Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2011-2012

[r]

Võ Tiến Trình Đề Tốn chun tuyển sinh trường PhổThơng Năng khiếu – Đại Học

Quốc Gia TP.HCM Năm 2011 – 2012

Câu 1.Cho phương trình bậc hai x2m3xm2 0, m tham số cho

phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

a) Khi m1, chứng minh ta có hệ thức 8

1 2 2 6

x  x   

b) Tìm tất giá trị m cho x1  x2 

c) Xét đa thức P x  x3 ax2 bx Tìm tất cặp số a b,  cho ta có hệ

thức P x 1 P x 2 với giá trị tham sốm

Câu

a) Cho a b, số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

1

a b

P

ab

 





b) Cho x y z, , số thực thỏa mãn điều kiện x 1, y 1, z 1 Chứng minh ta có bất đẳng thức 1x2  1 y2  1z2  9x yz2

Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có ABb AC, c M điểm thay đổi cạnh

AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt cạnh AC N

a) Chứng minh tam giác AMNđồng dạng với tam giác ACB Tính tỷ số MA

MB để diện

tích tam giác AMN nửa diện tích tam giác ACB

b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Chứng minh I thuộc

đường thẳng cốđịnh

c) Gọi Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Chứng minh độ dài IJ không đổi

Câu 4. Cho a b c, , số nguyên cho 2ab b,2 c c, 2 a số

phương  *

Võ Tiến Trình

b) Tồn hay không số nguyên a b c, , thỏa mãn điều kiện  * cho

a b b c c    a không chia hết cho 27?

Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB3,BC 4

a) Chứng minh từ7 điểm nằm hình chữ nhật ABCD ln tìm

hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn 5

b) Chứng minh khẳng định câu a) với điểm nằm hình chữ nhật ABCD

Hướng dẫn giải Câu

a) Khi m1ta có phương trình x2 4x 1 với     ' 4 3 0 nên phương

trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x1 x2 4,x x1 2 1

Do

 2

8 8 4

1 2 2 6 2 2 6 2 6

x  x     x  x     x  x  

4 2  2

1 2 6 6 6

x x x x x x

         

1 2 6 4 2 6

x x x x

       (đúng)

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

m 32 4m2 3m 1 3 m 0 1 m 3

            

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

 

2

0

0 3 *

0 0

m

S m m

P m



    



 

        

  



 

Ta có

 2

1 5 5 2 5 3 2 5

Võ Tiến Trình 2

2 2

2

2 2 2 2 3

3 2 2 2 2 m m m

m m m m m

m m m m                                    

So với điều kiện (*) nhận

3 m

c) P x 1 P x 2 ,m P x 1 P x 2 0m

  2  

1 2 2

x x x x x x a x x b

        

 

2

1 2

x x x x a x x b m

        (vì x1  x2)

x1 x22 a x x2 x x1 b m

       

 2  

3

m a m b m m

       

a 6m b 3a 9 0 m

      

6 0 6

3 9 0 9

a a

b a b

              Câu a)

2 2 2 2

1 1

1 1

a b a b a b ab a b

P

ab ab ab

      

  

  

1 2 1 ab ab    

Vậy Pmin  1 ab

b) Từ x 1, y 1, z 1 ta có:

 2 22  2 2

Võ Tiến Trình

        

 2 2 2 

2 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x

        

Hơn 1x21y2 1 x2 y2x y2 2 1 2xyx y2 1xy2  2 2

1 x 1 y 1 xy

    

Do ta có:

 2 2  2 2  

1 x  1 y  1 z  3 x  y  z 2 1xy 1 yz 1 xz

 2

9 x y z

   

Võ Tiến Trình

a) AMN ACB

2

1

2

AMN ACB

S AM AC

AM

S AC

 

     

 

Ta có:

2

MA AC MA AC

AB  AB  ABMA AB AC

2

MA AC

MB AB AC

 



b)Trong đường tròn (I) ta có:  11800  900  2

MAI  AIM  ANM

Kẻđường cao AH tam giác ABC , H thuộc BC

Ta có: BAH 900ABC 900 ANM

Do ta có: MAI  BAH A I H, , thẳng hàng

Vậy I thuộc đường cao tam giác ABC đường cao cốđịnh

c)Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ta có :

OJ vng góc BC, AI vuonnng góc BC nên OJ // AI

IJ vng góc MN, AO vng góc MN nên IJ // AO

Do AIJO hình hình hành nên IJ = AO khơng đổi

Câu

a) Ta có 2ab  2bc  2ca3a b c3 Theo đề giả sử 2a b 3 nên 2bc  2ca3

Vì sốchính phương chia dư nên 2b c 3 2ca3

Võ Tiến Trình

Từđó ta có a b 3a2ab3;b c 3b2bc3

 

3 2 3

ca c ca 

Vậy ab b c c a27

b) Tìm ba số thỏa 1, 2,0

Câu

a)Chia hình chữ nhật thành hình chữ nhật nhỏcó kích thước x hình có đường

chéo độ dài 5

Theo ngun tắc đirichlet có hai điểm nằm chung hình A, B AB 5 b)Chia hình chữ nhật ban đầu thành phần hình vẽ