Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D.. Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.[r]
(1)Đề kiểm tra 45 phút mơn Tốn lớp Chương Hình học: THCS Tân Bình
Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax By tiếp tuyến M cắt hai tiếp tuyến Ax By C D
a Chứng minh : AC + BD = CD AC.BD không đổi b Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với AB c Cho
2 R
AC Tính MA, MB bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BMD
Giải:
a Ta có: CM = CA, DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà CD = CM + MD ⇒ CD = AC + BD
Lại có OC OD hai phân giác hai góc kề bù
90
AOM va BOM COD
Trong tam giác vng COD có OM đường cao nên ta có : 2
CM DM OM R (không đổi) ⇒ AC.BD =
R
b Gọi I tâm đường trịn đường kính CD, ta có OI đường trung bình hình thang vuông ACDB ⇒ OI // AC mà AC ⊥ AB
Do đó: IO ⊥ AB ,
2
CA BD CD
IO IC chứng tỏ đường trịn đường kính CD tiếp xúc với AB
c Ta có: OA = OM (=R), CA = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Do OC đường trung trực đoạn AM
Gọi H giao điểm OC AM
(2)2
2 2 2 2
1 1 1
2
5
5
AH AO CA R R R R R
R R
AH AM
Ta có: AMB 90 (AB đường kính), theo định lí Pi-ta-go :
2
2
2 2 20
2
5 25
R R R
BM AB AM R R
Dễ thấy OMD OBD 90 nên đường trịn ngoại tiếp ∆BMD có đường kính OD Tứ giác MHOK hình chữ nhật (K giao điểm OD MB) nên
1
2
R OK MH AM
Xét tam giác vng OMD, đường cao MK, ta có:
MO OD OK (hệ thức lượng) 2
5
5
MO R
OD R
OK R
Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BMD R