Bài 46. Hỏi lúc mấy giờ thì ô tô ở giữa và cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy... Trên một quãng đường AB của một thành phố cứ 6 phút thì lại có một chiếc xe bus đi theo chiều từ[r]
(1)06 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bước để giải tốn cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình
– Đặt ẩn số điều kiện cho ẩn phù hợp
– Biểu diễn kiện tốn chưa biết thơng qua ẩn đại lượng biết – Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải phương trình lập
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đưa kết luận toán
II BÀI TẬP
Bài 1: Hiệu hai số 12 Nếu chia số bé cho lớn cho thương thứ lớn thương thứ hai đơn vị Tìm hai số
Bài 2: Hai thư viện có thảy 15000 sách Nếu chuyển từ thư viện thứ sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, số sách hai thư viện Tính số sách lúc đầu thư viện
Bài 3: Số công nhân hai xí nghiệp trước tỉ lệ với Nay xí nghiệp thêm 40 cơng nhân, xí nghiệp thêm 80 cơng nhân Do số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với 11 Tính số cơng nhân xí nghiệp
Bài 4: Tính tuổi hai người, biết cách 10 năm tuổi người thứ gấp lần tuổi của người thứ hai sau hai năm, tuổi người thứ hai nửa tuổi người thứ Bài 5: Một phịng họp có 100 chỗ ngồi, số người đến họp 144 Do đó, người ta phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải thêm người ngồi Hỏi phòng họp lúc đầu có dãy ghế? Bài 6: Đường sơng từ A đến B ngắn đường 10km, Ca nô từ A đến B 20phút, ô tô hết Vận tốc ca nô nhỏ vận tốc ô tô 17km/h
Bài 7: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, lẫn 20 phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng? Biết vận tốc dòng nước km/h
Bài 8: Một Ơtơ từ Lạng Sơn đến Hà Nội Sau 43km dừng lại 40 phút, để Hà nội kịp quy định, Ơtơ phải với vận tốc 1,2 vận tốc cũ Tính vận tốc trước biết quãng đường Hà nội- Lạng Sơn dài 163km
Bài 9: Hai Ô tô khởi hành từ hai bến cách 175 km để gặp Xe sớm xe là 1giờ 30 phút với vận tốc 30kn/h Vận tốc xe 35km/h Hỏi sau hai xe gặp nhau? Bài 10: Một thuyền khởi hành từ bến sơng A, sau 20 phút ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách A 20km
Hỏi vận tốc thuyền? Biết ca nô chạy nhanh thuyền 12km/h
(2)Bài 12: Một người dự định xe đạp từ nhà tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h Sau được 1/3 quãng đường với vận tốc xe hỏng nên người chờ ô tô 20 phút ô tô với vận tốc 36km/h người đến sớm dự định 1giờ 40 phút Tính quãng đường từ nhà tỉnh? Bài tập tự luyện
Bài 13: Một phân số có tử số nhỏ mẫu số 11 đơn vị Nếu tăng tử số lên đơn vị giảm mẫu số đơn vị phân số
3
4
Tìm phân số ban đầu Đ/S: 20Bài 14: Một ô tô từ Hà Nội lúc sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10 30 phút Nhưng ô tô chậm so với dự kiến 10km nên đến 11 20 phút xe tới Hải Phịng Tính quãng đường Hà Nội – Hải Phòng Đ/S: 100 km
Bài 15: Lúc sáng, ca nơ xng dịng từ bến A đến bến B cách 36km, lập tức trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ xi dịng biết vận tốc dịng nước 6km/h
Đ/S: Vận tốc ca nô xuôi dịng 24 km/h Bài 16: Một ca nơ xi dòng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A mất Tính khoảng cách hai bến A bến B, biết vận tốc dòng nước 2km/h
Đ/S: 80 (km) Bài 17: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo ngày phải khai thác 50 tấn than Khi thực hiện, ngày đội khai thác 57 than Do đó, đội hoàn thành kế hoạch trước ngày vượt múc 13 than Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác than?
Đ/S: 500 than
Bài 18: Hai vòi nước chảy vào bẻ cạn nước, sau 4
9giờ đầy bể Mỗi lượng nước
vòi chảy 1
4lượng nước vòi chảy Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Đ/S: Vịi chảy đầy bể , vòi chảy riêng 10 đầy bể Bài 19: Cho tam giác vng có cạnh huyền 10 cm Hai cạnh góc vng nhau 2cm Tìm diện tích tam giác vng
Đ/S: Hai cạnh góc vng tam giác cm 8cm Diện tích tam giác 24cm2. Bài 20: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm 5m diện tích vườn tăng thêm 385m2 Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn trên.
Đ/S: Chiều rộng 18 m chiều dài 54 m
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Số thứ a, số thứ hai 59; tổng hai số bằng:
(3)Câu 2: Vận tốc xe lửa y (km/h), quãng đường xe lửa thời gian h 15 phút là:
A y+5,25 ; B 5,15 y ; C 5,25.y ; D y: 5,25 Câu 3: Hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b; diện tích hình là: A a b+ ; B
(
a b+)
; C a b- ; D ab Câu 4: Tổng hai số 90, số gấp đôi số Hai số cần tìm là:A 20 70 ; B 30 60 ; C 40 50 ; D 10 80
Câu 5: Một vật có khối lượng riêng D, thể tích V; khối lượng vật m =DV : A Đúng ; B Sai
Câu 6: Tổng hai số 40, hiệu chúng 10; Hai số 30 10: A Đúng ; B Sai
Câu 7: Ghép ý cột A với ý cột B để kết đúng: Tóm tắt bước giải tốn cách lập phương trình :
A B
1) Bước a) Giải phương trình 2) Bước b) Trả lời
3) Bước c) Lập phương trình
Câu 8: Một Canơ có vận tốc t km/h dịng sơng, biết vận tốc dịng chảy 5km/h Vận tốc (km/h) ngược dòng là:
A t+5 B t- 5 C t2- 55 D
(
5)
t+Câu : Hai người làm cơng việc sau 24h xong Một hai người làm
A
24 (công việc) B
24 (công việc) C 24 (công việc)
Câu 10 : Quãng đường từ Hà Nội - Đèo Ngang 675 km, ôtô xuất phát Hà Nội lúc 7h30 đến Huế lúc 16h30, vận tốc ôtô
(4)Câu 11 : Cho số có hai chữ số, biết chữ số hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị Nếu gọi chữ số hàng đơn vị a
(
0< £a 9)
chữ số hàng chục là:A 3a B a+3 C a- D a
Câu 12: Gọi x (kg) vận tốc canô thứ Canơ thứ hai có vận tốc nhanh Canơ thứ 4km/h Khi vận tốc canô thứ hai biểu thị (đơn vị km/h):
A x- B x.4 C x+4 D x Câu 13 : Tuổi Bố 45 tuổi, năm trước tuổi Bố là
A 50 tuổi B 44 tuổi C 35 tuổi D 40 tuổi
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Gọi số bé x Số lớn làx+12
Chia số bé cho ta thương :7 x Chia số lớn cho ta thương là:
12
x
Vì thương thứ lớn thương thứ hai đơn vị nên ta có phương trình:
12 4
5
x+ - x =
Giải phương trình ta x=28 Vậy số bé 28
Số lớn là: 28 +12 = 40
Bài 2: Gọi số sách lúc đầu thư viện I x (cuốn), x nguyên, dương. Số sách lúc đầu thư viện II là: 15000- x (cuốn)
Sau chuyển số sách thư viện I là: x- 3000 (cuốn) Sau chuyển số sách thư viện II là:
(5)x- 3000 18000= - x
Giải phương trình ta được: x=10500 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sách lúc đầu thư viện I 10500
Số sách lúc đầu thư viện II là: 15000 10500- =4500
Bài 3: Gọi số cơng nhân xí nghiệp I trước x (công nhân), x nguyên, dương. Số cơng nhân xí nghiệp II trước
4
3x (công nhân).
Số công nhân xí nghiệp I là: x+ 40 (cơng nhân)
Số cơng nhân xí nghiệp II là:
4
3x 80 (công nhân).
Vì số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với 11 nên ta có phương trình:
4 80
40 3
8 11
x x+ = +
Giải phương trình ta được: x=600 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cơng nhân xí nghiệp I là: 600 40 640+ = công nhân
Số công nhân xí nghiệp II là: 600 80 80
4
3 công nhân.
Bài 4: Gọi số tuổi người thứ x (tuổi), x nguyên, dương. Số tuổi người thứ cách 10 năm là: x- 10 (tuổi)
Số tuổi người thứ hai cách 10 năm là:
10
x
(tuổi) Sau năm tuổi người thứ là: x+2 (tuổi)
Sau năm tuổi người thứ hai là:
2
x
(tuổi) Theo ta có phương trình phương trình sau:
2 10
10
2
x x
Giải phương trình ta được: x=46 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số tuổi ngườ thứ là: 46 tuổi Số tuổi người thứ hai là:
46
2 12
(6)Bài 5: Gọi số dãy ghế lúc đầu x ( dãy), x nguyên dương. dãy ghế sau thêm là: x+2 (dãy)
Số ghế dãy lúc đầu là:
100
x (ghế). Số ghế dãy sau thêm là:
144
x (ghế).
Vì dãy ghế phải thêm người ngồi nên ta có phương trình:
144 100 2
x x Giải phương trình ta x=10 (thỏa mãn đk)
Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế Bài 6: Gọi vận tốc ca nô x km/h (x>0). Vận tốc ô tô là: x+17 (km/h)
Quãng đường ca nô là:
10
3 x(km).
Quãng đường ô tô 2
(
x+17)
(km)Vì đường sơng ngắn đường 10km nên ta có phương trình:
10
2(x 17) 10
3x
+ - =
Giải phương trình ta x=18 (thỏa mãn đk)
Vậy vận tốc ca nô 18 km/h Vận tốc ô tô 18 17+ =35 (km/h) Bài 7: Gọi vận tốc tàu nước yên lặng x km/h (x>0) Vận tốc tàu xi dịng là: x+4 km/h
Vận tốc tàu ngược dòng là: x- km/h Thời gian tàu xi dịng là:
80
x+4 h Thời gian tàu ngược dòng là:
80 x- h
Vì thời gian lẫn 8h 20 phút = 25
3 h nên ta có phương trình:
80
x+4+
80
x−4=
(7)Giải phương trình ta được: x =
(loại) x2= 20 (tmđk) Vậy vận tốc tàu nước yên lặng 20 km/h
Bài 8: Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x km/h (x>0) Vận tốc lúc sau 1,2x km/h
Thời gian quãng đường đầu là:
163
x h
Thời gian quãng đường sau là:
100
x h Theo ta có phương trình
43 100 163
x x x Giải phương trình ta x=30 (tmđk)
Vậy vận tốc lúc đầu ô tô 30 km/h
Bài 9: Gọi thời gian xe x (giờ) (x > 0) Thời gian xe
3
x
(giờ) Quãng đường xe là: 35x km
Quãng đường xe là:
3 30
2 x
ổ ửữ
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ km
Vỡ bến cách 175 km nên ta có phương trình:
3
30 x 35x 175
2
ổ ửữ
ỗ + ữ+ =
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
Gii phng trình ta x = (tmđk) Vậy sau xe gặp xe
Bài 10: Gọi vận tốc thuyền x ( km/h) Vận tốc ca nô x = 12 (km/h)
Thời gian thuyền là:
20
x
Thời gian ca nô là:
20 12
x
Vì ca nơ khởi hành sau thuyền 5h20' đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình
20 16
20 12
x x
(8)Giải phương trình ta được: x1= - 15 (không thỏa mãn) ; x2=3 (tmđk) Vậy vận tốc thuyền km/h
Bài 11: Gọi vận tốc người xe đạp x (km/h) (x>0) Vận tốc người xe máy là:
5
x km/h Thời gian người xe đạp là:
50
x h
Thời gian người xe máy là:
20
x
hDo xe máy sau 1h30' đến sớm 1h nên ta có phương trình:
50 20
1
x x Giải phương trình ta x =12 (tmđk)
Vậy vận tốc người xe đạp 12km/h
Bài 12: Phân tích tốn:
Đây dạng toán chuyển động
1 ,
3 3 quãng đường chuyển động, có thay đổi vận tốc đến sớm,
có nghỉ Bài yêu cầu tính qng đường AB gọi qng đường AB x km
(
x>0)
Chuyển động người xê đạp sảy trường hợp sau:+ Lúc đầu
1
3 quãng đường xe đạp.
+ Sau xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây thời gian nghỉ) + Tiếp người lại tô
2
3 quãng đường sau.
+ Vì đến sớm so với dự định
- Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực hai quãng đường xe đạp, ô tô, đổi thời gian nghỉ đến sớm
- Cơng thức lập phương trình:
tdự định = tđi + tnghỉ + tđến sớm - Phương trình là:
1
12 36 52 3
x x x
(9)Đáp số: 55
17 km.
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP
Bài 1. Năm 1994, bố 39 tuổi, tuổi Hỏi năm tuổi bố gấp lần tuổi con? Bài 2. Học kỳ I, số học sinh giỏi lớp 8A
1
8 số học sinh lớp Đến học kỳ II, có thêm 3
bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, số học sinh giỏi 20% số học sinh lớp Hỏi lớp 8A có học sinh?
Bài 3. Số sách ngăn I
2
3 số sách ngăn II Nếu lấy bớt 10 ngăn II và
thêm 20 vào ngăn I số sách ngăn II
5
6 số sách ngăn I Tính số
quyển sách ngăn lúc đầu?
Bài 4. Có hai kho chứa hàng Nếu chuyển 100 hàng từ kho I sang kho II số hàng kho Nếu chuyển 100 từ kho II sang kho I số hàng kho II
5
13 số hàng
ở kho I Tính số hàng kho lúc đầu
Bài 5. Hai bể nước chứa 800 lít 1300 lít Người ta tháo lúc bể thứ 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút Hỏi sau số nước bể thức
2
3 số nước bể thứ hai?
(10)năm trôi qua, ông sung sướng có cậu trai đầu lịng khơi ngô Nhưng cậu ta sống nửa đời đẹp đẽ cha Rút cục với nỗi buồn thương sâu sắc, ông sống thêm năm từ sau cậu ta lìa đời” Tính tuổi thọ Diophante
Bài 7. Bốn số tự nhiên có tổng 1998 Biết lấy số I bớt 2, số II thêm 2, số III chia cho số IV nhân với kết Tìm bốn số
Bài 8. Tìm hai số nguyên, biết hiệu hai số 99 Nếu chia số bé cho chia số lớn cho 11 thương I lớn thương II đơn vị
Bài 9. Tìm hai số nguyên dương biết tỉ số hai số
4
7 Nếu chia số bé cho chia số lớn
cho thương thứ nhỏ thương thứ hai 13 đơn vị
Bài 10. Tìm phân số có tử nhỏ mẫu 22 đơn vị, biết thêm đơn vị vào tử bớt đơn vị mẫu phân số
4
Bài 11. Tìm phân số nhỏ 1, có tử mẫu hai số nguyên dương có tổng tử mẫu 32, biết tăng mẫu thêm 10 đơn vị giảm tử nửa, phân số phân số
2 17
Bài 12. Chu vi miếng đất hình chữ nhật 80m Nếu giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 8m diện tích tăng thêm 32m2 Tính kích thước miếng đất.
Bài 13. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài
3
2 chiều rộng Nếu giảm chiều 4m
thì diện tích giảm 164m2 Tính kích thước miếng đất.
Bài 14. Chu vi hình vng I dài chu vi hình vng II 12m; cịn diện tích lớn 135m2. Tính cạnh hình vng
Bài 15. Tính kích thước hình chữ nhật có chu vi 20cm diện tích 24cm2.
Bài 16. Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E (BE < AB) Vẽ hình vng BEFG (G BC) Tính cạnh hình vng, biết tổng chu vi hai hình vng 64cm và tổng diện tích hai hình vng 130cm2.
Bài 17. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 140m Người ta làm lối chung xung quanh vườn có chiều rộng lối 1m diện tích vườn cịn lại 1064m2 Tính chiều dài chiều rộng khu vườn
Bài 18. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 10 đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cần tìm 18 đơn vị
Bài 19. Tìm số có hai chữ số Biết tỉ số chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục
2 3 Nếu
viết thêm chữ số vào hai chữ số số lớn số cho 540 đơn vị
(11)Bài 21 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc ô tô I
3
4 vận tốc ô tô II.
Nếu tơ I tăng vận tốc 5km/h, cịn tơ II giảm vận tốc 5km/h sau giờ, quãng đường ô tô I ngắn quãng đường tơ II 25km Tính vận tốc tơ
Bài 22 Ơ tơ I từ A đến B Nửa sau, ô tô II từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi vận tốc tơ I Sau 45 phút tơ gặp Tính vận tốc ô tô, biết quãng đường AB dài 95km
Bài 23 Ơ tơ I từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h Sau giờ, ô tô II từ B đến A với vận tốc 65km/h Hai ô tô gặp ô tô I
2
5 quãng đường AB Tính quãng đường AB.
Bài 24 Một ô tô từ A đến B với vận tốc 60km/h quay từ B A với vận tốc 40km/h Tính vận tốc trung bình tơ
Bài 25 Lúc ô tô khởi hành từ A Lúc 30 phút, ô tô II khởi hành từ A với vận tốc lớn vận tốc ô tô I 20km/h gặp ô tô I lúc 10 30 phút Tính vận tốc ô tô Bài 26 Hai người khởi hành lúc từ A đến B, đường dài 60km Vận tốc người I 12km/h, vận tốc người II 15km/h Hỏi sau lúc khởi hành người I cách B quãng đường gấp đôi khoảng cách từ người II đến B
Bài 27 Một người xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách 100km Ba mươi phút sau người ô tô từ tỉnh A đến B với vận tốc
3
2 vận tốc xe máy Tính vận tốc người, biết
người ô tô đến B trước người xe máy 20 phút
Bài 28 Ba người xe đạp từ A đến B cách 24km Vận tốc người I vận tốc người III 2km/h Vận tốc người III trung bình cộng vận tốc người I người II Tính vận tốc người, biết thời gian hết quãng đường AB người I người II
Bài 29 Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50km/h Đi 24 phút gặp đường xấu nên vận tốc quãng đường lại giảm 40km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Tính quãng đường AB
Bài 30 Lúc giờ, anh Việt xe đạp từ A đến B dài 30km Trong 18km anh với vận tốc lớn vận tốc đoạn đường lại 2km/h thời gian 18km đầu nhiều thời gian đoạn đường lại 18 phút Hỏi anh Việt đến B lúc giờ?
Bài 31 Anh Nam xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km/h Đi 6km, xe đạp hư, anh Nam phải ô tô đến B sớm dự định 45 phút Tính quãng đường AB, biết vận tốc ô tô 30km/h
Bài 32 Hai ô tô khởi hành lúc từ A để đến B dài 120km Ô tô I với vận tốc không đổi suốt qng đường AB Ơ tơ II với vận tốc lớn vận tốc ô tô I 5km/h phân nửa quãng đường AB với vận tốc nhỏ 4km/h so với ô tô I qng đường cịn lại Hai tơ đến B lúc Tính thời gian ô tô
Bài 33 Một đội máy cày dự định ngày cày 40ha Khi thực hiện, ngày cày 52ha Vì khơng cày xong trước ngày mà cày thêm 4ha Tính diện tích ruộng đội phải cày theo kế hoạch định
(12)Bài 35 Hai vịi nước chảy vào bể sau bể đầy Mỗi lượng nước vòi I chảy
3
2 lượng nước chảy vòi II Hỏi vòi chảy riêng đầy bể?
Bài 36 Hai ô tô khởi hành lúc ngược chiều gặp sau Ơ tơ I từ A với vận tốc
3
4 vận tốc ô tô II từ B Hỏi tơ qng đường AB bao lâu?
Bài 37 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ngược dịng từ B đến A Tính khoảng cách AB? Biết vận tốc dòng nước 2km/h
Bài 38 Hai bến sông A B cách 40km Cùng lúc với ca nô xuôi dịng từ bến A có bè trơi từ bến A với vận tốc 3km/h Sau đến B, ca nô trở bến A gặp bè bè trơi 8km Tính vận tốc riêng ca nô
Bài 39 Một ca nô xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B A 10 Hỏi bè trôi từ A đến B ?
Bài 40 Một vòi nước chảy vào bể khơng có nước Cùng lúc vịi chảy từ bể Mỗi lượng nước chảy
4
5 lượng nước chảy vào Sau giờ, nước bể đạt tới
8 dung tích bể Hỏi
nếu bể khơng có nước mở vịi chảy vào sau đầy bể ?
Bài 41 Hai người làm công việc 20 phút xong Nếu người I làm người II làm tất
4
5 cơng việc Hỏi người làm xong
cơng việc ?
Bài 42 Hai cơng nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc Họ làm chung với người I chuyển làm việc khác, người II tiếp tục làm hết công việc 10 Hỏi người II làm hồn thành xong cơng việc ?
Bài 43 Người ta đặt vòi nước chảy vào bể nước vòi chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở vịi sau 42 phút bể đầy nước Cịn đóng vịi chảy ra, mở vịi chảy vào sau rưỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy
Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể ?
Bài 44 Có hai vịi nước khác chảy vào bể Thời gian để vòi I chảy đầy bể ít thời gian để vịi II chảy đầy bể Tích hai thời gian lần thời gian cần cho hai vòi chảy đầy bể Tính thời gian để ngày chảy đầy bể
Bài 45 Một cửa hàng bán trứng số ngày Ngày thứ cửa hàng bán 150 trứng
1
9 số lại, ngày thứ hai bán 200
9 số trứng lại, ngày thứ ba bán 250 trứng
số lại … Cứ bán hết số trứng ngày bán Hỏi số trứng có tất
(13)Bài 47 Trên quãng đường AB thành phố phút lại có xe bus theo chiều từ A đến B, phút lại có xe bus theo chiều ngược lại Các xe chuyển động với vận tốc không thay đổi suốt thời gian chuyển động Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe từ B phía Hỏi phút lại có xe từ A vượt qua người ?
Bài 48 Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80 km, hết 20 phút Biết vận tốc dòng nước km/giờ Tính vận tốc tàu thủy nước n lặng
Bài 49 Một nơng dân có mảnh ruộng hình vng Ơng ta khai hoang mở rộng thêm thành mảnh ruộng hình chữ nhật, bề thêm 8m, bề thêm 12m Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật diện tích mảnh ruộng hình vuông 3136 m2 Hỏi độ dài cạnh mảnh ruộng hình vng ban đầu bao nhiêu?
Bài 50 Một công nhân nhà máy quạt phải ráp số quạt 1818 ngày Vì vượt định mức ngày 88 nên sau 1616 ngày anh ráp xong số quạt giao ráp thêm 2020 quạt Hỏi ngày ráp quạt?
4 KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa
- Hai tam giác gọi đồng dạng với chúng có ba cặp góc đơi ba cặp cạnh tương ng t l
- Ta cú
à ả µ'; ¶ µ'; ¶ ' ' ' '
' ' ' ' ' ' A A B B C C
ABC A B C AB BC CA
A B B C C A
ìï = = =
ïïï
D D Û íï
= =
ïïïỵ ”
Tính chất
a) Mỗi tam giác đồng dạng với tam giác (hoặc nói: Hai tam giác đồng dạng với nhau)
b) Nếu DABC ” DA B C' ' ' theo tỉ số k DA B C' ' '” DABC theo tỉ số
k c) Nếu DABC ” DA B C' ' ' DA B C' ' '” DA B C" " " ABC∽ A"B"C " Định lý
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
GT DE BC DDABC/ /
(
Ỵ AB E, Ỵ AC)
KL DADE” DABC (14)Bài 1: Cho hai tam giác ABC A ' B 'C ' đồng dạng với theo tỉ số k, chứng minh tỉ số chu vi hai tam giác ABC A 'B 'C ' k.
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC =10 ,cmCA=14 ,cm AB =6 cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF có cạnh nhỏ 9cm. Tính cạnh cịn lại tam giác DEF.
Bài 3: Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC cho:
1 DB
DC Kẻ DE/ /AC ; DF/ /AB
(
E Î AB;F Î AC)
a) Nêu tất cặp tam giác đồng dạng Đối với cặp, viết góc tỉ số tương ứng
b) Hãy tính chu vi DBED , biết hiệu chu vi D DFC DBED 30cm
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E cho AC =3AE Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD BC theo thứ tự M N
a)Tìm tam giác đồng dạng với ADC tìm tỉ số đồng dạng.
b) Điểm E nằm vị trí AC E trung điểm MN?
Bài 5: Cho ABC Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác đó, biết tỉ số đồng dạng
2 k
Có thể dựng tam giác thế?
Tự luyện
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, có AB6cm, AD5cm Lấy F cạnh BC cho CF3cm. Tia DF cắt tia AB G.
a) Chứng minh DGBF”DDCF DGAD”DDCF b) Tính độ dài đoạn thẳng AG
c) Chứng minh AG CF =AD AB
Bài 2: Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC Từ trung điểm M cạnh BC, kẻ đường thẳng cắt Ax N, cắt AB P cắt AC Q Chứng minh
PN QN PM =QM
Bài 3: Hình thang ABCD
(
AB CD/ /)
có AB =10 ,cm CD=25cm hai đường chéo cắt O Chứng minhh AOB” COD tìm tỉ số đồng dạngKẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: ' ' ' ' ' ' ' ' '
AB AC BC
ABC A B C k
A B A C B C
(15)Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
ABC A B C
C
AB AC BC AB AC BC k
A B A C B C A B A C B C C D D
+ +
= = = = =
+ +
Với CDABC chu vi tam giác ABC CDA B C' ' ' chu vi tam giác A B C' ' '
Bài 2:
AB AC BC ABC DEF
DE DF EF
D ”D Þ = =
ABC
D cạnh nhỏ cạnh AB =6cm Nên cạnh nhỏ DDEF DE =9cm
Ta có:
6 14 10
9 AB AC BC
DE = DF = EF = =DF =EF Từ tính DF =21 ;cm EF =15cm Bài 3:
a) Các cặp tam giác đồng dạng:
ABC EBD
D ” V
; DABC” DFDC; DFDC”DEBD ( đồng dạng với DABC ) *DABC” VEBD
Þ BAC· =BED ABC· ;· =EBD ACB· ;· =EDB· ;
1 AB BC AC EB =BD = ED =
*DABC” DFDC có :
3 AC BC AB FC =CD =FD =
* DFDC”DEBD có:
2 FC CD FD ED DB EB c) Ta có tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng
* DDFC ” D BED theo tỉ số đồng dạng
2 CD k DB = = Do đó: 2 DFC DFC BED BED P P P P D D D D = Þ =
Mà theo giả thiết: PDDFC - PDBED =30Þ 2PDBED - PDBED =30Þ PDBED =30(cm)
Bài 4:
(16)* DADC” DADC Tỉ số đồng dạng: k1=1
* DADC” DCBA Tỉ số đồng dạng: k1=1 (hai tam giác đồng dạng)
ADC AME
D ” D
theo tỉ số đồng dạng
1 AE k
AC
ADC CNE
D ” D
theo tỉ số đồng dạng
3 AC k
CE
b) E trung điểm MN EM =EN suy ra: EM
EN Ta có: DAME ” DCNE (cùng đồng dạng với DADC )
suy ra: 1
AE EM AE CE
CE = EN = Þ = = Suy E trung điểm AE
Bài 5: Cách 1: - Tại đỉnh A dựng tam giác AB C' ' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
2 k
cách
Kẻ B C' '//BC cho
' ' 2
3 AB AC
AB = AC =
- Tam giác có đỉnh, đỉnh ta dựng tương tự trên, ba tam giác đồng dạng với tam giác ABC
Cách 2: - Ta có cách dựng thứ cách vẽ B C'' ''/ /BC cho:
'' ''
3 AB AC
AB = AC =
- -Tam giác có đỉnh, đỉnh ta dựng tương tự trên, ba tam giác đồng dạng với tam giác ABC
Kết luận: Ta dựng sáu tam giác đồng dạng với tam giác ABC ( đỉnh có cặp tam giác nhau)
TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lý: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng
(17)GT
, ' ' ' ABC A B C
D D
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B =B C =C A KL DABC: DA B C' ' '
II BÀI TẬP
Bài 1: Hai tam giác mà cạnh có độ dài sau có đồng dạng khơng? Tại sao? a) 4cm, 5cm, 6cm 8mm, 1cm, 12mm
b) Tam giác ABC vng A, có ABcm, AC8cm tam giác A 'B 'C ' vuông A ', có ' ' , 'C' 16cm
A B = cm B =
Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tỉ lệ với 4: 5: Cho biết DDEF”DABC cạnh nhỏ DDEF 0,8m, tính cạnh lại DDEF
Bài 3: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C' ' ' Cho biết 24,3 , 32,4
BC = cm CA = cm AB =16,2cm, tính độ dài cạnh tam giác A B C' ' ' nếu:
a) AB lớn A B' ' 10 cm; b) A B' ' lớn AB 10 cm
Bài 4: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Trên cạnh OA lấy điểm D cho
3 OD OA
Qua D vẽ đường thẳng song song với AB, AC cắt OB, OC E F a) Chứng minh DDEF ”DABC
b)Tính độ dài DE, AB biết hiệu độ dài hai cạnh 12cm
c) Tính chu vi DEF, biết tổng chu vi ABC DEF 120cm.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB =3cm ; BC =10cm ; CD =12 cm ; AD =5cm ;
BD= cm Chứng minh tứ giác ABCD hình thang.
Bài 6: Chứng minh tam giác ABC DEF đồng dạng viết cặp góc nhau, biết trường hợp sau:
a) AB =4cm, BC = 6cm, AC = 5cm, DE = 10cm, DF = 12cm, EF = 8cm
(18)Bài 7: Cho DABC vuông A DDEF vng D có BC = 10cm, AC = 8cm, EF = 5cm, DF =
4cm
a) Tính AB, DE
b) Chứng minh:
AB AC BD DE = DF = EF . c) Chứng minh: DABC”DDEF
Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi A, B, C trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh DA B C¢ ¢ ¢”DCAB
b) Tính chu vi DA B C' ' ', biết chu vi DABC 54cm Tự luyện
Bài 1: Từ điểm D cạnh AB tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB F; BF cắt AC I Tìm cặp tam giác đồng dạng
Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy D cạnh BC cho
1 DB
DC = Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E
a) Tìm cặp tam giác đồng dạng tìm tỉ số đồng dạng
b) Tính chu vi tam giác DBD, EDC biết chu vi tam giác ABC 24cm
Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC Từ trung điểm M cạnh BC, kẻ đường thẳng cắt Ax N, cắt AB P cắt AC Q Chứng minh
PN QN PM =QM
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Bài 1: a) Đổi sang đơn vị mm, ta lập tỉ số:
40 50 60 5
8 =10=12= Từ kết luận hai tam giác đồng dạng
b) Theo định lý Pytago, tính BC =10cm
Vì
2
AB BC
A B¢ ¢= ¹ =B C¢ ¢
nên hai tam giác khơng đồng dạng
Bài 2: Vì DDEF”DABC nên DDEF có độ dài cạnh tỉ lệ với 4: 5: Giả sử DE <EF <FDÞ DE =0,8m
Ta có 4 0,2 DE EF FD
(19)Bài 3: Ta có
16,2 24,3 32,4 A B¢ ¢=B C¢ ¢=C A¢ ¢
a) Tính A B' '=6,2cm Từ tính B C' '=9,3cm A C' '=12,4 cm b) Tương tự câu a tính A B' '=26,2cm , B C' '=39,3cm A C' '=52,4 cm Bài 4:
a) Ta có: DE AB/ / suy ra:DODE”DOAB
3 OD OE DE OA OB AB
Þ = = =
(1)
Tương tự: DODF”DOAC
2 OD OF DF OA OC AC
Þ = = = (2) Do đó: OE OF OB OC
EF/ /BC ( theo định lí Ta let đảo)
DOEF ” DOBC
2 EF OF BC OC (3)
Từ (1) (2); (3) suy
2 DF EF DE AC BC AB
DEF ABC
Þ D ”D ( c.c.c)
b) Ta có:
2
3
DE DE AB
AB mà AB DE– =12 Theo tính chất dãy tỉ số có
12
2 3
DE AB AB DE
24( ); 36( ) DE cm AB cm
c) Ta có tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng DABC”DDEF theo tỉ số đồng dạng
3 AB k DE
Do đó: EF EF
(20)Mà theo giả thiết: EF EF EF
3
120 120 48( )
2
ABC D BED D D
P P P P P cm
Bài 5: Ta có:
3
; ;
6 10 12
AB AD BD
BD BC BC
Do đó:
1 AB AD BD BD BC BC
ABD BDC
Þ D ”D (c.c.c) ABD BDC
Mà hai góc vị trí so le trong
Do suy ra: AB CD/ / Tứ giác ABCD hình thang. Bài 6:
a) Ta chia cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
4
; ;
8 10 12
AB AC BC BA AC CB
EF DE DF FE ED DF
, ,
BA AC CB
BAC FED B F A E C D FE ED DF ” b) Ta chia cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
21 24 27
; ;
28 32 36
BC AB AC CB BA AC
DE FE DF DE EF FD
, ,
CB BA AC
CBA DEF C D B E A F DE EF FD ” c) Ta chia cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
12 18 27
; ;
8 12 18
AB AC BC AB AC BC
EF DE DF EF DE DF
, ,
BA AC CB
BAC FED B F A E C D FE ED DF ” Bài 7:
a) Tính AB, DE
2 102 82 6
AB = BC - AC = - = cm
2 52 42 3
(21)b)
6 10
2; 2;
3
AB AC BC AB AC BC
DE DF EF DE DF EF
c)
AB AC BC
ABC DEF DE = DF = EF Þ D ”D
Bài 8: a)
' ' ' ' ' '
2 A B B C C A
AB = BC = CA = , suy ABC”A B C' ' ' (c-c-c)
b)
' ' '
' ' '
1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1. 27
2
A B C
A B C ABC ABC
P
A B B C C A A B B C C A P P cm
AB BC CA AB BC CA P
+ +
= = = = = Þ = =