên tục điểm trừđiểm x=1
C Hàm số liên tục điểm trừđiểm x=0
D Hàm số liên tục điểm thuộc ℝ Câu 24: Cho hàm số
2 ( )=a−x
f x
x Tính limx→−∞ f x( )
A lim ( )
x→−∞ f x = +∞ B xlim→−∞ f x( )=1 C xlim→−∞ f x( )= +∞ D xlim→−∞ f x( )= −1
Câu 25: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn +∞?
A
3
2
lim
2
n n
n n
+ −
− B
2
3
limn n
n n
− +
+ C
2
2
lim
3
n n
n n
−
+ D
2 1
lim
2
n n
n
− + −
Câu 26: Tính = ( − ) ( )+
−
3
5
2
lim
1
n n
M
n
A = −27
4
M B = −3
4
M C =27
4
M D =
4
M
Câu 27: Tính =lim −2
2
n n
K
n
A = −1
2
K B K = −1 C K =2 D =1
2
K
Câu 28: Biết →
+ − + =
x
x x a
x b
3
1
lim với a b, ∈ℤ Mệnh đề sai ?
A b a− =5 B ab+ =1 C 2a b+ =8 D 2a+3b=5
Câu 29: Tính = − −
1
lim
2
n
H n
n n
A H =2 B = −1
2
H C H = −2 D H= +∞
Câu 30: Tính →
+ − −
=
− −
3
3
lim
6
x
x x x
J
x x
A =11
15
J B =15
11
J C J =15 D =15
10
J
Câu 31: Tính = −
2 2
sin
limn n n
J
n
A J =3 B J = −3 C J =2 D J=0
Câu 32: Tính
−
→
− =
− −
3
3
lim
3
x
x M
x x
A M =0 B M = −∞ C = −
6
(67)Câu 33: Tính
→−∞
− + − +
=
−
x
x x x
J
x
3
5
lim
2017
A J = +
39 5
4 B
− =
J
39 5
4 C J =
9.
4 D J=
1.
Câu 34: Tính =lim
!
L
n
A L=1 B =
1000
L C L =0 D = 19
10
L
Câu 35: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,5111 biểu diễn phân số đây?
A 46
90 B
6 .
11 C
43.
90 D
47. 90
Câu 36: Cho phương trình 1=0 (1)
x Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ?
A Hàm số f x( ) x
= liên tục khoảng (−∞;0) (0;+∞)
B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−1;1 )
C Phương trình (1) vơ nghiệm
D Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−1;1 )
Câu 37: Tính ( )
→+∞
= lim 3 + + −1 3
x
H x x x
A =
6
H B =
3
H C H =0 D =1
6
H
Câu 38: Tính = −
2
2sin lim 10 n G
n
A G=10 B G= +∞ C G=9 D G=0
Câu 39: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 1− ?
A
2
2
lim
3
x
x x
x x
→+∞
+ −
+ B
3 2
3
lim
5
x
x x
x x
→+∞
− +
− C
2
lim
5
x
x
x x
→−∞
+
− D
2 1
lim
1
x x
x
→−∞
− +
Câu 40: Biết
→2 + − =+ −
2 lim
7
x
x a
b
x với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A 2a b− =1 B a b+ =5 C ab+ =1 D b a− =1
Câu 41: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A Hàm số
2 3 2
1
x x
y
x
− +
=
− liên tục khoảng (−∞;1) (1;+∞)
B Hàm số y= +x cosx liên tục ℝ
C Hàm số y=cotx liên tục ℝ
D Phương trình x4 −3x3+ − =x có nghiệm khoảng ( 1;3).−
Câu 42: Tính ( )
( )( )
+ −
+ −
→+∞
− =
− −
2
2
4
lim
2
n n
n n
n L
A L=16 B L=4 C L =24 D L=36
(68)A P= −3 B =1
3
P C P=0 D P=2
Câu 44: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1( )
1
,
1
n
u q
S q
q
−
= <
−
B Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ,
1 u
S q
q
= < −
C
0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x→x f x +g x =x→x f x +x→x g x
D Hàm sốđa thức liên tục toàn tập số thực ℝ
Câu 45:Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A O H T N U, , , , , với:
3
lim
n A
n
+ =
−
4
2
lim
1
x
x x
O
x
→−
+ +
=
−
1 lim
2
x x H
x
+
→
− =
+
( )
6 2
4
lim
2
x
x x x
T
x
→−∞
+ + − =
+
4 cos
lim
3n
n n
N
n
+
= +
1 lim
1
x U
x x x
→+∞
=
+ + −
Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng
A HUAN B TOAN C THOA D TUAN
Câu 46: Tính
→
− + − + −
=
− +
2
2
2 6
lim
4
x
x x x x
N
x x
A N = −3 B =2
3
N C N =1 D = −1
3
N
Câu 47: Tính
→
+ + −
=
x
x x
M
x
3
2 1
lim
A M = +∞ B M =2 C M= −4 D M =1
Câu 48: Tính ( )
→+∞
= + + −
x
J lim 3x2 x x
A J =
2 B J =
3.
3 C J =0 D J=
1.
Câu 49: Tính =
+ −
2
2
lim
2
n n I
n n
A I =2 B =1
2
I C I =0 D I =3
Câu 50: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780 dạng phân số ?
A 999
10000 B
926
333 C
278
333 D
278 333
Câu 51: Tính =
+ +
lim
1 n L
n n
A L =0 B L= −2 C =1
2
L D L=1
(69)A
0
lim
1
x x x
→ + B x→− ( )+
x
x
1
lim
1 C xlim cos →+∞ x D
2
lim
1
x x x
→−∞
+ +
Câu 53: Biết ( )
3
3 27
lim 27
x
x
m x
→
+ −
+ =
Tìm m
A m=0 B m=1 C m= −9 D m=27
Câu 54: Tính →
− − +
=
−
x
x x
I
x
3 2
6
lim
4
A I = −7 B I =
48 C I = −
7 .
48 D I = −
1 . 48
Câu 55: Biết
→ − + − =+
x x
a x
2
0
1
lim ,
4 16 với a∈ℤ Tính
1
S a
a
= +
A S= −4 B S=2 C S= −17
4 D S= −
1.
Câu 56: Tính ( )
( )( )
+ −
+ −
→+∞
− =
− −
n n
n n
n K
2
2
4
lim
2
A K =24 B K = −24 C K =42 D K = −42
Câu 57: Cho phương trình x3+3x2−4x− =7 (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ?
A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−2;0 )
B Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−4;0 )
C Hàm số f x( )=x3+3x2−4x−7liên tục ℝ
D Phương trình (1) nghiệm khoảng ( )1;3
Câu 58: Tính = + − − −
+
2 1 4 2
lim
3
n n n
J
n A = −1
3
J B J = −1 C J =0 D J= −2
Câu 59: Tính = +
1
lim 2n
K
n
A K =2 B K = +∞ C K =0 D K=3
Câu 60: Biết →
+ − + =
− − −
1
8
lim
5
x
x x a
b
x x với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A a b = −84 B 2a b− =2 C a−2b=17 D a b+ =20
Câu 61: Tính = −
+
3
lim
2.4
n n
n n
H
A H = −1 B H = −2 C = −1
2
H D =1
2
H
Câu 62: Tính = − +
+
3
2
lim n n
L
n n
A = −1
3
(70)Câu 63: Biết
1
1 lim
6 3
x
x
a
x x
→−
+ =
+ + Tính
a a
a a a
H = +P A +C
A H =105 B H =3 C H =9 D H =55
Câu 64: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780 dạng phân số ?
A 96
33 B
999 .
10000 C
278.
333 D
926. 333
Câu 65: Cho phương trình −4x3+4x− =1 (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ?
A Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−2;0 )
B Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng 3;1
2
−
C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−∞;1 )
D Hàm số f x( ) 4= x3+4x−1 liên tục ℝ Câu 66: Tính
→
+ − + =
x
x x
L
x
3
1
lim
A L =2 B L= −3 C L =0 D L=8
Câu 67: Tính
−
→
− =
− −
x
x P
x x2
3
3
lim
3
A P= −
6 B P=0 C P=2 D P= −∞
Câu 68: Tính tổng S= +1 0,9 (0,9)+ 2+(0,9)3+ + (0,9)n−1+
A
10
S= B S=11 C S=10 D S=9
Câu 69: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0?
A lim
3.2
n
n n
+
− B
2
lim
1
n n
+ −
C
3
1
lim
2
n
n n
−
+ D
( )( )2
3
2
lim
2
n n
n n
+ −
−
Câu 70: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn 1, , 1, ( 1) ,
2
n n
−
− −
A
3
S= − B S= −1 C
4
S= − D
2
S=
Câu 71: Biết ( )+
−
+ =
1
( 1)
1 lim
2 3.2
n n
n
a
b, với a b, ∈ℤ Tính
2
S=a −b
A S= −1 B S=3 C =1
2
S D S= −3
Câu 72: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,313131…dưới dạng phân số ?
A 31
99 B
100.
99 C
13.
99 D
32. 99
Câu 73: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131 dạng phân số ?
A 2129
999 B
212.
999 C
219.
999 D
(71)Câu 74: = − +
+
3
3
lim
4
n n
K
n
A K =3 B K =0 C K = +∞ D =1
3
K
Câu 75: Biết
→− − − + =+
2
6 lim
3
x
x x a
b
x x với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A ab− =2 B 3a b+ =10 C a b+ =2 D a−2b= −1
Câu 76: Tính F=lim( n4+2n2 −n2)
A F=0 B F= −1 C F=2 D F=1
Câu 77: Tính
→
= − −
−
3
1
1
lim
1
x L
x x
A = −1
2
L B L= −1 C L =0 D L=4
Câu 78: Tính
+
→
= − −
−
x N
x x2
2
1
lim
2
A N =2 B N = −∞ C N=
32 D N =0
Câu 79: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A Hàm số
2 3 2
2
x x
y x
+ +
=
+ liên tục khoảng (−∞ −; 2) (− +∞2; )
B Hàm số y= +x sinx liên tục ℝ
C Hàm số y=tanx liên tục ℝ
D Phương trình x5−3x4+5x− =2 có ba nghiệm nằm khoảng (−2;5 ) Câu 80: Cho hàm số
2
2
( 1)
1 ( )
9
3
−
=
−
=
−
≠
− +
m x
x m
f x
x
x x
Với giá trị tham số m hàm số f x( )liên tục x=3
A m= −18 B
13
= −
m C
13
=
m D m=18
Câu 81: Tính N =limn n2( − n2+1 )
A N =1 B N = −∞ C N=0 D N =2
Câu 82: Trong hàm số sau đây, hàm số liên tục x=1
A
− +
>
= −
+ ≤
x x
x
f x x
x x
2 5 4
( ) 1
3
B f x( )= − x
C
− +
≠
= −
− =
x x
x
f x x
x x
2 3 2
( ) 1
D = −
− +
x f x
x2 x
2
( )
6
Câu 83: Tính
→
− − =
− −
x
x K
x
4
3
lim
2
(72)Câu 84: Tính = + +
+ −
2 3
1
lim n n
T
n n n
A =1
2
T B T = +∞ C T =2 D T =1
Câu 85: Tính L=lim 2( n−2n+3 )
A L =2 B L= −∞ C L =3 D L= +∞
Câu 86: Biết
2
3
2
lim 10
8
→−∞
− +
+ + =
− − +
x
x x x
m
x x x
Tìm m
A m=0 B m=5 C m=10 D m=1
Câu 87: Tính ( )
→+∞
= + − +
x
Q lim 2x 9x2 x
A Q= −∞ B Q= +∞ C Q= −1 D Q=0
Câu 88: Biết ( )
3
3 27
lim 29
x
x
m x
→
+ −
+ =
Tìm m
A m=2 B m=27 C m= −9 D m=1
Câu 89: Tính
−
= +
−
2 2 cos
lim
2
n n
n n n
Q
n
A Q=2 B Q=0 C =1
2
Q D = −1
2
Q
Câu 90:Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A O H T N U, , , , , với:
3
lim
n A
n
+ =
−
4
2
lim
1
x
x x
O
x
→−
+ +
=
−
1 lim
2
x x H
x
+
→
− =
+
( )
6 2
4
lim
2
x
x x x
T
x
→−∞
+ + − =
+
4 cos
lim
3n
n n
N
n
+
= +
1 lim
1
x U
x x x
→+∞
=
+ + −
Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng
A TOAN B TUAN C THOA D HUAN
Câu 91: Tìm tham số m để hàm số:
3
( )
( 2) 10 − −
>
= = − +
− − + ≤
x
x
y f x x x
m x mx x
liên tục x0 =2
A
18
= −
m B 103
108
= −
m C 103
108
=
m D
18
=
m
Câu 92: Hàm số sau liên tục x0 =1?
A
2
2 3
( ) .
1
x x
f x
x
− −
=
− B
2 5 1
( ) .
2 3 1
x khi x f x
x x x khi x
− ≥
=
− + − <
C f x( )= x−2. D
2
9 8
1
( ) 1 .
7 1
x x
khi x
f x x
khi x
− +
≠
= −
− =
(73)A
0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x→x f x +g x =x→x f x +x→x g x
B Hàm sốđa thức liên tục toàn tập số thực ℝ
C Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ,
1 u
S q
q
= < −
D
→−∞ = +∞ <
k
xlim ax ,a
Câu 94: Biết →
+ + − =
0
9
lim
x
x x a
x b, với a b, ∈ℤ Mệnh đề ?
A a b− =1 B 2a b+ =16 C ab+ =1 12 D 2a+3b=30
Câu 95:Tên học sinh mã hóa số 5301 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, H, N O với
( )
3 5.4
lim ; lim ; lim ; lim
2
n n
n
n n
A H n n n N O
n n
− − −
= = + − = =
+ + −
Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu tương ứng
A OANH B NHOA C HOAN D HANO
Câu 96: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0?
A
3
1
lim
2
x
x
x x
→+∞
−
+ B
( )( )2
3
2
lim
2
n n
n n
+ −
−
C
1
2
lim
1
x x x
−
→
+
− D
2
lim
3.2
n
n n
+ −
Câu 97: Tính = ( )−
+
lim
2
n E
n
A E=0 B = −1
2
E C =1
2
(74)PHIẾU ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 A
B C D
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 A
(75)§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A
B C D
ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 A