Bài Tập Phân Thức Nâng Cao

[r]

(1)

Võ Tiến Trình BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC (Lớp nâng cao)

Dưới số rút gọn phân thức lớp mà sưu tầm Phần A Các tập ví dụ tơi có giải để làm mẫu, phần B Bài tập sẽ gồm tập

để em tự rèn luyện, hi vọng tài liệu giúp ích cho em

A. Các tập ví dụ Bài 1. Cho phân thức

    

   

2

2 2

2

a b c a b c ab bc ca

A

a b c ab bc ca

      



    

a) Tìm điều kiện a b c, , để phân thức A có nghĩa

b) Rút gọn phân thức A

Giải

a) Xét mẫu thức:

 2   2

0

a b c  abbcca  a b c abbcca

2 2

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca

      

a b2 b c2 c a2 a b c

          

Vậy phân thức A có nghĩa a b c, , không đồng thời không nghĩa a2 b2 c2 0

b) Ta có: a b c2 a2 b2 c2 2abbcca

Đặt a2 b2c2 x ab bc;  ca y

Ta có:     

   

 

2

2 2

2

a b c a b c ab bc ca x x y y

A

x y y

a b c ab bc ca

        

 

 

(2)

Võ Tiến Trình

 

2

2 2

2 x y

x xy y

x y a b c ab bc ca

x y x y



 

         

 

Bài 2. Rút gọn phân thức

     

3 3

2 2

b c c a a b

B

a b c b c a c a b

    



    

Giải

Xét mẫu thức:

a2bcb c2 ac2aba b2 ab2  b c2 a c2 c2ab

      

      

2

ab a b c a b a b c a b

a b c ac ab bc a b b c c a

      

         

Mà ta có:

   

           

  

3 3 3

3 3 2

2 2

3 3

3

x y z xyz x y xy x y z xy x y xyz

x y z xy x y z x y z x y x y z z xy x y z

x y z x y z xy xz yz

          

 

               

 

       

Do x y  z x3  y3 z3 3xyz

Đặt x b c y;  c a z; ab ta có: x y z

     

   

3 3 3 3 3 3

2 2

3

b c c a a b b c c a a b x y z

B

a b c b c a c a b a b b c c a xyz

xyz xyz

           

  

         

  



Bài 3. Rút gọn phân thức:

     

2 2

2

a b c b c a c a b

C

ab ac b bc

    



(3)

Giải

Xét tử thức: a2bcb c2 ac2ab ab b c c a

Xét mẫu thức: ab2 ac2 b3 bc2 b2abc2ab  ab b c b c

Vậy          

   

2 2

2

a b c b c a c a b a b b c c a a c

C

ab ac b bc a b b c b c b c

         

  

      

     

3 3

2 2

3

a b c abc

D

a b b c c a

  



    

Giải

Xét tử thức:

   

         

          

3 3 3

3 3 2

2 2

3 3

3

1

a b c abc a ab a b b c ab a b abc

a b c ab a b c a b c a b c c a b ab

a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a

          

 

             

 

 

               

 

Vậy

     

       

     

2 2

3 3

2 2 2

1

3 2 a b c a b b c c a

a b c abc

D

a b b c c a a b b c c a

 

      

    

 

         

 

1

2 a b c

  

     

3 3

2 2

3

a b c abc

E

a b b c c a

  



    

Tương tự 4, ta có 1 

2

(4)

Võ Tiến Trình Bài 6. Rút gọn

        

1 1

F

a b b c b c c a c a a b

  

     

Giải

        

   

1 1

0

F

a b b c b c c a c a a b

c a a b b c

a b b c c a

  

     

    

 

  

Bài 7. Rút gọn

        

1 1

G

a a b a c b b c b a c c a c b

  

     

Giải

        

     

   

     

   

  

   

2 2

2

1 1

1

G

a a b a c b b c b a c c a c b

bc b c ac c a ab a b

abc a b b c c a

c b a c a b ab a b

a b ca cb c ab

a b b c c a

abc

  

     



  

    



  

   



  



  



(5)

2 2 2

a b c b c a

H

     

     

Giải

2 2 2

0

a b c b c a

H

a b b c c a

     

     

  

  

  

      

Bài 9. Cho a  b c Tính

2 2

4 4

2 2

bc a ca b ab c

I

bc a ca b ab c

  



  

Giải

Do a   b c a bc

Ta có: 4bca2 4bc  bc2 2bcb2 c2  bc2

    

2 2

2

bc a a bca a bca bc  ab ac

Như  

  

2

4

b c bc a

bc a a b a c

 

 

  

Tương tự ta có:  

  

 

  

2

4

;

2

c a a b

ca b ab c

ca b b a b c ab c c a c b

   

 

 

     

Vậy

 

  

 

  

 

  

2 2

4 4

2 2

1

bc a ca b ab c

I

bc a ca b ab c

b c c a a b

a b a c b a b c c a c b

  



  

     



     

(6)

Võ Tiến Trình Bài 10 Cho phân thức

        

a b c

J

a b c a a b b c b c c a

  

     

a) Tìm điều kiện a b c, , để phân thức có nghĩa

b) Khi giá trị phân thức xác định, chứng minh giá trị phân thức không phụ

thuộc vào a b c, ,

Giải

a) Điều kiện: a  b c a

b)

        

     

       

a b c

J

a b c a a b b c b c c a

a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc

a b b c c a a b b c c a

  

     

         

  

     

Bài 11. Cho ba số a b c, , thỏa mãn a  b c 0; , ,a b c0

1 1

a b c  a b c

Chứng minh 20111 20111 20111 2011 20111 2011

a b  c  a b c

Giải

Ta có:  

     

   

1 1 1 1

0

a b c a b c a b a b c c

c a b c

a b

a b c a b c ab

ab c a b c

a b b c c a

      

   

  



        

 

    

Như tương tự ta có:

2011 2011 2011 2011 2011 2011

1 1

(7)

Võ Tiến Trình  2011 2011 2011 2011 2011 2011

0

a b b c c a

    

Mà a2k1b2k1ab a 2k a2k1ba2k2b2 b2kab Như ta có:

 2011 2011 2011 2011 2011 2011    

0

a b b c c a   ab bc c a Q

a b b c c a

     (đúng theo điều kiện cho)

Bài 12 (Bài tổng quát) Cho ba số a b c, , thỏa mãn a  b c 0; , ,a b c0

1 1

a b c  a b c

Chứng minh 1n 1n 1n n 1n n

a b c  a b c với n lẻ

Bài 13. Cho ba số khác a b c, , Tính

        

b c c a a b

K

a b a c b c b a c a c b

  

  

     

Giải

        

1 1 1

2 2

b c c a a b

K

b a a c c b b a a c c b

c a a b a b b c b c c a

a b b c c a

  

  

     

        

  

     

     

     

  

  

Bài 14. Cho abc1 Tính

1 1

a b c

L

ab a bc b ca c

  

     

(8)

Vì abc a bc

   , thay vào L ta được:

1

1 1

1 1 1 1

1

1 1

a b c bc b c

L

ab a bc b ca c b bc b c c

bc bc bc

b bc bc b

bc b bc b bc b bc b

     

           

 

    

       

Bài 15. Cho abcd 1 Tính

1 1

a b c d

M

abc ab a bcd bc d cda cd c dab da d

   

           

Giải

Vì abcd a bcd

   , thay vào M ta

1 1

1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

a b c d

M

b bcd

bcd bc d

bc b

bcd bcd bcd

c d

cd cd c d b d d

bcd bcd bcd

b bc bcd

bcd bc b bcd bc d bcd bc b bcd bc b

   

           

 

  

 

     

    

           

Bài 16. Cho a b c, , thỏa mãn 1

a b c  a  b c abc

Tính N 12 12 12

a b c

  

(9)

Ta có:

2

2 2 2

2

2 2

1 1 1 1 1 1

2

1 1 1

2

a b c

a b c a b c ab bc ca a b c abc

a b c

N

a b c a b c abc

 

   

           

   

   

 

 

        

 

Áp dụng giả thiết cho ta có:

2

2 2

N   

Bài 17. Cho a b c x y z, , , , , thỏa mãn x y z

a  b  c 

a b c

x  y  z 

Tính

2 2

x y z

O

a b c

  

Giải

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

x y z x y z xy yz zx x y z xyc yza zxb

a b c a b c ab bc ca a b c abc

x y z xyz a b c

a b c abc x y z

x y z x y z xyz a b c

O

a b c a b c abc x y z

 

   

           

   

   

 

       

 

 

            

   

Áp dụng giả thiết cho ta có:

2

2 2

2

1

x y z x y z xyz a b c

O

a b c a b c abc x y z

 

           

   

Bài 18. Cho ba số a b c, , khác nhau:

a) Tính

        

ab bc ac

P

b c c a c a a b a b b c

  

     

b) Chứng minh:

     

2 2

a b c

(10)

Võ Tiến Trình 10

Giải

a)

        

     

   

     

   

  

   

2 2

2

1

ab bc ac

P

b c c a c a a b a b b c

ab a b bc b c ca c a

a b b c c a

ab a b c a b c a b

a b b c c a

a b ab ac bc c

a b b c c a

  

     

    



  

    



  

   



  

   

  

  

b)Áp dụng câu a) ta có điều phải chứng minh

B. Bài tập

Bài 1. Cho ba số khác a b c, , Tính

        

b c c a a b

K

  

  

     

Bài 2. Cho abc1 Tính

1 1

a b c

L

ab a bc b ca c

  

     

Bài 3. Cho abcd 1 Tính

1 1

a b c d

M

   

           

Bài 4. Cho a b c, , thỏa mãn 1

(11)

Tính N 12 12 12

a b c

  

Bài 5. Cho a b c x y z, , , , , thỏa mãn x y z

a b c 

a b c

x  y  z 

Tính

2 2

x y z

O

a b c

  

Bài 6. Cho x y z, , 0  

2

2 2

ax by cz

a b c

x y z

 

  

 

Chứng minh: a b c

x  y  z

Bài 7. Cho a  b c Tính

     

2 2

a b c

N

b c c a a b

 



    

Bài 8. Cho a  b c a b c, , 0 Tính

2 2 2 2 2

ab bc ca

K

a b c b c a c a b

  

     

Bài 9. Cho a b c, , số nguyên đôi khác Chứng minh biểu thức sau có giá trị số nguyên

        

3 3

a b c

P

a b a c b a b c c a c b

  

     

Bài 10. Tìm a b c, , biết

2 2

2

a b c a b c

  

Bài 11. Tìm a b, biết a2 b2 12 12

a b

   

Bài 12. Cho biết x y z

a  b c 

a b c

x  y z 

Tính giá trị biểu thức

2 2

a b c

P

x y z

  

Bài 13. Cho biết 1 12 12 12

(12)

Chứng minh a  b c abc

Bài 14. Cho a b c2 a2b2 c2 a b c, , 0 Chứng minh

3 3

1 1

abc

a b  c 

Bài 17. Cho a b c b a c

b  c  a a  c b Chứng minh ba số a b c, , tồn hai

số

     

   

2 2

2 2 a b b c c a

M

a b b c c a a b b c c a

    

   

     

Bài 17. Cho biết a b c b c a a c b

ab bc ac

     

  

Chứng minh ba phân thức vế trái, có phân thức

Bài 18. Rút gọn

  1 12 12 12

M ab bc ca abc

a b c a b c

   

          

   

Bài 19. Cho a b c, , đôi khác 1

a b c  Rút gọn biểu thức sau:

a) 2 2 2

2 2

A

a bc b ac c ab

  

  

b) 2 2 2

2 2

bc ca ab

B

a bc b ac c ab

  

  

c)

2 2

a b c

C

a bc b ac c ab

  

  

Bài 20. Cho số a b c, , khác đôi a b b c c a

c a b

  

  Tính giá trị

biểu thức M a b c

b c a

   

      

(13)

Võ Tiến Trình 13 Bài 21. Chứng minh x yz a 1 1

x y  z  a tồn

ba số x y z, , a

Bài 22. Các biểu thức x y z 1

x y z có giá trị

không?

Bài 23. Cho biết 2abycz, 2baxcz, 2caxby a  b c Tính giá trị biểu thức 1

2 2

M

x y z

  

  

Bài 24. Cho abc2 Rút gọn biểu thức

2

2 2

a b c

M

ab a bc b ac c

  

     

Bài 25. Cho a a b,a 0,c 0,a b 0,b c

c b c



      



Chứng minh: 1 1

a  ab bc c

Bài 26 Cho a b c, , số khác a  b c Rút gọn biểu thức sau: a)

2 2

a b c

M

bc ca ab

  

b)

2 2

2 2 2 2 2

a b c

N

a b c b c a c a b

  

     

Bài 27. Chứng minh a2 bc b abcb2 ac a abc số

, , ,

a b c ab khác 1 a b c

a b c   

Bài 28. Choa b c, , ba số khác thỏa mãn ab bc ca

b c a

  

  abc1

(14)

Bài 29. Cho a b c

bc ca  ab 

Chứng minh

2 2

0

a b c

bcca a b 

Bài 30. Cho a b c

bc ca ab 

Chứng minh:

 2  2  2

a b c

b c c a a b

  

  

Bài 31. Rút gọn biểu thức

2 2 2

1 1 1

5 12 20 11 30 13 42

1 1 1

:

1 2

M

a a a a a a a a a a

n n n

N

n n n

    

         

  

   

            

 

   

Bài 32. Cho abc1 a b c 1

a b c

    

Chứng minh ba số a b c, , tồn số

Bài 33. Rút gọn biểu thức

     

4 4

1 5 9 21

3 11 23

P    

   

Bài 34. Cho a b c, , khác

2 2 2 2 2

; ;

2 2

a b c b c a c a b

A B C

ab bc ac

     

  

thỏa mãn A B C  1 Chứng minh ba phân thức A B C, , -1, hai phân thức lại

Bài 35. Cho a3b3c33abc a  b c Tính giá trị biểu thức

 

2 2

2

a b c

M

a b c

 



(15)

Võ Tiến Trình 15 Bài 36. Cho a b c, , số khác a  b c Tính

a b b c c a c a b

M

c a b a b b c c a

  

  

      

  

  

Bài 37. Cho ba số a b c, , thỏa mãn a  b c 0; , ,a b c0

1 1

a b c  a b c

Chứng minh 20111 20111 20111 2011 20111 2011

a b  c  a b c

Bài 38 (Bài tổng quát) Cho ba số a b c, , thỏa mãn a  b c 0; , ,a b c0

1 1

a b c  a b c

Chứng minh 1n 1n 1n n 1n n

a b c  a b c với n lẻ

Bài 39. Cho a b c 0,x y z 0,a b c

x y z

        

Chứng minh: ax2by2cz2 0 Bài 40. Cho axbycz0 Tính

 2  2  2

2 2

bc y z ca z x ab x y

M

ax by cz

    



 

Bài 41. Cho x a x

  Tính theo a giá trị biểu thức sau:

a) x2 12 x

 b) x3 13

x

 c) x4 14

x

 d) x5 15

x

(16)

Võ Tiến Trình 16 Bài 42. Cho x2 12 : x2 12 a

x x

   

  

   

    Tính theo a giá trị biểu thức sau:

e)

4

1

:

M x x

x x

   

     

   

Bài 43. Cho x2 4x 1 Tính giá trị biểu thức

4

2

1

x x

M

x

 

 Bài 44. Cho 2

1

x

a

x  x  Tính theo a giá trị biểu thức

2

4

1

x N

x x



 

Bài 45.  

 

2

2 2

,

a b c

b c a

x y

bc b c a

 

 

 

 

Tính giá trị biểu thức: M xyxy

Bài 46. Rút gọn biểu thức sau a) 12 12 12

2

A

n

    

       

    

b)  

 

2

2 2

2

1

2 2 2 1

n B

n

 

    

Áp dụng tính:

2010 2

1 1

2 2010

A        

    

2 2

1 2011

2 2012

B

   

2 2

3 11 87

5 13 89

C     

   

Bài 47.

a) Chứng minh biểu thức sau i)

 

1 1

1

(17)

ii)

  

1 1

3n 3n 3n 3n

 

   

     

iii)

       

1 1

n n n n n n n

 

   

     

b)Tính giá trị biểu thức sau i)

 

1 1

1.2 2.3 3.4  n1 n

ii)

  

1 1

2.5 5.8 8.11  3n2 3n5 iii)

   

1 1

1.2.3 2.3.4  3.4.5  n1 n n1

Bài 48. Chứng minh với số tự nhiên n1 ta có a)

 

2 2

1 1 1

2 4 6   2n  b)

 

2 2

1 1 1

4 5 7   2n1 

c)

 

1 1

1.3 2.4 3.5 n n

 

   

     

   



     

Bài 49. Chứng minh với số tự nhiên n2 ta có a) 12 12 12 12

3 3 4  n 

b)

 

2 2

1 1

6 12 20 n n

 

   

     

   



     

Bài 50. Chứng minh với số tự nhiên n3 ta có

3 3

1 1 1