Đang tải... (xem toàn văn)
Họ và tên thí sinh:...; Số báodanh.... Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng.. Nhưng k[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1
Bài 1: ( 2.5 điểm)
a Cho ababab số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab bội
b Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65.
Bài : (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết :
a x (x1)(x2)(x 2010)2029099 b 24682x 210
Câu 3: (2.0 điểm)
a Tìm tất số nguyên tố p cho p + 11 số nguyên tố b Tìm tất số nguyên tố p để p + 8, p + 10 số nguyên tố C©u : ( 1.5 ®iĨm)
Một phép chia có thơng số d 12 Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia số d ta đợc thơng số d 18 Tìm số bị chia
Câu 5: (2.0 điểm)
Trên đoạn thẳng AB = cm lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN
a Tính độ dài đoạn thẳng BN BM = cm
(2)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Bài 1: ( 2.5 điểm)
- ababab= ab.10000 + ab.100 + ab= 10101ab 0,50 - Do 10101 chia hết abababchia hết cho hay ababablà bội
của 0,50
Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) = 126 + 52.126+ 53.126
+ 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126. 0,50 S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 +
53 + 54 + 55 + 56).
Tổng có (2004: =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126 0,25 Có: + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 130.
+ 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 0,25
S = + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng có (2004: =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130 0,25
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 0,25
Bài : (2,0 điểm)
- 2011x 1220102029099 0,25
- 2029099
2011 2010
2011x 0,25
-
2011 2010 - 2029099
2011 x 0,25
-
:2011
2 2011 2010 - 2029099
x
4 0,25
- 2(123 x)210 0,25
-
210
) (
2x x 0,25
- x(x1)210 0,25
- Giải x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,25
Câu 3: (2.0 điểm)
a) - Nếu p lẻ p + 11 số chẵn lớn 11 nên không số nguyên tố 0,25
(3)b) - Nếu p chia dư p + số lớn chia hết không số
nguyên tố 0,25
- Nếu p chia dư p + 10 số lớn chia hết không số
nguyên tố 0,25
- Suy p chia hết cho 3, p nguyên tố nên p =
0,5
C©u4 (1.5 điểm)
Gọi số bị chia a; số chia b (b 0)
PhÐp chia cã th¬ng b»ng sè d lµ 12 a = 5b+12 0,5
Số bị chia chia cho tổng số chia số dđợc thơng số d 18
a = (b +12) + 18 = 3b + 54 0,5
5b + 12 = 3b + 54 b = 21 a = 117
Vậy số bị chia 117 0,5
Câu 5: - Hình vẽ:
Bài 5: Vẽ hình (0,25đ)
- M nằm hai điểm A, B nên MA = AB - MB = - = (cm) 0,25
- AN = AM = (cm) 0,25
- A nằm hai điểm N, B nên BN = AN + AB = + = (cm) 0,25 - BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn AN lớn 0,25
- AN lớn AM lớn 0,25
- AM lớn AM = AB 0,25
- Lúc M trùng với B BN 6(cm) 0,25
CHÚ Ý :
- Nếu HS làm cách khác mà cho điểm tối đa theo thang điểm ý - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo biểu điểm ý đó
(4)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 2
Câu (4 điểm)
a Tính giá trị biểu thức 930
1 12
1 17 31 31
1
A
b Tính giá trị biểu thức B biết: B2 = c(a-b)- b(a-c) a = -50, b-c =2
Câu (4 điểm)
a Tìm số tự nhiên x,y biết: (2x+1)(y-3)= 12
b Tìm số tự nhiên x biết: 2x 2x1 2x2 2x2015 22019 c So sánh: 3625 2536
Câu (3 điểm)
Cho phân số: 2( )
6
N n n n
p
a Chứng minh phân số p phân số tối giản
b Với giá trị n phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn Câu (7,5 điểm)
1 Cho hai góc kề bù góc xOy góc yOt, xOy =400 Gọi Om tia phân giác góc yOt. a Tính góc mOx ?
b Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On cho góc xOn=700 Chứng tỏ tia Om tia On hai tia đối nhau
2 Vẽ đoạn thẳng AB =6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC+BD= 9cm a Chứng tỏ D nằm A C
b Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu (1,5 điểm)
Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn : 2x+3y= 14
(5)-PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2
Câu Nội dung Điểm
Câu a
31 47 31 30 31 17 31 30 31 1 31 30 3 2 31 30 3 2 930 12 : 31 17 10 21 31 31 17 21 17 17 31 31 17 31 31 : 930 12 17 31 31 N M A N Xet M Xet A 0.5 0.5 0.5
b B2= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b) thay a=-50, b-c=2 vào ta B2=-50.(-2)=100 B Nnên B=10
0.5 0.5 0.5 Câu a (1,5 điểm)
(2x+1)(y-3)= 12
Với x ,y N 2x+1 số lẻ Ta có: 12 =1.12=3.4
2x+1=1 2x=0 x=0; y-3=12 y=15 2x+1=3 2x=2 x=1; y-3=1 y=4 Vậy x=0 y=1 x=1 y=4
0.25 0.25 0.25 0.25 b (1,25 điểm)
Ta có :
2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 : 2 2 2 2 2016 3 2019 2019 2016 2016 2016 2016 2015 2019 2015 2019 1015 x C C C C C Xet x x x x x x x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
(6)3625 = (18.2)25 =1825 .225 =1825 .26 219 2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 ta có: 53=125, 26=64, 53>26 2525>1825; 519>219
Vậy 2525.53.519 >1825 .26 219 hay 3625 <2536
0.25 0.25 0.25 Câu a Gọi d UC 6n+5 3n+2
ta có: 6n5d 3n2d
1 d d d 4) (6n -5 6n d 6n hay d 2) 3n ( d 3n
Vậy phân số 2( ) N n n n p
phân số tối giản
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
b Ta có
1 2 6 n n n n n p
p đạt giá trị lớn
n đạt giá trị lớn nhất, 3n+2 đạt giá trị
nhỏ
vì 3n22nên 3n+2 nhỏ 3n=0 hay n=0 Vậy với n=0 p đạt giá trị lớn 2+1/2=3/2
0.5 0.5 0.5 0.25 Câu 1(4 điểm) a Ta có xOy + yOt=1800
(Vì góc kề bù)
Thay xOy = 400 ta có: 400+yOt= 1800
suy yOt=1400
Ta có: Om tia phân giác tOy nên
0 70 140 2
tOm tOy
Vì góc xOy yOt kề bù nên Ox Ot hai tia đối suy tOm mOx hai góc kề bù
tOm + mOx = 1800 700 + mOx = 1800 mOx = 1800-700= 1100 b Ta có mOx+ xOn = 1100+ 700=1800
mOx xOn hai góc bù (1)
- Do Om Oy thuộc nửa mp có bờ đường thẳng chứa tia Ox; -
(7)Lại có On Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox
nên: Om On nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox
mOx xOn hai góc kề (2) Từ (1) (2) suy mOx xOn hai góc kề bù (3,5đ)
A D C B
- Vì D nằm A B nên: AD+DB=AB
Thay AB= 6cm ta có AD+DB = (cm) Lại có AC+DB=9cm (gt)
AD+DB< AC+DB hay AD<AC (1)
- Mà D C nằm A B hay D,C thuộc tia AB (2) Từ (1) (2) suy D nằm A C
b, Vì D nằm A C suy ra: AD+DC= AC Lại có AC+BD=
nên AD+DC+BD = hay (AD+DB)+DC =9 Thay (AD+DB)=6
ta có 6+DC=9 DC= 3(cm)
Vẽ hình
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
0.5 0.5 Câu Xét 2x+5y= 14
Ta có: 142;2x2 5y2 Do (5,2)=1 nên y2
Ta có 3y<14 y<14 :5 y2
Mà y số nguyên dương y2 nên y = ta có 2x+5.2=14 2x=4 x=2
vậy x=2, y=2
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
CHÚ Ý :
- Nếu HS làm cách khác mà cho điểm tối đa theo thang điểm ý - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo biểu điểm ý đó
(8)-PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 3
Bài (3,0 điểm)
Cho tổng A = + 32 + 34 + 36 +…+ 32008 Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010
Bài (4,0 điểm)
Cho A = 1.4.7.10 …58 + 3.12.21.30… 174 a Tìm chữ số tận A
b Chứng tỏ A chia hết cho 377 Bài (4,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết:
a x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450 b 3.(5
x - 1) - = 70.
c 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x +
Bài (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác Biết rằng: hai chữ số số số nguyên tố Tích số với chữ số số có chữ số giống tạo thành từ chữ số hàng đơn vị số
b Cho p số nguyên tố (p > 3) 2p + số nguyên tố Hỏi 4p + số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài (5,0 điểm)
Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm
a Biết số giao điểm đường thẳng 1128 Tính n
(9)………… Hết …………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3
Bài 1
(3,0điểm) Hướng dẫn giải Điểm
A = + 32 + 34 + 36 +…+ 32008
9A = 32 + 34 + 36 + 38 +… + 32010 1,0
Tính 8A = 32010 - 1 1,0
B = 8A - 32010 = 32010 - - 32010 = -1 1,0
Bài 2 (4,0điểm)
a,
(2,0 điểm) Tìm chữ số tận A- Tìm chữ số tận tích B = 1.4.7.10…58 0,75 - Tìm chữ số tận tích C = 3.12.21.30…174 0,75 - Tìm kết luận chữ số tận A 0,5 b,
(2,0 điểm)
Chứng tỏ A chia hết cho 377
- Nhận xét 377 = 13.29 0,5
- Tìm quy luật thừa số tích B số tự nhiên chia dư 1, nên B chứa thừa số 13 Do B = 1.4.7.10.13…58
B = 1.4.7.10.13…29.2 Suy B chia hết cho 377
0,5
- Tìm quy luật thừa số tích C số tự nhiên chia dư 3, nên C chứa thừa số 39 Do C = 3.12.21.30.39…174
C = 3.12.21.30.(3.13)…(6.29) Suy C chia hết cho 377
0,5
- Kết luận A chia hết cho 377 0,5
Bài 3 (4,0điểm)
a,
(1,5 điểm) x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450
100x + (1 + 2+ 3+ …+ 99) = 5450 0,5
Lí luận tính tổng: + 2+ 3+ …+ 99 = 4950
100x + 4950 = 5450 0,5
100x = 500 0,25
x = 0,25
b,
(1,5 điểm) 3.(5
(10)3.(5x - 1) = 72 0,5 5x - = 72 : 3
5x - = 24
5x = 25 0,5
5x = 52
x = 0,5
c,
(1,0 điểm)
x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 2x (1 + + 22 + 23) = 960 2x 15 = 960
2x = 960: 15 0,5
2x = 64 2x = 26
x = 0,5
Bài 4 (4,0điểm)
a,
(2,0 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau…
- Gọi số cần tìm ab, (điều kiện a, b…) 0,25 - Theo đề ta có ab.a.b = bbb
Suy ab.a.b = 111.b Hay ab.a = 111
0,75
Mà 111 = 3.37
Trong đó: số nguyên tố; số nguyên tố; 3 thỏa mãn đề nên ab = 37
0,75
Kết luận số cần tìm 37 0,25
b,
(2,0 điểm) Cho p số nguyên tố (p > 3) 2p + số nguyên tố Hỏi 4p + 1là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (với k
N, k 1) 0,5
Nếu p = 3k +1 2p + = 2(3k + 1) + = 3(2k + 1)
lí luận 2p + hợp số, trái với đề 0,75 Do p = 3k + 4p + = 4(3k + 2) + = 3(4k + 3)
lí luận 4p + hợp số 0,75
Kl… Bài 5
(5,0điểm) a,
(3,0 điểm) Với n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau,khơng có ba đường thẳng qua điểm Số giao điểm được xác định sau: Chọn đường thẳng, đường thẳng cắt n - đường thẳng lại tạo n - giao điểm, làm với n đường thẳng ta n.(n - 1) giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên số giao điểm n.(n - 1):2 giao điểm
1,5
(11)- Lý luận tìm n = 48 0,5 b,
(2,0 điểm)
- Giả sử số giao điểm 2017
- Áp dụng kết câu a ta có n(n - 1):2 = 2017 1,0 - Lý luận tìm điều vô lý
- Kết luận: Số giao điểm 2017 1,0
Chú ý:
(12)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ
Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính( tính hợp lý ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16
b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 +70)]}
Bài 2: ( 1,0điểm) M có số phương khơng : M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n ) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng:
a/ (3100+19990) 2
b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài : (1,0điểm) So sánh A B biết :
A = 17 1 17
19 18
, B = 17 1 17
18 17
Bài 5: ( 2,0điểm ) Tím tất số nguyên n để: a) Phân số
1 n n
có giá trị số nguyên b) Phân số 30
1 12
n n
phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm)
Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C ( A B, CB ) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC
c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz
Bài 7: (1,0điểm) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 - HẾT -
(Đề thi gồm có 01 trang).
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
(13)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4 Bài 1: (1,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a = 16(123+ 321 - 44):16 0,25
= 400 0,25 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} 0,25
= 1000-3.{400-273} =619
0,25
Bài 2: (1,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n )
Tính số số hạng = ( 2n-1-1): + = n 0,5
Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : = 2n2 : = n 2
KL: M số phương
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a
Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận
19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho
(14)N
)
Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a +
Vì 4a ; khơng chia hết nên 4a+ không chia hết
0,25
Bài : ( 1,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
Vì A = 17 1 17
19 18
< A= 17 1 17
19 18
< 17 16 16 17
19 18
=
17
17
1 17 17
18 17
= 17 1 17
18 17
= B Vậy A < B
0,75 0,25
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a
n n
số nguyên ( n+1) (n-2) Ta có (n+1) = (n 2) 3
Vậy (n+1) (n-2) 3(n-2) (n-2) Ư(3) = 3; 1;1;3
=> n 1;1;3;5
0.5
0,5
b
Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 ( dN* )
d n d
n 1 ,30 2
12
0,25
5(12n1) 2(30n2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà d
N* d = 0,5đ
Vậy phân số cho tối giản 0,25
Bài 6: (2,5 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
a
Vẽ hình
TH1 TH2
Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C : AC= AD + CD = 4+3 = cm
Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC
Ta có đẳng thức : ABC = ABD + DBC DBC =
ABC - ABD
=550 – 300 = 250
0,25
(15)b
0,25 0,25 0,5 c Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD
Tính ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
- Trường hợp :Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA
Tính ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 7: (1,0 điểm)
Ý/Phần Đáp án Điểm
(2x+ 1); (y - 5) ước 12
0,25 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12 0,25 Vì 2x + lẻ nên :
2x + 1= x=0 , y =17 2x + 1= x=1 , y=9
Vậy với x = y = 17 ; Với x = y =
(16)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Bài 1: (5,0 điểm) Cho A – 5 50 48546 544 +5 - 56 4+52
a) Tính A
b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 5 n c) Tìm số dư phép chia A cho 100 Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:
–1 225
)
a x
x x x x x 2015 2019
b) 2 +2
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y
Bài (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
Bài 5: (4,0 điểm)
1 Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng
2 Vẽ đoạn thẳng AB 6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC BD 9cm.
a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Hết
(17)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Bài 1: (4,0 điểm)
Đáp án Điểm
a A – 5 50 48 546 544 +5 - 56 4+
48 46 44
2 50 5
25A – 5 +5 - +5
0,25
– 552 50 548 546 +5 -8 56+ 54 52 0,25
Suy 25A A 5 521 0,50
Vậy
52
A : 26 0,25
b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 5 n
Ta có 26.A 5 n mà 26A 5 52 1 nên 552 1 5n 0,25
Suy 552 5n n 52 Vậy n 52 0,25
c) Tìm số dư phép chia A cho 100.
50 48 46 44
A – 5 5 +5 - 5+ 1. ( có 26 số hạng) 0,25
50 48 46 44
– 5 + - + 0,25
50 48 46 44 4
– 5 + - + 0,25
44
48 2
5 –1 5 –1 +5 –1 + 0,25
48.24 2444
5 +5 24+ 24 0,25
46.25.24 25.42
5 24 +5 25.24+ 24 0,50
46.600 60042 2.600+ 6.100. 46 42
5 +5 24 5 5 24 0,25
Suy A chia cho 100 dư 24 0,25
Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết:
Đáp án Điểm
a) 9 –1x 225
Với x N ta có 2x – số lẻ 0,25
Đặt A = + + + + +…+ x – 1
(18)Số số hạng A là: 2x –1–1 : x (Số hạng) 0,25
A 2x –1 x : x
0,25
Mà A 225 x2 225 15 0,25
x 15
Vậy x 15 0,25
x x x x x 2015 2019 .
b) 2 +2
2 2 2x x x 2 2x +2 2x 2015 22019 0,25
x 2015 2016
2 2 2 +2 2 0,25
Đặt M 2 23 +22015
0,25 Ta 2.M 2 23 2 +22016
Suy M 2 2016 0,25
Vậy ta có
x 2016 2016
2 1 2
0,25
x
2 x
.Vậy x 3 0,25
Bài 3: (5,0 điểm).
Đáp án Điểm
a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cabcũng chia hết cho 37.
Ta có abc 37 100.abc 37 abc00 37 0,50
ab 1000 c00 37 0,25 ab 999 c00 ab 37
0,25
ab 999 cab 37 0,25 Mà ab 999 ab 37.27 37 0,25 cab 37 0,25
Vậy abc 37 thì cab 37 0,25
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y
Ta có x.y 12 x y x.y x y 12 0 0,25
x y 1 y 12 0 0,25 x y 1 y 1 11 0 0,25 x y 1 11 1 0,25
Vì x, y Z nên x Z; y Z 0,25
Do từ 1 x 1; y 1 ước -11 0,25
(19)+) Với x 1 11thì y 1. Suy x 10; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x 1 1thì y 11. Suy x 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x 1 thì y 1 11.Suy x 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x 11 thì y 1 1.Suy x 12; y = 0 ( Thỏa mãn) 0,25
Vậy x; y10; ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0 0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Đáp án Điểm
Vì a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư 0,25 Nên a ;a ; a ; a 7
a ;a ; a ; a 7 0,25 a 11 ;a 11 ; a 11 ; a 11 7 0,50 a 11 BC 2;3;5;7 0,25
Mà a số tự nhiên nhỏ 0,25
a 11 BCNN 2;3;5;7 0,25
Mà số 2; 3; 5; nguyên tố 0,25
BCNN 2;3;5;7 2.3.5.7 210 0,25
a 11 210. 0,25
a 199. 0,25
Vậy số tự nhiên cần tìm 199 0,25
Bài 5: (4,0 điểm)
Đáp án Điểm
1 – Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng : 0,25 + Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm trong
29 điểm cịn lại ta vẽ 29 đường thẳng
+ Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng 0,25 + Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
được 29.30 : 435 đường thẳng 0,25
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng
– Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ a a : 2 đường thẳng
0,25
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm a a : 1 đường thẳng
0,25
(20)a) Chứng tỏ D nằm A C.
Vì D nằm A B nên: AD DB AB 0,25
Thay AB cm ta có AD DB cm 0,25
Lại có AC DB cm AD DB AC DB hay AD AC. 0,25
Trên tia AB có : AD AC suy D nằm A C 0,25
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Vì D nằm A C suy AD DC AC. 0,25
Lại có AC DB cm , suy AD DC DB 9cm 0,25
Hay AD DB DC 9cm 0,25 Thay AD DB cm , ta có 6cm DC cm Vậy DC cm 0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, bài
theo hướng dẫn trên./.
(21)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Bài (5 điểm)
1): Rút gọn biểu thức sau:
M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016. 2) Chứng tỏ rằng:
a) 2 2
1 1 1
2 3 4 99 100 4
Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết: a) + + + + + … + (2x – ) = 225 b) 2x 2x + 1 2x + 2 = 1000 … : 518
18 chữ số Bài 3: (5 điểm)
a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N) Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y =
Bài 4: (4 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng
Bài (3 điểm)
Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
(22)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ
Bài Nội dung Điểm
Bài (5 điểm) 1.1.a)
(2,0 đ)
M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016
Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + … + 32016 – 32017 0,5
3M + M = + (32 – 32) + (33 – 33)+ … + (32016 – 32016) – 32017 0,5
4M = + + + + – 32017 0,5
4M = – 32017
M = (3 – 32017) : 4 0,5
1.2
(3,0 đ)
Ta có:
1
3 2.3
1
4 3.4
1
5 4.5
1
99 98.99
1
100 99.100 0,5
2 2
1 1 1 1 1 1
2 3 4 99 100 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 0,5
Mà
1 1 1
4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100
=
1 1 1 1 1 1
4 3 4 5 98 99 99 100
(23)=
1 1
4 100 0,5
=
3
4 100 4 0,5
2 2
1 1 1
2 3 4 99 100 4 0,5
Bài (3 điểm) 2.a)
(1,5)
Với x N ta có 2x – số lẻ 0,25
Đặt A = + + + + + … + (2x – 1)
A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – 0,25 Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng) 0,25
A = [(2x – 1) + 1] x : = x2 0,25
Mà A = 225 x2 = 225 = 152 0,25
x = 15
Vậy x = 15 0,25
2.b)
(1,5 đ)
2x 2x + 1 2x + 2 = 1000 … : 518
18 chữ số
2x + x + 1+ x + 2 = 10 10 10 … 10 : … 5
18 thừa số 10 18 thừa số 0,25 23x + 3 = (10 : ).(10 : 5) (10 : 5) … (10 : 5)
18 thừa số (10 : 5) 0,25 23x + 3 = … 2
18 thừa số 0,25
23x + 3 = 218 0,25
3x + = 18 3x = 18 – 3x = 15 x = 15 :
x = 0,25
Vậy x = 0,25
Bài 3: (5 điểm) 3.a)
(2,0đ)
Vì 3a + 2b 17 10(3a + 2b) 17 0,5
(30a + 20b) 17 0,25
(30a + 3b + 17b) 17 0,25
[3(10a + b) + 17b] 17 0,25
Vì 17b 17 0,25
3(10a + b) 17 0,25
10a + b 17 (vì 17 nguyên tố nhau) 0,25 3.b)
(3,0đ)
xy + x – y =
x(y + 1) – y = 0,25
x(y + 1) – y – + = 0,5
(24)( y + )( x – 1) + = 0,25
( y + 1)( x – 1)= 0,25
Vì x, y số nguyên nên y + 1,x – ước 0,25 Nếu x -1 = y + = x = y = 0,25 Nếu x -1 = -1 y + = -3 x = y = -4 0,25 Nếu x -1 = y + = x = y = 0,25 Nếu x -1 = -3 y + = -1 x = -2 y = -2 0,25
Vậy x = y = x = y = -4 x = y =
x = -2 y = -2 0,25
Bài 4( 4điểm)
(4 đ)
Giả sử 20 điểm khơng có điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1, A2, A3, ,A20
Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên 0,25 Qua điểm A1 điểm 19 điểm lại A2, A3, ,A20 ta
vẽ 19 đường thẳng 0,5
Qua điểm A2 điểm 18 điểm lại A3, A4, ,A20 ta
vẽ 18 đường thẳng 0,5
… …
Qua điểm A19 điểm A20 ta vẽ đường thẳng 0,5
Do số đường thẳng tạo thành là: + + + + 19 + 20 =
( 1+ 20).20 : = 190 ( đường thẳng) 0,5
Với a điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có số
đường thẳng tạo thành + + + +( a – 1) = (a- 1) a: 0,5 Với a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng 0,25 Vậy 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng sổ đưởng thẳng
giảm
( a- 1).a: - = 190 – 170 0,5
( a- 1).a: - = 20
( a- 1).a: = 21 0,25
( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7
Mà a-1 a số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = a =7
Vậy a = 0,25
5 (3,0 đ)
Gọi số phải tìm a a = 2k +
a = 3q + a = 5m + a = 7r +
(k, q, m, r N) 0,5
a + 11 = 2k + 12 a + 11 = 3q + 12 a + 11 = 5m + 15 a + 11 = 7r + 14 a + 11 BC(2; 3; 5; 7)
(25)Mà a số tự nhiên nhỏ
a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) 0,5
Mà 2; 3; 5; nguyên tố
BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210 0,25
a + 11 = 210 a = 210 – 11
a = 199 0,5
(26)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý :
a)
2 2 2
10 11 12 : 13 14
b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8
c)
162
13 11
3.4.2
11.2 16
d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)
e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết:
a)
19x 2.5 :14 2 13 8 2 42
b) xx 1 x 2 x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97
d) -(x + 84) + 213 = -16
Bài :(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b. Bài :(3 điểm)
a)Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y =
b) So sánh M N biết :
102 103
101
M
101
.
103 104
101
N
101
.
Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳngAB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB
a) Chứng tỏ OA < OB
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm cịn lại ?
(27)PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 7 Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý :
Đáp án Điểm
2 2 2
a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196
365 : 365
1
2
b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8 1.2.3 7.8 8 1.2.3 7.8 0
2 2
16 16 18
11
13 11 13 2 4 13 22 36
2 36 36 36
13 22 36 35 36 35
3.4.2 3.2
c)
11.2 16 11.2 2 2 11.2 2
3 3
11.2 2 11.2 2 11
1
d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374
= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - =
= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài : (4 điểm) Tìm x :
Câu Đáp án Điểm
a 2 2 2
19x 2.5 :14 13 8
2 2
x 14 13 2.5 :19
x
1
(28)
31 So hang
x x x 30 1240
30 30
31x 1240
2
31x 1240 31.15 775
x 25
31
c 11 - (-53 + x) = 97
x 11 97 ( 53) 33
d -(x + 84) + 213 = -16
(x 84) 16 213
(x 84) 229
x 84 229 x 229 84 145
1
Bài :(3 điểm)
Đáp án Điểm
Từ liệu đề cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1)
và ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :
BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3)
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :
15m 15 15n
15 m 1 15n m n (4)
Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4)
Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75
3
Bài :(2 điểm)
Câu Đáp án Điểm
a
Chứng minh đẳng thức:
- (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c Biến đổi vế trái đẳng thức, ta :
VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1)
= -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c
= b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - So sánh, ta thấy : VT = VP = a -
Vậy đẳng thức chứng minh
1
(29)
S a b c c b a a b
S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b
Tính S : theo ta suy : S a b
* Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy :
+ a b dương, hay a > b > 0, a + b > : S a b a b + a b âm, hay > a > b, a + b < (a b) 0 , nên suy :
S a b a b a b
* Xét với a b khác dấu :
Vì a > b, nên suy : a > b < b 0 , ta cần xét trường hợp sau
xảy : +
a b ,hay a > -b > 0, a b a ( b) 0 , suy ra: S a b a b
+ a b , hay -b > a > 0, a b a ( b) 0 , hay a b 0 suy :
S a b (a b) a ( b)
Vậy, với : +S a b (nếu b< a < 0)
+ S a b (nếu b < a < 0, b < <a b ) Bài : (6 điểm)
Câu Đáp án Điểm
Hình
vẽ o m a n b
a
Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy :
OA < OB.
2
b
Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :
OA OB
OM ; ON
2
Vì OA < OB, nên OM < ON
Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N
2
c
Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có :
OM MN ON
suy : MN ON OM
hay :
OB OA AB
MN
2
Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)
(30)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 8 Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: a
4
2 [131 (13 4) ] b
3 28.43 28.5 28.21 5.56 5.24 5.63
Câu 2(4,0 điểm): Tìm số nguyên x biết. a
3
5 24
3 x 35
b (7x 11)3 ( 3) 15 2082 c 2x 20 5.( 3) Câu 3(5,0 điểm):
a, Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu?
b, Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6?
Câu (6,0 điểm):
Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ tia Oz Ot cho
70 ;0 550
xOz yOt .
a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox Ot ? b Chứng tỏ tia Ot tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câu (2,0 điểm):
Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số.
(31)-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ
Câu Nội dung Thang
điểm Câu
1(4điểm) a (1,5)
2
16.5 (131 ) 80 50
30
0.5 0.5 0.5 b (1,5) 28 43
.( )
5 56 24 3 28 129 35 56
.( )
5 168 168 168 28 108
5 168
3 18 5
0.5 0.5 0,25
0.25 câu
(4điểm) a (1,0)
0.5 0.5
b (1,5)
3
3
(7 11) ( 3) 15 208 (7 11) 9.15 208 (7 11)
18 11
7
x x x
x x
0.5
(32)(không thỏa mãn) 0.5 c (1,5) 20 5.( 3)
2
2 12
[2 5 [2 2 [ 1
x x
x x x
x x x
Vậy x 1;6
0.5 0.5 0.5 Câu3(4,0)
a (2,0)
Gọi số a
Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư
9 7; 13
a a
mà (7,13)=1 nên 7.13
a
a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (kN) Vậy a chia cho 91 dư 82
0.25 1.0
1.0 0.25 b (2,0) Gọi số Hs khối a (3<a<400)
Vì xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 dư
a 3 10;12;15 a 3BC(10,12,15) ta có
BCNN(10,12,15)=60 a 3 60;120;180;240;300;360;420; a 63;123;183; 243;303;363; 423; mà a11;a 400
a=363
Vậy số HS khối 363 học sinh
0.25 0.5 0.5 0.75 0.5 Câu
(6,0)
Vẽ hình
z t n
x O y
0.5
a (1,5) Vì góc xOy góc bẹt nên suy
nưả mặt phẳng có bờ xy có xOt tOy hai góc kề bù
xOt+tOy=1800 xOt1800 550 xOt 1250
Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có:
(700 125 )0
xOz xOt Tia Oz nằm hai tia Ox Ot.
0.75 0.75
b (2,0) Trên nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có xOz
(33)
0 0 0
70 zOy180 zOy180 70 110
Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có:
(550 110 )0
yOt yOz Tia Ot nằm hai tia Oy Oz (1)
nên ta có: yOt tOz yOz hay
0 0 0
55 tOz110 tOz110 55 55 yOt tOz ( 55 )0
(2).Từ (1) (2) suy Ot tia phân giác
của góc yOz
0.75 0.5
c (2,0) Vì xOy góc bẹt nên suy tia Ox tia Oy hai tia đối Hai tia Ox Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ chứa tia Oz (1)
Vì On tia phân giác góc xOz nên
700 350
2
xOz
nOz
hai tia On Ox nằm mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2)
Ta lại có tia Ot tia phân giác góc yOz (theo b,)
Hai tia Ot Oy nằm nửa mặt phẳng có bờ
chứa tia Oz (3) Từ (1),(2), (3) suy tia On tia Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz tia Oz
nằm hai tia On Ot nên ta có:
nOz zOt nOt hay nOt 350550 900.Vậy nOt 900
0.5
0.5
0.5 0.5
Câu (2,0)
n số nguyên tố, n > nên n không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư
do n2 + 2006 = 3m + + 2006
= 3m+2007
= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số
(34)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu (4 điểm)
a) Thực phép tính: A = 81
12 12 12 5
12 158158158
7 289 85: 13 169 91 .
4 4 6 711711711
4
7 289 85 13 169 91
b) Tìm x biết: 1) -
2 1
( ) (2 1)
3 x 3 x 2)
1
1 1
.2 2
5
x x
c Tìm hai số tự nhiên a b biết tổng BCNN ƯCLN chúng 15 d Tìm x nguyên thỏa mãn: x 1 x x7 5x10
Câu (4 điểm)
a Thực phép tính:
2 14
28 18 29 18
5.(2 ) (2 ) 2.(2 3) A
5.2 7.2
b Tìm số nguyên n cho: n2 + 5n + bội n + 3
c Chứng minh bình phương số nguyên tố khác chia cho 12 dư d Tìm x, y nguyên cho: xy + 2x + y + 11 =
Câu (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 b) Tìm số có tổng 210, biết
6
số thứ 11
số thứ 11
số thứ
số thứ c Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho:
15 9
; ;
21 12 11
a b c
b c d
(35)1 a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho AI = cm Trên tia BA lấy điểm K cho BK = cm
Hãy chứng tỏ I nằm A K Tính IK
b) Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC
2 Trªn mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy Oz cho số đo xOy = 700 số đo yOz = 300.
a) Xỏc định số đo xOz
b) Trên tia Ox lấy điểm A B (Điểm A không trùng với điểm O độ dài OB lớn độ dài OA)
Gọi M trung điểm OA Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB AB Cõu ( điểm)
a Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 +……+ 3101 chia hết cho 120. b Cho hai số a b thỏa mãn: a – b = 2(a + b) =
a b
Chứng minh a = -3b ; Tính
a
b ; Tìm a b
c Tìm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0
(36)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu 1 (4 điểm)
a 2đ
Ta có:
12 12 12 5
12 158158158
7 289 85 13 169 91
81 :
4 4 6 711711711
4
7 289 85 13 169 91
A
1 1 1
12
158.1001001 289 85 13 169 91
81 :
1 1 1 711.1001001
4
7 289 85 13 169 91
12 158 81 :
4 711
18 324 81
5
0,5 0,5 b 2đ
(x + 1) + ( x + ) + + (x + 100) = 5750
=> x + + x + + x + + + x + 100 = 5750 => ( + + + + 100) + ( x + x + x + x ) = 5750 101 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700
x =
0.5 0.5 0.5 0.5
Câu 2 ( điểm )
a
2đ Ta có:
2 14
28 18 29 18
5.(2 ) (2 ) 2.(2 3) A
5.2 7.2
18 18 12 28 14
28 18 29 18
5.2 2.2 3
5.2 7.2
30 18 29 18
28 18
5.2 3
2 (5 7.2) 29 18 28 18
2 (5.2 1) 2.9
2
2 (5 14)
0.5 0.5 b 2đ
S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+ + (3)2015.
(37)= (3)1+ (3)2+ +(3)2016]
3S – S = [(3)1 + (3)2+ +(3)2016] - (3)0-(3)1- -(3)2015.
2S = (3)2016 -1
S =
2016
(3)
2
0,5 0,5
0,5
Câu 3 (4 điểm)
a 2đ
Gọi số cần tìm a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) ; (a-11 +38 ) 19 (a +27) 11 ; (a +27) ; (a +27) 19
Do a số tự nhiên nhỏ nên a+27 nhỏ Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 )
Từ tìm : a = 809
0.5 0.5 0.5 0.5
b
2đ Số thứ bằng: 11
:
= 22 21
(số thứ hai) Số thứ ba bằng: 11
9
:
= 22 27
(số thứ hai) Số thứ hai bằng:
22
22 (số thứ hai)
Tổng số bằng: 22 27 21 22
(số thứ hai) = 22 70
(số thứ hai) Số thứ hai : 210 : 22
70
= 66 ; số thứ là: 22 21
66 = 63 ; số thứ là:22
27
.66 = 81
0.5 0.5
0.5 0.5
Câu 4 (6 điểm )
a 4đ
1) Trên tia BA ta có BK = cm BA = 7cm nên BK< BA điểm K nằm A B Suy AK + KB = AB hay AK + = AK = cm Trên tia AB có điểm I K mà AI < AK (và
<5) nên điểm I nằm A K
2,5
2) Do I nằm A K nên AI + IK = AK Hay + IK = IK
= – =
1,5
b 2đ
Vì A nằm B C nên BA +AC = BC BA +AC = (1)
Lập luân B nằm A D.
Theo gt OD < OA D nằm O A Mà OD + DA = OA + DA =5 DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA DB +BA = (2)
Lấy (1) – (2): AC – DB = (3) Theo đề : AC = 2BD thay (3) Ta có 2BD – BD = BD =
AC = 2BD AC = cm
0,5
0,5 0,5
(38)Câu 5 ( điểm )
Ta có 32 + 33+ 34+…… + 3101
= (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+…+ (398 + 399 + 3100 + 3101)
= 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) +…+397(3+32+33+34)
= 31.120 + 35.120 +…+397.120
= 120(31 + 35 +…+397)120 (đpcm)
0,5 0,5 0,5 0,5
Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa
(39)Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 10 Bài 1: (4,0 điểm)
a) Cho n7 4.a b Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b. b) Tìm số tự nhiên x, y cho: 5x + 12y = 26.
Bài 2:(4,0 điểm)
a)Tìm số nguyên a, b biết rằng:
1
7
a
b
b) Tìm x, biết : ( 1.2.3
+ 2.3.4
+ + 8.9.10
) x =
22 45 Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cùng công việc người làm riêng người A, B, C hồn thành công việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục cơng việc hồn thành Hỏi người A làm giờ?
b) Cho D = + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520 Tìm số dư chia D cho 31.
Bài 4:(4,0 điểm)
a) So sánh M N biết: M = 19 5 19
31 30
; N = 19 5 19
32 31
b) Thực tính:
1 1
E = 1+ + + + + + + + + + + + + + 200
2 200
Bài 5: (4,0 điểm)
a) Cho: xOy = 1200, xOz = 500 Gọi Om tia phân góc yOz Tính xOm
b) Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng?
(40)Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 10
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1 (4đ)
a
(2đ) Cho n 4.a b
Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b. 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: n = 9a b M 7 a b 9M
24 a b a b 3;12
M (vì a + b < 19).
Mà a – b = nên a + b > Do a + b = 12 Kết hợp với a – b = 6, suy a = 9, b = b
(2đ)
Tìm số tự nhiên x, y cho: 5x + 12y = 26.
0,5 0,5 Ta có 122 = 144 > 26 y N => 0y => y
+) Với y = => 5x + 121 = 26 => 5x = 14 => khơng tìm được
x
+) Với y = => 5x + 120 = 26 => 5x = 25=52 => x = 2
2 (4đ)
a
(2đ) Tìm số nguyên a, b biết rằng:
1
7
a
b
0,5 0,5 0,5 0,5
1
(2 7)( 3) 14
7 14
a a
a b
b b
Do a b Z, nên 2a – Ư(14)
Vì 2a – lẻ nên 2a – 7; 1;1;7 a0;3; 4;7
Từ tính được: (a; b) = (0; -5), (3; -17), (4; 11), (7; -1) b
(2đ) Tìm x , biết : ( 1.2.3
+ 2.3.4
+ + 8.9.10
) x =
22 45
0,5 0,5 0,5 0,5 ( 1.2.3
1
+ 2.3.4
+ + 8.9.10
) x =
22 45
1
(
1 1 1
1.2 2.3 2.3 3.4 8.9 9.10 ) x = 22 45 2
1
(
1
2 90 ) x = 22
45 x = 2
3 (4đ)
a
(2đ) Cùng cơng việc người làm riêng người A, B,C hồn thành cơng việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục công việc hoàn thành Hỏi người A làm giờ?
Trong người A, B, C làm 6( )
CV
(41)) (
CV
, 12( )
CV
, B C làm 24( ) 12 CV
B C làm 12( ) 24 CV
A B làm 12( ) 12
5
1 CV
A B làm được: 24( ) CV
Thời gian A làm với B là: 24 : 12 0,5 0,5 0,5 0,5 b (2đ)
Cho D = + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520 Tìm số dư chia D
cho 31
0,5 0,5 D + = (1+ + 52 ) + 53(1+ + 52 ) + 56(1+ + 52 ) + +
518(1+ + 52 )
Do + + 52 = 31 nên D + chia hết cho 31
=> D chia 31 dư 30 4
(4đ)
a
(2đ) So sánh M N biết M = 19 5
5 19 31 30
; N = 19 5 19 32 31 0,5 0,5 0,5 0,5 M = 19
5 19 31 30
nên 19M = 19 ) 19 ( 19 31 30
= 19 95 19 31 31
= + 19 90
31
N = 19 5 19 32 31
nên 19N = 19 ) 19 ( 19 32 31
= 19 95 19 32 32
= + 19 90
32
Vì 19 90
31
> 19 90
32
Suy + 19 90
31
> + 19 90
32
Hay 19M > 19N Nên M > N b
(2đ)
Thực tính:
1 1
E = 1+ + + + + + + + + + + + + + 200
2 200
0,5
0,5 Từ
( 1)
1
2
n n
n
được:
1 2.3 3.4 4.5 200.201
1
2 200
E
3 201
1
2 2
1 201
2 2 2 2
1
1 201
E
(42)E =
1 1 201.202
1 201
2 22
= 10150
0,5 0,5 5
(4đ)
a
(2đ) Cho: xOy = 1200, xOz = 500 Gọi Om tia phân góc yOz Tính xOm
0,5
0,5
0,5
0,5 a, Trường hợp : tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng
có bờ Ox
xOz = 500 < 1200 = xOy nên tia Oz
nằm Ox Oy
yOz = xOy – xOz = 1200 – 500 =
700 zOm =
yOz
= 350 xOm = 350 + 500 = 850
b, Trường hợp : tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox
Từ đầu ta có Ox nằm tia Oy Oz
yOz = 1200 + 500 = 1700
zOm = 170
2
850 xOm = 850 – 500 = 350
b (2đ)
Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng?
0,5
0,5
0,5 0,5 Nếu 20 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ
được 190
) 20 ( 20
(Đường thẳng)
Trong điểm khơng có ba điểm thẳng hàng tạo thành 21
) (
(Đường thẳng)
Vì điểm thẳng hàng tạo thành đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - = 20 (Đường thẳng)
Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng)
(43)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 11
Bài 1: (4.0 điểm) Thực phép tính
a) A=1.2.3…9 - 1.2.3…8 - 1.2.3…8.8
b) B=
162
13 11
3.4.2 11.2 16
c) C = 70.(565656 131313
+ 727272 131313
+ 909090 131313
)
d) Thực phép tính: B =
1 1
4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết :
a) 2x
1
+3
=
7
b) 3x 54 : 18 c) 2x1552x153
d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, cịn chia cho dư
b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40
c) Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư chia a cho ta số dư Tìm số dư phép chia a cho 36
Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx; By lấy điểm A, C
cho A B; C B Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho ABD = 300
a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b Tính số đo DBC
c Từ B vẽ tia Bz cho DBz= 900 Tính số đo ABz Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = 21
2
+ 22
3
+23
4
+ +22015
2016
+22016
2017
So sánh T với
(44)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 11 Bài 1:
(4.0
điểm)
Thực phép tính
a) A = 1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9 - - 8)
=
b) B =
162
13 11
3.4.2
11.2 16
2 16 13 22 36
36 35 36 36 35 36 35 3.2 11.2 2
9.2 11.2
9.2 11 9.2 2
c) C = 70.(565656 131313
+ 727272 131313
+ 909090 131313
)
= 70.(56 13
+ 72 13
+ 90 13
)
= 70.13.(7.8
+ 8.9
+ 9.10
) = 70.13.(7
1
- 10
) = 39
d ) B =
1 1
4.9 9.14 14.19 64.69
=
1 1 1 1 1
( )
5 9 14 14 19 64 69
=
1 1
( )
5 69
= 13 276 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Bài 2: (4.0 điểm) a) x 2 +3
=
x
2
= - x 2
= 10
TH1:
- 2x = 10
2x = 2
- 10
2x = 17
x = 12 17
(45)TH2:
- 2x = 10
2x = 2
+ 10
2x = 23
x = 12 23
Vậy x= 12 17
; x = 12 23
b) 3x 54 : 18
3 54 72
3 54
3 63 21 x x x x
Vậy x = 21
c) 2x1552x153
3
2 2
2 15 15 15 15
2 15 15 *2 15 7,5
* 15 15
2 15
2 15
x x x x x x x x x x x x x x
Vậy x 7;7,5;8
d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147
2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 x = Vậy x =
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (4.0 điểm)
a) Gọi số tự nhiên cần tìm a
Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư nên a - chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho a - BC(3, 4, 5, 6)
+ BCNN(3, 4, 5, 6) = 60
+ Lập luận a - 0;60;120;180; a 2;62;122;182;
Mà a số tự nhiên nhỏ chia cho dư nên a = 122
b) x + y + xy = 40
0,5
(46)(y+1)x + y + 1= 41 (x + 1)(y + 1) = 41
Mà x, y nguyên => x +1 y + ước 41 Tính (x, y) 40;0 ; 0; 40 ; 2; 42 ; 42; 2
c) Theo đề ta có: a = 4p+3 = 9q + ( p, q nguyên) Suy a + 13 = 4p + + 13 = 4(p + 4) (1)
a + 13 = 9q + + 13 = 9(q + 2) (2)
Từ (1) (2) ta nhận thấy a + 13 bội mà (4,9) = nên a + 13 bội 4.9 = 36
Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23 Vậy a chia cho 36 dư 23
0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25
Bài 4: (6.0
điểm)
y
x
z z
B
C
A D
a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C => AC = AD + CD
= + = 7(cm) Vậy AC = 7cm
b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức: ABC= ABD + DBC
=> DBC = ABC - ABD = 550 – 300 = 250
c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình hai trường hợp)
- Trường hợp 1: Tia Bz BA nằm nửa mặt phẳng có bờ BD
+ Lập luận tia BA nằm hai tia Bz BD Tính ABz=DBz- ABD= 900 300 600
- Trường hợp 2: Tia Bz, BA nằm hai nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ BD
+ Lập luận tia BD nằm hai tia Bz BA Tính ABz= DBz+ABD = 900 300 1200
0,75 0,5 0,5 0.25 1.0 0.5 0.5
0.5 0.5
(47)Bài 5: (2.0
điểm) T =
1
2
+ 22
3
+23
4
+ +22015
2016
+22016
2017
2T = + 21
3
+22
4
+ + 22014
2016
+ 22015
2017
2T –T= + 21
3
- 21
2
+22
4
-22
3
+…….+ 22014
2016
-22014
2015
+22015
2017
-22015
2016
-22016
2017
T= 2+21
1
+22
1
+………+ 22015
1
-22016
2017
Đặt N = 21
1
+22
1
+………+ 22015
1
Ta có 2N = 1+ 21
1
+22
1
+………+ 22014
1
2N-N= 1-22015
1
Vậy N <
Nên T< 2+1-22016
2017
=3- 22016
2017
Vậy T<3
0.75
0.5 0.5 0.25
Ghi chú:
(48)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 12 Câu 1: (4 điểm) Tính:
a) A 1 2013 2014 2015 2016 b)
2.4.10 4.6.8 14.16.20 3.6.15 6.9.12 21.24.30
B
Câu 2: (6 điểm)
a) So sánh
2014 2015
10 2016 10 2016
A
2015 2016
10 2016 10 2016
B
b) Tìm x biết:
1 1 119
( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 x720
c) Chứng minh rằng: p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để phân số
2
n n
phân số rút gọn
b) Trong đợt tổng kết năm học trường THCS, tổng số học sinh giỏi ba lớp 6A, 6B,
6C 90 em Biết
5 số học sinh giỏi lớp 6A
3số học sinh giỏi lớp 6B số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ACB 60· 0, AB=6cm Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) cho AD=2cm
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD
b) Tính số đo ·DCB biết ACD 20· 0. c) Dựng tia Cx cho DCx 90· 0 Tính ·ACx.
d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C) Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt
Câu 5: (2 điểm) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho:
1 1
(49)-Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 12
Câu Đáp án Điểm
1.1 (2.0
điểm) Tính
1 2013 2014 2015 2016 A 2013 2014 2015 2016 A
Tính số số hạng A (2016 - 1) : + = 2016 số hạng
0,75
Nhóm số hạng liên tiếp vào nhóm:
(1 4) (5 8) (2013 2014 2015 2016)
A 0.75
ó 504 sơ'
4 ( 4) ( 4) 4.504 2016 c
A 1444444442444444443
Vậy A=-2016 0.5
1.2 (2.0 điểm)
2.4.10 4.6.8 14.16.20 3.6.15 6.9.12 21.24.30
B
2.4.10 4.6.8 14.16.20 8.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 3.6.15 6.9.12 21.24.30 27.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 27
B
1.75
Vậy B=
27 0.25
2.1 (2.0
điểm) So sánh
2014 2015
10 2016 10 2016
A
2015 2016
10 2016 10 2016
B
Ta có
2014 2014 2016
2015 2015 2016
10 2016 (10 2016)(10 2016) 10 2016 (10 2016)(10 2016)
A
4030 2014 2016
2015 2016
4030 2014
2015 2016
10 2016.(10 10 ) 2016 (10 2016)(10 2016) 10 2016.10 101 2016
(1) (10 2016)(10 2016)
0.75
Ta có
2015 2015 2015
2016 2016 2015
10 2016 (10 2016)(10 2016) 10 2016 (10 2016)(10 2016)
B
4030 2015
2016 2015
4030 2014
2016 2015
10 2.2016.10 2016 (10 2016)(10 2016) 10 20.2016.10 2016
(2) (10 2016)(10 2016)
(50)Từ (1) (2) suy A>B 0.25
Vậy A>B 0.25
2.2 (2.0
điểm) Tìm x biết:
1 1 119
( )
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 x720 (1)
Ta có:
1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10
1 1 1 1
( )
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 119
( )
3 720 720
1,25
Nên từ (1) suy ra:
1 119 119
3 720 x 720=>x=3
0.5
Vậy x=3 0.25
2.3 (2.0 điểm)
Chứng minh rằng: p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố
Ta nhận xét số nguyên tố lớn chia cho có dạng p=3k+1 p=3k+2 (k N *)
0.5 Với p=3k+1 p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3.
Với p=3k+2 p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3 0.5
Vì p nguyên tố nên p2khi trường hợp p2+2 đều lớn chia hết cho Tức p2+2 hợp số
=> p2+2 nguyên tố p=3 (khi p2+2=11 số nguyên tố) => p3+2=27+2=29 số nguyên tố
0.75
Vậy p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố. 0.25
3.1 (2.0
điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số
2
n n
phân số rút gọn Gọi d ƯCLN(2n+1,n+2) (dN*)
Ta có 2n+1Md, n+2Md => [(2n+4)-(2n+1)]Md => 3Md
0.75
Vì dN* nên d{1;3} Để phân số
2
n n
rút gọn d=3
0.75
=> n+2=3k (k N *) => n=3k-2 (k N *)
Vậy với n=3k-2 (k N *) phân số
2
n n
phân số rút gọn
0.5
3.2 (2.0 điểm)
Trong đợt tổng kết năm học trường THCS, tổng số học sinh giỏi ba lớp 6A, 6B, 6C 90 em Biết
2
5 số học sinh giỏi lớp 6A
(51)lớp 6B
2 số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp Số học sinh giỏi lớp 6B
2 :
5 5 ( số học sinh giỏi lớp 6A)
Số học sinh giỏi lớp 6C
2
:
5 5 ( số học sinh giỏi lớp 6A)
Số học sinh giỏi lớp
6
1
5
( số học sinh giỏi lớp 6A)
Vậy số học sinh giỏi lớp 6A 90: = 30 học sinh, lớp 6B 36 học sinh lớp 6C 24 học sinh
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4 (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ·ACB 600, AB=6cm Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD=2cm
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD
b) Tính số đo góc DCB biết ·ACD 200 c) Dựng tia Cx cho ·DCx 900 Tính ·ACx
d) Trên cạnh AC lấy điểm E Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt
Trường hợp Trường hợp a) D nằm A B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm KL
0.75 0.25 b) Tia CD nằm hai tia CA tia CB
=> ·ACD DCB ACB· · =>·DCB=400
KL
0.75 0.25 c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai tia CD Cx nằm phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900- ·ACD = 700
K.L
0.5
(52)- Trường hợp 2: Hai tia CD Cx nằm hai phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900 + ·ACD = 1100
K.L
0.5 - Xét đường thẳng CD.
Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ CD chứa điểm B nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A
E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E B nửa MP bờ CD
=> đường thẳng CD cắt đoạn EB
- Xét đường thẳng BE.
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD Vậy đoạn thẳng EB CD cắt
0.5
0.5 5
(1.0
điểm) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho:
1 1
a b c
Không làm tính tổng qt, ta giả sử: abc ta có: 15
, a
5
a
Nếu a=1 khơng thể được, a= a=3
0.5
Nếu a=2
1 10
b c
Suy
2 20
, b
10
b
Suy b=4 b= b=6 10<
1
Suy số a, b, c thỏa mãn (a=2,b=4,c=20) (a=2,b=5,c=10)
0.5
Nếu a=3
1 15
b c
từ
2 30
, b
15
b suy b=3 b=4 Khơng có trường hợp thỏa mãn
0.5
K.L có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số (2,4,20) (2,5,10) 0.5
Điểm toàn 20
điểm
Ghi chú:
(53)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 13 Câu 1(2,0 điểm): Tính hợp lí
a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16
c)
15 20
9 19 29
5.4 4.3
5.2 7.2 27
Câu 2(6,0 điểm): Tìm x số tự nhiên, biết:
a) x : (
-
) = 11
8 ,
11 ,
b) x
= x
c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 d) 2x 20 5.( 3)
Câu 3(6,0 điểm):
a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = 3.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2x + 1 3y = 12x
c) Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1; 2; cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396
d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên:
B =
2 17
2 2
n n n
n n n
Câu (5,0 điểm) :
Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM
a) Tính BN BM = 2cm
b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax Ay cho
BAx 40 , BAy 110 Tính yAx, NAy .
(54)Câu 5(1,0 điểm):
Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: + + + …….+ n = aaa Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 13
Câu Nội dung Điểm
1 (3,0đ)
a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16
= 49 100 + 49 100 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 0.5đ0.5đ
b)
15 20
9 19 29
5.4 4.3
5.2 7.2 27
=
30 18 20 27
9 19 19 29 18
5.2 3
5 2 7.2
=
29 18
28 18
2 (5.2 ) 2 (5.3 7.2)
0.5đ 0.5đ 2 (6,0đ)
a) x : (
-
) = 11
8 , 11 , 2 0,4 11 :8 2 0,4 11 x
x : =
1
4 x = Vậy x =
0.5đ
1.0đ
b) x
=
x (x + 1)2 = 16 = (4)2 *) x + = x = 3
*) x + = - x = -
Do x N nên x = 3.
0.75đ
0.5đ 0.25đ c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 52x - 3 = 52.3 + 2.52
52x - 3 = 52.5 52x - 3 = 53
2x - = 2x = x = Vậy x = 3
0.5đ 0.5đ 0.5đ d) 2x 20 5.( 3) 2x 5 2x 7 5
*) 2x – = 2x =12 x = 6
*) 2x – = - 2x = x = 1
Vậy x 6;1
(55)3 (6,0đ)
xy - x + 2y = ( xy – x) + (2y – 2) = x( y – 1) + 2( y – 1) = (y – 1)( x + 2) =
*)
1
2 1
y y
x x
*)
1
2
y y
x x
Vậy x = - ; y = x = -3 ; y =
0.75đ
0.75đ b) 2x + 1 3y = 12x 2x + 1 3y = (4.3)x = 22x.3x
2
1
2
2
2
x y
x y x
x x
Nhận thấy : ( 2, 3) = x – = y - x = x = y = 1
0.5đ 0.5đ 0.5đ c) Ta thấy, vị trí chữ số thay ba dấu số
hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng chúng 1+ 2+ =
Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đôi nguyên tố nên ta cần chứng minh
A = 155*710*4*16 chia hết cho ; 11 Thật :
*) A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho 4 *) A tổng chữ số chia hết cho :
1+ 5+ +7+ + + 1+ + (*+*+*) = 30 + = 36 chia hết cho
*) A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – = Vậy A 396
0.5đ
0.75đ 0.25đ
d) B =
2 2 5 17 3 2 2 5 17 3 4 19
2 2 2 2 2
n n n n n n n
n n n n n
B =
4 19 4( 2) 11 11
2 2
n n
n n n
Để B số tự nhiên 11
2
n số tự nhiên
11 (n+2) n + Ư(11) = 1; 11 Do n + > nên n + = 11 n = 9
Vậy n = B N
0,5đ 0,5đ
0,5đ
4
(5.0đ) Vẽ hình 0.5đ
55 y
M
N )
x
B
(56)a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB Þ AM + = AM = cm Có AN = AM AN = cm
Do N thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm N B BN = AB + AN = + = cm Vậy BN = 8cm
1.5đ
b) + Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có:
0
BAx BAy (40 110 ) Þ Tia Ax nằm hai tia AB Ay nên ta có:
BAx xAy BAy hay 400+xAy 110· = Þ xAy 110· = 0- 400=700
0.75đ
0.75đ + Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có BAy NAy hai
góc kề bù Þ BAy NAy 180· +· =
hay 1100+NAy 180· = Þ NAy 180· = 0- 1100=700
c) Vì BN = AB + AN = + AN BN có độ dài lớn AN có
độ dài lớn
Mà AN = AM BN có độ dài lớn AM có độ dài lớn nhất
Có AM AB AM lớn AM = AB điểm M trùng
với điểm B
Vậy điểm M trùng với điểm B BN có độ dài lớn
1,5đ
5 (1.0đ)
Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng + +…+ n = ) (n n
Mà + + 3+… + n = aaa Suy
) (n n
= aaa = a 111 = a 3.37 n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n 37 n +
37
Vì số ) (n n
có chữ số n+1 < 74 n = 37 n + = 37
+) Với n = 37 703 38 37
( loại) +) Với n + = 37 666
37 36
( thoả mãn)
Vậy n = 36 a = Ta có: 1+ + 3+… + 36 = 666
0.5đ
0.5đ
Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
(57)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 14 Câu 1: (4 điểm)
1) Tìm tự nhiên n cho 4n – chia hết cho 2n –
2) Cho S = 31 + 33 + 35 + + 32011 + 32013 + 32015 Chứng tỏ:
a) S không chia hết cho b) S chia hết cho 70
Câu 2: (5 điểm)
a) Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 b) Tìm số nguyên x, y biết x2y – x + xy = 6
c) Cho A 1- -13 17 - 21 Biết A = 2013 Hỏi A có số hạng? Giá trị của số hạng cuối bao nhiêu?
Câu 3: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ phân số a b
ab
(ab số có chữ số)
Câu (4 điểm)
Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia
1
4 số nam Nhưng sau bạn
nữ xin nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan
1
5số nam Tính số học
(58)Cho xOy 120 0,
1
xOz xOy
3
Kẻ tia Om tia phân giác góc xOy.Tính số đo mOz
-Hết-58
HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN THI: TOÁN LỚP 6
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(4đ) 1) 4n – = 4n – – = 2(2n – 1) –
2n –
Vì 2(2n – 1) 2n – nên 3 2n – 1
-> 2n – Ư(3)
Lí luận đến 2n – 1 3; ;
Kết luận n 0 2; ;
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2) a) Vì khơng chia hết cho
Các hạng tử lại chia hết cho Nên S không chia hết cho
b) Tính số số hạng tổng S 1008 số hạng
S = (31 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + + (32011 + 32013 + 32015)
S = 91+ 37 91 + … + 32011 91
Kết luận S 7
S = (31 + 33) + (35 + 37) + + (32013 + 32015)
S = 10+ 35 10 + … + 32013 10 10
Kết luận S 10
Vì (10, 7) = nên S 70
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Câu 2
(4đ) a) ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 5750 Tính 100x + 101 100 : = 5750
Kết luận x = b) x2y – x + xy = 6
(xy – 1)(x + 1) = = 1.5 = (-1)(-5) Xét trường hợp kết luận
(x;y) = (-2;2), (-4;0)
1 đ đ đ đ
c) Số số hạng A 2013 1007 : (số hạng)
Số hạng cuối là: (1007 – 1).4 + = 4025
1 đ đ
Câu 3
(2đ) Đặt A = a b ab
=
a b a b
10
=
a a b
9 1
=
b a
9 1
1
A Có GTNN +
b
a có GTLN b
a Có GTLN b = a =
(59)Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình.
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 15 Bài 1( điểm)
a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 2x + 5y chia hết cho
b, Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chia cho 130 , cho 150 số dư 88 108
Bài ( 5,0 điểm) : a) Tính A =
7777 77 7777 77 123498766
8585 85 16362 162 987661234
b, Tìm phân số lớn nhất, chia phân số
24
18
11 cho ta thương số
(60)Bài (2,0 điểm) : a, Cho biết S =
1 1
101 102 130 Chứng minh
4 < S < 91 330
Bài 4 (4,0 điểm): Tổng bình phương số tự nhiên 2596 Biết tỉ số số thứ nhất số thứ hai
2
3, số thứ hai số thứ ba
6 Tìm ba số đó. Bài ( 5,0 điểm) :
Cho tia Oz nằm góc vng xOy Vẽ tia Ot cho Ox tia phân giác góc tOz Vẽ tia Om cho tia Oy phân giác góc zOm
a, Chứng minh tia Om tia Ot hai tia đối
b, Gọi Ox’ tia đối tia Ox, biết góc x’Om 300 Tính góc tOz
c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ Ot ) Hỏi hình vẽ có tất góc ?
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 15
60
m
Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm
Bài 1 (4,0 đ)
Câu a ( điểm) Ta có 4x + 3y
4( 4x + y) 16x + 12 y
14x + 7y + 2x + 5y Mà 14x + 7y = 7(2x + y) Nên 2x + 5y
Vậy 4x + 3y 2x + 5y Câu b ( điểm)
Gọi số phải tìm a
Ta có a + 42 chia hết cho 130 150 nên a + 42 BC(130,150)
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,75đ 1,25đ
y 18 54
2x-1 27
x 14
(61)Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình.
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 16 Câu 1: (5 điểm)
a) Tìm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750 b) Tìm x; y Z biết 2x + 124 = 5y
c) Tìm kết phép nhân A = 100c /s 666
100c /s 999 Câu : (4 điểm)
a) Chứng minh : 72 102014
số tự nhiên b) Cho abc Chứng tỏ 2a + 3b + c 7
c) Cho số tự nhiên từ 11 đến 21 viết theo thứ tự tùy ý, sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10
Câu : (2 điểm) Cho S = 49
5 23
5 22
5 21
5 20
5
Chứng minh < S <
Câu : (4 điểm) Tìm số có tổng 420, biết
số thứ 11
số thứ hai
bằng
số thứ ba Câu : (5 điểm)
a) Cho góc xOy 800, góc xOz 300 Tính số đo góc yOz ?
(62)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 16
Câu Nội dung Điểm
Câu (5 điểm)
a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750
=> 100x + 101.50 = 5750 => 100x = 700 = > x =
b) +) x = => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y
=> 53 = 5y => y = 3
+) x0 => 2x + 124 số chẵn => 2x + 124 = 5y vô lý Vậy x = y = thỏa mãn đề
c) A = 100c /s 666
100c /s 999
= A = 100c /s 666
.(1100c /s 00
- 1) = 100c /s
6
666 s c /
100
0 000
- 100c /s 666
= 99c /s 666
599c /s 333
4
0,75 0,75 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5
1,0 Câu
(4 điểm) a) Chứng minh : 10
2014 +
102014 +
Mà (8; 9) = => 102014 + 72
=> 72 102014
số tự nhiên
b) abc 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7
=> 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7
Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7
c) Khi xét số tự nhiên chia cho 10
=> Có thể xảy 10 trường hợp số dư 0;1;2; ;9 (1) Mà số tự nhiên từ 11 > 21 gồm (21 - ) + = 11 số
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,5
(63)Biết số cộng với số thứ tự tổng => Có 11 tổng , tổng có giá trị số tự nhiên (2) Từ (1) (2) => Trong 11 tổng chắn có 2tổng có số dư chia cho 11
=> Luôn hai tổng có hiệu chia hết cho 10
0,5
0,5 0,5
Câu
(2 điểm) Xét tổng S = 49
5 23 22 21 20
có 30 số hạng
Mà 50
5 49 ; ; 50 22 ; 50 21 ; 50 20
=> 50
30
S
S
(1)
Lại có : 20
5 49 ; ; 20 22 ; 20 21 ; 20 20
=> S < 20 150 20
5 30
=> S < (2) Từ (1) (2) => < S <
0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu
(4 điểm) Lập luận => Số thứ nhât 22 21
số thứ hai Số thứ ba 22
27
số thứ hai => Tổng ba số 22
70 22 27 21 22
số thứ hai => Số thứ hai : 420 : 22
70
= 132 => Số thứ : 22.132 126
21
=> Số thứ : 22.132 162 27 0,75 0,75 0,75 0,75 0,5 0,5 Câu (5 điểm)
a) +) TH1: Hai tia Oy Oz nằm hai nửa mp đối bờ chứa tia Ox :
Lập luận => Tia Ox nằm hai tia Oy Oz
(64)=> góc yOz = 800 + 300 = 1100
+) TH2: Hai tia Oy Oz nằm nửa mp bờ chứa tia Ox
Lập luận => Tia Oz nằm hai tia Ox Oy => góc yOz = 800 - 300 = 500
b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D thuộc nửa mp bờ a => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
+) TH2: Trong hai nửa mp đói bờ a, nửa mp chứa bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt đoạn thẳng số đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
+) TH2: Trong hai nửa mp đối bờ a, nửa mp chứa điểm, nửa mp lại chứa số bốn điểm A; B; C; D
=> Đường thẳng a cắt đoạn thẳng số đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 z
x y
O
O y
z
(65)Suy điều phải chứng minh Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(66)Câu 1: ( điểm)
1) Chứng minh số A = 10n + 18n - chia hết cho 27 ( n số tự nhiên)
2) Chứng tỏ với số tự nhiên n phân số sau tối giản:
16 12
n n
Câu 2: (5 điểm)
1) Tìm số nguyên x, y cho: (x - 1)(3 - y) = 2) Tìm tập hợp số nguyên x , biết :
(
3 3
1 ) : (1 20%) 1 : 4 5 5 x 4 11 21
3) Tìm số tự nhiên x biết:
1 1 2013
3 10 x x( 1)2015
Câu3:(2điểm)
Chứng minh : + 1999
1 1
1000 3 2 Câu 4: (4 điểm)
Sau buổi biểu diễn văn nghệ, nhà trường tặng cam cho tiết mục Lần đầu tiết mục
đồng ca hết
5
6 số cam
6 quả; lần tặng tiết mục tốp ca hết
7 số cam lại
7 quả; lần
3 tặng tiết mục đơn ca hết
3
4 số cam lại lần
4 vừa hết Tính số cam trường đó
đã tặng số cam riêng cho tiết mục đồng ca, tốp ca đơn ca Câu 5: ( điểm)
Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng:
a xOy xOz yOz
b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại .HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
(67)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 17
Câu Nội dung Điểm
Câu (4điểm)
1) Ta viết số A dạng sau : A = 10n + 18n - = 10n - - 9n + 27n
= 99 9 n - 9n + 27n = 9( 11
n - n) + 27n
n tổng chữ số 11 1n nên ( 11
n - n)
Từ A 27
2) Gọi ƯCLN tử mẫu d (d N, d 1) 16n + d
12n + d 3(16n + 3) d 4(12n + 2) d
Do 3(16n + 3) - 4(12n + 2) d 48n + - 48n - d
d
Vậy d = 1 Phân số
16 12
n n
phân số tối giản.
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (5điểm)
1) Ta có: (x - 1)(3 - y) =
Vì có ước - 2; -1; 1; x y Z; nên (x - 4), (3 - y) Z .Do ta có:
+ 1 x y 1 x y x y + x y x y x y + x y x y x y + 1 x y 1 x y x y
Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn là: (x; y) = (0;5);( 1;4);(3;2);(2;1)
0,5đ
0,5đ
(68)2) (
3 3
1 ) : (1 20%) 1 : 4 5 5 x 4 11 21 12 32 245
( ) : (1 ) :
4 5 x 11 121
1 : x
35 121 11 245
32
76 x
mà x Z nên x 1; 2;3; 4
3 Nhân
1
2 vào hai vế ta :
1 1 1 2013
6 12 20 x x( 1)2 2015
1 1 1 1 1 2013
2 3 4 5 x x1 2015
1 1 2013 2 x1 2015
1 2013 2( 1) 2015
x x 2013 2015 x x
2015x 2015 2013x 2013
2x 4028
x2014
0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (2điểm) 1999
1 1
1
2
+
1
2+ (
1
3 2 ) + (
1
5 2 ) + (
1
9 2 ) + …
+( 1998 1999
1
2 1 2 )
> +
2 1998
2 1999
1 1 1
.2 2
2 2 2 2 2
= 1+
1
2 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM)
0,5đ 1đ 0,5đ Câu
(4điểm) - Nhận xét :
1
4 cuối
4
4 4 4 số cam lại sau
lần Vậy phải tính ngược từ lên Tiết mục đơn ca tặng
1 1
:
4 44 1 = (quả).
Tương tự trên, tiết mục đơn ca tốp ca tặng : (
1 7 ) :
1
7 = (quả).
Tương tự số cam trường tặng : (8 +
1 6) :
1
6 = 49 (quả)
Số cam tặng tiết mục tốp ca : - = (quả) Số cam tặng tiết mục đồng ca : 49 - = 41 (quả)
(69)Câu (5điểm)
z,
y
x, O x
z y,
a) Kẻ tia Ox, tia đối tia Ox Ta có: x Oy, + yOx = 1800 (kề bù) '
x Oy
= 1800 - 1200 = 600
Tương tự: x Oz ' 600
Ta có : x Oy' 60 ,0 x Oz' 600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên yOz yOx' x Oz' 1200
xOyyOzzOx
b) Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz x Oy x Oz' '
nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz
-Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ
Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
(70)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 18
Bài 1( điểm)
a) Cho A = - 52 + 53 - 54 + …- 598 + 599 Tính tổng A.
b) Chứng tỏ (2n
+ 1).( 2n
+ 2) chia hết cho với n số tự nhiên Bài ( điểm)
a) Tìm số nguyên x, y biết : (x - 2)2.(y - 3) = - 4
b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2) Bài ( điểm)
Chứng minh 2 2 2
1 1 1
1 99 100
A
Bài ( điểm)
Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia
1
4 số nam Nhưng sau có
một bạn nữ xin nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan
1
5 số nam Tính
số học sinh nữ nam tham quan
Bài 5: (5 điểm)
Cho tia chung gốc theo thứ tự Ox, Oy, Oz, Ot cho
1
xOy zOt
;
1
yOz xOy
, biết số đo góc zOt 600
a) Tính số đo góc xOy; yOz; tOx?
b) Vẽ tia Om cho số đo góc mOt 200 Tính số đo góc zOm?
c) Vẽ thêm 10 tia phân biệt chung gốc với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Hỏi có góc tạo thành từ tất tia trên?
(71)-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 18
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (4điểm)
Câu a( điểm)
A = – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599
5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100
Tính rút gọn 6A = + 5100
100
5
A
Câu b ( điểm) Ta có: 2n
(2n
+1).( 2n
+ 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
Mà 2n không chia hết cho 3
nên (2n + 1).( 2n+ 2) n N
0,5 đ đ 0,5 đ
0,75 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ
Bài 2 (5điểm)
Câu a( điểm)
Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có trường hợp sau:
TH1: ( x - 2)2 = 12 y - = -4
x - = ; y = -1 x - = -1; y = -1
x = 3; y = -1 x = 1; y = -1
TH2: ( x - 2)2 = 22 y - = -1
x - = ; y = x - = -2; y = 2
x = 4; y = x = 0; y = 2
KL: Vậy ta có cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là: (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)
Câu b( điểm)
Ta có: 4n – 3n – Mà 3n + 3n + → 3(4n – 3) – 4(3n – 2) 3n – → ( 12n - - 12n + ) 3n – → - 3n – → 3n – Ư(-1)
+) 3n – = suy n = +) 3n – = -1 suy n = 1/3
Kết hợp điều kiện n nguyên ta n =
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
(72)Bài 3 (2điểm)
Giữ nguyên 2
1
1 2
Ta có: 2
1 1 1
; ; ;
3 2.3 3.4 100 99.100
2 2 2
2
1 1 1
1 99 100
1 1 1 1
( ) ( ) '
1 2.3 3.4 4.5 99.100
1 1
( ' )
2.3 3.4 4.5 99.100 A
A
A
Chứng minh A’ =
1 100
Do
1 1 3
1 1
4 100 100
A
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,75 đ
Bài 4 (4điểm)
Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nhau, ta lấy làm đơn vị
Số nữ dự định tham quan
1
4 số nam nên
5 tổng số
nam nữ
Số nữ tham quan
1
5 số nam nên
6 tổng số nam nữ.
Số nữ dự định nhiều số nữ là:
1 1
5 6 30( tổng số học
sinh) hay
1
30 tổng số học sinh tương ứng với học sinh. Tổng số học sinh là: :
1
30 = 30 ( học sinh)
Số học sinh nữ tham quan là: 30
1
6 = (học sinh)
Số học sinh nam tham quan là: 30 – = 25 ( học sinh) Vậy có học sinh nữ 25 học sinh nam tham quan
0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 5 (5điểm)
(73)Câu a ( điểm) Vì
1
;
2
xOy zOt yOz xOy
Mà zOt 600nên
0 0
1 1
60 30 ; 30 15
2 2
xOy yOz xOy
Tính xOt xOy zOy zOt 300 150600 1050 Câu b ( 2,5 điểm)
Ta có trường hợp:
TH1: Tia Om nằm tia Oz tia Ot
Tính zOmzOt tOm600 200 400
TH2: Tia Ot nằm tia Om Oz
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
1,25 đ
1,25 đ
x
O
y
z
t
60
x
O
y
z
t
20
(74)Tính zOmmOt tOz200 600 800
Câu c ( điểm)
Từ hai tia chung gốc ta vẽ góc
Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om Tất hình vẽ có 15 tia phân biệt
Cứ tia 15 tia tạo với 14 tia cịn lại thành 14 góc Có 15 tia nên tạo thành 15.14 ( góc)
góc tính lần
nên có tất số góc tạo thành từ 15 tia phân biệt chung gốc :
15.14 105 góc
0,5 đ
0,5 đ
Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình.
x
O
y
z
t
20
(75)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 19 Bài 1: (4,0 điểm ) ,
1 Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17.
2 Cho C = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40.
3 Tìm nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 (y-3) = - 4
Bài :(5,0đ) Tìm x, biết:
1 a) 32x = 81 ; b) 52x-3 – 2.52 = 52.3
2 Tính 19 29
9 20
15
27
8
Tính tổng: B = 97.100
2 10
2
2
2
4 Tìm số tự nhiên n để phân số 193
n n A
Có giá trị số tự nhiên
Bài 3: (2,0đ) Chứng minh : 100
1
1
1
1
2
2
2
Bài 4: ( 4,0 điểm)
Tổng số trang loại ; loại loại 1980 trang Số trang loại
2
số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại Bài 5: (5,0đ) Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm
a Tình độ dài BM
b Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM.
(76)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 19
Bài Nội dung Điểm
Bài (4điểm)
1 Ta có (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do ; 2x + 3y chia hết cho 17 ( 2x +3y ) chia hết cho 17
9x + 5y chia hết cho 17
Ngược lại Ta có ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( ; 17 ) =
2x + 3y chia hết cho 17
2 B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)
= (1 + + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33)
= 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) : 40
3 Do –4 = 12 (- 4) = 22.(-1) nên có trường hợp sau:
a
1 ) ( y x y x y x
1 1 y x y x
b
2 )
( 2
y x y x y x
2 2 y x y x 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ
Bài (5điểm)
1 a) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = 2
b) 52x-3 – 2.52 = 52
.352x: 53 = 52.3 + 2.52
52x: 53 = 52.5
52x = 52.5.53
52x = 56
=> 2x = => x =
2
30 18 20 27 29 18
9 19 19 29 18 28 18
5.2 3 2 (5.2 3)
2
5 2 7.2 3 (5.3 7.2)
3 Ta có 4)
1 1 ( ) 1 ( 1
10);
1 ( 10 ); (
; 100) 99 ( 100 97
B= 100)
1 99 10 7 4 1 (
B= 50
33 100 99 ) 100 1 (
4
(77)Để A N 187 4n + => 4n +3 17;11;187 + 4n + = 11 -> n =
+ 4n +3 = 187 > n = 46
+ 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khơng có n N Vậy n = 2; 46
0,5đ
Bài (2điểm) Ta có: ; 1 1
2
3;
2
; 100 99 100 99 100 ; ; 4
2
Vậy 1002
1 100 99 3 2 1 1 1 1
1
2 3 99 100 99 1 100 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài
(4điểm) Vì số trang vỡ loại
3
số trang loại Nên số trang loại số trang loại
Mà số trang loại loại Nê số trang loại số trang loại Do số trang loại :4 : = 16 ( loại 3)
Số trang loại bằng9 : = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 số trang 16 + 12+ = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang loại 1980 : 33 = 60 ( trang)
Số trang loại 80 60
(trang) Số trang loại1 là; 120
3 80 ( trang) 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 1,0đ Bài (5điểm)
a M, B thuộc tia đối CB CM
-> C nằm B M -> BM = BC + CM = (cm) b C nằm B,M -> Tia AC nằm tia AB, AM -> CAM = BAM - BAC = 200
c Có xAy = x AC + CAy =
BAC +
CAM
=
( BAC + CAM) =
BAM =
.80 = 400
(78)d +) Nếu K tia CM -> C nằm B K1 -> BK1 = BC + CK1 = (cm)
+)Nếu K tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm)
1,0đ 1,0đ Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình. 3. Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn.
(79)Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 20
Bài 1: (4 điểm):
Cho biểu thức A =
2 n
a, Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b, Tìm số tự nhiên n để biểu thức A số nguyên Bài 2: (5 điểm):
1 Tính nhanh A= 3.136.8 + 14.6 -14.150
11 4
B :
4 9 11 33
2 Tìm x biết
a/ + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ x = 18 + 2.(-8)
Bài 3: (5 điểm)
1.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M,N thứ tự trung điểm OA, OB. d) Chứng tỏ OA < OB
e) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ?
2 Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo AOB, BOC
b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD Bài
(4 điểm):
Bạn An nghĩ số có chữ số, bớt số đơn vị số chia hết cho 7, bớt số đơn vị số chia hết cho 8, bớt số 10 đơn vị số chia hết cho Hỏi bạn An nghĩ số nào?
Bài (2 điểm) :
Chứng minh
2 2 2
1 1 1
2 2011 2012
(80)-PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 20
BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM
Bài 1 (4,0điểm)
a/ nZ n2 b/ (n - ) Ư( -5) = 1; 5
2 1
2
2
2
n n N
n n N
n n N
n n N
Vậy n = 1;3;7
2
0,5 0,5
Bài 2 (5 điểm)
1 A= 24.136 + 24.14 - 14.150 = 24.(136 + 14)- 14.150 = 24.150 - 14.150= 150 (24- 14)=150.10 =150
0,5
11 11 11 11
B
4 9 33 9 33 33
2 a) + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] + 2x-1 = 24 – 42 + 3
2x-1 = 24 – 42 = 22 x -1 =
x =
0,5 0,5 0,5 b/ x = x = 3; Bài 3
(5đ)
1.( 2điểm)
b
m a n
o
Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai đ O B OA< OB. Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :
OA OB
OM ; ON
2
Vì OA < OB, nên OM < ON
Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N
2.(3 điểm) Vẽ hình
a)Vì AOBvà BOClà hai góc kề bù nên: AOB BOC 180 0 mà
BOC 5.AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 A
B
C O
(81)b)Vì OD tia phân giác BOC nên BOD = DOC=2
BOC =750 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD DOC 180 0 Do AOD=1800 –DOC = 1800- 750 = 1050
KL:
0,5 0,25 0,25
Bài 4 (4,0điểm)
Gọi số bạn An nghĩ A
Vì (A-8) 7 (A-1) - 7 (A-1) 7 Vì (A-9) 8 (A-1) - 8 (A-1) 8 Vì (A-10) 9 (A-1) - 9 (A-1) 9
Do đó: (A-1) bội chung 7,8,9 A số có chữ số nên
99 < A < 1000
Từ giải tìm A-1 = 504Suy :A= 505
1 0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 5 (2,0đ)
Ta có
1
2 1.2 ;
1
3 2.3 ;
1
4 3.4 ; … ;
1
2012 2011.2012 0,5
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012
0,5
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2011 2012 1 2 3 4 2011 2012
0,5
2 2 2
1 1 1 1
2 2011 2012 1 2012 =
2011
2012 < 1 0,5
Chú ý:
1 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa.