Cách đây khoảng ba năm, khi ấy mình là một cậu học sinh cấp 2 với niềm say mê hình học rất lớn, bài toán nào các thầy cho cũng giải, bài toán nào cũng ghi chép rất cẩn thận vào vở và còn[r]
(1)TẢN MẠN VỀ HÌNH HỌC (P1) Nguyễn Đăng Khoa ∗
Ngày 29 tháng 12 năm 2020
1 Mở đầu
Cách khoảng ba năm, cậu học sinh cấp với niềm say mê hình học lớn, tốn thầy cho giải, toán ghi chép cẩn thận vào tham khảo thêm rất nhiều tài liệu mạng Thật may mắn tận bây giờ, học sinh lớp 12, thân giữ niềm say mê với hình học cảm thấy trân trọng học năm trước Nhân dịp rảnh rỗi, nhớ năm học cấp nhớ cịn tốn mà bạn lớp sưu tầm sách đố tìm lời giải (đương nhiên sách đưa tốn khơng có lời giải)
Bài tốn tốn đẹp thực khó liên quan đến hai đường trịn tiếp xúc Kết khơng bất ngờ sau nhiều đêm suy nghĩ chưa giải đành ngậm ngùi bỏ qua với suy nghĩ: "Mày chờ đấy, năm tao học sâu cao chắn giải thơi."
Thực ra, nhìn thấy qua vài lời giải trang mạng tốn tiếng muốn tự thân mày mị tìm lời giải cho riêng Cuối cùng, đến tận hơm ngày giải xong tốn lịng luôn cảm xúc dạt dào, niềm vui nho nhỏ làm đặc biệt toán mà thân ấp ủ mong muốn giải từ lâu Sau giải xong nhìn lại vào tốn này, nhìn lại qua cảm thấy thân trưởng thành nhiều Mong sau dù có ln có niềm say mê hình học cậu học sinh cấp ngày
∗THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
(2)Tản mạn hình học (P1)
2 Bài toán lời giải
2.1 Bài toán
Bài tốn Cho nửa đường trịn có đường kính AB tâm O Trên đoạn AB lấy điểm C nửa đường trịn lấy M cho MC=MB Dựng đường tròn tâm J tiếp xúc với (O), tiếp xúc với đường trịn đường kính AC tiếp xúc với MC Chứng minh JC vng góc với AB
E
D J
N
M
A
M
C
A O B
O
B J
C 2.2 Lời giải
Lời giải Ta sử dụng phép nghịch đảo tâm C, phương tích làC A·CB.Bài tốn trở thành tốn
Cho đường trịn (O) với đường kính AB, điểm C AB lấy điểm M (O) cho MC=MB Dựng đường tròn (J) tiếp xúc với MC, tiếp xúc với tiếp tuyến B (O) tiếp xúc với (O) Chứng minh JC⊥AB
E
D J
N
M
A
M
C
A O B
O
B J
C
(3)Tản mạn hình học (P1)
Tiếp tuyến B (O) cắt MC N M trung điểm NC Ta định nghĩa lại đường tròn
(J)là đường tròn tiếp xúc với MC,NB tạiE,D C J vng góc với AB.Khi ta có tứ giác CBD J hình chữ nhật ta đặt O A=R JD=r
Ta thấy 4MCB∼ 4OBM (g.g) nên BC·OB=BM2 hay R·r=MB2 Lại có 4EC J= 4BNC (g.c.g) nên C J=CN=2BM
Suy
O J2=OC2+C J2=OC2+4MB2=OC2+4Rr=(R−r)2+4Rr=(R+r)2,
nên ta có (J)tiếp xúc với đường tròn (O)
Vậy đường tròn (J) ta định nghĩa lại giống với đề ban đầu, hay ta có đpcm
Nhận xét Trong lúc giải tốn này, có phát tốn đơn giản sau Mời bạn đọc thử sức
Bài tốn đề xuất Cho đường trịn (O) với bán kính O A Trên O A lấy điểm B dựng hình chữ nhật ABCD.Chứng minh đường trịn (OBC) tiếp xúc với AD đường tròn
(C;CD)tiếp xúc với (O)
D C
M
C
A O B
O A
J
B