[r]
(1)Võ Tiến Trình
Đề
Tốn chun tuy
ển sinh trườ
ng Ph
ổ
Thơng Năng khiế
u –
Đạ
i H
ọ
c
Qu
ố
c Gia TP.HCM
Năm
2011 – 2012
Câu 1.Cho phương trình bậc hai x2
m3
xm2 0, m tham số chophương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
a) Khi
m
1
, chứng minh ta có hệ thức 81
2
2
6
x
x
b) Tìm tất giá trị m cho x1 x2
c) Xét đa thức P x
x3 ax2 bx Tìm tất cặp số
a b
,
cho ta có hệthức
P x
1
P x
2 với giá trị tham sốmCâu
a) Cho
a b
,
số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức2
1
1
a b
P
ab
b) Cho
x y z
, ,
số thực thỏa mãn điều kiệnx
1,
y
1,
z
1
Chứng minh ta có bất đẳng thức1
x
2
1
y
2
1
z
2
9
x
y
z
2Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có
AB
b AC
,
c
M điểm thay đổi cạnhAB Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt cạnh AC N
a) Chứng minh tam giác AMNđồng dạng với tam giác ACB Tính tỷ số
MA
MB
để diệntích tam giác AMN nửa diện tích tam giác ACB
b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Chứng minh I thuộc
đường thẳng cốđịnh
c) Gọi Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Chứng minh độ dài IJ không đổi
Câu 4. Cho
a b c
, ,
số nguyên cho2
a
b b
,2
c c
, 2
a
sốphương
*
(2)Võ Tiến Trình
b) Tồn hay không số nguyên
a b c
, ,
thỏa mãn điều kiện
*
cho
a b b c c
a
không chia hết cho 27?Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có
AB
3,
BC
4
a) Chứng minh từ7 điểm nằm hình chữ nhật ABCD ln tìm
hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn
5
b) Chứng minh khẳng định câu a) với điểm nằm hình chữ nhật ABCD
Hướng dẫn giải Câu
a) Khi
m
1
ta có phương trình x2 4x 1 với
'
4 3
0
nên phươngtrình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x1 x2 4,x x1 2 1
Do
28 8 4
1
2
2
6
2
2
6
2
6
x
x
x
x
x
x
4
2
21
2
6
6
6
x
x
x
x
x
x
1
2
6
4
2
6
x
x
x x
(đúng)b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
m 3
2 4m2 3
m 1 3
m
0 1 m 3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm
2
0
0 3 *
0 0
m
S m m
P m
Ta có
21
5
5
2
5
3 2
5
(3)Võ Tiến Trình
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
So với điều kiện (*) nhận
3 m
c)
P x
1
P x
2,
m
P x
1
P x
2
0
m
2
1 2 2
x x x x x x a x x b
2
1 2
x x x x a x x b m
(vì x1 x2)
x1 x2
2 a x
x2
x x1 b m
2
3
m a m b m m
a
6
m b
3
a
9
0
m
6
0
6
3
9
0
9
a
a
b
a
b
Câu a)2 2 2 2
1 1
1 1
a b a b a b ab a b
P
ab ab ab
1
2 1 ab ab Vậy Pmin 1 ab
b) Từ
x
1,
y
1,
z
1
ta có:
2 2
2
2 2
(4)Võ Tiến Trình
2 2 2
2
1
x
1
y
1
y
1
z
1
z
1
x
Hơn
1
x
2
1
y
2
1
x
2
y
2
x y
2 2
1 2
xy
x y
2
1
xy
2
2
2
1
x
1
y
1
xy
Do ta có:
2
2
2 2
1 x 1 y 1 z 3 x y z 2 1xy 1 yz 1 xz
29 x y z
(5)Võ Tiến Trình
a)
AMN
ACB
2
1
2
AMN ACB
S AM AC
AM
S AC
Ta có:
2
MA AC MA AC
AB AB ABMA AB AC
2
MA AC
MB AB AC
b)Trong đường tròn (I) ta có:
1
180
0
90
0
2
MAI
AIM
ANM
Kẻđường cao AH tam giác ABC , H thuộc BC
Ta có:
BAH
90
0
ABC
90
0
ANM
Do ta có: MAI BAH A I H, , thẳng hàng
Vậy I thuộc đường cao tam giác ABC đường cao cốđịnh
c)Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ta có :
OJ vng góc BC, AI vuonnng góc BC nên OJ // AI
IJ vng góc MN, AO vng góc MN nên IJ // AO
Do AIJO hình hình hành nên IJ = AO khơng đổi
Câu
a) Ta có
2
a
b
2
b
c
2
c
a
3
a
b
c
3
Theo đề giả sử2
a b
3
nên
2
b
c
2
c
a
3
Vì sốchính phương chia dư nên
2
b c
3
2
c
a
3
(6)Võ Tiến Trình
Từđó ta có
a
b
3
a
2
a
b
3;
b
c
3
b
2
b
c
3
3
2
3
c
a
c
c
a
Vậy
a
b b
c c
a
27
b) Tìm ba số thỏa
1, 2,0
Câu
a)Chia hình chữ nhật thành hình chữ nhật nhỏcó kích thước x hình có đường
chéo độ dài
5
Theo ngun tắc đirichlet có hai điểm nằm chung hình A, B