10 đề THI TUYỂN SINH vào lớp 10 CHUYÊN TOAN 2020 2021

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN (chuyên Tin) ĐỀ SỐ Bài (2 điểm) 1) Giải phương trình ( x  2) x   x  x  2) Chứng minh 1 1      1 1   2021 2020  2020 2021 2021 Bài (2 điểm) Bài 1) Chứng minh với số nguyên dương n, số A  59n  17n  9n  22 chia hết cho 35 2) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x2 y  y  x   (2,0 điểm) 1) Tìm tất số thực a , b , c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  b2  c2  38 , a  b  b  c  b) Với a , b , c số thực không âm thỏa mãn a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca , chứng minh a  b  c  3 2abc Bài Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF qua điểm H Gọi đường tròn  S  đường tròn ngoại tiếp DEF a) Chứng minh  S  đường tròn qua trung điểm AH b) Gọi M , N giao điểm  S  với đoạn thẳng BH , CH Tiếp tuyến D  S  cắt Bài MN T Chứng minh HT // EF c) Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm CH DE Chứng minh T , P, Q thẳng hàng (1 điểm) Trên bàn ăn có hộp kẹo, hộp có viện kẹo An Bình chơi trò chơi sau: lượt chơi, An chọn hộp tùy ý lấy viên kẹo hộp đó; cịn Bình chọn số hộp hộp chọn, hộp lấy viên kẹo Hai bạn luân phiêm thực lượt chơi Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, chiến thuật chơi để Bình người thắng  HẾT  ĐÁP ÁN ĐỀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI MƠN TỐN (chun Tin) Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài (2 điểm) 1) Giải phương trình ( x  2) x   x  x  2) Chứng minh 1    1   1  1 2021 2020  2020 2021 2021  Lời giải 1) ( x  2) x   x  x  1 Đặt x   a  a   Thay vào 1 ta có: ( x  2)a  a  x  ax  2a  a2  x  a  x  a  2a  x     a  a  x     Vì a  x   x  x  x  a  x   x   2   a   a   x2    x2    x    (thỏa mãn)  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  x   1 1 2)      1 1   2021 2020  2020 2021 2021 1 1 Đặt A      1   2021 2020  2020 2021 Ta có: 1 1    1 1 2 2 1  2    3 12 3    4    3 1   4 1   12 1 2021  2020 1     2021 2020  2020 2021 2021 2020 2020 2021 2021 2020 2021  2020  Khi đó,  A  1 1 1 1 1 (điều phải chứng minh)         1 2 3 2020 2021 2020 Bài (2 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên dương n, số A  59n  17n  9n  22 chia hết cho 35 2) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x2 y  y  x   Lời giải 1) Ta có 59  17(mod 7)  2(mod 7)  59n  17n(mod 7) 9n  2n(mod 7) A = (59n – 17n) – (9n – 2n)  0(mod 7)  A chia hết cho Lại có 59  9(mod 5) 17  2(mod 5)  59n  9n(mod 5) 17n  2n(mod 5) A = (59n – 9n) – (17n – 2n)  0(mod 5)  A chia hết cho Do (5, 7) = nên ta có A chia hết cho 35 2) Ta có x2y – 3y – 4x – =  (x2 - 3)y = 4x +  4x + chia hết cho (x2 - 3)  x(4x +1) – 4(x2 - 3) chia hết cho x2 –  x + 12 chia hết cho x2 –  4(x + 12) – (4x + 1) chia hết chi x2 –  47 chia hết cho x2 –  x2 –  {- 47; - 1; 1; 47}  x2  {- 44; 2; 4; 50}  x2 = ( x  ) Vậy ta có x = x = - Nếu x = y = Nếu x = - y = - Bài Vậy (x; y) = {(2; 9); (-2; -3)} (2,0 điểm) 1) Tìm tất số thực a , b , c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  b2  c2  38 , a  b  b  c  b) Với a , b , c số thực không âm thỏa mãn a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca , chứng minh a  b  c  3 2abc Lời giải a) Từ giả thiết a  b2  c2  38 suy b  Ta có: a  b   a   b  b  c   c  b  Từ suy 38  a  b2  c2  8  b   b2    b   3b2  30b  75    b  5   b5   b  5, a  3, c  Vậy  a, b c    3,5,  b) Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  Theo đề có Theo ta có: a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  a  2ab  b2   a  b  c  c  4ab   a  b  c   4ab Từ giả sử a  b  c  suy a  b  c  Do đó: a  b  c  ab  Khi a  b  c  ab  2c  ab  ab  2c  3 2abc (Bất đẳng thức AM-GM cho ba số thực không âm) (đpcm)  a  4t  Dấu xảy b  t ( t  ) hoán vị c  t  Bài Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF qua điểm H Gọi đường tròn  S  đường tròn ngoại tiếp DEF d) Chứng minh  S  đường tròn qua trung điểm AH e) Gọi M , N giao điểm  S  với đoạn thẳng BH , CH Tiếp tuyến D  S  cắt MN T Chứng minh HT EF f) Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm CH DE Chứng minh T , P, Q thẳng hàng A K E F H Y Q X P S M T N B C D R a) Lời giải Chứng minh  S  đường tròn qua trung điểm AH Gọi K trung điểm AH Ta có AFH , AEH tam giác vuông nên trung tuyến FK  EK  KA  KH  AH  FKA cân K EKA cân K  FKH  2.FAK EKH  2.EAK    EKE  FKH  EKH  FAK  EKA  2.BAC 1 Ta có tứ giác AFDC, AEDB tứ giác nội tiếp  FDB  BAC  EDC  FDB  EDC  2.BAC   Mà FDB  EDC  FDE  1800  3 Từ 1    3  FKE  FDE  1800 Hay tứ giác DFKE tứ giác nội tiếp Mà  S  đường tròn ngoại tiếp DEF nên  S  đường tròn qua trung điểm AH b) Gọi M , N giao điểm  S  với đoạn thẳng BH , CH Tiếp tuyến D  S  cắt MN T Chứng minh HT EF Vì MN đường trung bình BHC nên MN chia đơi đoạn thẳng DH Mà DH  BC MN BC  DH  MN  MH  MD Nên MN trung trực DH   TH  TD  TMH  TMD  c  c  c   THM  TDM mà TDM  MED ( chắn DM đường tròn  S  ) MED  FCB ( tứ giác CDHE nội tiếp) Lại có FCB  FEB ( tứ giác BCEF nội tiếp) Từ suy FEB  THM mà hai góc vị trí đồng vị Nên HT EF c) Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm CH DE Chứng minh T , P, Q thẳng hàng Vì P  DF , Q  DE  P, Q nằm bên đường tròn  S  Gọi X , Y giao điểm PQ với  S  Gọi  R  đường tròn ngoại tiếp BHC PX PD  PX PY  PF.PD  PF PY PF PB  PF.PD  PH PB  PDB PHF  PH PD  PX PY  PH PB Suy B nằm đường trịn ngoại tiếp HXY Ta có PXD ∽ PFY  Chứng minh tương tự ta có C nằm đường tròn ngoại tiếp HXY Suy X , Y   R  Lại có THM  DEM  HCB nên TH tiếp tuyến  R  Bài Mà TH  TD  TH  TD2  TR2  HR2  TS  SD2  TR2  TS  HR2  SD2  XR2  XS  TX  SR Mà XY  SR  T , X , Y thẳng hàng Vậy T , P, Q thẳng hàng (1 điểm) Trên bàn ăn có hộp kẹo, hộp có viện kẹo An Bình chơi trò chơi sau: lượt chơi, An chọn hộp tùy ý lấy viên kẹo hộp đó; cịn Bình chọn số hộp hộp chọn, hộp lấy viên kẹo Hai bạn luân phiêN thực lượt chơi Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, chiến thuật chơi để Bình người thắng Lời giải Ta cho Bình bốc sau: Sau lượt chọn An, Bình chọn tất hộp có số kẹo nhiều lấy từ hộp viên kẹo Sau lượt bốc, An làm rỗng tối đa hộp kẹo tức cịn hộp chứa kẹo hộp viện kẹo Trong lượt An chọn hộp, Bình chọn tất hộp cịn lại thắng  HẾT  SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TIỀN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN CHUN ĐỀ SỐ Bài (3,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A  2a3  3a2  3a 1 với a  3 1   1  b) Giải phương trình  x     x     x   x  Bài (2,0 điểm) Bài  22 x  y 3  Giải hệ phương trình   1 x  y   (2,0 điểm) Cho hàm số y         x  có đồ thị đường thẳng  d  a) Vẽ đồ thị hàm số  d  mặt phẳng tọa độ b) Đường thẳng  d   song song với  d  qua điểm có tọa độ  0;3 Đưởng thẳng  d   d  Bài cắt trục hoành A, B cắt trục tung C , D Tính diện tích tứ giác ABDC (2,0 điểm) Trên đường trịn đường kính AD lấy hai điểm B C khác phía AD cho BAC  60 Từ B kẻ BE vng góc với AC  E  AC  a Chứng minh hai tam giác ABD BEC đồng dạng b Biết EC  3cm Tính độ dài dây BD Bài (1,0 điểm) Trên đỉnh đa giác có 12 cạnh người ta ghi số, số đỉnh tổng hai số hai đỉnh liền kề Biết hai số hai đỉnh A5 A9 10 Tìm số đỉnh A1 ( hình vẽ) A8 A7 A9 A6 A10 A5 A11 A4 A12 A3 A1 A2  HẾT  ĐÁP ÁN ĐỀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH TIỀN GIANG MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT a) Tính giá trị biểu thức A  2a3  3a2  3a 1 với a  1   1  b) Giải phương trình  x     x     x   x  Lời giải a) A  2a3  3a  3a   3a3   a  1 Thay a  vào biểu thức A ta : 1     A  3  1    1   1  3    3 1      3  1  1   3    1 3  1  1 1  b) Đặt x   t ta có t   x    x    x   t  x x x x  Ta có phương trình :  t    7t    2t  7t   Phương trình có hai nghiệm t  2; t  Với t  ta x    x  x   phương trình có hai nghiệm x x   2; x   Với t  ta x    x  3x   phương trình có hai nghiệm x   ; x  x 2   Vậy tập nghiệm phương trình S   ;  2; 2;     Bài     22 x  y 3  Giải hệ phương trình   1 x  y   Lời giải           2 x  y  2  x  y     y   Với x  ta có hệ      x  1(n)  1 x  y  2  x  y             2 x  y  2  x  y   y  6     Với x  ta có hệ      x  3(n)  1 x  y  2  x  y  6        Vậy nghiệm hệ 1;  , 3; 6  Bài Cho hàm số y     x  có đồ thị đường thẳng  d  a) Vẽ đồ thị hàm số  d  mặt phẳng tọa độ b) Đường thẳng  d   song song với  d  qua điểm có tọa độ  0;3 Đưởng thẳng  d   d  cắt trục hoành A, B cắt trục tung C , D Tính diện tích tứ giác ABDC Lời giải  1  a) Đường thẳng  d  qua hai điểm  0;1  ;0   1  b) Đường thẳng  d   song song với  d  nên có phương trình y  Vì  d   qua điểm có tọa độ  0;3 nên  Vậy  d   có phương trình y    1 x       b  b    x  b  b  1  1  3   Suy A  ;0  ; B  ;0  ; C  0;3 ; D  0;1  1   1  1 Ta có SOBC  OB.OC  2 3  1 32 1 1 SOAD  OA.OD   2 1 32 S ABCD  SOBC  SOAD  Bài   2 32 32 1   1 Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B C khác phía AD cho BAC  60 Từ B kẻ BE vng góc với AC  E  AC  a Chứng minh hai tam giác ABD BEC đồng dạng b Biết EC  cm Tính độ dài dây BD Lời giải B F A D E 3cm C a Vì B nằm đường trịn đường kính AD nên góc ABD chắn nửa đường trịn đường kính AD Suy ABD  90 Ta lại có ADB  ACB ( góc nội tiếp chắn cung AB ) Xét ABD BEC có ABD  BEC  90 ADB  ACB (cmt) Suy ABD ∽ BEC (g-g) (đpcm) Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10  32  42  AB2  AB2  25  AB  (đvđd)  Chu vi OAB : OA  OB  AB     12 (đvđd) Kẻ OH  AB H Xét OAB vng O , đường cao OH Có: OH AB  OAOB (hệ thức lượng tam giác vuông)  OH  3.4  OH  Câu 12  2, (đvđd) (1,0 điểm) Cho phương trình: m  m2 x  m    8x  với m tham số, m  Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ 2 Lời giải Ta có: m  m2 x  m    8x   m3 x  m2  2m  8x   x  m3  8  m2  2m  x m  2m  m  2m    m 8  m    m  2m   m  Để phương trình có nghiệm nhỏ 2  2 m2  20 m2  2m  0 m2 TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 68 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10   m    2m    2m      m  m   m      m2   2m    2m   m      m    m   m   Vậy Câu  m  phương trình có nghiệm nhỏ 2 (1,0 điểm) Cho đường trịn  O  có AB đường kính Vẽ đường kính CD khơng trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn  O  cắt đường thẳng BC BD E F Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AF a) Chứng minh: ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh: QO song song BF BQC tam giác cân c) Chứng minh: EB.EC  FB.FD  2CD2 E C A B O D Q F a) Chứng minh: ACBD hình chữ nhật Lời giải TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 69 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Ta có ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  O  ) ADB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  O  ) DBC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  ) Vậy: ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh: QO song song BF BQC tam giác cân Lời giải Xét AFB ta có: Q trung điểm đoạn thẳng AF (gt) O trung điểm đoạn thẳng AB ( O tâm đường tròn, AB đường kính) Vậy: QO đường trung bình AFB Suy ra: QO // BF Mà BF  AD ( ACBD hình chữ nhật ) Nên: QO  AD Ta có: AOD cân O QO đường cao ( QO  AD ) Nên: QO đường phân giác AOD Ta có: QOC  QOA  AOC QOB  QOD  DOB QOA  QOD ( QO đường phân giác AOD ) AOC  DOB ( ACBD hình chữ nhật) Xét QOC QOB , ta có: QO cạnh chung OC  OB  R QOC  QOB (cmt) Suy ra: QOC = QOB ( c.g.c) Suy ra: QC  QB Hay: BQC tam giác cân c) Chứng minh: EB.EC  FB.FD  2CD2 Ta có: TỐN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 70 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 AE  EB.EC ( AEB vuông A , đường cao AC ) AF  FB.FD ( AFB vuông A , đường cao AD ) Suy ra: EB.EC  FB.FD  AE +AF2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: AE +AF  AE AF2  AE +AF2  AB4 ( EFB vuông B , đường cao AB )  AE +AF2  AB2  AE +AF2  2CD2 ( AB  CD  2R ) Vậy: EB.EC  FB.FD  2CD2 Câu 1,0 điểm Cho đa giác 24 cạnh A1 A2 A23 A24 Có tất tam giác vuông tam giác vuông cân tạo thành từ đỉnh đa giác trên? Lời giải Từ điểm để tam giác vng có cạnh qua tâm đường trịn Từ đó, ta việc chọn 12 đường ch o qua tâm: 12 cách Mỗi cạnh ta lại có: 22 tam giác vuông – tam giác vuông cân = 20 ậy ta có: 12.20  240 tam giác vng khơng cân Câu 1,0 điểm b2 c2 Cho số thực a, b, c cho: a  0; b  ; c  a    12 Tìm giá trị lớn M  2ab  3a  ca  8c  c  Lời giải Ta có M  2ab  3a  ca  8c  c   M2   a 2b   c a   c    M   a  c  4 2b   a   c  5   a  c   a  c  2b  TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 71 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10  M   a  c    a  c  b    8b   c c2  b2  Ta có a  c  a.1    a   10  12   10 9 2   2   b2  b2  Do M  12   10  12   10  b    8b 2 2    M  120  8b  5b2  120  2b2 b  2   b  2   2  M  120  8b  5b  120  5b          2  M  178  18b  4,5b2  196  4,5  b    196  M  14 a   Vậy GTLN M 14 b  c   Câu 1,0 điểm Cho ABC nhọn có AB  AC Gọi O, H , G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác Gọi E điểm tùy ý cho tạo thành EHG EOG Chứng minh: Tỉ số diện tích EHG EOG khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E Lời giải A E O H B GM K C I P Kẻ đường kính AP đường tròn  O  Gọi I trung điểm BC , M giao điểm AI OH Chứng minh tứ giác BHCP hình bình hành Mà I trung điểm BC Suy I trung điểm HP Chứng minh OI đường trung bình tam giác APH  AH  2OI ; OI // AH TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 72 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” Ta có AH  2OI  OI  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 AH Ta có OI // AH ( cmt) => OIM  HAM ( hai góc so le trong) Lại có OMI  HMA ( hai góc đối đỉnh) => OMI mà OI  HMA => AH => MI OI  MA HA MI  MA mà AI trung tuyến  ABC (do I trung điểm BC ) => M trọng tâm  ABC Mặt khác G trọng tâm  ABC (gt) Suy M  G Do ba điểm H , G, O thẳng hàng Suy HG  OG Từ E kẻ EK  HO ta có SEHG SEOG EK HG HG    EK OG OG Vậy tỉ số diện tích EHG EOG khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E HẾT TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 73 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD VÀ ĐT NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN CHUN ĐỀ SỐ 10 a) Cho số thực x, y, z khác Đặt a  x  1 , b  y  c  xy  x y xy Chứng minh a2  b2  c2  abc  b) Cho số thực a, b khác 2 thỏa mãn (2a  1)(2b  1)  Tính giá trị biểu thức A  1  2a 2b a) Giải phương trình x2  x   3x x   ( x  y)2  2x 1  y 1  b) Giải hệ phương trình  ( x  y )( x  y )  3x  y   Bài Cho tam giác ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn  O  Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC M , N có tâm I thuộc BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC a) Chứng minh điểm A, M , H , I , N thuộc đường tròn HA tia phân giác góc MHN b) Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt MN K Chứng minh AK qua trung điểm D BC c) Tiếp tuyến đường tròn  O  B C cắt S Chứng minh BAS  CAD a) Tìm số nguyên x, y thoả mãn x3  y  xy  b) Cho số nguyên dương a, b, c thoả mãn c  b  a  Chứng minh ab lập phương b a số nguyên dương Bài a) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh: a  b3  c   a  b  c b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để túi Có thể thực cơng việc sau: Bước 1: Bỏ viên sỏi chia túi thành túi Bước 2: Chọn hai túi cho túi có viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi thành túi mới, có túi Bước 3: Chọn túi cho túi có viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi thành túi mới, có túi TỐN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 74 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Tiếp tục q trình Hỏi sau số bước tạo trường hợp mà túi có hai viên sỏi hay khơng?  HẾT  TỐN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 75 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 – NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN CHUYÊN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài a) Cho số thực x, y, z khác Đặt a  x  1 , b  y  c  xy  x y xy Chứng minh a2  b2  c2  abc  b) Cho số thực a, b khác 2 thỏa mãn (2a  1)(2b  1)  Tính giá trị biểu thức A  1  2a 2b Lời giải a) Ta có 1   a2   x2  2 x x 1 b  y   b   y  y y 1 x y ab  ( x  )( y  )  xy    x y xy y x a2  x2   ab  c  x2  y xy  abc  c  ( xy  x2  y )( ) xy xy x2  y x2 y2 1  c2  x2  y   y x  c2  x2  y   c2  a   b2   a  b  c  abc  (đpcm) b) Với a, b  2, ta có (2a  1)(2b  1)   4ab  2(a  b)   2ab  a  b   a  b   2ab Ta có TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 76 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 2(4  ab) 1 ab4  2ab   2ab       a  b (2  a)(2  b) ab  2(a  b)  ab  2(4  2ab)  12  3ab 2(4  ab)   3(4  ab) A Vậy A  a) Giải phương trình x2  x   3x x   ( x  y)2 x   y    b) Giải hệ phương trình  ( x  y )( x  y )  3x  y   Lời giải a) Giải phương trình x2  x   3x x  ĐK Đ: x  3 x  x   3x x     x  x  3  x x    x4  5x3  14 x2  x    x4  x3  x3  x2  15x2  15x  x     x  1  x3  x  15x      x  1  x3  3x  x  3x  12 x      x  1 x  3  x  x  3  3   x  l   4 x   x      x 1   x   13  x  x      x   13 (l )  Thử nghiệm với kết hợp với điều kiện ác định ta có tập nghiệm phương trình là:    13   S  1,      Cách 2: x  x   3x x  1 Chia vế phương trình 1 cho x x   , ta  x  x 3 1  x2  x  x x x3  x   1       2   3 x x3 x3  x  x3  4 x  x   x3   TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 77 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 (do x  )   13 x    1- 13  x   -3  x   x  Kết hợp với điều kiện ác định ta có tập nghiệm phương trình là:    13   S  1,       ( x  y)2  2x 1  y 1  b) Giải hệ phương trình  ( x  y )( x  y )  3x  y   ĐK Đ: x  1 1 ,y 2  ( x  y)2 x   y   (1)    x  y  x  y   3x  y  (2)  Phương trình (2) tương đương với:  x  y  x  y    x  y    x  y 1   x  y 1 x  y    x  y 1  ( x  y 1)( x  y  4)   x  y 1   x  2y   x  1 y   x  4  y Xét x   y thay vào phương trình (1) ta có phương trình (1) thành: 2(1  y)   y   ((1  y)  y)2 (1  y)2 Đặt t   y phương trình trở thành:  y  y 1  2t  2t  t2    t2  t4  16  t   t    t2    t2 4  t2    TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 78 Sản phẩm nhóm “Toán Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam”   t  (vì  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10   t2 4  t2    )  y  1  y  t     1  y  2 t  2 y   1 1 Với y  x   y    2 3 Với y  x   y    2 Xét x  y   : 1 1 1 , y  nên x  y   2,5 2 Nên x  y   hệ phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: Vì x   1   1   S   x, y    ,  ,  ,    2   2   Bài Cho tam giác ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn  O  Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC M , N có tâm I thuộc BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC a) Chứng minh điểm A, M , H , I , N thuộc đường tròn HA tia phân giác góc MHN b) Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt MN K Chứng minh AK qua trung điểm D BC c) Tiếp tuyến đường tròn  O  B C cắt S Chứng minh BAS  CAD Lời giải TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 79 Sản phẩm nhóm “Toán Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 a) + AH  BC  AH  HI nên H thuộc đường trịn đường kính AI + Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB M nên AM  MI nên M thuộc đường trịn đường kính AI + Đường trịn tâm I tiếp xúc với AC N nên AN  NI nên N thuộc đường trịn đường kính AI Vậy điểm A, M , H , I , N thuộc đường trịn đường kính AI + Xét hai tam giác AMI ANI có AI chung; IM  IN (bán kính đường trịn tâm  I  ); AMI  ANI  90 nên AMI  ANI  AIM  AIN Mặt khác, AIM  AHM (góc nội tiếp chắn cung AM đường trịn tâm I ); AIN  AHN (góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn tâm I ) Vậy AHM  AHN hay AH tia phân giác góc MHN b) Kẻ đường thẳng qua K song song với BC cắt AB AC P Q Ta có IKP  IMP  180 , suy tứ giác IKPM nội tiếp, suy KIP  KMP Chứng minh tương tự ta có KIQ  KNA Suy KIP  KIQ Xét tam giác IPQ có IK vừa đường cao, vừa đường phân giác nên tam giác cân, suy IK đường trung tuyến, hay K trung điểm PQ Dựng D giao điểm AK BC TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 80 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” Do PQ / / BC , áp dụng định lý Talet ta có ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 KP AK KQ , suy DB  DC   BD AD DC Suy D trung điểm BC c) Gọi E giao điểm AS BC , G giao điểm thứ hai AS  O  Trên cạnh BC lấy điểm D khác E cho BAE  CAD , cần chứng minh D trung điểm BC Ta có AGB  ACD BAG  CAD nên AGB đồng dạng ACD GB AG Suy (1)  CD AC Ta có AGC  ABD CAG  CAD nên AGC đồng dạng ABD GC AG Suy (2)  BD AB SB BG Ta có SBG  SAB nên SBG đồng dạng SAB , suy  SA AB CG BG SC CG Chứng minh tương tự ta Suy (3)   CA BA SA AC Từ (1), (2) (3) suy CD  BD hay D trung điểm BC Ta có điều phải chứng minh a) Tìm số ngun x, y thoả mãn x3  y  xy  b) Cho số nguyên dương a, b, c thoả mãn c  b  a  Chứng minh ab lập phương b a số nguyên dương Lời giải a) Ta có x3  y  xy    x3  1  y  x  1    x  1  x  x   y   x    y  x  x 1 + Với x  , phương trình có nghiệm 1; y  với y số nguyên + Với y  x  x    y    x  1    y  x  1 y  x  1  Lập bảng t trường hợp y  2x 1 y  2x 1 x y 1 3 Vậy tập giá trị  x; y  thoả mãn 3 1 1 1 1 1  0;1 ,  0; 1 ,  1; 1 ,  1;1 , 1; y  , y   b  a   abc  a  a 2b  b b a Suy a chia hết cho b , đặt a  bk , k  * , thay vào điều kiện ta b) Ta có c  b2 kc  bk  b3k  b2  bkc  k  b2k  b Suy b chia hết cho k k chia hết cho b , suy b  k , suy ab  b3 , ta có điều phải chứng minh Bài TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 81 Sản phẩm nhóm “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” a) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh: a  b3  c   a  b  c b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để túi Có thể thực cơng việc sau: Bước 1: Bỏ viên sỏi chia túi thành túi Bước 2: Chọn hai túi cho túi có viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi thành túi mới, có túi Bước 3: Chọn túi cho túi có viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi thành túi mới, có túi Tiếp tục q trình Hỏi sau số bước tạo trường hợp mà túi có hai viên sỏi hay khơng? Lời giải a) Xét hiệu  a3  b3  c3    a  b4  c    a3  a   b3  b4    c3  c   a3 1  a   b3 1  b   c3 1  c   a3  b  c   b3  a  c   c3  a  b   a  ab  ac   b2  ab  bc   c  ac  bc  Do a, b, c không âm nên ab, ac, bc không âm, suy a  ab  ac   b2  ab  bc   c  ac  bc   a  ab  ac   a 2bc  b2  ab  bc   b2ac  c  ac  bc   c 2ab  a  ab  ac  bc   b2  ab  bc  ac   c  ac  bc  ab    a  b2  c   ab  ac  bc   a  b2  c   2ab  2ac  2bc   2 2 2    a  b  c  2ab  2ac  2bc   a  b  c      4 Hay  a3  b3  c3    a  b4  c   1   a3  b3  c3    a  b4  c (đpcm) 8 b) Sau bước số sỏi giảm số túi tăng lên suy tổng số sỏi số túi không thay đổi sau bước.Tổng 2021 Giả sử sau số bước tạo trường hợp mà túi có viên sỏi, tổng số tỏi số túi phải chia hết ho Do 2021 không chia hết mâu thuẫn suy điều giả sử sai Vậy tạo trường hợp mà túi có viên sỏi sau số bước  HẾT  TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 82 ... “Tốn Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD VÀ ĐT HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN CHUYÊN ĐỀ SỐ Bài (2 điểm)  x3 x 2 x... Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN CHUN ĐỀ SỐ Bài (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: B  (10 x ... Tiểu Học- THCS- THPT Việt Nam” ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN CHUN ĐỀ SỐ Bài Bài  xy  x  y  Giải