Ta có đpcm.. Chứng minh bất đẳng thức.. b) Viết lập phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi lập phương.. Dùng định nghĩa và kẹp giới hạn.. b) Dùng bất đẳng thức AM-GM.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa thức:
1 n
n
a a
(với a 0 n ¥*)
m
r n n m
a a a (với a 0 v r m,n ,n * n
 Ơ )
lim rn
a a (với a0,¡ ,rnÔ v limrn ) Khi n l, b na bn a (với a)
Khi n chẵn, n
n
b
b a
b a
(với a 0)
- Biến đổi lũy thừa: Với số a0,b0, tùy ý, ta có:
; : ;
a a a a a a a a a b a b ;a b: a :b
- So sánh: Nếu 0 a b thì: a b 0;a b Lôgarit:
- Lôgarit số a: logaba b (0 a b 0) - Lôgarit số 10: log10blgb hay log b
- Lơgarit số e: logeblnb e 2,7183
- Tính chất: log 1a 0 logaab b với a0,a1
logab
a b với a0,b0,a1
- Biến đổi lôgarit điều kiện xác định:
loga b c logablogac
logab logab logac,loga logac
c c
logab logab
(với ), log n 1log
a b ab
n
(2)log log
log a b
a
x x
b
hay logab.logbxloga x
1 log
log b
a
a
b
hay loga logb 1;log 1loga a
b a b b
Hàm số lũy thừa y x: Liên tục tập xác định Đạo hàm
' , ' '
x ax u uu ;
/ /
1
1 '
0 ,
n n
n n
n n
u
x x u
n x n u
, với uu x 0
Hàm số y x đồng biến 0; 0; nghịch biến 0; 0 Hàm số mũ:
Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc 0;
1
lim ; lim
0 1
khi
khi
x x
x x
a a
a a
a a
Đạo hàm: ax 'axln ;a e x 'ex;
au 'a uu 'ln ;a e u 'e uu ' với uu x
Đồng biến ¡ a 1, nghịch biến ¡ 0 a Hàm số lôgarit ylogax:
Liên tục tập xác định 0;, nhận giá trị thuộc ¡
1 lim log
0
khi a
x
a x
a
;
1 lim log
0
khi a
x
a x
a
Đạo hàm log ' ; ln ' 1; ln ' ln
ax a x
x a x x
' ' '
log ' ; ln ' ; ln '
ln a
u u u
u u u
u a u u
với uu x
Hàm số ylogax đồng biến 0; a 1, nghịch biến 0; 0 a Giới hạn:
0
ln
1
lim ;lim 1;lim
x x
x x
x
x e
e
x x x
(3)2 CÁC BÀI TOÁN
Bài tốn 4.1: Thực phép tính
1
1
3 2
0,75 1 3 3 3
81 ; 0,001 64
125 32
A B
Hướng dẫn giải
1
3 3 5
4 4 1
3
5
A
1 1 80
3
5 27 27 27
2
3 3 3 3 111
10 2 10 2
16 16
B
Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định:
1
1
4 3 3
4
3 1
4 3 3
1
1;
1
a a a a a a a
P a Q
a
a a a a a a
Hướng dẫn giải
4
4
1 1
1
1
a a a a
P a a a
a a a
1
2
3
1
3
1
1
1
a a a a
Q a a a
a a a a
Bài toán 4.3: Trục mẫu a)
3
1
2 b)
1
5 13 48
Hướng dẫn giải
a)
3 3
3
3
3 3
1
1
2
b) Vì
2
(4)nên
2
3
3
3
1
2
3
5 13 48
Bài toán 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng:
a) 15 6 15 6 b) 37 2 37 2
Hướng dẫn giải a) Ta có
2
3 22 18 12 12 6 30 12 6
nên 15 6 15 6 2 3 2
2
Cách khác: Đặt 15 6 15 6 x x; 0 Ta có x 2 302 225216 36 nên chọn x 6
b) Ta có:
3
7 2 1 2 6 2 1 Tương tự 2 1 23
Do 3
7 2 2 1 2 1 2
Cách khác: Đặt x 37 2 37 2 Ta có:
3 3 3
7 7 7
x
3
10 7 10 3x
Ta có phương trình:
3
3 10 2 2 2
x x x x x x
Bài toán 4.5: Tính gọn
a) 49 20 6 4 49 20 6
b) 2 52 2 42 52 2
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2
4 4
(5) 4
4 3 2 3 2
Tương tự:
49 20 6 3 (do 3 2) Suy 49 20 6 4 49 20 6 2
b) Đặt M 2 52 2 ,N 2 52 2
Ta có:
2
4 2 5 4 2 5 1
MN
2
4 4 2
4 5
M N M N M N
2
2 2
5 2
2
M N M N MN
Vậy 2 42 2 5
2
M N
Bài toán 4.6:
a) Cho 23 513 23 513 1
3 4
x
Tính Ax3x21
b) Tính
2
4 200 9999
1 1 99 101
k k
B
k k
Hướng dẫn giải a) Đặt 23 513, 23 513
4
a b
3 23
2
a b
, ab 1 3x 1 a b Vì 3x13 27x327x29x1
27 x x 3x 29
nên
3 3
3 3 29 29
27 27
x x a b a b
A
3 23 29
3 29 2
27 27
a b ab ab ab
(6)b) Với k 2
2
2 1 1 1
2
1 1 1
k k k k k k
k k
k k k k k k
3 3
1
2
k k
Do
3 3 3 3 3
1
3 101 99
2
B
3
3 3
1 999 101
1 101 100
2
999 101 101 2
Bài toán 4.7: Cho ; ;
2
x x x x x x
x x
a a a a a a
sh x ch x th x
a a
với a0,a1 Chứng minh
2
1
ch x sh x , 2 th x th x th x
Hướng dẫn giải Ta có
2
2
2
x x x x
a a a a
ch x sh x
2 2
2
1
4
x x x x
a a a a
Ta có:
2 2
2 2 1 x x x x
x x x x
a a
a a
th x
a a a a
nên
2
2 2
2
2
1
x x x x
x x x x
th x a a a a
th x a a a a
2 2 2 2 2
x x x x x x
x x
x x x x
a a a a a a
th x
a a
a a a a
Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu 1 1
a b c a b c
1 1
n n n n n n
(7)b) Nếu axn byn czn, 1 1
x y z thì:
1 1
n n n n n n
n ax by cz a b c
Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1
a b a b cc
a b a b c c abc ab a b c a b b c c a
có số đối mà ta có n lẻ đpcm
b) VT = 1
n n n
n n n n n n
n ax by cz n ax ax x a y b z c
x y z x y z
VT 1 n a nb n c
x y z
đpcm
Bài toán 4.9: Tính:
a) 3log 183 18;35log 23 3log 23 25 32
2
3
2 2
2
log
log 3 log 5 log 5
3
1
2 2
8 125
5 0,5
2
log
log
5
1
2 32
32
b) 1log 36 log 14 3log7 7 7 321 log log 77 2
2 14.21
Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A log 2.log 3.log 5.log 6.log 73 4 6 7 8 b) Ba logab b logba
Hướng dẫn giải a) A log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8
8
log log3 log log5 log log log 1
log log
log3 log log5 log log log8 log8 3
b) Đặt x logab logabx2 b ax2 Mặt khác logba 12 logba
x x
(8)Do đó:
21
0 x
x x
Ba a Bài toán 4.11:
a) Cho log 156 x, log 1812 y, tính log 2425 theo x, y
b) Cho alog 3,2 blog 5,3 clog 27 , tính log14063 theo a, b, c Hướng dẫn giải
a) Ta có 2
2
log 3.5 log log
log 2.3 log
x
2
2
2
2
log 2.3 2log
log log
y
Suy log 32 1;log 52
2
y x y xy
y y
Do
3
25
2
log
log 24
log 2
y
x y xy
b) log14063log140 3 72 2log1403 log 1407
3 7
2
log 140 log 140 log 5.7 log 5.7
3 3 7
2
2log log log 2log log
Ta có 3 7 7 2 3
2
1
log ,log log 2.log 3.log
log a cab
;
3
7
1 1
log
log log 2.log ca
Vậy log14063 2
2 2 1 2 1
ac
c cab abc c
b
a ca
Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn:
Tính
2 2
3 11
log log 11 log 25
T a b c
Hướng dẫn giải Ta có:
11
3 log 7 log 11 11 log 25
log log 11 log 25
T a b c
3 11
7
1 log 25
log 11
log 2
27 49 11 11 25 469
(9)Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) alogcb blogca
b)
2
1
1 1
loga log log log n 2loga
a a a
n n
b b b b b
Hướng dẫn giải a)
log
log log cb log log log
cb ba cb ba ca
a b b b
b) VT =
loga loga loga loga
n
b b b b
1
1
loga 2loga
n n n
b b
Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a2c2 b2 logb c alogb c a2logb c a.logb c a b) Nếu a b c, , lập cấp số nhân log log log
log log log
a b a
b c c
d d d
d d d
Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a2 b c b c Xét a 1:
Xét a 1 log log 1
log log
a a
b c b c
b c b c
a a
nên logb c alogb c a2logb c a.logb c a
b) Ta có
log
1
log log
log log log log
d
a b
d d d d
c b
d d
a b a b
Tương tự:
log
1
log log
log log log log
d
b c
d d d d
c a
d d
b c b c
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên c b logd c logd b
a a b a
Do log log log log
log log log log
a b d a
b c d c
d d c d
d d a d
(10)log loga loga logx logy logz
y z
a
A x y z a a a
x
b) Nếu
log log log
x y z x y z x y z x y z
x y z
x yy x y zz y z xx z Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết, ta có: logax 1 logax.logaz
1
log log
1 log log
a a
a z
a
x z
a z
z
Do đó: logx loga z
a z Tương tự logy loga x
a x
Mà loga y 1 loga y.logaz, nên log log log log
1 log log
a a
a a
a a
y y
y z
z y
logaz loga y.logaz
Tương tự trên, ta có logz loga y
a y Do
loga logy loga logz loga logx
x y z
A x a y a z a
b) Nếu số x y z y, z x z, x y ba số dẫn đến
0
x y z , mâu thuẫn
Do x y z y, z x z, x y khác Từ giả thiết thì:
log log
log log
log log
x y y z x y x z x y
y z z x y z y x y z
z x x y z x z y z x
Ta có: xlogy y z xylogx z x y
log log z x y
x y y x
y z x
log log log z x y
x y y x y x
y z x
log log log z
x y y x y x
z x y
(11)Tương tự ylogz zlogy zlogy 2x
z x y
Do đó: x yy x y zz y xlogy ylogx ylogzzlogy
2
log z log x
y x z y
y z x z x y
log log
y x z x y x y y z x
:
Chứng minh tương tự: y zz y z xx z
Bài toán 4.16: Cho số thực a, b, c thỏa mãn 1 a b c Chứng minh rằng:
log loga ab log logb bc log logc ca 0
Hướng dẫn giải Vì 1 a b nên logab 1 log loga ablog logb ab0
Ta có 1 a c nên logca 1
Suy 0log logc calog logb ca
Do log loga ablog logb bclog logc ca
log log log log log log
log log log log log
b a b b b c
b a b c b
b c a
b c a
Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức
13
3 , 0
P x x x x x
a) Tìm hệ số x13 b) Tìm số hạng khơng chứa x Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát
13
3
P x x x x
là:
13
2 13 52
3
1 13 13
k
k k
k k
k
T C x x x C x
a) Hệ số x13 ứng với 13 52 13 10 16
k
k
là:
10
11 13 286 T C
(12)Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức
6
lgx 12
x x
, biết số hạng thứ tư 200 Tìm x?
Hướng dẫn giải ĐK: 0,
10
x x Ta có:
6
1
1 1 6
2 lg lg
lg 12 12 12
6
k k
x k x
x
k
x x x x C x x
Số hạng thứ ứng với k 3, theo giả thiết 200 nên: lg
2 lg
3 lg
6
7 lg
200 10 lg
4lg
x
x x x
C x x x
x 10 lg
lg 3lg
lg 10
x x
x x
x x
(Chọn)
Bài toán 4.19: Chứng minh giới hạn:
a)
0
log
1
lim ln ;lim
ln x a x x x a a
x x a
b) 1
lim ;lim
x n
a
x x
a ax a
e
x x n
Hướng dẫn giải a)
ln ln
0 0
1 1
lim lim lim ln ln
ln
x
x a x a
x x x
a e e
a a
x x x a
0
log ln 1
lim limlog ln a a x x x x e
x x a
b) lim lim 1
a x a x a x x a e x x a
0
1 1
lim lim
1
n
x x n n
n n
ax ax a
x x ax ax n
(13)a) lim x x x e e x b)
2
lim
3
x x
x x
x
Hướng dẫn giải a)
2 5
0
1
lim lim
x x x x
x x
e e e e
x x x
b) 0
2
2 ln ln ln10
lim lim
3
3 ln ln ln15
x x x x x x x x x x x x x x
Bài tốn 4.21: Tìm giới hạn sau:
a)
2
0
ln lim
1 cos x
x x
b)
6
lim
ln ln
x x
x x x
Hướng dẫn giải
a)
2
2
0
ln ln
lim lim
1 cos 2sin
x x x x x x
2
2
3ln
1 sin
lim :
2x
x x x x b) 0
ln ln
6
lim lim :
ln ln
x x x x
x x
x x
x x x x x x
ln ln : ln
3
Bài tốn 4.22: Tìm giới hạn sau:
a) lim 1
3 x
x x
b)
3 lim x x x x
Hướng dẫn giải
a)
3 3
1
lim lim
3
x
x x x
x x x x e e
(14)b)
2 1
2
3
lim lim lim
1 1 x x x x x
x x x
x e x x x
Bài toán 4.23: Tìm giới hạn sau:
a)
2
2
2 lim ln x x e x x
b)
1
0
lim
x x x
x
a b
với 0a b, 1
Hướng dẫn giải a)
2 2
2 2
2 2
2
0
ln
1 1
lim lim :
ln
x x
x x
x
e x e x
x x x
x 2
2 2
0 2 3 2
3
ln
1
lim :
2 1 1 1
x
x
x e
x x x x
b) 1 0
lim lim 1
2
x x x x
a b x
x x x x x a b
x x
a b a b
1 ln ln
ln
2 2
0
lim lim
x x
x x
a b
a b a b
ab
x x x
x e x e e e ab
Vậy lim
x x x
x a b ab
Bài tốn 4.24: Tính giới hạn sau: a)
1
1
lim
1 ln
x x x
b)
cot
lim x
x x
Hướng dẫn giải a)
1
1 ln
lim lim
1 ln ln
x x
x x
x x x x
(15) 1 1
ln '
lim lim
1
1 ln ' ln
x x
x x x
x
x x x
x
1 1
1 '
1 1
lim lim lim
ln ln ' ln 2
x x x
x x
x x x x x x
b) Ta có:
0 0
1
ln '
ln 1
lim cot ln lim lim lim
tan tan ' tan
x x x x
x
x x
x x
x x x
nên 0
lim cot ln cot cot ln
0
lim lim x
x x
x x x
x x x e e e
Bài tốn 4.25: Tìm giới hạn sau: a)
1
lim cos x
x x b)
5
lim cos x
x x
Hướng dẫn giải a) Ta có
2
0 0
ln cos '
ln cos tan tan '
lim lim lim lim
2 ' 4 '
x x x x
x
x x x
x x x x
0
tan 1
lim 4 x x
Nên
0 2
ln cos ln cos 1
1 lim
2
2
0
lim cos lim x
x x
x x
x
x x x e e e
b)
0 0
15sin
5ln cos3 '
5ln cos3 cos3
lim lim lim
'
x x x
x x x x x x
Nên
0
5 ln cos ln cos
5 lim
0
0
lim cos lim x
x x
x x
x
x x x e e e
Bài tốn 4.26: Tính giới hạn sau:
a) ln lim x x x x
b)
ln lim x x x
Hướng dẫn giải
a)
1 ln ln 2
lim lim
1 x
x
x x x x
(16)Ta có:
2
2
1
ln
1
lim lim
1 ln
x x
x x
x x
x
Vậy:
1 ln
1
1 lim
1 x
x e e
x x
b) lim ln lim ln limln ln
x x
x
x x x x x x
Đặt g x lnx g ln g x' ln Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
ln
lim lim ' ln
x
x x
g x g
g
x x
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) yx2 e4x 1 b) 2
2
x x
x x
y
c)
5
5x x
yx x Hướng dẫn giải
a)
4
4
4
2 1
2
'
1
x x
x
x x
x x e
x e
y x e
e e
b)
2
2 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 ln
'
2
x x x x x x x x
x x
y
2
2
2
2 2 4ln 2
ln
2 2
x x x x
x x x x
c) Ta có y x55xxx x55x exlnx nên
4 ln
' 5 ln 5x x x ln 5 ln 5x x ln
y x e x x x x
Bài tốn 4.28: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) ylnx x2a2
b)
3
log
y x x c) ycos x e2 tanx
(17)a)
2
2 2
1
1 '
x
x a
y
x x a x a
b)
2 10
'
5 ln
5 ln
x x
y
x x
x x
c) ' sin tan tan tan sin
cos cos
x x x
y x e e e x
x x
Bài toán 4.29: Chứng minh:
a) Nếu ye4x 2ex thì: y''' 13 ' 12 y y0 b) Nếu
2
2
1
1 ln
2
x
y x x x x thì: 2yxy' ln ' y Hướng dẫn giải a) y'4e4x2ex, '' 16y e4x 2ex, '''y 64e4x 2ex nên:
''' 13 ' 12 64 x x 13 x x 12 x x
y y y e e e e e e
b)
2 2
2
2
1
1 1
'
2 2 1 2 1
x
x x
y x x
x x x
2
2
2
2 1
1
2
x
x x x
x x
Do đó, ta có: 2
2yx x x 1 ln x x 1
2
'
xy x x x ln 'y lnx x21
2y xy' ln 'y
: đpcm
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n hàm số
a) y 5kx b) yln 6 x2 x 1 Hướng dẫn giải
a) y'kln 5 ; '' kx y kln 52 kx
(18)b) Với
3
x
2
x :
ln ln ln
y x x x x
1
'
2
y
x x
Ta chứng minh quy nạp
1 !
1 m m m
m
m a
ax b ax b
Suy
1 1 1
1 !2 1 !3
2
n n n n
n
n n
n n
y
x x
Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a)
x
e y
x
b) yx e2 x
Hướng dẫn giải a) D ¡ \ 0 ,
2
1
' , '
x
e x
y y x
x
BBT
x
'
y − − +
y
e
Vậy hàm số nghịch biến khoảng ;0 0;1 đồng biến khoảng 1;, đạt CT 1;e b) D¡ , 'y 2xx2e yx, ' 0 x x 2
BBT
x
'
y − + −
y
4e
(19)Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2 , nghịch biến khoảng ;0 2;, đạt CĐ
2
2; 4e , CT 0;0
Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:
a) ylnx21 b) y x ln 1 x Hướng dẫn giải
a) ; 1 1; , ' 22
x
D y
x
Khi x 1 y ' nên hàm số nghịch biến ; 1 Khi x 1 y ' nên hàm số đồng biến 1; Hàm số cực trị
b) 1; , ' 1 , ' 0
1
y
D y y x
x x
' 0, 0;
y x nên hàm số đồng biến 0;
' 0, 1;0
y x nên hàm số nghịch biến 1;0 Ta có
2
1
''
1
y
x
nên đạt cực tiểu x0,yCT 0
Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số x x x x x x x x x
a b c
f x
b c c a a b
đồng biến với x dương
Ta có
2
.ln ln ln
'
x x x x x x
x
x x x x
a a b c a b b c c
a
b c b c
2
ln ln ln ln
x x x x
x x
a b a b a c a c
b c
Do
/
2
ln ln ln ln
'
x x x x
x
x x x x
sym sym
a b a b a c a c
a f x
b c b c
2 2
ln ln ln ln
x x x x
x x x x
sym
a b a b a b a b
b c a c
(20)
2 2
2
ln ln
x x x x x
x x
x x x x
sym
a b a b c
a b a b
a c b c
Bài toán 4.34: So sánh số:
a) 413 23 b) 37 15 10 328 Hướng dẫn giải
a) 41320135 20371293; 233 20234 20279841 Ta có 371293279841 nên 413 23
b) 37 15 2 3 103 28 Bài toán 4.35: So sánh số:
a) 3600 5400 b)
4
1
3
3
Hướng dẫn giải a) Ta có: 3600 33 200 27200
200
400 200
5 25 Vậy 3600 5400 b) Ta có
4 5
1
3
3
3
3
Ta có
2
3 22 5 1820:
Vì số 1
nên
4 5
3
1 1
3
3 3
Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log 43 log41
3 b)
6
log 11
3 7log 0,996
Hướng dẫn giải a) Ta có log 13 log41
3 , suy
log log
3
b) Ta có log 1,16 0 nên 3log 1,16 30 1
(vì 1 ) log 0,996 0 nên 7log 0,996 70 1
(vì 1 ) Suy log 1,16
6
3 7log 0,99
(21)a) log 278 log 259 b) log 94 log 259 Hướng dẫn giải
a) log 278 log 258 log 259
b) log 94 log 32 log 278 log 259 Bài toán 4.38:
a) So sánh hai số 1122 33 10001000
2 2
2
2
b) Chứng minh với n số 2, n 6
2
2 222
2N 222
Hướng dẫn giải a) Ta thấy
2 2 16
2 2
2 2 2
Mà 210 10241000, 26 64
16 10
2 2 64000
nên
2 2
2 64000
2 2
Mặt khác: 1222 33 10001000 1000.10001000 10001001
10 1001 10010 64000
2 2
Từ suy
2 2
2 2 1000
2 1 3 1000 b) Ta chứng minh quy nạp 2n2 n, n
Với n số 2, đặt an 2nN2,bn 222 2222 Ta có 222 10 n 24n nên
4
2
4 2
2 2
n
n n
n n
n
b
Và mặt khác an25n22N2 8.2n2 22n2 2n1 0 Nên
2
2
2 an n
n n
a b Ta có đpcm Bài tốn 4.39: Chứng minh:
a) lognn 1 logn1n2 với số nguyên n 1 b) ambm cm, m 1, a b c với a0,b0
Hướng dẫn giải a) A lognn 1 lognn 1 logn 1
n n
(22)
1 1
1
log log 1 log
1
n n n
B n n
n n
Ta có 1 1 log 1 log 1
1 n n
n n n n
và log 1 log 1 1
1
n n
n n
1
1
log log
1
n n
n n
Do AB
b) Ta có
m m
m m m a b
a b c
c c
Mà a b c a, 0,b0 nên a 1, b
c c
Suy với m 1
1
;
m m
a a b b
c c c c
Từ ta có:
m m
a b a b
c c c c
Bài toán 4.40:
a) Cho a b c , , Chứng minh a b ca .b c a b cb .c a
b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn Chứng minh:
2 2
2 3 3 3
b b c c a a
Hướng dẫn giải a) Giả sử amaxa b c; ;
- Xét a b c: BĐT aa b bb c ca c
Vì a b c nên aa b bb c ca b bb c ca c - Xét a c b: BĐT aa b bc b ca c
Vì a c b nên bc b ca c ac b aa c aa b
b) Khơng tính tổng qt, ta giả sử a cạnh lớn cạnh tam giác Khi đó, ta có
2 2
a b c ,
2 2
3 3
(23)2 2
2 3 3 3
a a b b c c
2 2
2 3 3 3
a a c c b b
Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên b2c2 a2
1 1
3; 3;
xa yb zc y3z3 x3
Ta có: y2z23 y6z63y z2 2y2z2 y6z62y z3 y3z3 2 x3 x6
Suy y2z2 x2 hay
2 2
3 3
b c a đpcm Bài toán 4.41:
a) Cho a b c , , Chứng minh .
a b c
a b c
abc a b c
b) Cho số , , , 1;1
x y z t
Chứng minh:
1 1
log log log log
4 4
x y y z z t t x
Hướng dẫn giải a) BĐT log log .
a b c
a b c
abc a b c
a b c log abc log aa logbb logcc
log log log log log log
log log log log log log
a b c a b c a a b b c c
a b a b b c b c c a c a
BĐT số 10 1 nên x y logxlogy 0 x y logxlogy nên
xylogxlogy0, x 0, y b) Ta có:
2
2
1
0
2
a a a
với a
Và , , ,
4 x y z t nên hàm nghịch biến, đó:
VT logx y2logy z2logzt2logt x2
2 logx y logyz logzt logt x
4
8 logx y.logy z.log logzt t x 8
(24)a) nn1 n1 ,n n ¥,n3
b) n xnyn n1xn1yn1 với n nguyên, n 2 x y , 0
Hướng dẫn giải a) Với n¥,n3, bất đẳng thức tương đương
1 ln ln
ln ln
n n
n n n n
n n
Xét
ln
x f x
x
3; ' ln 2 ln
x f x
x
Do f đồng biến 3; nên: n 1 n f n 1 f n (đpcm) b) Với x 0 y 0, bất đẳng thức
Với xy 0, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
1
n n
n x n x
y y
Xét 1
1
n n
n n
t f t
t
với t 0;
Ta có
1
2
1
' ; '
1
n
n n
n n
n n
t t
f t f t t
t t
BBT
x
'
f t + −
f t
1
Suy f t với t 0; đpcm
Bài toán 4.43: Chứng minh bất đẳng thức sau với x 0
a) ex x b)
2
1
2
x x
e x
c)
2
ln
2
x
x x
(25)a) Xét hàm số f x ex x 1,x0 f ' x ex 0, x 0 nên f đồng biến 0; f liên tục 0; nên f đồng biến 0;:x0 f x f 0 0: đpcm
b) Xét
2
1,
2
x x
f x e x x f ' x ex x Theo câu a) f ' x 0 nên f đồng biến 0;
0 0
x f x f : đpcm
c) BĐT:
2
ln 0,
2
x
x x x
Xét
2
ln , 0, '
2
x x
f x x x x f x
x
và f liên tục 0; nên f đồng biến 0; Do đó: x 0 f x f 0 0: đpcm
Bài toán 4.44: Chứng minh: a) 4sin 2tan 23 2, 0;
2
x x x
x
b) 2
2
x x
e
x x
với x
Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
sin tan sin tan 2sin tan
4 x 2 x 2 x.2 x x x
Ta cần chứng minh: 22sinxtanx2 23x2 2sinxtanx3x
Xét 2sin tan ,
2
f x x x x x
2
1
' cos cos 2
cos cos
f x x x
x x
nên f đồng biến 0; : 0
2 x f x f
: đpcm
b) Nếu x 0 BĐT Nếu x 0, x22x 2 0, x nên
BĐT
2 xx
x x
e
(26)
' 2, '
f x x f x x Lập BBT min f x f 1 1 Xét , 0, ' 2 ; '
x x
x x x
x e xe x
g x x g x g x x
e e e
Lập BBT max g x g x e
Vì f x max g x đpcm Bài toán 4.45: Chứng minh bất đẳng thức sau:
a)
2
cos ,
2
x x
e x x x
b) ex ex 2lnx 1x2, x
Hướng dẫn giải a) Xét hàm số
2
cos ,
2
x x
f x e x x D ¡
' x sin ; ' 0
f x e x x f x x
'' x cos 0,
f x e x x nên f ' x đồng biến ¡ , ta có:
' ' 0, ; ' ' 0,
f x f x f x f x
BBT:
x
'
f x −
f x
0
Vậy
2
cos 0,
2
x x
f x e x x x
b) Xét hàm số f x ex ex 2lnx 1x2,D0;
2
2
' : ' 0
1
x x
f x e e f x x
x
Vì exex 2
2
2
2 1 x
nên f ' x 0, x
(27)Bài toán 4.46: Cho 0 x 1;0 y x y Chứng minh rằng:
1
ln ln
1
y x
y x y x
Hướng dẫn giải Do x y, không giảm tổng quát, giả sử yx Xét hàm số
1
t
f t t
t
, với
2
2
0 '
1
t
t f t
t t
Vậy f t hàm đồng biến 0;1 mà yx nên ta có f y f x hay
ln ln
1
y x
y x
y x
y x nên suy ra:
ln ln
1
y x
y x y x
đpcm
Bài toán 4.47: Cho a b Chứng minh 2
2
b a
a b
a b
Hướng dẫn giải Với a b 0, bất đẳng thức tương đương
4
4
2
b b
a b
b a
a b
a b
ln 4 ln 4
.ln ln
a b
a b
b a
a b
Xét ln 4 ,
x
f x x
x
2
1 ln
' ln 4 ln 4 ln
1 x
x x x x x
x
f x x
x x
nên f nghịch biến: a b f a f b : đpcm Bài toán 4.48: Cho p1,q1 thỏa p q pq a b ,
Chứng minh
p q
a b
ab
p q
(28)Xét hàm số
p q
a b
f a ab
p q
với a 0
11
' p , ' p p
f a a b f a a b a b
Mà p 1 pqp1q 1 nên abq1 Lập BBT f f b q1 0 đpcm
Bài toán 4.49: Cho a b , a b 1 Chứng minh bất đẳng thức
, ,
ax by x y
e a e b e x y
Hướng dẫn giải Ta có b 1 a 0 a nên BĐT:
1
ax a y x y
e a e a e
a x y a x y
y y x y x y
e e e a e e a e a
Xét f t eat a e t a 1,t¡ f ' t a e atet, f ' t t BBT
x
'
f + −
f
Suy f t 0, t đpcm
Bài toán 4.50: Cho a b c , , Chứng minh
a) abba 1 b) a b c b c a c ab 2 Hướng dẫn giải
a) Nếu a 1 b 1 abba 1
Nếu 0a b, 1 Xét f x 1 x 1 x x, 0,0
1
1
1
' 1
1
f x x
x
(29)
Áp dụng , 1
1
b a
a x a
x xb a b ab
Tương tự: 1
1
a b b a
b a b
ya a b ab
b) Trong số ab b, c c, a có số, chẳng hạn a b 1 abc 1 b c a c ab baab 1 suy đpcm Còn số bé dùng bất đẳng thức (*) 3 BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 4.1: Thực phép tính
1
0,75
2
2
4
0,5 0,25
3 1
27 25 0,5 625 19
16
A B
Hướng dẫn Dùng quy tắc mũ Kết A12,B10
Bài tập 4.2: Rút gọn biểu thức: a)
2
3
4
4
1
ax a x ax a a
R
x x
a x ax
với a0,x0,a x
b)
2
2
a a b a a b
S , với a b, 0,a2 b Hướng dẫn a) Kết R ax a a x a
x
b) Kết
2
2
a a b a a b
S
Bài tập 4.3: Tính gọn
a) 3 3 2 b) 39 80 39 80 3
Hướng dẫn
a) Viết bình phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT bình phương Kết
4 3 3 2
(30)Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:
21
3
a b
b b
, tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ
nhau
Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn: 2
0
n
k n k k n k
a b C a b
Kết 219 21! 293
9!12! 930
C
Bài tập 4.5: a) Tính
3
log 50 theo log 153 a, log 103 b b) Tính ln 6, 25 theo cln 2,d ln
Hướng dẫn a) Đưa số Kết 2a2b2
b) Đưa số e Kết 2d 2c
Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a2b2 7ab log7 1log7 log7
3
a b
a b
b) Nếu log 1812 a, log 5424 b, ab5a b Hướng dẫn
a) a2b2 7aba b 2 9ab biến đổi tương đương điều cần chứng minh b) Đưa số 2: log 32
2
a a
3
log 3
b b
Bài tập 4.7: Tìm giới hạn sau: a) 2
0
sin lim
7
x x
x
x e
b)
3
0
1
lim
tan x
x x
x
Hướng dẫn
a) Chia tử mẫu thức cho x Kết
3 ln 7
b) Thêm bớt tử thức chia tử mẫu thức cho x Kết
12
(31)a) y x21.log3x2 b)
2
ln x
y
x
Hướng dẫn a) Kết
2
3
log
' ln
1
x x x
y
x x
b) Kết
2
2
ln
2 '
1
x y
x x
Bài tập 4.9: Cho f liên tục ¡ :
1
, ,
f x x
x y f x y f x f y
¡ Tính f ' x
Dùng định nghĩa kẹp giới hạn Kết f ' x ex Bài tập 4.10: So sánh số:
a) 3330 363 b)
7
3 33 14
3
Hướng dẫn a) So trung gian Kết 3 330 1 327 4 364 63
b) Kết
5
1 3 4
3
3
Bài tập 4.11:
a) Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh:
5
log
log log
2
b) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x y z Tìm GTNN
1 1 1
4 2ln 2ln 2ln
K
x y y z z x
Hướng dẫn a) Đặt log5
2
a log5 log
2
b
Suy 10
a
(32)Kết log5 log5 log
2