Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, gọi d là đường thẳng qua A và không cắt đoạn thẳng BD. Cho hình bình hành ABCD, các đường phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại M, các đường phân gi[r]
(1)HÌNH BÌNH HÀNH
Hình Bình Hành Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song
Tứ giác ABCD hình bình hành
/ / / /
AB CD AD BC
Tính chất. Trong hình bình hành: cạnh đối nhau, góc đối nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
+ Tứ giác có cạnh đối song song.
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song nhau. + Tứ giác có góc đối nhau.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường. A Các ví dụ
Ví dụ Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác MNPQ hình ? Vì ?
(2)Xét tam giác ABC ta có: M trung điểm AB, N trung điểm BC nên MN đường trung bình tam giác ABC, suy
1
MN AC
MN / /AC (1)
Xét tam giác DAC ta có: Q trung điểm DA, P trung điểm C nên QP đường trung bình tam giác DAC, suy
1
PQ AC
PQ/ /AC (2) Từ (1) (2) ta suy MN / /PQ MN PQ , tứ giác MNPQ hình bình hành
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABC, gọi E, F trung điểm AB CD; M, N, P, Q trung điểm đoạn AF, CE, BF DE Chứng minh MNPQ hình bình hành
Giải.
(3)Q trung điểm DE; F trung điểm DC nên QF đường trung bình
tam giác DEC, suy QF / /EC
1
QF EC EN
(vì N trung điểm EC) hay / /
QF EN QF EN nên tứ giác QFNE hình bình hành EF
cắt QN trung điểm đường Gọi trung điểm O (1) Tương tự, xét tam giác ABF ta có:
E trung điểm AB; M trung điểm AF nên EM đường trung bình
tam giác ABF, suy EM / /BFvà
1
EM BF PF
(vì P trung điểm BF) hay / /
EM PF EM PF nên tứ giác EMFP hình bình hành
EF
cắt PM trung điểm đường O trung điểm EF nên O cũng trung điểm PM (2)
Từ (1) (2) ta suy PM cắt QN trung điểm O đường nên tứ giác MNPQ hình bình hành
Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự trung điểm CD, AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự M, N Chứng minh
a)AI / /CK b)DM MN NB
(4)a) Chứng minh AI // CK
Vì K trung điểm AB nên
1
AK AB
I trung điểm CD nên
1
CI CD
Vì ABCD hình bình hành nên AB = CD AB // CD AK CI
và AK // CI,
tứ giác AICK hình bình hành AI / /CK
b)Xét tam giác DCN có MI // CN (do AI // CK) I trung điểm DC MI đường trung bình tam giác DCN
M
trung điểm DN
DM MN
Tương tự, xét tam giác ABM có KN // AM (do AI // CK) K trung điểm AB
KN đường trung bình tam giác ABM N
(5)BN MN
.
Vậy ta có BN NM MD.
Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ CE vng góc với AB Gọi M trung điểm AD, nối EM, kẻ MF vng góc với CE F; MF cắt BC N
a) Tứ giác MNCD hình ? b)Tam giác EMC tam giác ? c)Chứng minh BAD 2AEM
Giải.
a)Ta có MN CE AB CE; NM / /AB MN / /CD mà MD/ /NC(ABCD hình bình hành)
MNCD
hình bình hành.
b)Vì MNCD hình bình hành
1
2
CN DM AD CB
N
(6)Vậy tam giác CBE NF đường trung bình (đường thẳng song song với đáy qua trung điểm cạnh)
F
trung điểm CE
Mà MF vng góc với CE F MF
đường trung trực CE MC ME MCE cân. c)Ta có: 2AEM 2EMF (vì so le trong) EMC (vì MCE cân) (*) Vì AD = 2AB MN CD MD NC CD
Do ta có MNC MDC (c - c - c ) NMC CMD Do ta suy EMC NMD NCD BAD (**)
Từ (*) (**) ta có 2AEM BAD
Ví dụ 5. Cho hình thang vng ABCD, có A = B = 90o AD = 2BC Kẻ AH
vng góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI AI
Giải.
(7)Gọi J trung điểm AH với I trung điểm HD IJ đường trung bình
của tam giác AHD IJ / /AD
1
IJ AD BC / /
IJ BC
IJ BC
BCIJ
hình bình hành BJ / /CI (1) Vì IJ / /AD IJ AB
J
trực tâm tam giác BAI BJ AI (2) Từ (1) (2) CI AI.
B Bài Tập.
Bài 1. Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Gọi H trực tâm tam giác ABC, O giao điểm đường trung trực Gọi M điểm đối xứng với A qua O
a) Tứ giác BHCM hình ? Giải thích?
b) Gọi N hình chiếu vng góc O lên BC Chứng minh H, N, M thẳng hàng c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho DB CE , BC cắt DE F Chứng minh F trung điểm của
(8)Bài 4. Cho tứ giác ABCD có M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh CD, P điểm thuộc cạnh BC PB PC , Q điểm thuộc cạnh AD QA QD Biết MPNQ hình bình hành, chứng minh BC song song AD
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, gọi d đường thẳng qua A không cắt đoạn thẳng BD Gọi BB’, CC’, DD’ khoảng cách thừ B, C, D đến đường thẳng d B C D', ', 'd Chứng minh BB DD' 'CC'.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác góc A góc D cắt M, đường phân giác góc B góc C cắt N Chứng minh MM // AB
Bài 7. Cho tam giác ABC D điểm thuộc cạnh AC Đường thẳng qua D vng góc với AB cắt đường thẳng vẽ từ C vng góc với BC E Gọi M trung điểm đoạn AD Tính MBE
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE EF FC Gọi M giao điểm BF CD, N giao điểm DE AB. Chứng minh
a) M, N trung điểm CD AB b) EMFN hình bình hành
Bài 9. Cho tam giác ABC Gọi N, P, Q trung điểm AB, BC, CA I, J, K trung điểm đoạn NP, BP, NC Chứng minh tứ giác IJKQ hình bình hành