Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau.. 0,25[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Mơn thi : TỐN (ĐỀ 30)
Câu (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
2 2 5 x x y
x
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M Ỵ (C) để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ nhất
2 Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : y=x3−6x2+9x −1
Câu (1,5 điểm)
1. Giải phương trình: 25x −2+(3x −10)5x −2=x −3
2. Giải hệ phương trình:
¿
sinx+siny=√2
cosx+cosy=√2
¿{ ¿
Câu (1,5 điểm)
1. Giải phương trình: logx(cosx −sinx)+log1
x
(cosx+cos 2x)=0 .
2. Giải bất phương trình: (x3
+1)+(x2+1)+3x√x+1>0
3. Có số tự nhiên gồm chữ số cho số chữ số đứng trước đều lớn chữ số đứng liền sau nó.
Câu (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) mp(P):3x – 8y + 7z – = 0
Tìm toạ độ điểm C Ỵ (P) cho ABC tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định góc hợp cạnh đối diện tứ diện đó.
Câu (2,5 điểm).
1 Tính :
/
2
0
sin ; 2 2
cos
x x
I dx J x x x dx
x
2 Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2 2
1 1
a b c a bc b ac c ab abc
Cho z =
1
i 2
, Hãy tính :
1 2 3 2
; z;z ;(z) ;1 z z
z
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 30)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2.5
b Tìm M Ỵ (C) để tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ nhất 0,75
4
1
1
y x Y X
x X
Với
¿
X=− x+1
Y=y ¿{
¿
0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4
| | 4
| | | |
2 | | 2
X Y
X X
X
Dấu "=" xảy ⇔
| |
| | X
X
423 423
2
X X x
0.5
Gọi M(2; m) Ỵ d1: x = Khi đt d M d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
(C’) hệ:
¿
x3−6x2
+9x −1=k(x −2)+m
3x2−12x
+9=k ¿{
¿
có nghiệm 0,25
2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m = (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) số nghiệm Pt (1) Xét hàm số y = 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m
y’ = 6(x-2)2 x Hàm đồng biến Pt (1) ln có nghiệm
duy từ điểm đt x = kẻ tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
II 1,5
1 Giải phương trình: 0,75
25
x−2
+ (3x −10)5x−2=x −3
⇔5x −2
(3 5x−2−1
)+x(3 5x −2−1
)−3(3 5x−2−1
(3)3 5x −2−1=0(1) ¿
5x −2
+x −3=0(2) ¿
¿ ¿ ¿ ¿⇔(3
x −2
−1) (5x −2+x −3)=0
⇔ ¿
(1)⇔5x−2=1
3⇔x=2+log5
3=2−log53
0.25
(2)⇔5x−2
=− x+3
Vế trái hàm đồng biến vế phải hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = nên nghiệm nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = 2−log53 x = 2 0.25
2 Giải hệ phương trình: 0,75
¿
sinx+siny=√2
cosx+cosy=√2
⇒(sinx+cosx)+ (siny+cosy)=2√2⇔
¿{ ¿
0.25
cos(x −π
4)+cos(y − π
4)=2⇔ cos(x −π
4)=1 cos(y −π
4)=1
⇔
¿x=π
4+k2π y=π
4+l2π
¿{
0.25
Thử lại thấy nên:
¿
x=π
4+k2π y=π
4+l2π
¿{ ¿
nghiệm hệ phương trình. 0.25
III 1,5
(4)logx(cosx −sinx)+log1
x
(cosx+cos 2x)=0
Điều kiện:
¿
0<x ≠1
cosx −sinx>0
cosx+cos 2x>0 ¿{ {
¿
Khi Pt ⇔cos 2x=−sinx⇔cos 2x=cos(x+π
2)
0.25
⇔
2x=x+π
2+k2π 2x=− x −π
2+k2π
⇔
¿x=π
2+k2π x=−π
6+ k2π
3
¿{
Kết hợp với điều kiện ta được: x=−π
6+ k2π
3 (Với k ∊ N*).
0.25
2 Giải bất phương trình: 0,5
(x3+1)+(x2+1)+3x√x+1>0⇔(x3+x2)+3√x3+x2+2>0
⇔t2+3t+2>0 Đặt t=x√x+1≥ −23 0.25
2
3 2
1
1 3 3
2 t
t x x x
t t
0.25
3 0,5
Trong 10 chữ số từ đến có tât C105 tập gồm
chữ số khác nhau. 0,25
Trong tập có cách xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn chữ số đứng liền sau Vậy có tất cả C105 = 252 số.
0,25
IV 2.0
(5)Để ABC tam giác đường cao MC = AB √3/2=√6
Gọi M trung điểm AB M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) mf qua M vng góc với AB
(Q): x + z + = 0
0,25 Gọi d = (P) n (Q)
d:
3x −8y+7z −1=0
x+z+1=0
⇔
¿x=−2−2t
y=t
z=1+2t ¿{
C Ỵ d C(-2 - 2t; t; + 2t)
0,25
2 2
2
1
1
3 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6 9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2 / 3
2 2 1 2; 2; , ; ;
3 3 3
MC t t t MC t t t
t t t t t t
C C
0,25
0.25
2 Xác định góc hợp cạnh đối diện tứ diện. 1.0 Lấy E, F, G trung điểm AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB ⇒ FA2
=FB2=2 AC
2
+2 AD2−CD2
4 =
2b2
+2c2− a2
4
0.25 P
Q
A
B M
C1
(6)FE trung tuyến ∆FAB nên:
4 2
2 2
2 FA FB AB
FE b2
+c2− a2
2
0.25 Gọi góc tạo AD BC ta có :
¿c
2 −
b2+c2− a2
2 ∨
¿
c2
¿GE2+GF2−FE2∨ ¿
2 GE GF=¿ cosα=¿cos(GE,GF)∨¿ ¿
¿a2−b2∨¿
c2
¿ ¿
Vậy ¿a 2−b2
∨¿
c2
cosα=¿ 0.25
Tương tự gọi góc tạo CD, AB
DB, AC ta có: ¿b 2−c2
∨ ¿
a2 cosβ=¿
, ¿c 2− a2
∨ ¿
b2 cosγ=¿
0.25
3 0,5
Trong 10 chữ số từ đến có tât C9
tập gồm chữ
số khác nhau. 0,25
Trong tập có cách xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả C95 = 126 số. 0,25
V 2,5
1 0,5
F E
G
B D
A
(7)Đặt:
cos 1
cos 2.cos
u x du dx
d x dv v x x 0,25 / / 4 0 2
1 1 1
2cos 2 cos 4 2 4 2
x dx I tgx x x
0,25
2 1,0
1
0
2 2 J x x x dx
Đặt: x - = tgt
2
1 ; 2 2
cos cos
dt
dx x x
t t
0 0
3
4 4
1 sin
cos cos cos
tgt t dt
J dt dt
t t t
0,25 1 0 sin
1 2 2
1
2
1 1
1 2
3cos 3
1 1 1
4
1 1 1 1
t u J J t u u du J du
u u u u
0,25
0 0
2
1 1
2 2
1
. 2
4 1 1 1 1
du du du
u u u u
0,25
0 2 2
1 1 1 1 1 1
2ln 2ln
4 1 1 1 4 1 1
1 2 1 1
2 2ln 2 4ln 2
4 2 1 4
u u u
u u u u u
(8)1 a2
+bc+
1 b2
+ac+
1 c2
+ab≤
a+b+c
2 abc
Ta có:
a2+bc≥2a√bc⇒
a2
+bc≤
1 2a√bc b2+ca≥2b√ca⇒
b2
+ca≤
1 2b√ca c2+ab≥2c√ab⇒
c2+ab≤
1 2c√ab
0.5
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 2 2 2
.
2 2 2
a bc b ca c ab a bc b ca b ca b c c a a b
bc ca ab a b c
abc abc abc
Dấu “=” xảy a = b = c.