Tổng hợp các dao động điều hòa

Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó... Xác định thời điểm đầu tiên[r]

(1)

http://tuyensinh247.com/

A Tổng hợp hai dao động điều hòa phương Xét hai dao động điều hòa phương dao động A1 = A2 = a có dạng

Dao động tổng hợp x = x1

Áp dụng công thức lượng giác cosa ta có

Như dao động tổng hợp dao động điều hịa tần số có pha ban đầu



 Chú ý thường biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường viết dưới dạng có giá trị nhỏ

viết ( – ) (ví dụ

B Tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số Xét hai dao động điều hòa phương

Dao động tổng hợp hai dao động x Để tổng hợp hai dao động ta áp dụng

hình chiếu chuyển động trịn xuống trục ox Phương pháp giản đồ vecto:

Một dao động điều hòa đư : Gốc O

Phương: hợp với Ox góc Độ dài A hay tỉ lệ với A

-Biểu diễn x1 = A

     x x 

 cos

2 cos

2 2 1 a

x

2 cos

2 2 1

 a A 2        cos  2   

   cos

  2     có A         ( ) ,

( 1 1

1 1 t ox A A A A    

Tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số, biên độ Xét hai dao động điều hòa phương dao động, tần số, biên độ

1 + x2 = acos(t + 1) + acos(t + 2)

Áp dụng công thức lượng giác cosa + cosb =

Như dao động tổng hợp dao động điều hịa tần số có pha ban đầu là:

Chú ý thường biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường viết dưới dạng có giá trị nhỏ  nên  < thì pha ban đầu

 ) Tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số: Xét hai dao động điều hòa phương, tần số:

Dao động tổng hợp hai dao động x = x1 + x2

Để tổng hợp hai dao động ta áp dụng tính chất mối liên hệ dao động điều hịa hình chiếu chuyển động tròn xuống trục ox

ản đồ vecto:

được thay vecto hay: ợp với Ox góc

ằng A hay tỉ lệ với A

= A1cos(t + 1) véc tơ

; x2 = A2cos(t + 2) véc tơ

    ) cos( ) cos(     t a t a cos cos

2 ab ab         cos  2 1

t     2   2       2      2        5       cos( cos( 2 1   t A x t A x A x cos( 

)

O

Tổng hợp dao

điều hòa

1 cùng biên độ:

cùng biên độ

Như dao động tổng hợp dao động điều hịa tần số, có biên độ

Chú ý thường biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường viết thì pha ban đầu

tính chất mối liên hệ dao động điều hòa   ) )   t A t )   cos( 

(2)

2 ;

cả hai véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc khơng đổi  - Hình chiếu điểm đầu Véc tơ mô tả dao động tổng hợp x dao động điều hòa x = Acos(t + )

-Biên độ A xác định: ,

-pha ban đầu xác định

-Độ lệch pha hai dao động:

Xét hai dao động điều hòa:

Độ lệch pha hai dao động:

Nếu: : dao động sớm pha dao động : dao động trễ pha dao động

: Hai dao động pha : Hai dao động ngược pha

:Hai dao động vuông pha

- Nếu  = k2 hai dao động pha  biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại A = A1 + A2

- Nếu  = (2k+1) hai dao động ngược pha  biên độ dao động tổng hợp cực tiểu A=A1– A2

- Nếu  hai dao động vuông pha  biên độ dao động tổng hợp

Như biên độ dao động tổng hợp ’

C Phương pháp giải toán tổng hợp dao động: 1.Tổng hợp hai dao động nhờ giản đồ véc tơ:

Giả sử vật thực đồng thời hai dao động điều hòa phương tần số

Dao động tổng hợp

Dùng phương pháp giản đồ vecto: ;

Cho vecto A1 A2 quay theo chiều dương lương giác với tốc độ góc  vecto tổng

A có độ dài khơng đổi quay xung quanh O với tốc độ góc  hình chiếu xuống Ox biểu diễn dao động điều hòa

Vi tổng hơp hai dao động điều hòa phương tần số dao động điều hòa phương tần số

Trong

Biên độ: hay

    

  

) ( ) ,

( 2 1

2 2

t ox

A A A A



  

2 A A A    

  



 A12 A22 2A1.A2.cos A

2 1

cos cos

sin sin

tan

 



A A

  

) cos(

)

cos( 2

1

1  A t và x  A t x

2      

2

0  

    

2

0  

    

0; K2

 

 

 

 ,(2 1)

 K

, (2 1)

2 K

 



   





2

2 

  

 k

2 2 A A A 

2

1 A A A A

A    

) cos(

)

cos( 1 2 2 2

1

1  A t và x  A t x

2 x x x 

1 1

1 A cos( t ) A x     

2

2 A cos( t ) A x     

2

1 x A A A x

x      

) cos(  A t x

2

1cos A cos A

Ax   Ay  A1sin1A2sin2

2

y

x A

A

(3)

3

Pha ban đầu :

Lưu ý:bien độ dao động tổng hợp phu thuộc vào Các trường hợp đặc biệt:

Hai dao động pha: 

Hai dao động ngược pha: 

Hai dao động vng pha: 

Hai dao động có biên độ nhau:

 trường hợp nhỏ: ; ;

Tổng quát

2.Tổng hợp hai dao động nhờ số phức:

A Cơ sở lý thuyết:

+Dao động điều hồ x = Acos(t + ) có thể biểu diễn vectơ quay có độ dài tỉ lệ với biên độ A tạo với trục hồnh góc góc pha ban đầu  Hoặc biểu diễn số phức dạng: z = a + bi.Trong tọa độ cực: z =A(sin +i cos)

(với môđun: A= ) hay Z = Aej(t + )

+Vì dao động có tần số góc  nên thường viết quy ước z = AeJ,

Trong máy tính CASIO fx- 570ES, ESPlus kí hiệu dạng là: r   (ta hiểu là: A ).

+Đặc biệt giác số  phạm vi: -1800<  < 1800 hay -< <  phù hợp với toán tổng hợp dao động Vậy tổng hợp dao động điều hoà phương, tần số phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng số phức biểu diễn dao động

B Giải pháp thực phép công trừ số phức:

Cộng số phức:

Trừ số phức: ;

5/ Một số tập tổng hợp:

Câu 1. Cho hai dao động điều hoà phương x1=2cos (4t + )cm x2=2cos(4t +

)cm Với Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2 cos (4t + )cm Pha ban đầu

A B - C D

-Câu 2. Hai lắc lị xo giống có khối lượng vật nặng 100 (g), độ cứng lò xo 102 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền (vị trí cân

2 1

cos cos

sin sin

tan

 



A A

x y

  



 0,K2

 Amax  A1 A2 



  ,(2 1)

 K Amin  A1A2

2 ) ( ,

 

  

 K

2 A A A 

2 cos 1   A

A

2     

3  A A1 

 

2 A A1 

  1

3

A A     max

min A A

A  



A

2 a b

1 2

A







A







A





2 1

A







A







A





A







A







A





1

 2

    

 2 1

6 

1 

2 

3 

6 

(4)

4 hai vật gốc tọa độ) theo phương trình x1 = 6cos( t- ) cm, x2 = cos(

t-)cm Xác định thời điểm khoảng cách hai vật đạt giá trị cực đại?

A (3/40)s B (1/40)s C (1/60)s D (1/30) s

Câu 3: Cho dao động phương có phương trình x1=2Acos(10 t+ /6), x2=2Acos(10 t+5 /6) x3=A(10 t- /2) (với x tính m, t tính s) Phương trình tổng hợp ba dao động

A x=Acos(10 t+ /2) cm B x=Acos(10 t- /2) cm

C x=Acos(10 t+5 /2) cm D x=Acos(10 t-5 /2) cm

Câu 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa phương tần số có

phương trình ; ;

Tại thời điểm giá trị li độ cm, , cm Tại thời điểm giá trị li độ = −20cm, = 0cm, = 60cm Biên độ dao động tổng hợp

A 50cm B 60cm C cm D 40cm

Câu 5: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa phương tần số x1, x2,

x3

Biết x12 = cos(5t – 3π/4) cm; x23 = 3cos(5t)cm; x13 = sin(5t - π/2) cm Phương

trình x2

A x2 = cos(5t - π/4)cm B x2 = cos(5t + π/4)cm C x2 = cos(5t + π/4)cm C x2 = cos(5t - π/4)cm

Câu 6: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa phương tần số có phương trình x1, x2, x3

Biết ; ; Khi li

độ dao động x1 đạt giá trị cực đại li độ dao động x3 là:

A 0cm B 3cm C cm D

cm

Câu 7. Một vật thực đồng thời dao động điều hoà pha, tần số có phương trình là: x1 = A1cos(2 t + ) cm; x2 = A2cos(2 t)cm; x3 = A3cos(2 t -

)cm.Tại thời điểm t1 giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = -40cm, thời điểm t2 = t1

+ T/4 giá trị ly độ x1 = - 20 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 cm Tìm phương trình dao

động tổng hợp

A x2 = 40cos(2πt - π/3)cm B x2 = 40 cos(2π t + π/4)cm C x2 = 4cos(2π t + π/3)cm C x2 = cos(2π t - π/4)cm Câu 8: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa phương tần số x1, x2,

x3 Với x12 = x1 + x ; x23 = x2 + x ; x13 = x1 + x 3; x=x1 + x2 + x3 Biết: x12=6cos(πt+

π/6)cm ; x23=6cos(πt +2π/3)cm; x13=6 cos(πt + 5π/12) cm Tìm x biết x

=x1

+x3

A 6 cm B 6cm C 24cm D

cm

Câu 9: Ba dao động điều hào phương số x1; x2 x3, có dao động tổng hợp

từng đơi ;

Phương trình dao động thành phần thứ 

2 

 

 

   

) / cos(

1

1 A t

x x2 A2cos(t) x3  A3cos(t /2)

t x110 x2 15cm x3 30

t x1 x2 x3

3 40

2

12

x 6cos( t )cm



   x23 6cos( t )cm

3



   x13 cos( t )cm

4



  

3



3 

 

3 

3

2

12 cos(2 / 3)

x  t cm x232 cos(2t5 / 6) cm 31 cos(2 )

(5)

5

A cos ( t + ) cm B cos ( t - ) cm

C 2 cos ( t + ) cm D cos ( t + ) cm

Hướng dẫn chi tiết: Câu 1. Do A1=A2=2 nên

Vì  (1)

Do A1=A2 pha ban đầu tổng hợp (2)

Từ (1) (2) φ1 = - φ2 = Chọn D Câu 2.GIẢI:

* Khoảng cách: x = x1 – x2 = Acos(wt + )

 x1 = x2 + x  vẽ giản đồ

 A = cm ;  = - /4  x = cos(wt – /4)

* Khoảng cách vật cực đại xmax cos(wt – /4) = 

 10t – /4 = k  t = 1/40 + k/10

Thời điểm đầu tiên: k =  t = 1/40s. Chọn B

Câu 3.HD: Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có A

0

Từ suy ATT = =A; Pha ban đầu tan = nên = /2.Vậy chọn A Câu

Giải 1: x1 x2 vuông pha nên:

X2 x3 vuông pha nên: Tại t2

Tại t1

.Chọn A Giải 2:

2 

2 

3  

3   

2 

1

2 cos 2.2cos cos cos

2 2

th

A  A         

    

 2

2

2 2 3

    

  

 

        

3

2

1     



      

6 

2 

2

1sin 2sin 3sin

x

A  A  A  A  

1 s s s

y

A A co  A co  A co  

2

x y

A A  x

y

A

A  

2

1

   

 

   

   

x x

A A

2

3

2

1

 

  

 

   

x x

A A

2

1

20

1 20

   

   

   

   

A cm

A A

2

2 2

1

2

1 2

10 15

1 30

20

 

      

        

       

       

x x

A cm

A A A

2

3

2 3

15 30

1 60

30

 

   

        

     

 

     

x x

A cm

A A A

2

2 ( 1) 50

   

A A A A cm



A A1

(6)

6 * Tại thời điểm t2:   A1 = 20cm Tương tự  A3 = 60cm

* Tại thời điểm t1:  A2 = 30cm

 A3 = 60cm

* Vẽ giản đồ  A = 50cm Chọn A Câu 5.Giải 1:

Theo ta có hệ:

Câu 5.Giải 2: Ta có: Chọn A

Câu 6:Giải:

- Ta thấy x3 sớm pha x1 góc  x1 max x3=0 Chọn A Câu 7. Giải: Cách làm nhanh dùng máy tính fx 570 ES

Sau khoảng gian T/4 góc qt dao động /2 nên x1 x’1 vuông pha

Do A1

= x1

+ x’1

= (- 20)2 + (- 20 )2 suy A1 = 40cm

Tương tự có: A2 = 80cm ; A3 = 80cm

Dùng máy tính tính dao động tổng hợp ! x = x1 + x2 + x3

Thao tác bấm máy: 40 120 + 80 +80 -120 = 40 -60

Kết cho ta có: A = 40cm φ = π/3.Vậy phương trình tổng hợp là: x = 40cos(2 πt -π/3) cm.

Chọn A Câu 8.Giải:

* Phương trình dao động tổng hợp là:

x=x1 + x2 + x3 =

* Tương tự ta có:

2 2 2

1

x x

A  A 

2

1 x A 





2

2 10 15

1

20 A



 

 





2

3 30 15

1

30  A 





 



 



 

12

23

13

3

x x x cos 5t cm

4

3

x x x 3cos 5t cm 2x 5cos 5t 3cos 5t cos 5t

4

x x x 5sin 5t cos 5t cm

2

  

     



 

 

  

       

  

 





 

      

 

  







2

x 2cos 5t cm 

 

   

 

12 23 13

2 13 13 2 cos

2

x x x

x xx    x   t cm

 

12 13 23

x x x

x

2 12

  

   13 23 12

3

x x x

x

2 12

  

  

2



   

12 23 13

2

6 6

5

6 12 6 2 6 os

2 12 12

x x x

x c t cm

  

 



    

   

       

 

1 23 13 12

6 cos

6

2 cos

3

x x x t cm

x x x

x x x t cm

 

  

     



 

 

   



 

      

  

(7)

7 * Theo x2=x1

2

+x3

x=x1 + x2 + x3 = x1 + x3  x1x3=0

Chọn B

Câu 9Giải:: x12 = x1 + x2 x23 = x2 + x3

= > x12 + x23 = 2x2 + x1 +x2 = > x2 = (x12 + x23 - x13 ) /

Thay số: x2 = (2 (/3) +  (5/6) - 2 )/2=  /2  chọn D

Giải 2::x12 + x23 – x13 = 2x2

= +

2x2 = cm  Chọn D

1

0 6 2

0

3

t k

x x

t k

 



   

 

  



    



5

12

6 cos

5 12

12

t k

x t cm

t k

 



  

  

      

 

   



3

12 cos(2 / 3)

x  t cm x232 cos(2t5 / 6) cm x312 cos(2t)cm

co s(  t )

2 3 2

2 x co s( t )cm



  