Tháng 4: Môn Toán cô Nguyên

Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao cho tam giác DAB vuông cân tại D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD. Đường thẳng qua E, vuông góc với BE cắt AC tại F. Để chứng mi[r]

Chương II TAM GIÁC

Chuyên đề TAM GIÁC CÂN A Kiến thức cần nhớ

1 Tam giác cân

a) Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh nhau. ABC

 cân A

ABC AB AC 

  

 

b) Tính chất Trong tam giác cân, hai góc đáy nhau. ABC

 cân A  B C . c) Dấu hiệu nhận biết  Theo định nghĩa

 Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân 2 Tam giác vuông cân

a) Định nghĩa Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vng

ABC

 vuông cân A

 90 ABC A

AB AC 

 

   

 



b) Tính chất Mỗi góc nhọn tam giác vng cân 45

  45

B C  . 3 Tam giác đều

a) Định nghĩa Tam giác tam giác có ba cạnh nhau. ABC



ABC

AB BC CA 

  

 



b) Tính chất Trong tam giác đều, góc 60

   60

A   B C  . c) Dấu hiệu nhận biết  Theo định nghĩa

 Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác  Nếu tam giác cân có góc 60 tam giác tam giác B Một số ví dụ

Giải

* Tìm cách giải Chúng ta lưu ý rằng: tam giác cân, biết góc tính hai góc cịn

lại Chẳng hạn: ABC cân A A180  2.B180  2.C

  180 

2 A B C   

* Trình bày lời giải.

ABC

 cân A nên BAC180  2ABC90. ACD

 cân A nên CAD 180  2ACD30. Ta có BAD BAC CAD   120 .

Ví dụ 2:

a) Một tam giác cân có góc 80 Số đo hai góc cịn lại bao nhiêu? b) Một tam giác cân có góc 100 Số đo hai góc cịn lại bao nhiêu?

Giải

a) Nếu góc đỉnh tam giác cân 80, góc đáy tam giác cân

180 80 50

    

- Nếu góc đáy tam giác cân 80 , góc đỉnh tam giác cân 180 80  80 20.

b) Nếu góc đáy tam giác cân 100, tổng hai góc đáy 100 100 200 180 (khơng xảy ra)

Do góc đỉnh tam giác cân 100, góc đáy tam giác cân

180 100 40

    

* Nhận xét Bài tốn dễ bỏ sót trường hợp Khi đề chưa cho cụ thể số đo số đo góc ở đỉnh hay đáy, ta cần xét hai trường hợp

Ví dụ 3: Cho hình vẽ bên Biết ABAC; AE DE CD  và BC CE Tính số đo BAC.

Giải

góc nhỏ hình vẽ x Sau biểu diễn góc khác theo x Trong q trình giải, lưu ý tính chất góc tam giác cân tính chất góc ngồi tam giác

* Trình bày lời giải. DEC

 cân D Đặt DCE DEC  x. DEC

 có ADE DCE DEC  2x (góc ngồi tam giác). AED

 cân E nên EAD ADE  2x. AEC

 có: BEC CAE ECA  3x (góc ngồi tam giác) BCE

 cân C nên B BEC 3x. ABC

 cân A nên BCA B  3x. ABC

 có A B C  180 .

Suy 2x3x3x180  x22,5 Do đó: BAC  2.22,5 45

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm E cho EBC 2.ABE Trên tia BE lấy điểm M cho EM BC So sánh MBC BMC.

Giải

* Cách Trên tia BE lấy điểm K cho BK BC BKC cân B

  180  90  

2 KBC

BCK BKC   ABE AEB

      

CEK

  cân C  CE CK ;

   

CEK CKE  CEB CKM Mà BK EM  BE KM

c.g.c

CEB CKM

  

, suy MBC BMC  . * Cách Kẻ MH AC H AC

Gọi MH cắt tia phân giác CBE I.

Ta có:

   1

2 ABE EBI IBC EBC

 

mà ABE EMI (so le trong)

    

EMI CBI ABE

  

BIM

IE IC

   IEC cân I, mà IH EC nên dễ có EMH CMHc.g.c

EM CM BC CM

   

BCM

  cân C suy MBC BMC  .

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác đều ABD ACE Gọi I giao điểm CD BE, K giao điểm AB DC.

a) Chứng minh rằng: ADCABE. b) Chứng minh rằng: DIB   60

c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN đều. d) Chứng minh IA IB ID  .

e) Chứng minh IA tia phân giác góc DIE. Giải

a) ADC ABE có AD AB ;

   60  

DAC BAE    BAC

; ACAE

c.g.c

ADC ABE

  

b) ADCABE ADCABE. ADK

 có KAD  60 nên ADC AKD 120

  120  60

ABE BKI BIK

       hay DIB  60 . c) ADCABE DC BE  DM BN.

ADM

 ABN có ADAB; ADK ABN; DM BN

c.g.c

ADM ABN AM AN AMN

      

cân

       60

DAM BAN DAM MAB MAB BAN    MAN   AMN

d) Trên tia ID lấy IFIB.

Ta có BIF   60 nên BIF tam giác đều. Xét BFD BIA có BD BA ;

   60  

DBFABI    FBA

; BF BI Suy BFDBIAc.g.c DF IA

Do IA IB DF FI   ID.

e) BIF nên BFI 60  BFD 120  BIA120 .

Mà BID   60 nên DIA 60  AIE 60 Do AID AIE 60 hay IA tia phân giác góc DIE.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nhọn ABAC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn thẳng AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN 2.MH Chứng minh BN AC.

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm 2015) Giải

* Tìm cách giải Bài tốn chưa thể ghép BN AC vào hai tam giác trực tiếp Mặt khác MB MC , tự nhiên nghĩ tới việc tia đối tia MA lấy MD MA giả thiết quen thuộc, để suy AC BD Sau việc chứng minh BD BN .

* Trình bày lời giải.

Trên tia đối tia MA lấy MD MA ACM

 DBM có MA MD ; AMC DMB ; BM CM Suy ACM DBMc.g.c

AC BD

  .

HD MD HM  AM HM  HN HD. BDN

 có BH DN; HD HN  BDN cân B  BN BD. Vậy BN AC.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng cân A Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao cho tam giác DAB vuông cân D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD Đường thẳng qua E, vng góc với BE cắt AC F Chứng minh EF EB.

Giải

* Tìm cách giải Để chứng minh EFEB, thơng thường nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác, sau chứng minh hai tam giác Tuy nhiên, với hình vẽ chưa thể ghép Phân tích đề bài, có nhiều góc vng, góc 45 cặp cạnh DA DB , ABAC. Với phân tích trên, nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp giả thiết với cũng ghép EF EB hai cạnh tương ứng hai tam giác Từ có hai hướng giải sau:

 Cách Có thể EF ghép vào AEF có EAF 135 nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với 135 Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, ta lấy điểm K BD cho DEK vuông cân

 Cách Nhận thấy BAD  45 , tia AD tia phân giác góc ngồi đỉnh A ABC, nên kẻ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB Dễ chứng minh EM EN Từ có lời giải. * Trình bày lời giải.

- Cách Trên đoạn BD lấy điểm K cho BK EA  1 Vì tam giác DAB vng cân D nên DKE vuông cân tại D, suy DKE   45 , đó: BKE  180  45 135; Mà EAF   45 90 135,

Nên BKE EAF  2

Mặt khác, KBE90  DEBAEF  3 (do BEF  90 ) Từ (1), (2), (3) suy ra: BKEEAFg.c.g

Từ EF EB.

- Cách Vẽ EM, EN vng góc với đường thẳng AC, AB. AME

 vàANEcó:AMEANE 90 ; MAE NAE45; AE cạnh chung

AME ANE

EM EN

  .

Mặt khác, AME ANE tam giác vuông cân, suy MEN   90 . BNE

 FME có: ENB EMF  90;

   90  

BEN FEM    FEN

; EN EM

BNE FME

   (cạnh huyền – góc nhọn)  EF EB.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vng A, có ABC  30 Chứng minh

1 AC BC

Giải

* Tìm cách giải Từ đề bài, suy Gợi cho liên tưởng tới góc tam giác Phân tích

kết luận

1 AC BC

, dễ dàng cho hai hướng suy luận:

 Hướng Tạo đoạn thẳng 2.AC, sau chứng minh đoạn thẳng BC Chú ý

 60

ACB  , nên dựng điểm D tia CA cho CD2.AC, sau chứng minh BC CD . Bài toán giải

 Hướng Tạo đoạn thẳng

2 BC, sau chứng minh đoạn thẳng AC Chú ý

 60

ACB  , nên gọi trung điểm M BC Sau chứng minh CM AC Bài toán giải

* Trình bày lời giải.

 Cách Dựng điểm D tia đối tia AC cho AD AC . ABC

 ABD có AD AC ; BAC BAD  90; AB cạnh chung, ABCABDc.g.c BCBD

BCD

 có ACB  60 , BC BD  BCD  BC CD Vậy

AC BC

 Cách Gọi M trung điểm BC ABC

 vuông A có M trung điểm BC, suy ra: MA MB MC  (theo ví dụ 10, chuyên đề 8).

MAC

 có MA MC , ACB  60 nên MAC tam giác đều, suy ra

AC MC Vậy

1 AC BC

* Nhận xét Đây tính chất thú vị tam giác vng đặc biệt Tính chất phát biểu như sau: Trong tam giác vng có góc 30, cạnh đối diện với góc 30 nửa cạnh huyền

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết

1 AM  BC

, chứng minh tam giác ABC vuông A.

Giải AMC

 có AM CM , nên AMC cân M  A C .

AMB

 có AM BM , nên AMB cân M  A1 B1

ABC

 có A B 2C1180

   

2 180 180

A A A A

       

 90 A

  .

Vậy tam giác ABC vuông A.

* Nhận xét Đây tính chất thú vị để nhận biết tam giác vuông. C Bài tập vận dụng

9.1 Cho hình vẽ bên Biết ABAC; AD AE BAD  60 Tính số đo góc CDE.

9.2 Tam giác ABC có B   80 điểm D cạnh AC Lấy E thuộc AB, F thuộc BC cho AEAD CF CD Tính số đo góc EDF .

9.3 Cho tam giác ABC vuông B AB BC   Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC AB lần

lượt D E Biết

 

5

DCE BCE 

Tính số đo ACB

9.5 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM BA; CN CA . Tính góc MAN.

9.6 Cho tam giác ABC nhọn Lấy D thuộc AC cho AB BD , lấy điểm E thuộc AB cho AC CE Gọi F giao điểm BD CE Biết BFC 150 Tính số đo góc BAC.

9.7 Tìm x hình vẽ sau:

9.8 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE .

a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân.

b) Kẻ BH AD H AD, kẻ CK AE K AE Chứng minh BH CK . c) Gọi O giao điểm BH CK Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao?

9.9 Cho tam giác ABC có B2.C Kẻ AH vng góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE BH . Đường thẳng EH cắt AC F Chứng minh:

a) FH FA FC . b) AE HC . 9.10 Cho tam giác



 90 

ABC BAC  

, đường cao AH Kẻ HI vng góc với AB, kẻ HK vng góc với AC Gọi E; F điểm cho I; K trung điểm HE HF Đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng:

a) AEAF;

b) HA phân giác MHN

9.11 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BCE Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh rằng:

a) AE BD . b) CMECNB.

c) Tam giác MNC tam giác đều.

9.13 Cho góc xOz  120 Oy tia phân giác xOz; Ot tia phân giác xOy M điểm miền trong góc yOz Vẽ MA vng góc Ox, MB vng góc Oy, MC vng góc Ot Chứng minh rằng:

OC MA MB  .

9.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AD AE Các đường thẳng vng góc kẻ từ A E với CD cắt BC G H Đường thẳng EH đường thẳng AB cắt M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH I Chứng minh rằng:

a) ACDAME; b) AGBMIA; c) BG GH .

9.15 Cho tam giác ABC với ABCACB36 Trên tia phân giác góc ABC lấy điểm N cho

 12

BCN   Hãy so sánh độ dài CN CA.

9.16 Cho ABC có tia phân giác góc B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Chứng minh BD CE DE  .

9.17 Cho ABC có M trung điểm BC Biết AM phân giác góc BAC Chứng minh rằng: ABC cân

Hướng dẫn giải

9.1 ABC AB AC   cân Đặt B C  ABD

 có ADC B BAD    60.

 

ADE AD AE

 

cân nên ADEAED

     60

AED CDE ADE CDE ADC

       

CED

 có AED C CDE   . Từ suy ra:

      60

C CDE CDE  AED CDE ADC  

 

2.CDE 60 CDE 30

         .

9.2 ABC có A B C 180 mà B 80  A C 100.

AED

 cân A

 

1

180

A

D  

 

CDF

 cân C

 

2

180

C

D  

  Suy ra:     360 130 A C D D      

Do D 50  EDF 50

9.3 AEC có ED đường trung trực AC nên dễ dàng chứng minh AEC cân E

 

DCE BAC

  mà BAC ACB 90  DCE ACB  90

Đặt   DCE BCE x     5 DCE x

  ; BCE2x

Suy ra: 5x 5x 2x 90  x 7,5

Do DCE  5.7,5 37,5 ; BCE  2.7,5  15  37,5 15 52,5

ACB

       .

9.4 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM AB Từ giả thiết suy MCBD  1

ABD

 AMD có ABAM ; BAD CAD ; AD cạnh chung

c.g.c

ABD AMD BD MD

    

 2.

AMD ACB

  (góc ngồi tam giác)  ABC2.ACB Mà ABC ACB 180 114 66 nên ACB  66 : 22  .

9.5 ABM BA BM   cân B

 180 

2 B AMB  

 

 

CAN CA CN

 

cân C

 180 

2 C ANC  

 

Suy ra:

  180  180  360 90 135

2

B C

AMB ANC             AMN

 có AMB ANC MAN  180. Suy 135 MAN 180  MAN 45. 9.6 Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có:

  

BFC BEF ABD  ;

  

BEF BAC ACE

     1

BFC ABD ACE BAC

   

ABD

 cân B nên ABD180  2.BAC. ACE

 cân C nên ACE180  2.BAC

Thay vào (1) ta có: BFC180  2BAC 180  2BAC BAC  Suy ra: BAC   70

9.7 AED có EAD EDA  40, nên tam giác cân. Suy AED 180  2.40 100.

AEB

 cân E, theo tính chất góc ngồi tam giác: AEC 2.B 4x. Suy 4x x 100, x  20 .

9.8

ABD

 ACE có ABAC; ABD ACE ; BD CE

c.g.c

ABD ACE AD AE ADE

      

cân

b) BHD CKE có BHD CKE  ; ADB AEC ; BD CE

BHD CKE BH CK

    

c) BHDCKE HBD KCE   OBC OCB   OBC cân O. 9.9.

a) BHE BH BE cân B  ABC2.BHE . Mà ABC2.C  C BHE 

 

C FHC CHF

    cân F

 1

FH FC

 

Ta có FHC FHA  90; CAH C  90 mà FHC C   FHA CAH FHA

  cân F  FA FH  2 Từ (1) (2), suy ra: FH FA FC .

b) Trên tia HC lấy HI HB AHBAHIc.g.c AB AI

  ABH AIH  AIH 2.C  1 Mà AIC có AIH C IAC    2

Từ (1) (2), suy ra: C IAC  2C  IAC C  IAC

  cân I  AI IC.

Từ suy AB IC mặt khác BE HI BH AB BE IC HI

    hay AE HC .

 

AIE AIH c g c AE AH

    

Tương tự, ta có: AKF AKH  AF AH  AEAF. b) AIEAIH  EAI HAI

AEM

 AHM có AEAH ; EAM HAM ; AM chung

 

AEM AHM c g c

  

 

AEM AHM

  .

Tương tự, ta có AHN AFN

 

AHN AFN

  .

Mà AEF cân A nên AEM AFN  AHM AHN. Suy HA tia phân giác MHN

9.11.

a) ACE DCB có AC DC ; ACE DBC  120 ; EC BC

c.g.c

ACE DCB AE BD

    

b) ACEDCB CEM CBN

CME

 CNB có CE CB ; CEM CBN ; EM BN

c.g.c

CME CNB

  

c) CMECNB

CM CN

  ; MCE NCB

    60

MCE NCE NCB NCE

     

 60

MCN MNC

     tam giác đều. 9.12 MLC ALN có AL LM ;

   60  

ALN MLC   MLN ; LN LC  MLCALNc.g.c

MC AN

  .

Chứng minh tương tự, ta có: MAN MLBc.g.c AN BL

 

Gọi E, I giao điểm MC với Oy; Ox. EOI

  Từ dễ dàng chứng minh OCEEKO OC EK

  .

Vẽ EH MA; EK OI.

Dễ dàng chứng minh được: MBEMHE

MH MB

 

OCE EKO EK OC

   

MA MB MA MH   HA EK OC  . 9.14

a) Ta có

ACD AME 90  ADC

; CAD MAE  ; ADAE

g.c.g

ACD AME

  

b) ACDAME ACAM  ABAM AGB

 MIA có: ABG MAI (đồng vị); ABAM ; BAGAMI (đồng vị)

 c.g

AGB MIA g

  

c) AG MH// (cùng vng góc với CD)

 

GAH IHA

  (cặp góc so le trong).

 

//

AI GH  GHA IAH (so le trong); AH chung, suy AGH HIAg.c.g

HG AI

  mặt khác AGBMIA AI BG

  Từ suy BG HG .

Vì ABC  36 nên

  180 36 72

2

BCD BDC      

Ta lại có DAC ABC ACB 36 36 72 (tính chất của góc ngồi)

   72 

BDC DAC

   

Suy tam giác ACD cân C CA CD  1 Xét tam giác BDN BCN có:

BN chung, BD BC CBN DBN nên suy BDNBCN c g c 

CN DN NCD

    cân N, lại có: NCD BCD BCN    72 12 60 NCD

  tam giác đều

 2 CN CD

 

Từ (1) (2), ta có: CA CN . 9.16 DE BC// nên I1B1; I2 C .

Mà B1B (giả thiết)

 

1

C C (giả thiết) suy ra: I1B 2; I2 C1.

Do DIB; EIC tam giác cân đỉnh D E. Nên DI BD; EI CE Vậy DE DI IE BD CE    . 9.17 Trên tia đối tia MA lấy D cho MD MA . - Xét ABM DCM có: MB MC (giả thiết);

 

1

M M (đối đỉnh); AM MD

do AMBDMCc.g.c nên AB DC ; A1D

Mặt khác A1A2 suy D A2 hay ACD cân C

AC CD AC AB

    Vậy ABC cân.

* Nhận xét Để chứng minh ABC cân ta chưa tìm cách trực tiếp để chứng minh cặp cạnh cặp góc nhau, vận dụng BM CM Vì vậy, việc kẻ thêm đường phụ điều cần thiết.

Dựng tam giác AMN (N B khác phía AC) Ta có MA MN Mặt khác,

  60 