Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng M N, BP, CQ đồng quy tại một điểm thuộc một đường tròn cố định khi B, C thay đổi.. Bài 5.[r]
(1)Bài tập hình học trường Đơng thầy Sỹ Đức Quang thầy Lê Bá Khánh Trình
Thầy Sỹ Đức Quang
Bài Cho tam giác nhọn khơng cân ABC nội tiếp đường trịn (O) Lấy P điểm nằm trong(O)và khác O Các tiếp tuyến B, C (O) cắt tạiD, xác định tương tự với E, F Lấy X điểm Lemoine 4BP C Xác định tương tự với Y, Z Chứng minh DX, EY, F Z đồng quy
Bài Cho tam giácABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn(O) LấyD, E, F chân đường cao tam giácABC Đường tròn(AOD),(BOE),(COF)cắt lại(DEF)tại X, Y, Z
a) Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy
b) Gọi H trực tâm tam giác ABC, L1, L2 điểm Lemoine 4ABC
4XY Z Chứng minh HL1 kOL2
Bài Cho tam giácABC nhọn khơng cân có tâm nội tiếp (I) Gọi X, Y, Z chân đường đối trung đỉnh I 4BIC,4CIA,4AIB Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy
Bài Cho tam giác ABC khơng cân có trọng tâm G Lấy D, E, F trung điểm BC, CA, AB Dựng đường tròn qua E, F tiếp xúc với cung nhỏ BC (O) X Tia XG cắt (DEF)tại A1 Xác định tương tự với Y, Z B1, C1 Chứng minh a)AA1, BB1, CC1 đồng quy
b)AG, BZ, CY đồng quy
Bài Cho tam giác ABC nhọn không cân có trực tâm H nội tiếp (O) trọng tâm G Chân đường cao ứng với đỉnh A, B, C D, E, F Đoạn GA, GB, GC cắt (DEF)
lần lượt Ga, Gb, Gc Các tia HGa, HGb, HGc cắt (O) X, Y, Z Các đường tròn
(AOD),(BOE),(COF) cắt lại (O)tại X0, Y0, Z0 Chứng minh rằngXX0, Y Y0, ZZ0 đồng quy OH
Bài Cho tam giác ABC không cân, điểm P tam giác Lấy D, E, F trung điểm cạnhBC, CA, AB TiaAP, BP, CP cắt(O)tại X, Y, Z Lấy điểm A1, B1, C1 thỏa mãn
−−→
AA1 =
−−→
DX,−−→BB1 =
−−→
EY ,−−→CC1 =
−→
F Z Chứng minh đường tròn
(A1B1C1) qua điểm cố định P thay đổi
Bài Cho tam giácABC có chân đường cao hạ từ A, B, C D, E, F Lấy A1, B1, C1 thuộc đường tròn (ABC) cho AA1, BB1, CC1 đồng quy X Lấy A2, B2, C2 đối xứng A1, B1, C1 qua D, E, F Chứng minh (A2B2C2) qua trực tâm tam giác ABC
(2)Bài Cho tam giácABC ngoại tiếp(I) Đường thẳng quaAvng góc vớiAI cắt đường trung bình 4ABC ứng với đỉnhA X Định nghĩa tương tự vớiY, Z
a) Chứng minh đường tròn (AXI),(BY I),(CZI) có điểm chung khác I nằm IG (G điểm Gergone tam giác ABC)
b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Lấy X0, Y0, Z0 đối xứng với X, Y, Z qua trung điểmN P, P M, M N Chứng minh X0, Y0, Z0 thẳng hàng vng góc vớiOI Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F Lấy K giao điểm củaEF vàBC Đường trịn đường kínhDK cắt(I)tại P khácD Đường trịn(AEF) cắt (ABC)tại T khácA Tiếp tuyến P (I)cắt AT S.D0 chân đường phân giác ứng với đỉnh A 4ABC Chứng minh SD0 tiếp xúc với (I) Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AC cắt BD K Lấy G, H trung điểm AB, CD
(I) đường tròn (GHK) (I) giao (O) M, N cho tứ giác M GHN lồi M G cắt HN P,M N cắt GH Q Chứng minh P K ⊥IQ
Bài 11 Cho tam giácABC ngoại tiếp (I)tiếp điểm trênBC, CA, AB D0, E0, F0 Lấy Qthuộc tam giác ABC, AQ, BQ, CQ cắt BC, CA, AB M, N, P Tiếp tuyến (I)
tại M, N, P cắt thành tam giác DEF Chứng minh DD0, EE0, F F0 đồng quy
Bài 12 Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) có đường trịn bàng tiếp (Ia),(Ib),(Ic) Đường thẳng qua Ia song song với IcC cắt IbB O1 Đường thẳng
quaIa song song vớiIbB cắtIctại O2 Xác định tương tựO3, O4 ứng vớiIb O5, O6 ứng với Ic
a) Chứng minh đường thẳng qua Ia vng góc vớiO1O2, đường thẳng qua Ib vng góc
với O3O4 đường thẳng qua Ic vng góc với O5O6 đồng quy
b) Giả sử (Ia) tiếp xúc với BC, CA, AB K, M, N Chứng minh trung điểm
của M N nằm (O) K nằm OI
Bài 13 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB A1, B1, C1 Đường tròn bàng tiếp đối diện góc A (Ia) tiếp xúc
BC, CA, AB A2, B2, C2
a) Lấy IIa cắt A1C1, A2B2 M, N Chứng minh M, N, A1, A2 đồng viên
b) Giả sử bán kính đường trịn(O)và(Ia)bằng Chứng minh BB2 vàCC2 cắt
trên (O)
Bài 14 Cho tam giácABC ngoại tiếp (I), tiếp điểm AC, AB làE, F LấyM trung điểm AB AM cắt EF N Đường trịn đường kính BC cắt BI, CI X Y Chứng minh N X
N Y = AC AB
Bài 15 Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm ngoại tiếp (O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC K Chứng minh IOkBC AOkHK
Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn không cân Lấy Dthuộc BC GọiI1, I2 tâm nội tiếp 4ADB 4ADC Lấy O1, O2 tâm ngoại tiếp 4AI1D 4AI2D Lấy P giao điểm I1O2 I2O1 Chứng minh DP ⊥BC
(3)Thầy Lê Bá Khánh Trình
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định A thay đổi (O) Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABEG vàACF K AK cắt BE M AG cắt CF N Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn (EM K) (F N G) qua điểm cố định A thay đổi
Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Trên BC lấy Lb, Lc cho ALb ⊥OB ALc⊥
OC Các trung tuyến qua Lb, Lc tam giác LbAB LcAC cắt Ka Xác
định tương tự vớiKb, Kc Chứng minh AKa, BKb, CKc đồng quy
Bài Cho tam giácABC khơng cân cóDlà trung điểmBC Dựng phía ngồi tam giácABC hai tam giác vuông B C đồng dạng với 4ABE 4ACF Lấy M, N hình chiếu củaB trênAF vàC AE LấyT giao điểm thứ hai của(M DN)
giao với BC Chứng minh AT, BF, CE đồng quy
Bài Cho tam giác ABC có trung tuyến AI nội tiếp (O) A cố định, B, C thay đổi
(O) Lấy P, Q AI cho P A = P B QA = QC Lấy hai điểm M, N cho ∠BAN =∠ACN =∠ABM =∠CAM = 90◦ Chứng minh M N, BP, CQ đồng quy điểm thuộc đường tròn cố định B, C thay đổi
Bài Cho tam giácABC nội tiếp(O) ngoại tiếp(I) Đường trịn (I)tiếp xúc vớiBC D, kẻ đường kínhDE (I) Lấy điểm F trênOI cho tiaAF đối xứng với tiaAE qua AI Chứng minh DF qua giao điểm khác A đường tròn (O) đường trịn đường kính AI
Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD đường phân giác AL Lấy K cho ∠LDK =∠LAK = 90◦ Lấy H đối xứng với A quaD Đường tròn (AKH)cắt AB, AC tạiE, F Tia AL cắt EF G Chứng minh BC, EF cắt (AGH) Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Lấy D trêm cung nhỏ BC E, F AB, AC
sao cho AEDF hình bình hành K giao EF BC M, N trung điểm BC, EF Chứng minh D, K, M, N đồng viên
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cóB, C cố định A thay đổi (O) Kẻ đường kính AD, từ Dkẻ tiếp tuyến với (O)cắt BC K.KO cắt AB, AC E, F GọiT tâm đường tròn (AEF) Chứng minh AT qua điểm cố định A thay đổi
Bài Cho tam giácABC nhọn có đường caoAH LấyDlà trung điểmBC Đường trịn(ABH)
cắtAC, ADtạiE, M Đường tròn(ACH)cắtAC, ADtạiF, N Đường tròn(DM H)giao
(ACH) (DN H) giao (ABH) điểm thứ hai P, Q Chứng minh P Q qua trung điểmEF
Bài 10 Cho tam giácABC nội tiếp(O)cóBC cố định vàAdi chuyển (O)sao cho tam giác ln nhọn Gọi E, F hình chiếu củaB C phân giác góc A LấyM, N điểm đối xứng E, F qua AB, AC Gọi K giao BN CM Chứng minh AK qua điểm cố định A di chuyển