Mô hình toán học trong sinh thái và môi trường

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN Ngành: Toán ứng dụng. Chuyên ngành: Toán học trong Sinh thái - Môi trường[r]

>ẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI

G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN• • • •

* * * * * * * * * * *

MƠ HÌNH TỐN HỌC TRONG SINH THÁI VÀ MƠI TRƯỜNG

Mathematical Models in Eco-systems and Environment

MÃ SÓ: QG- 06-02

CHỦ TRÌ ĐÈ TÀI:

G S T S N g u y ễ n H ữ u D , ĐHKH Tự nhiên CÁC CÁN B ộ THAM GIA:

- TS Nguyễn Minh Mần ĐH Mỏ - Địa chất PCN đề tài

- ThS Tổng Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên Thư ký

- TS Trịnh Tuấn Anh ĐH Sư phạm HN uv

- TS Lê Đình Định ĐHKH Tự nhiên uv

- CN Vũ Hảl Sâm ĐHKH Tự nhiên uv

- CN Nguyễn Trọng Hiếu ĐHKH Tự nhiên u v

H À N Ộ I - 2007

MUC LUC • •

Trang

Báo cáo tóm tắt tiếng Việt 3

Báo cáo tóm tắt tiếng A nh 6

Nội dung đề tài 9

Kết luận 18

Tài liệu tham khảo 19

Phụ lục I: Các báo liên quan đến đề tà i 20

Phụ lục II: Danh mục luận án, luận văn liên quan đến đề tài 98

Tóm tắt cơng trình NCKH cá nhân 106

Scientific Project 109

BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ T H ự C HIỆN ĐÈ TẢI QG-06-02

(Thời gian thực hiẹn 6-2006 đen 10-2007)

1 Tên đề tài:

MƠ HÌNH T O Á N HỌC TRONG SINH THÁI V À MÔI TRƯỜNG

Mathematical Models in Eco-systems and Environment 2 Mã số: QG-06-02

3 Lĩnh vực: Toán ứng dụng Hướng: Áp dụng Sinh thái-Môi trường

4 Chù nhiệm đề tài: GS TS Nguyễn Hữu Dư

5 Các cán phối hợp nghiên cứu:

- TS Nguyễn Minh Mần ĐH Mỏ - Địa chát PCN đề tài

- ThS Tống Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên Thư ký

- TS Trịnh Tuấn Anh ĐH Sư phạm HN u v

- TS Lê Đình Định ĐHKH Tự nhiên uv

-C N V ũ H ả lS ả m ĐHKH Tự nhiên u v

- CN Nguyễn Trọng Hiếu ĐHKH Tự nhiên u v

6 Mục tiêu nội dung nghiên cứu:

> Mục tiêu đề tài

1 Đề tài nhằm tập hợp lực luợng, gồm chuyên gia lĩnh vực Toán-Sinh sử dụng cơng cụ tốn học để nghiên cứu lý thuyết phát triển quần thể giải số toán đặt trình phát triển tự nhiên.

2 Việc hiểu biết động học quần thể mơ tả mơ hình chúng phát triển môi trường xác định ngẫu nhien se giúp cho giải thích số tượng tự nhiên giải số tốn liên quan đến sinh thái mơi trương ma tự nhiên xã hội đặt Cụ thể nghiên cứu toán ssu:

a) Nghiên cửu số vấn đề lý thuyết động học quần thể, tính ốn định mơ hình tốn học sinh thái môi trường.

b) Thiết kế chạy thử nghiệm số chương trình giải bài tốn liên quan đến thực tế lĩnh vực rừng ngập mặn cúm gà v.v

c) Tạo điều kiện tốt cho NCS học viên cao học ngành Toán- Sinh làm việc.

> Nội dung nghiên cứu

1 Nghiên cửu dáng điệu nghiệm trình phát triển lâu dài quần thể thú mồi chịu nhiêu ngâu nhiên.

2 Sự phát triển bền vững quần thể mô tả phương trình động học time-scale.

3 Nghiên cứu dáng điệu động học quần thể thú - mồi với mơ hình Modified Leslie - Gower Holling - Type II Schemes.

7 Các kết đạt được

> Kết nghiên cứu khoa học

1 Chỉ quần thể thú mồi (gồm có thú mồi) phát triển mõi trường ngẫu nhiên, thời gian dần vỏ cùng, sự biến động số lượng loài lớn số lượng loài dao động khoảng từ đến vô cùng.

2 Giả thiết số lượng cá thể lồi quần thể mơ tải phương trình động học time-scale, chúng tơi điều kiện để hệ ổn định theo xấp xỉ ban đầu, sau chúng tơi chuyển định lý tiếng Perron phương trình vi phân sang cho time - scale.

3 Nếu quần thể thú mồi mơ hình hóa mơ hình Modified Leslie - Gower Holling - Type II Schemes, ta điều kiện đẻ hệ phát triển bền vững, hệ ổn định phát triển tuần hoàn Các điều kiện này mạnh điều kiện có tác giả nghiên cứu trước.

4 Đã hoàn thành viết 01 sách “Lý thuyết độ đo” tiến hành thủ tục in ấn Cuốn sách dùng làm tài liệu giảng dạy cho đại học, cao học tài liệu chuyên khảo cho NCS ngành toán học, toán toán tin ứng dụng.

Các kết nghiên u đề tài đư ợ c thể 03 báo đăng tạp chí quốc té chuyên ngành 01 báo cáo h ộ i n g h ị quốc tế N hật Bản tháng năm 2007 thảo 01 sách.

> Kết đào tạo

1 Đề tài góp phần đào tạo nhiều cử nhân khoa học cử nhân khoa học tài năng, có sinh viên Trịnh Khánh Duy thủ khoa của Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2007.

2 Đã có 07 học viên cao học bảo vệ thành công luận văn khuôn khổ đề tài.

3 Đang đào tạo 06 học viên cao học khuôn khổ đề tài.

4 Đề tài hỗ trợ đắc lực cho 05 NCS khoa Tốn - Cơ - Tin học có tên sau đây:

• Hồng Thị Ngọc Yến • Vũ Hải Sâm • Phạm Văn Quốc,

• Trần Minh Ngọc • Tống Thành Trung.

5 Đề tài tổ chức 01 hội thảo “Mơ hình tốn học sinh thái, mơi trường”, Thái Nguyên, tháng năm 2007.

8 Tình hình tài đề tài

Đề tài cấp 60.000.000d hai năm 2006 2007 chi vào mục sau đây:

• Các báo, báo cáo khoa học: 28.000.000 đ

• Hội thảo Seminar khoa học: 22.600.000 đ

• Văn phịng phẩm, thơng tin liên lạc: 4.000.000 đ

• Quản lý sở: 2.400.000 đ

• Nghiệm thu đánh giá đề tài: 3.000.000 đ

Tổng cộng: 60.000.000 đ

(Sáu mươi triệu đồng) Chủ trì đề tài

XÁC NHẠN CỦA BAN CHỦ NHIỆM KHOA

GS TS Nguyễn Hữu Dư XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

•» ■

BREIF REPORT ON THE PERFORMANCE OF THE PROJECT QT-06-02

(From 6-2006 to 10-2007)

1 Title of Project:

MATHEMATICAL MODELS IN ECO-SYSTEMS AND ENVIRONMENT 2 Code of Project: QG 06-02

3 Banch: Mathematics Speciality: Biomathematics

4 Head of research group: Ph.D Prof Nguyen Huu Du 5 Participants:

University of Mining&Geology Deputy head

University of Hanoi Pedagogy Member

University of National Economy Secretery

VNU-Hanoi Member

VNU-Hanoi Member

VNU-Hanoi Member

Ph.D Nguyễn Minh Mần Ph D Trinh Tuan Anh MSc Tong Thanh Trung Ph D Le Dinh Dinh BA Vu Hai Sam

BA Nguyen Trong Hieu

6 The aim and content of the project: > The aim o f the p ro je ct

1 To find a buget and gather a group of experts in mathematical modeling for ecosystems and environment in order to investigate some mathematical modelings describe the evolution of a population in an ecosystem under the effect of deterministic or random environment.

2 Throughout this investigation, we can explain some nature phenomens and can solve some practical problems posed during the development of the economy and sociality Concretelly:

a) Carry out some theorical studies like the dynamic behavior, stability property of a population consisting of two competative species or a prey-predator system.

b) Setup a model for the growth of mangrow in south of Vietnam or the birth flu disease Design an algorithm to find the numerical solution.

c) Create a good working conditions for Ph.D and master students of Bio-mathematics.

> The content o f the p ro je ct

1 We study the assymptoctic behavior of a prey-predator system under the effect of random factors It is shown that as the time tends to infinity, the dynamics of systems are very chaotic.

2 We investigate the dynaics of some populations on the time-scale. 3 To learn about the dynaics of prey-predator population of modeling

of Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes. 4 Complete a book of “Measure and Integral” and submit it for

publishing.

7 Main results of the project > S cientific results

1 We study the assymptoctic behavior of a prey-predator system under the effect of random factors It is shown that as the time tends to infinity, the dynamics of systems are very chaotic.

2 Suppose that the quantity of the species of a population discribes by a dynamic equation on time-scale We prove the stability by the first approximation and prove a Perron theorem type for time-scale.

3 !f a prey-predator population is modeling by Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes We give some conditions ensuring the persistence, stability of population and the existence of a periodic solution.

4 Complete a book of “Measure and Integral” and submit it for publishing at the Publishing House of Vietnam National University, Hanoi This book can be used for Ph.D or master students of mathematics, mechanics.

The researching results are realised under the form o f papers p ublished in in te rn a tio n a l jo u rn a ls and one re p o rt a t in te rn a tio n a l conferences, March 2007 in Japan.

> E ducational and training results

1 Many undergraduate students have finished their study under the support of this project.

2 There are 07 master students who have finished their thesis under the

support of this project.

3 The project has been supporting to the Ph.D students of mathematics. • Hoang Thi Ngoc Yen, • Vu Hai Sam • Pham Van Quoc,

• Tran Minh Ngoc • Tong Thanh Trung.

4 The prpect has suppoted for a conference “Mathematical Models in Biology and Invironment’, organized at Thai Nguyen, April 2007. 8 Bugets

The project has been sponsored 60.000.000VND in two years 2006 and 2007 This fund covers the following iterms:

1) Sponsors for research publications: 28.000.000 đ

2) Sponsors for scientific seminar and symposium: 22.600.000 đ

3) Office stationary, commumnication, information: 4.000.000 đ

4) Project management: 2.400.000 đ

5) Project evaluation: 3.000.000 đ

Total: 60.000.000 đ

MỞ ĐÀU

Việc đưa kiến thức trường đại học phục vụ cho công đổi hiện mục tiêu chiến lược quan trọng giáo dục đại học Việt Nam Toán học ngành khoa học nên phát triển theo hướng đó.

Trong năm vừa qua, kinh tế quốc dân phát triển nhanh chóng Sự phát triển nhanh chóng đó, đặc biệt công nghiệp mang lại sự phồn vinh cho đất nước đồng thời đặt nhiều thách thức, nhiều toán lớn cho môi trường tự nhiên - xã hội Các tác động sự phát triển kinh tế công nghiệp lên môi trường rát mạnh mẽ theo chiều hướng tích cực lẫn tiêu cực: bên cạnh hệ thống giao thông cải tiến, kênh rạch ý cho thơng thống hơn, đường xá thi cịn có yếu tố tiêu cực khác khu rừng bị tàn phá, tình hình nhiễm khơng khí nguồn nước ngày nghiêm trọng Những tác động xấu kéo theo biến động to lớn hệ sinh thái Việt Nam, đặc biệt kéo theo thay đổi số lượng chất lượng loài Việc tìm hiểu biến động loài hệ sinh thái vấn đề hết sức quan trọng cấp bách.

Vì đăng ký đề tài đặc biệt để tập hợp lực luợng, gồm chuyên gia lĩnh vực Tốn-Sinh, tạo nguồn kinh phí cho việc nghiên cứu số mơ hình tốn học mơ tả phát triển loài hệ sinh thái môi trường xác định mơi trường ngẫu nhiên Các mơ hình giúp cho giải số toán liên quan đến sinh thái môi trường mà tự nhiên xã hội đặt ra.

Một tốn quan trọng sinh thái-mơi trường nghiên cứu dáng điệu số lượng cá thể hệ khoảng thời gian tâu dài Trong tiến trình phát triển mình, vải lồi hệ bị diệt vong nhưng số lượng lồi tiến tới trạng thái cân đó Việc biết thơng tin giúp cho nhà hoạch định chiến lược đưa ra sách đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa những sách kịp thời để đảm bảo cho phát triển bền vững môi trường.

Sự phát triển hệ phức tạp lên nhiều có tham gia các yếu tố ngẫu nhiên khí hậu, di nhập cư

Mục tiêu đề tài đưa kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận hệ sinh thái mô tả phương trình vi phân

Voltera mơi trường ngẫu nhiên phương trình vi phân Lotka- Volterra chịu nhiễu ồn thực, òn trắng mơ hình tất định.

Đề tài QG 06-03 thực từ tháng năm 2006 đến tháng 10 năm 2007 giải số vấn đề như: Chỉ quần thể thú mồi (gồm có thú mồi) phát triển môi trường ngẫu nhiên, thời gian dần vô cùng, biến động số lượng loài lớn số lượng lồi dao động khoảng từ đến vơ Giả thiết số lượng cá thẻ lồi quần thể mơ tải bời phương trình động học time-scale, chúng tơi điều kiện đẻ hệ ổn định theo xấp xỉ ban đầu, sau chúng tơi chuyển định lý tiếng Perron phương trình vi phân sang cho time -scale Nếu quần thể thú mồi mô hình hóa mơ hình Modified Leslie - Gower and Holling - Type II Schemes, ta điều kiện đề hệ phát triẻn bền vững, hệ ổn định phát triển tuần hoàn Các điều kiện mạnh điều kiện đâ có của tác giả nghiên cứu trước Trong khuôn khổ trợ giúp đề tài, chúng tơi đâ hồn thành viết 01 sách “Lý thuyết độ đo” đang tiến hành thủ tục in ấn Cuốn sách dùng làm tài liệu giảng dạy cho đại học, cao học tài liệu chuyên khảo cho NCS ngành toán học, toán toán tin ứng dụng.

Các kế t nghiên cửu đề tài đư ợ c thể 03 báo đăng tạp ch í quốc tế chuyên ngành ịxem tài liệu tham khảo [1,2,3]) 01 báo cáo h ộ i n g h ị quốc tế Nhật Bản tháng năm 2007 (tài liệu tham khảo [4]) thảo 01 sách.

Chương 1.

ĐỘNG LỰC CỦA HỆ THÚ MỒI TRONG MÔI TRƯỜNG NGÃU NHIÊN Trước hết, xét hệ sinh thái gồm có hai lồi, lồi thứ nhất mịi lồi lại Chúng ta giả thiết hệ phát triển trong hai chế độ khác môi trường chuyển đổi chế độ tuân theo trinh trình Markov bước nhảy Như vậy, gọi x (t) y {t) số lượng tương ứng tương ứng loài mồi lồi thú chúng mơ tả phương trình Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực

x (0 = x (t)(a (ệ (t)) - b ( ệ ự ) ) y ( t) ị

Trong ệ (t) trình markov hai trạng thái, lấy giá trị tập {+,-} Quá trinh ậ (t) đóng vai trò chuyển đổi hai hệ tất định

[ỳ { t) = y { t ) { - d { + ) + f ( + ) x { t ) \ ( a>

và

x {t) = x ( t ) { a { - ) - b { - ) y { t ) )

(2b) [ỳ{t) = y { t ) { - d { - ) + f { - M O )

Được biết môi trường tất định, hai loài phát triển theo quy luật tuần hồn Vậy tốn đặt với hệ số ngẫu nhiên vậy, dáng điệu quỹ đạo hệ nào.

Để trả lời câu hỏi này, ta tiến hành phân tích mối quan hệ hai hệ tất định (2a) (2b) Chúng ta sau lần chuyển đổi vị trí thích hợp, quỹ đạo hệ nở Cụ thể chứng minh được định lý minh họa sau:

Ký hiệu

r, < r < • • • < Tn <

là thời điểm nhảy trình ệ (t) và

(Tq = 0; <T0 - T2 ~ T]; ■ • *, n = Tn ~ T n_\ là thời gian chờ đợi.

Đặt

z(i) = (x(Ti),y(Ti))

là vị trí thời điểm nhảy Ta xây dựng dãy thời điểm dừng

Ầị =inf{2k: z(2k) eH} Ẳ2 =inf{2k>/Lị: z(2k) eH}

Ả" = inf{2k>Ắn I: z(2k) e H}

Khi đó,

Định lý: Với só nguyên m>0, biến cố

c k = l Ầ + G ( A T ( Z( Ă ) ’T ( Z( Ầ k ) + +2 e ( T ( ( ^ + ) , T ( z ( A * + 1) + t * ) )

W +m-l),Tm (z(A*+m-l) + t*)}U U=oo}

xuất vô hạn lần với xác suất 1.

Vì vậy, định lý cho biết, nhờ tính chất q trình markov, ta thực loạt chuyền đổỉ vị trí thích hợp quỹ đạo khỏi tập compact Việc khỏi tập compact chứng tỏ môi trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hỗn loạn chúng chứng minh rằng

limsupx(/) =00; liminfx(7)=0

limsup^(0 = °°; liminf>'(/)=0

Nhìn vào hình ta tháy số lượng lồi trở nên nhỏ bé, trở nên lớn hệ không phát triển bền vững Cũng mô hinh cạnh tranh đâ nghiên cứu, hệ thú mồi mơi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo dao động phức tạp số lượng các loài dao động diệt vong (mức 0) bùng nổ (mức vô cùng) thực tế hệ có nguy bi tiêu diệt.

Hiện tiếp tục nghiên cứu mô dáng điệu hệ mô tả phương trình:

Ị x(t)=xự)(a(m - b ( m m - c(ỉ(t))y(0)

Việc mô tả kỹ thuật số hệ (3) ổn định tồn tập hút và tập đẩy Vì thời gian tới, tập trung để giải vấn đề Các kết đăng chi tiết tài liệu tham khảo [1],

Chương

ĐỘNG LỰC CỦA QUẰN THẾ TRÊN TIME-SCALE

Việc nghiên cứu phương trình động học thang thời gian chứng tỏ phù hợp với thực tế Thật vậy, phát triển cá thể tùy thuộc theo thời kỳ, thay đổi sau khoảng thời gian cố định (như sau kỳ ngủ đông chẳng hạn) sau phát triển liên tục (thí dụ

gặp kỳ thời tiết thuận lợi) Vì chúng tơi nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trinh động học time-scale.

Lý thuyết động học time-scale đưa vào năm 1988 bởi Stefan Hilger Một time-scale lả tập đóng R Chúng ta có thẻ dẫn định nghĩa đạo hàm tích phân time-scales Hàm mũ được định nghĩa nghiệm phương trình

x A (t) = q(t)xự); *(0) = 1. Xét phương trình

x ^ ( t ) = F(t,x(t)); *(0) = JC0 e M" (4)

Định nghĩa: Nghiệm tầm thường x=0 phương trình (4) gọi ổn định mũ nếu tồn hàng số K m cho

\x {t ) \ <Ke_m(t)\x{Qi)\. 2.1 ỏ n định v i nhiễu nhỏ

Định lý sau với nhiễu Lipchitz đủ nhỏ, hệ ổn định phần tuyến tính ổn định.

Định lý: Nếu hệ

x A (t) = Aự)x(t); x(O) = x0e i r (5)

\ f ( t , x ) \ < L\x\; V xeR ". Thì nghiệm tầm thường hệ

x A (t) = A(t )xự) + x(0) = x0 eK n (6)

sẽ ổn định mũ.

2 Định lý Perron Xét phương trình

x A (t) = Ả(t)x(t); x(O) = x 0e R n (7)

y {t) = A{t)y{t) + h{tỵ y{Q) = x^TR.n (8)

Định ỉý: Nếu hệ (7) ổn định mũ với hàm h() E B C d(TT), nghiệm

của phương trình (8) bị chặn. Ngược lại có định lý sau

Định lý: Nếu với hàm h() e B C jC IT), nghiệm (8) bị chặn hệ thuần (7) ổn định mũ.

Áp dụng vào toán sinh thái: hệ có n lồi Giả sử

x(t) = (Xj(t), x2(t), sxn(t)) số lượng loài thời điềm t Giả sử các

loài tương tác với theo phương trình động học trẽn time-scale (7) và ta giả thiết thêm hệ ổn định mũ Khi đó, h(t) cường độ nhập di cư loài thời điểm t Khi số lượng lồi

yCO = (yj(t), y2(t), ,yn(t))

tại thời điểm t tn theo phương trình (8) Định lý nói với nếu cường độ nhập hay di cư h(t) giới nội số lượng cá thể hệ cũng giới nội.

Các kết đăng chi tiết tài liệu tham khảo [2].

Chương 3.

ĐỘNG LỰC CỦA QUÀN THẺ THÚ MỒI MODIFIED LESLIE - GOWER VÀ HOLLING- TYPE II SCHEMES

Xét hệ sinh thái có hai loài quan hệ với theo kiểu thú-mồi Khác với mục trước, giả thiết hệ phát triển môi trường tất định.

Gọi xự ) y ự ) số lượng tương ứng loài mồi loài thú chúng mơ tả phương trình Modified Leslie - Gower Holling - Type II Schemes

x(t) = x(0(a(t ) - b{t)x{t) - c(t, x(t))y(t))

ỳ(0 = y(t){d{t) - e(Oxự ị l k) (1}

Hàm c(t,x) gọi hàm đáp ứng kiểu Bendison de Angelis Nó mơ tả khả bắt mồi thú thời điểm ị Mơ hình dẫn vào

đầu tiên Leslie(1960) Từ đó, quan tâm nhiều tùy thuộc theo dạng hàm c (t,x ) mà người ta phân loại thành mơ hình M.A.A Alaoui M.D Okiye's đề cập đến mô hình kiểu 2

x(t) = x(t)(a - bx{t) - y { )

*

ỳ ự ) = y ự ) ( d - e - Ệ L - )

và với điều kiện điểm cân dương (x*,y*) ổn định tiệm cận Tuy nhiên sau phân tích chúng tơi ra điều kiện M.A.A Alaoui M.D Okiye's khơng hợp lý khơng có tham số thỏa mãn điều kiện Do công việc chúng đưa điều kiện thực tế đẻ đảm bảo cho tính bền vững phát triển ổn định hệ Hơn xét cho hệ phụ thuộc theo thời gian đưa điều kiện để tồn quỹ đạo tuần hồn. 3.1 Tính bền vữ ng hệ thú m ồi

Xét hệ biến thiên theo thời gian

(9)

m = y m r ’ - « Ị k )

Với hệ số lả hàm liên tục xác định R, bị chặn bởi số dương.

Hệ gọi bền vững tồn tập compact H chứa IR2 số t0 cho (x (í,^ (? )) e H V tữ.

Chúng ta đưa giả thiết sau

l i m i n g [r,(t)-|i^M 2*]>0 (A1)

Định lý: Giả sử điều kiện (A1) thỏa mãn Khi hệ (9) phát triển bền vững.

3 Ồn định tiệm cận

Định nghĩa: Hệ (9) gọi ổn định tiệm cận toàn cục hai nghiệm dương (9) thỏa mãn đánh giá

l i m t ^ ( | X j ( t ) - x2 ( t ) | + | y J ( t ) - y ( t ) | ) =0

Chúng ta có định lý sau đây

Định lý: Giả sử điều kiện (A1) thỏa mãn, ta có điều kiện sau

lim in f' - ” [b' (t^ õ ^ § ĩ j F + ( ^ ậ ĩ ) F ) M ; *]> (A2)

liminf' — [ (M,*a+k2)(t))i '( m Z + k 'W ]> °

Khi đó, hệ (9) ổn định tiệm cận. 3 Sự tồn nghiệm tuần hoàn

Định lý: Giả sử điều kiện (A1) - (A2) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử hệ số hệ (9) hàm tuần hồn có chu kỳ T Khi hệ có một nghiệm tuần hoàn ổn định tiệm cận.

3 Thí dụ m inh họa

' m = * ( ( - X ( ) ~

ýự) = y(»(0A - c- ^ ệ ^ y ự ) )

Kết sổ hình sau minh họa tồn nghiệm tuần hoàn ổn định hút nghiệm khác.

Như vậy, với những điều kiện định, chứng minh hệ

thú mồi với Modified Leslie - Gower vả Holling - Type II Schemes phát triển trường tòn Hơn nữa, chúng phát triển ổn định Điều nói lên rằng, thời điểm định, hệ bị tác động yếu tố ngẫu nhiên,

1 7

£ A l A - A r , T P U N G Ĩ - V - T r4 *Mi ; • f ' ; I

dù có xác suất diệt vong, trung bình phát triển bền vững.

Các kết đăng chi tiết tài liệu tham khảo [3]

KÉT LUẬN

Với nguồn kinh phí cấp đề tài đề cương đề ra, tập hợp lực lượng đông đảo gồm nhà nghiên cứu ứng dụng toán học trẻ đội ngũ học viên cao học, nghiên cửu sinh để nghiên cứu một số mơ hình tốn học sinh thái mơi trường Có ba mơ hình chính giải mơ hình thú mồi mơi trường ngẫu nhiên, mơ hình động học time-scale, mơ hình thú mồi có hàm đáp ứng kiểu Modified Leslie - Gower Holling Các kết luận từ mơ hình nói lên rằng môi trường, ché độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu như chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi cách ngẫu nhiên sớm hay muộn có lồi bị diệt vong, Tuy nhiên tính mặt trung bình từng thời điểm mơ hình phát triển bền vững Các kết luận đóng vai trị quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Nó giúp cho nhà đầu tư

hoach định chiến lược để kịp thời can thiệp vào hệ nhằm khai thác tối ưu hệ và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.

TÀI LIỆU THAM KHÀO

Các kết nghiên cứu đề tài thể báo báo cáo khoa học sau:

[1] N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey

systems described by a Lotka-Volterra equation under random

environment, in tạp chi Journal of Mathematical Analyse and Applications, 323 (2006) 938-957.

[2] On the Exponential stability of Dynamic Equations on Time Scales, J Math Anal Appl 331(2007), pp 1159-1174.

[3] N.H Du, N.M.Man and T.T.Trung Dynamics of Predator-Prey Population with Modified Leslie - Gower and Holling - Type II Schemes, J Acta Mathematica Vietnamica, 99, vol 32, Number 1(2007), 99-111.

[4] Plenary talk at "Internatinal Symposium on Dynamical Systems Theory and Its Applications to Biology and Environment, Japan 2007”: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment.

[5] Talk at Danang Conference on Environment: “Dynamics of Predator-Prey Population with Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes" Danang September 27-28, 2007.

[6] M.A.Aziz-Aloui and M.Daher Okiye, Boundedness and Global stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie - Gower and Holling - Type II Schemes, Applied Mathematics Letters, 16,(2003)1069-1075

[7] B M Levitan, V V Zhivkov, Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Uni Pub House 1978.

[8] Qian Wang, Meng Fan and Ke Wang, Dynamics of a class of non autonomous semi-ratio-dependent predator-prey system with functional responses, J Math Anal Appl., 278 (2003) 433 - 471.

[9] MiklV{o}s Farkas, Periodic Motions, Applied Mathematical Sciences, Volume 104, (1994)pp578.

E L S E V IE R

Available online at www.sciencedirect.com

' * 0* ScienceDirect

J M ath Anal Appl 323 (2006) 938-957

ỹ*tnntdịj/'

MATHEMATICAL ANALYSIS A N D A P P L IC A T IO N S

w w w elseviercom /locate/jm aa

Evolution o f predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random

environment

Y Takeuchi3 *, N.H D u b , N.T Hieu b, K S a to a

1 D epartm ent o f System s Engineering Schizuoka University, H am am alsu -8 Ỉ, Japan k Faculty o f M athem atics, M echanics and Informatics, H anoi N ational University,

334 Nguyen Trai, Thanh Xuun, Hanoi Vie! Nam

Received 16 May 2005 Available online D ecember 2005

Subm itted by H R Thieme

Abstract

In this paper, we consider the evolution of a system composed of two predator-prey deterministic systems described hy Lotka-Vollerra equations in random environment, il is proved thal under the inllucncc nl telegraph noise, all positive trajectories of such a system always go out from any compact set of int with probability one if two rest points of Ihe two systems not coincide In case where they have the rest point in common, the trajectory either leaves from any compact set of intlR^ or converges to the rest point The escape of the trajectories from any compact set means that the system is neither permanent nor dissipative © 2005 Elsevier Inc All rights reserved

Keywords: Loika-V ollerra equation; Predator-prey model; Telegraph noise

1 Introduction

U n d e r s t a n d in g d y n a m i c a l r e l a tio n s h ip b e tw e e n p o p u la t i o n s y s te m s w ith th e r a n d o m fa ctors o f e n v ir o n m e n t is a c e n tr a l g o a l in ecolo gy R a n d o m n e s s o r s t o c h a s ti c ity p la y a vital ro le in the

' Corresponding author

E-m ail address: iakeuchi@ sys.cng.shizuoka.ac.jp (Y Takeuchi).

1 This work was done while ihe author was in Shizuoka University under I he support o! ihc G rund-in-A id lor Scientific Research (A) 13304006

0022-247X /S - see front m atter © 2005 Elsevier Inc All rights reserved doi:IO IO I6/j.jm aa 2005 I 1.009

àO-Y Tukeuchi el a i / J Math Anal A ppi 373 12006) 93X-957

d y n a m i c s o f an e c o lo g i c a l s y s te m a n d the variation o f r a n d o m fa ctors can caube s h a r p c h a n g e s in it T h is p a p e r is c o n c e r n e d with the stu d y o f tr a je c to ry b e h a v io r o f L o tk a - V o lt e r r a p r e d a t o r - p re y sy s te m u n d e r th e te le g r a p h noises It is w ell k n o w n th at f o r a p r e d a t o r - p r e y L o tk a - V o lt e r r a m o d e l

i x ( t ) = x ( t ) ( a - b y { t ) ) ,

[ y ( t ) = y ( t ) ( - c + d x ( t ) ) ,

w h e r e a, b, c a n d d are p o sitiv e co n s t a n ts , i f there is n o in f lu e n c e fro m e n v i r o n m e n t , th e p o p u ­ lation d e v e lo p s p e rio d ic a lly [8,9,16], H ow ever, in pra c tic e , the e ffect o f r a n d o m e n v ir o n m e n t or o f se a s o n a l d e p e n d e n c e m u s t b e ta k e n into a c c o u n t U p to th e p re s e n t, m a n y m o d e ls re veal the effect o f e n v ir o n m e n ta l v ariability on the p o p u la iio n d y n a m i c s in m a t h e m a t ic a l e c o lo g y In [10] L evin did p io n e e r in g w o rk , w h e r e he first c o n s i d e r e d an a u t o n o m o u s tw o s p e c ie s p r e d a t o r - p r e v L otka-V olterT a d is p e rs a l s y s te m a n d s h o w e d th at th e d is p e r s io n c o u ld d e s t a b il iz e d the sy s te m E s p e c ia lly a g re a t e ffo rt h a s b e e n e x p e n d e d to find the p o ss ib ility o f p e r s is t e n c e u n d e r the u n p r e ­ d ic ta b le o r th e r p r e d ic ta b le (s u ch as s e a s o n a l) e n v ir o n m e n ta l flu ctu atio n s [ - , , - ] ,

T h e nois e m a k e s in f lu e n c e s on an e c o lo g ic a l s y s te m by v ario u s ways B y the c o m p l e x it y o f sto c h a stic m o d e ls , w e are lim ited on c o n s id e r in g a sim p le c o l o r nois e, say te le g p h noise T h e te leg rap h no is e can be il lus trated as a sw itc h in g b e tw e e n tw o r e g i m e s o f e n v ir o n m e n t , w h ic h d iffer by e le m e n ts s u c h as the nutrition o r as rain falls T h e c h a n g in g is n o n m e m o r i e s a n d the w a itin g ti m e fo r the nex t c h a n g e has an e x p o n e n ti a l d is trib u tio n U n d e r d if fe re n t re g im e s , the intrinsic g r o w th rate a nd interspecific coefficient o f (1.1) are dif ferent T h e r e f o r e , w h e n r a n d o m factors m a k e a s w it c h in g b e tw e e n th es e d e te r m i n is tic s y s te m s , it s e e m s that the b e h a v io r o f the s o lu tio n is r a th e r c o m p l ic a t e d B y intuition, w e see that th e b e h a v io r o f th e s o lu tio n o f a p e rtu rb e d s y s te m can in h er it s i m u l ta n e o u s l y the g o o d situation a n d th e b a d situation In a view o f e c ology, th e b a d th in g h a p p e n s w h e n a sp e c ie s d is a p p e a rs a n d a g o o d situ a tio n o c c u r s w h e n all sp e c ie s c o -e x is t and th e i r a m o u n t o f q u a n ti ty in c r e a s e s o r d e v e lo p s p erio d ically

S la tkin [15] c o n c e n t r a te d on a n a ly z in g a clas s o f m o d e l s o f single p o p u la t io n w h ic h g ro w s u n d e r this k in d o f te l e g r a p h nois e, a n d o b ta in e d the g e n e r a l c o n d it i o n s fo r e x tin c tio n or p e r s i s ­ tent fluctu ations In ihis paper, w e c o n s i d e r the b e h a v io r o f a tw o - s p e c ie s p o p u la t io n , d e v e lo p in g u n d e r tw o d if f e r e n t c o n d i t io n s o f e n v ir o n m e n t U n d e r e a c h c o n d itio n , th e q u a n tity o f sp e c ie s satisfies a d e te r m i n is t ic c la s s ic a l p r e d a t o r - p r e y eq u a tio n w h ic h IS c o n n e c t e d to the o th e r by t e l e ­ g p h noise It is p r o v e d that u n d e r the influ ence o f te le g p h nois e, all p o s itiv e tr a je c to rie s o f s u c h a s y s te m a lw a y s exile f r o m an y c o m p a c t set o f i n t K ^ = (<;r, v): X > 0, V > 0) w ith p r o b a ­ bility o n e if tw o rest p o in ts o f tw o thes e d e te r m i n is tic s y s te m s d o not c o in c i d e Jf th es e tw o rest p o in ts c o in c i d e a n d if th e q u a n titie s o f p o p u la t io n d o not c o n v e r g e io the c o m m o n rest point, the q u a n ti ty o f e a c h s p e c i e s o s c illa te s b e tw e e n a n d 0 T h a t e x p la in s w h y the p o p u la tio n o f a n d o m e c o - s y s te m v aries co m p lic a te d ly

T h e p a p e r is o r g a n i z e d as follow s S e c tio n su r v e y s s o m e n e c e s s a r y p r o p e r tie s o f tw o - s ta te M a r k o v p r o c e s s , say “ te le g r a p h nois e.” S e c tio n d eals w ith c o n n e c t io n s o f tw o d e te r m in is tic p r e d a t o r - p r e y s y s te m s In S e c tio n 4, it is s h o w n that, i f th e rest p o in ts o f tw o th e s e d e te r m i n is tic s y s te m s d o n o t c o i n c i d e , all tr a je c to rie s o f the s y s te m p e r t u r b e d by te le g r a p h n o is e a lw a y s leave fro m a ny c o m p a c t set in i n t R + In c ase tw o d e t e r m i n is tic s y s te m s h av e th e rest p o in t in c o m ­ m o n , e it h e r th e tr a je c to r y o f a r a n d o m p r e d a t o r - p r e y s y s te m c o n v e r g e s to th e c o m m o n rest p o in t o r it leave s fr o m a n y r e c t a n g le in i n t R ị T h e s e p r o p e r tie s im p ly that su ch a s y s te m is n e it h e r p e r m a n e n t n o r d is sip a tiv e

-940 Y Takeuchi et a i / J Math Anal Appl 323 (2006) 938—957

2 Preliminary

L e t IP) b e a p r o b a b ility sp a c e satisfy in g th e usual h y p o th e s e s [14] and ( Í , ) , ặ0 be a M a r k o v p ro c e s s , d e fin e d on {Í2, T , IP), ta king valu es in the set o f tw o e le m e n ts , say £■ = {1,2}- S u p p o s e th at (Ệ,) h a s th e tr a n s it io n intensities 2+ a n d ] w ith a > 0, ft > T h e p r o c e s s {£,) has th e p ie c e - w i s e c o n s t a n t trajectories S u p p o s e that

0 = ro < ĩ | < T2 < • < Tft < (2.1)

are its j u m p tim es P ut

Ơ] = I] — ro, ơ2 = T2 ~ T ì ơ„ = r n — r „ _ i , — (2 2)

T h e n <7 | = ri is the first ex ile fro m the initial state £o* °2 is the tim e d u tio n tha t the p ro cess

(ệi) s p e n d s in ihe s e c o n d Slate inlo w h ic h ii m o v e s fr om the iirsi slate a nd s o fo rth It is k n o w n

that th e se q u e n c e (ơ*)*= i is an in d e p e n d e n t r a n d o m v a ria b le s w h e n a s e q u e n c e )" _ ! is given (see [6, vol 2, p 217]) N o te th at if £o is given, then £r„ is co n stant, since the p ro c e s s (£,) takes o n ly tw o values H e n c e , ( * ) ° L | is a s e q u e n c e o f c o n d itio n a lly i n d e p e n d e n t r a n d o m v ariables, valued in [0, oo] M o r e o v e r , if £o = 1, th en Ơ2n+ has the e x p o n en tial d e n sity a l [0 n o )e x p (—Qfi) a nd Ơ2n has the d en sity oo )ex p ( — fi t)- C onversely, if £o = 2, then Ơ2„ has th e ex p o n en tia l d e n sity a 1|0 00) ex p { —Of/), and Ơ2n+Ì has the density ^ 1[0 oo) e x p ( —p i ) (see [6 , vol 2, p 217])

H ere [0 00) = f ° r 5? ( = for t < 0)

D e n o te Tq = ( r * : k ^ n ) \ = ( r * - r„: k > n ) It is e a s y to se e th at = a ( * :

k ^ n) T h e r e f o r e , -Fq is in d e p e n d e n t o f T ™ for any n e N u n d e r th e c o n d itio n th at £o is given.

We c o n s i d e r a p r e d a t o r - p r e y sy s te m , consistin g o f tw o sp e c ie s u n d e r a r a n d o m e n v ir o n m e n t S u p p o s e that the q u a n tity X o f the pre y a nd the q u a n tity y o f the p r e d a t o r are d e s c r ib e d by a L o tk a - V o lt e r r a e q u a tio n

w h e r e g : E —► R + \ {0} fo r g — a, b, c, d.

In the c a s e w h e r e th e n o is e (£,) in terv en es virtually into Eq (2.3 ), it m a k e s a s w it c h in g b e ­ tw e e n the d e te r m in is tic s y s te m

a n d a d e te r m in is tic o n e

\ x2[ t ) = x2{ t ) ( a (2) - b ự l ) y i ( t ) ) ,

I ỷ i i t ) = y i ( t ) ( —c (2 ) + d { ) x i { t ) ) (“ ' 5)

S in ce Ệ(t ) takes va lu e s in a tw o - e l e m e n t set £ , ií the so lu tio n oi (2 ) s atislies Eq, (2 ) on the interval ( r „ _ | , T„), th en it m u s t sa tisfy Eq (2.5) on th e in terval ( r „ , r „ + i ) a nd vice versa T h e r e f o r e , (.* ( r „ ) , >'(T„)) is th e s w it c h in g p o in t w h ic h p la y s the te r m in a l p o i n t o f o ne s y s te m a n d s i m u l ta n e o u s l y th e initial c o n d itio n o f the other T h u s , the r e l a ti o n s h ip o f tw o s y s te m s (2.4) a n d (2.5) will d e t e r m i n e th e b e h a v i o r o f all tr ajecto ry o f Eq (2.3)

3 An analysis of inter-connections between two deterministic p r e d a t o r - p r e y systems

F or the s y s te m (1 1) it is s e e n th at ( p ) = ( c / d a / b ) is its u n iq u e p o sitiv e rest point Let

t'( x , y) = a { x - p ln r) + V - q l n > \ (3.1)

X = x { a ( Ệ , ) -

V = >’( - c ( i f ) + d ( ỉ f ) ĩ ) (2.3)

i ] ( = * l ) ( a O ) - *{1)^1 ( )

Y Takeuchi el ai. / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957 941

with a = d / b b e a first in tegral o f (1.1) B y a s im p le c a lc u la tio n , w e s e e that all integ ral c u rv e s o f (1 ) in th e q u a d n t in tR ^- = {(■*< y ): * > , y > } are clo s e d and the c u rv e p a ss in g th ro ug h the p o in t (jco >o) is g iv e n b y th e a lg e b r a ic e q u a tio n

v ( x , y ) = v( xo, yo) - 0 - )

O n e a c h in tegral c u r v e k , th e p o in ts w ith th e s m a ll e s t o r b ig g e s t a b s c is s a are the in tersec tion p o in ts o f X w ith th e h o r iz o n ta l straight line y = a / b W e call th e m th e h o ri z o n ta l p o in ts o f Ằ and d e n o te th e ir a b s c i s s a re s p e c ti v e ly by jr*in a n d A t a h o riz o n ta l po in t, th e ta n g e n t li ne to the

k is p ara llel to y - a x i s Sim ilarly, th e p o in ts on Ằ th a t have th e s m a lle s t o r b ig g e s t o rd i n a te are the

in tersec tio n p o in t s o f X w ith th e vertical s a ig h t line X = c / d W e call th e m v ertical po in ts an d d e n o te th e ir o r d in a te re s p e c tiv e ly b y y* jn a n d A t a v ertical poin t, the t a n g e n t line to th e X is parallel to jc-axis

W e no w p a s s to the s tu d y o f th e c o n n e c tio n b e tw e e n th e integral c u r v e s o f (2 ) a nd (2 ) w h ic h d e te r m i n e s the b e h a v io r o f the so lu tio n s o f th e r a n d o m e q u a tio n (2 ) b e c a u s e the no is e Ệ, m a k e s a s w it c h in g b e t w e e n th em

L e t ( p i , q \ ) = ( c ( I ) / d ( l ) , f l ( l ) / K D ) be the re s t p o in t o f (2.4 ) a n d ( P2 - <?2) = ( c ( ) / d ( ) ,

a ( ) / b ( , ) ) be th e rest p o in t o f (2.5) P ut

UlOr, y ) = u \ { x - Pi \ n x ) + y - q\ l n y ,

V2ÌX' y ) = “2 U - P2 Inx) + > - Ọ2 l ny, (3.3)

w h e re « ] = d ( \ ) / b ( \ ) a n d 0*2 = d ( ) / b ( )

In th e f o l lo w in g , w e d e n o te an integra l c u rv e o f (2.4) (or (2 5)) as A] (or Ằ2 ), respectively We c o n s i d e r tw o cases

3.1 C a s e 1: S y s t e m s wit h the c o m m o n rest p o i n t

Firstly, w e c o n s i d e r th e c a s e w h e re both s y s te m s h av e the re s t p o in t in c o m m o n T h a t is, (pi,<?i) = (P2.<?2) :=

To av o id a trivial s itu a tio n , w e s u p p o s e that the s y s te m s (2 4) a n d (2 ) not c o in c id e T h is m e a n s th at a I CC2 - T he relation betw een tw o these system s is e x p res se d by the follow ing claims.

C l a i m / / A ] p a sse s through a horizontal p oin t o f k 2, TWO cu rves are tangent to each other at

bot h h o r i z o n t a l po i n t s Mor eover, e x c e p t t hes e two point s, o n e o f t he s e c u r v e s m u s t lie wit hin the d o m a i n s u r r o u n d e d b y t he o t h e r (s e e Fig 1).

In c a s e ÀI lies w ith i n th e d o m a i n lim ited by Ằ2 w e say ẰỊ to be in scrib e d in Ằ2 at the horizontal

p oin ts A s i m i la r p r o p e r ty c a n b e fo r m u la t e d fo r th e c a s e w h e r e Ả1 is in s c rib ed in A2 at the vertical p oin ts T h a t is, Ằ| a n d Ằ2 are tan g e n t to e a c h o th er at the vertical p o in ts a n d Ằ] lies w ithin the d o m a i n lim ite d b y Ằ2

-C l a i m I f t here is a n i n t e gr al c u r v e o f (2 4) to be i n s c r i b e d in a c u r v e o f (2 ) at t he h o r i z o n t a l

point s, t hen e v e r y c u r v e o f (2 ) m u s t b e i n s c r i b e d in a c u r v e o f (2 ) a t h o r i z o n t a l p o i n t s Mor eover, in this case, e v e r y c u r v e o f (2.5 ) is i n s c r i b e d in a c u r v e o f ( ) a t t he vert ical point s.

P r o o f C la i m s 3.1 a n d 3,2 are d e d u c e d f r o m a n a ly z in g th e fu n c t io n s I’i ( x , V) a n d n U , y) d e ­ fined by (3.3), T h e r e f o r e , w e o m i t the prooi here □

-942 Y Takeuchi et al / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

\

/ >

L

\\ 15] V

1 X

Fig A] is inscribed in A at the horizontal points

By vir tu e o f C la im 3.2, w it h o u t loss o f g e n e lity w e s u p p o s e th at

Hypothesis 3.3 E a c h in tegral c u r v e o f (2.4 ) is in s c rib e d in an in tegral c u r v e o f (2.5) at the ho rizo n tal points

It is e a s y to see that H y p o th e s i s 3.3 is satisfied iff « < »2

For a fixed £ > 0, w e c a n find tw o positive n u m b e r s #0 > an d 6\ > such th at if A is an integral c u rv e o f e it h e r (2 ) or (2 ) w ith jc^ax ^ p + £, th en y L x + # a n d > * in < q - \

H[ = [p - E, p + 2e] X [q - 29], q + 20o].

W e note th at lirrif-vo % — 9\ = T h is m e a n s th a t w e c a n m a k e H\ to b e as sm a ll as w e

p le a s e by letting £ —> 0

Claim 3.4 Ther e exists a x > 0 s u c h that i f kI a n d Ằ; h a v e a n i nt e r s e c t i on p o i n t in [ p + e oc) X

(0 , 00), then

Proof L e t AI a n d A 2 have an intersection p o in t (x , y ) w i t h * ^ P + E W e e s t i m a t e th e dif fe re n c e Vma* - }'max B y Eq (3.2),

Ơ1( p - p In p ) + - q i n v ^ ’ax = o t ị ( x - p i n x ) + ỹ - q ỉ n ỹ ,

ot2( p - p In p ) + V'mL - q In >m2a* = < *t(x - p \ n x ) + ỹ - q \ n ỹ

H e n c e , w e can find 6 {Vmax ) m a ) such that

( « - 0f | ) ( f - / l n ( l + E / p ) ) < (Ơ2 - a \ ) { x - p - p \ n x / p )

D e n o te

(3.4)

{see Fig 2).

= >ma* - Vmax - <? ( In > m w - ln >max)

Y Takeuchi et at / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957 943

p

G -Ì *' 1

Fig *ma* - JTrnax >

ay-By p u ttin g

Ox = ( « - a1) ( f - p l n ( + F / p ) ) > ,

w e get the result □

A t th e v ertical p o in t s w e h av e the f o l lo w in g p ro p e r ty :

C l a i m Th e r e is a <7 y > such th at: f o r any Ằ) with Xmas > p + f and f o r any curve À of (2.4) p a s s i n g t h r o u g h a p o i n t ( x , ỹ ) wi t h ỹ > >’max + °r / , it h o l d s

•^max — -*max > a \ (3 5)

944 y Takeuchi el al / J Math Anal Appl, 323 (2006) 938-957

P r o o f T h e p r o o f is s i m i la r to th e p r o o f o f C la im 3.4 B y E q (3.2),

Qf 1 (jtmax - p In JCmax) + q - q \nq = ữ ị ( x - p \ n x ) + ỹ - q I n ỹ ,

“ ! (*max - p l n *max) + - <? ln <? = “ - pln p ) + ?max - <7 ln >max • H e n c e , th e r e is e ( % H , ỉ r a » ) s u c h that

®1 (-*max “ ^max) ^ a * (^max — Xm a x )^ — p/ft)

= <*](■* max -*max — p O n j r max — lnjcmax))

= a t ( x - p - p ( l n X - In p i ) + ỹ - >’™ax - q (in V - In >•*'„)

> ỹ - y m n - ? ( l n ỹ - I n )& ,„ )

It is e a s y to see th at the m i n i m u m v alu e o f the fu n c tio n / ( w , u) = u — D — (In u — In u) o n the d o m a in {(h, v): u V + ợ * / ; v ỳ q ị is po sitive T h e r e f o r e , by p u ttin g

ffy = — i n f { / ( u , u): u > 1> + x / ; V ^ q \ ,

or I

w e have the c o n c lu s io n o f C la im 3.5 □

C l a i m There exi st s £ | > s u c h t h a t i f A.2 satisfies >'max — m > a x w h e r e m > q + 00, then

ỹ > m + a x / f o r a n y { x , ỹ ) € Ằ2 n [p — £ị , p] X [q, oc). P r o o f W e have

a ( p - p i n p ) + y * 2ax - <7 I n > £ ax = 0f2( i - p I n f ) + ỹ - q I n ỹ

< = > Ofi { p - x - p ( \ n p - I n i ) ) = ỹ - v ^ x — q (in V - l n y ^ J

< = > a ( p - i ) ( l - p / ) = ( V — ) f - / ^ )

w h e re 6 ( Í , p ) an d ' (>, >mix) Let AO < p such that (Jto <7 + flu/2) is a point on the curve pa ss in g th r o u g h ( p , <7 + ^o) If *0 < X í p we have ti' > q - 1)[)/2 w hic h im p lies th at I - q /H' >

t í $/ ( 2q + Oũ) T h e re fo r e ,

* i ( p - x ) { p / e - \ ) = ( y ^ - ỹ ) ( \ - q / e ' ) z e 0{ y ^ - ỹ ) / (2q + e )

= > ( p - x ) a i ( q + 9ữ) { p/ - l)/(90 ^ - y

= > ỹ - m ^ jVmax - m - ( p - x ) a 2( q + o ) { p / - I ) / 0

= > ỹ - m ^ a x - ( p - x ) { p / e - \ ) a i(2 q + 0o ) /0

O-F ro m this r e la tio n , w e se e lhat it suffices to c h o o s e £■] s u c h t h a t 2e\ < p — xq a n d

4e]_ ơx0q

P ~ 2e\ 2 a i ( q - \ - f ì ũ )

S u m m in g up w e o b ta i n

C l a i m 3.7 Le t Ằ| a n d AJ b e i nt egral c u r v e s o f (2.4) S u p p o s e that À| n A n \ p 4- f oc) X

[0, oo) j i a n d A'j n A.2 n \ p — 2e\ , p] X [q , 0 ) ^ then y^> _ > n

•i ma* ' max ^ ' ' ■

Y Tukeuchi el al / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957 945

R e m a r k 3.8 B y c h a n g i n g th e role b e tw e e n th e v ertical p o in ts a n d h o r iz o n ta l po in ts, w e see that for any E > w e c a n find e\ > a n d a'y > sa tisf y in g the fo l lo w in g : s u p p o s e that k \ n A 2 n (0, o c ) X (0, q - |9] ] ■£ a n d A j n A.2 n ( p, 00) X [q, q + 2e\ ] Ỷ then

r A| - j t X| > a ' '"•max x m tx u y

-3.2 C a s e 11: S y s t e m s wi t h di f f er ent rest p o i n t s

W e no w s u p p o s e th at ( p i , q \ ) ^ ( p i , q i ) We a rg u e fo r th e c a s e P2 ^ P i ; <72 > <?I T h e other

cases can be a n a ly z e d similarly

C l a i m For s m a l l E, ther e are pos i t i v e n u m b e r s f-2 a n d ơy > s u c h that: i f t her e exists

linkin g tw o p o in t s ( x , ỹ ) Ẽ [P\ - £, oo) X [q\ - E2 , q \ + £2] a n d 0*1, J i ) € \ p\ , oc) X [<72 <?2 +

2 e 2] then f o r any XI, passing through (X1, ỹ i ) , we have

- * > a y

(s ee Fig 4).

P r o o f T h e p r o o f is s im ila r to the one o f C la i m 3.6 S in c e th e c u rv e Ằ2 p a s s e s th ro u g h both po in ts {x, y ) a nd (JF|, ỹ I ), th ere is € (Jc, Jt I ) su ch that

a (x - P2 In*) + ỹ - q \ n ỹ = a i ( x \ - p2 ln * i) + >1 - <72 ln ỹ i

= > a i { x \ - x — Pi ( \ nx \ - I n i ) ) = ỹ - ỹ] - q 2{ \ n ỹ - \ n ỹ \ )

= > a 2( x i - x ) ( l - P2 / ) - ỹ - ỹ i - < 72( l n ỹ - I n ỹ i )

946 Y Takeucht el al, / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

ỹ - q ỉ l n ỹ q\ - <72 In'?] - ( ĩ i - Ọ2 - <72<lnỢ1 - ln<72))/4

ỹ \ - Ợ2In ỹi ^ Q2 - Ọ2 In <72 + (<7I - 02 - 92(1091 - In<72))/4 = > ỹ - >1 - <72( l n ỹ - l n ỹ i ) ^ (ựi - Ọ2 - Ọ ĩ O n q ỉ - l n ợ 2) ) / ,

fo r any Ợi < ỹ < <71 + 2^2 <?2 ^ ỹ i < <72 + ^2 ' T herefore,

i ] - X ^ ( í | - í ) ( l - />2/0) ^ (<?1 - 92 - Ợ2 (ln ợ i - l n 2))/(2o!2) (3.6)

Sim ilarly, sin ce Xi p a s s e s th r o u g h (jrmax.<7i) a n d 0* , ỹ i ) , w e have

“ l(*max - Pi ln jrm'ax) + - 1 l n l =<* \ ( x \ - Pi I n i ] ) + > 1 - q\ I n ỹ l

= > x ^ a!i - X\ > ( ỹ i - q \ In3>1 - (q\ - q \ l n ợ i ) ) / o n > (3 7) A d d in g (3.6) a n d (3.7), w e o b ta in

*max - • * > (01 - 2- < ?2(ln<?l - I n q i ) ) I { a i )

By ch o o s in g Oy = (q\ - q i - <?2 ( l n ? i - ]n<72))/(2ar2), w e can c o m p l e te the pro of □

3.3 Estim ate o f entrance tim es

F or C a s e I, w e put

u = \ p + É 00) X [q, q + f 2], U\ = l p + f , o c ) X [ q , q + Fj ) , V - I p — e i , p] X [<7 + Ớ , 00), Vị = [ p - j, p] X [ạ + 200, 0 ) F o r C a s e II, w e put

u = [ p I - f 00) X [<7, - £ <?1 + P2] V i = [ p i , x ) X [<7! - £ ,<7i],

V = [/71, CO) X [q2, q2 + 2e2] Vi = [p\, 00) X [<72, <72 + £2

]-For the sak e o f c o n v e n ie n c e , w e d e n o te H I = [/72 P i ] x [<72> 92 + £2] in C a s e II.

We no w look at the e n tr a n c e tim e o f a so lution A t th e ti m e t , let ( x i ( r ) , >’] ( r ) ) = u }’)■ D e n o te T\ ( x , y ) = inf{j: e ith e r { x \ { t + s) , y \ ( t + i ) ) e ( / | o r (JC! (r + s ) , V| (I + s ) ) H i } for C a s e I a n d T\ ( x , y ) — i n f : (jc (/ + s) , y \ ( t + s) ) £ U \ } for C a se II Sim ilarly,

7*2u y ) = i n f {S', e it h e r (x2 (t + ), y2 (t + j ) ) £ V] o r (x2 (t + s) , y (1 + í ) ) € H t Ị

B e c a u s e every in tegral c u r v e is c lo s e d a n d s y s te m s (2 ) a n d (2.5) are a u t o n o m o u s , it is e a s y to see that Tị ( x , y ) < 0 , (x, y ) < 00 an d they d o not d e p e n d on t.

Let H2 — [ ^ 1, Ả2 ] X [m 1, m2 ] be an arbitrary rectan g le w h ich c o n tain s the rest points o f (2 4) a n d (2.5) S in c e T\ (Jt, y ) a n d T j i x , y ) are c o n ti n u o u s in (X , >'), th ere is a c o n s t a n t r * > su ch

T \ { x , y } ^ T \ T2 ( x , y ) ^ T * fo r an y ( x , y ) Ẽ H i

M oreover, by the c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f the so lu tio n in the initial data, it fo l lo w s that there is Í* s u c h th at if (Xị ( f ), V[ ( t )) e u I n H i th e n (JCI (/ + s), V] (í + s ) ) e Ơ fo r a ny ị s ^ I* Sim ilarly, if (X2 (1 ), }‘ỉ U )) € Vi / ^ then (X2 (t + i ) , >'2 (f + )) e V for any

Y Takeuchi el al / ] Math Anal Appl 323 (2006) 938-957 947 4 Dynamics of population under influences of random factors

W e n o w tu rn b a c k to th e in vestigation o f so l u tio n s o f (2.3) L e t z ( t , x , y ) = ( x ( t x y ) ,

y ( t , x , y ) ) be the s o l u tio n o f (2.3 ) starting f r o m { x , y ) e i n t R ị a t t = F o r th e sake o f s i m p l ic ­

ity, w e s u p p o s e th a t f0 — w ith p robability one T h e o th e r c ases can be a n a ly z e d by a sim ilar way by ta k i n g th e c o n d itio n a l e x p e c ta tio n W e shall p ro v e th a t w ith p r o b a b i l i ty 1, the tr ajecto ry o f z ( t , x , y ) a lw a y s leave s f r o m a ny re c ta n g le i f tw o re s t p o in ts d o not c o in c id e In c a s e tw o sy s tem s have the rest p o in t in c o m m o n , the solution e i t h e r g o e s a w a y f r o m the d o m a i n Í-Ỉ2 or

c o n v erg es to th e rest poin t D e n o te

xn = x ( T n, x , y ) , y„ = y{ Tn, x , y ) , a nd z n - ( x „ , y n).

It is o b v io u s that Zn is Tq - m e a s u r a b l e fo r any n > a n d is the p o in t at w h i c h the so lu tio n z{<) transfers fr om s u b j e c tin g to Eq (2 ) into s u b je c tin g to Eq (2.5 ) o r vice versa We c o n s tr u c t a s eq u en ce

yi = inf{2k: Z2k e H) , Yi = inf{2fc > Y \ ' Z7k e H ),

Yn = in f { /c > y „ - ị : Z2k e H ) ,

T h e r a n d o m v a r i a b le s Y\ < Y2 < ■ < Yk < ■ ■ ■ f o r m a s e q u e n c e o f Tq - s to p p in g tim e s (see [6]) M o r e o v e r, w e see that {y* = n \ e Tq f o r all k , n T h e re fo r e , the ev e n t (ỵ* = n } is in d e p e n d e n t o f .

T h e o r e m 4.1 Let

Ak - {ơyi + ì € Ự \ { x Yk, y n ), T \ ( x Yi , y Yk) + /* ) u ( y k = o c ) } ,

where t* is given in Section 3.3 Then

F [ A k i.o) = l (4.1 )

P r o o f C o n s i d e r th e altern ativ e event o f A l t :

Ãk = [oYk + 1ị Ự \ ( x Yl, y Yl), T\{xYk, y Yk) + t*), Yk < o c ị

B y ta k in g th e c o n d it io n a l e x p e c t a tio n , we have

cx>

pm*) = £

/ = H

X P{ỵ* = n, Zyt d u \

r

= / ^ P { n + ị (? ì ( u) , T] ( « ) + / * ) I Yk = 2n Z2n = u )

H n = °

X ỈPỊỵ* = n Z2n e d u )

S in ce Z2n is / ^ " - m e a s u r a b l e and {yx = 2/7) e T y " , then

JP | n + i ( i ( Z y j ) , i U w ) + r* ) I Yk = n, Z y k - u }

-23-948 Y Takeuchi at al / J Math Anai- Appl 323 (2006) 938-957

Ị ^ p ịơ ^ + l ị (7"i(m), T](u) + f‘ ) I Yk =2n, Zjn - uỊP{ỵ* = 2/1, Zln € du)

H "=°

B e c a u s e th e fu n c tio n — P ( i € (h, h + f*)) is in creasing in h a n d T\ ( u ) ^ T ' then

n=u H

SỈ ( l - p{<7, ( T \ T ‘ + f * ) } ) P ( n < 00} < 1. Sim ilarly,

PM* nÃ,+i)

= p{ơw +1 i (T\(zn), Tị(zYk) + r*), Yk < oo. Ơ« + I +1 £ (7’l(zn + l) T\(Zyk+i) + r), Yk+\ < oc}

= J2 / Píơw + I Ỉ 7'i(Zn) + '*)'

Xi = 21, Ỵk+ị = 2n, Zyt =u, Zyi+Ì = ưỊ X P{)/* = 2/, ỵ*+i = n , z Yk Ễ d u , z n + | e u Ị

P{ / +1 £ ] ( « ) + f * ) , f f 2n + l £ ( ' | (u) , ’i(d) + / * ) I

0$ /< n < o u tr!\ u ,

Yk = 21 Yk+l = 2«, Z2l = u, Z2n =

X P { y k = 21, Yk+ = « ZII £ d u , Z2n dt i )

£ / p | 2(1+i ^ ( r l (i» ).7 ',(i') + ;*)}P|<T2/+1 Í ( r i ( M j - | («) + /*)

O ế / < n <C5C I I L , / J

ỵ* = 2/ ỵ*+i = 2fl, Ĩ2/ = u, Z2n = u} X P{y* = /, n + i = 2m, 22/ e d u , Z2n e d u )

= X] / P{ơiÉ(7ì(a).r,(l;) + f*)}p{ơ2/+, *{7i(i0.r,(H) + O |

0 < / < n COO rr y £7

ỵ* = 2/ y t + i = 2n, Z2I — u - Z2n = v] X Ỹ ị y k - 21, y k+l - 2n, Z y d u , Z2n e rfi')

$ (1 - i p j f f i e ( r , r + f*)})

pịơ2/+i ị (T\(u), T\(u) + f*) I

osU<n<o^H Jx H

Yk = 2/, y*+[ = 2n, Z2I = u Z2n = I')

X I? { y k = 21 Y k ^ \ = n Z2I € c/w ; 2n € t / r )

n=0 £

n =

P M * ) ^ (1 - P ị i e Í T ' T* + i * ) ] ) P ( ^ = n , Z2n t d u \

-y Takeuchi er al / J Math Anal Appl 323 (2006) 93K-957 949

< (] -p ịơ i € ( r , r + r*)})

X f p ị y + i ệ { T i ( u ) , T i ( u ) + t*) \ y k = 21, Z2I = u }

0 ^ <00 f f

X p ( y * = / , Z2/ ẽ í / h )

sỉ (] - P { i e < r , r + r * ) } ) 2P (ỵ * < 00) < (1 - p { , 6 ( - * , ” + r * ) } ) T h e re fo r e , by in d u c tio n w e get

T h e o r e m 4.1 is p ro v e d □

T h e o c c u r r e n c e o f the ev e n t Ak m e a n s that, e ith e r (Zn) is in H for at m o s t 2k time, i.e., Yk — DC, o r Z y , 6 H and the solution (f) satisfies Eq (2.4) on the interval \yk-Yk +

ơyk +1 ] an d the solutio n sw itc h e s the trajectory to the system (2.5) at the p o in t ; n _ i — ( j r i ( ỵt + | , z y i ), yi (Ơỵ* + I , z n )) By definition o f T\ a n d Í*, the ev e n t (fTft+1 <E ( 7~| T\ + Í* )| im ­ plies { z Yk + \ u \ T h u s , T h e o r e m 4.1 tells us that w ith p r o b a b ili ty 1, e ith e r (Z2n) is in H for at m o s t finitely m a n y tim e s o f « , o r th e s e q u e n c e (Z2n + i ) falls into the d o m a i n u for in finitely m a n y ti m e s o f n.

Theorem 4.2 D enote

H x H n = 0

Yk = n, Z2n - u, Z2n + l = VỊ P{ Yk - 2n , Z2n e d u , Ỉ 2/14- e d v \

U s in g th e f o r m u la P{i4 u B I C} = P{i4 I C ) + P { S \ c \ - F { A n B I C} w e h av e

n

p P l A, < (1 - p ( ] € ( T \ T *+ { * ) ) ) " *+ l , n > k > 0, (4.2)

i=k

w h ic h te n d s to as n - > oo H e n c e ,

Bk — {°Ví + i € { / ’ì ( x n , y Yll), T[ ( x Yk, y Yl) + f ),

ơ Y í + 2 ^ (-^2 + J < yyt + \)t T l i X y i - ị - ] , yy^-ị-ị) -ị- t ) u (yiị — oo) Ị (4 )

Then

F{Bk 1.0} = I.

Proof B y a s i m i la r w ay as in the p r o o f o f T h e o r e m 4.1 w e have

oo

" °HxH u(aw+2Ể(72(zw + i)fr2Uyfc + i)+/*))

Yk = 2/11 z = w t z ỵ* + J = L' I

x I P | F t = 2« , z w e d u , Zyk + \ e rfv} oc

y y i ( °2n + t ị (7*1 (M), T \ ( u ) + r*)) u {ơ2n+2 ị (T2(v), T2(v) + / - ) )

950 Y Takeuchi el / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

P { { 2n + 1ị Ự \ ( u ) , T \ ( u ) + t * ) ) u {0 ^ + i ự 2{ v ) , T2(v) + t ' ) ) I Yk = n , Z2n = u , Z2n+] = k)

= P | 2n + I i ( T' i ( m) , T \ ( u ) + t * ) I Yk = 2n, Z2n = u Z2n + \ = *»|

+ P{ơ2n+2 ị ( ( d ) , (v ) + f*) I Yk - 2n, Z2n = « £2,7+1 = w} - P { ( ơ2„+1 ị ( r , (m), 7] (tt) + f* )) n ( ơ2n+2 ị ( r 2(v) , r (v) + r* )) I

Yk = « 22* = Z2n + I = vị-

S in c e Z2n is - m e a s u r a b l e a n d Yk = 2rt b e lo n g s to -Tp", th en

1P{ơ2„+ ị ( T2 ( v ) , T2 ( v ) + I*) \ y k = 2n, Z2n = u , Z2n + l = k} = P [ a 2n+ ? ( T ( v ) T2( v) + r ‘ )}

and

0*{(®i.+i i (7-,(tt) 7-1(11)+ / * ) ) n ( » + ^ (72(D), r 2(u) + / ’ )) I

Yk = « Z2rt = M 22/1 + = kỊ

= IP{ơ2n+2 ỘỂ ( 72{u) , 72(v) + /*) }

X P Ị ơ2n + l Í (7Ì ( « ) r , ( l l ) + / *) I Yk - 2« , Ĩ2n = M Z2n+1 = V Ị ■

*1 = P | 2B+ e ( ' * ” + / • ) } = p | e ( r , r + / * ) | Ả2 = p ( 2n +| e < r , : r + /*)} = p Ị , e t r r + !*)}

S in ce 72(i>) < " th en w e see th at IP(ơ2,i+2 ị ( T ỉ ( v ) T j ( v ) + r ' ) ) ^ ] — * H ence, by ap ply ing the inequality

X + y — Jty ^ Jt (1 — k ) + k i f ^ X ^ 1; 0 ^ y ^ k ^ 1,

with y = F ị ơ2„+2 ệ (7 (d ), T i O ) + /*)) < - * 1, w e obtain f 00

j £ ] ( ( - (1 - Ai))lP|cr2„+ i ị ự ] ( u ) , 7] (« ) + / * ) I

Hx w " =0 _ T _ _

y i c = n , Z2n = u , Ĩ2„ + = u |

+ - £ [ } l P { ỵ * = 2n , Z2n e Z2n + e d u )

oo

= / ^ ( ^ ì P ị l n + i £ ( T] ( « ) , ( « ) + f ’ ) I Yk = n, z 2n = u \ + - k ] }

H »=0

X P{ỵ* = « , Z2n tfu)

= j ^ ( ^ i P ị ĩ n + i ị ( r , ( « ) ì ( K ) + r * ) ị + - * i ) l P { ỵ * — I n Z2n e d u \

H n = 0

^ (ả-] (1 — &;) + ( - k\ ))P{ỵ* < ocỊ = ( — k \ k ) ĩ ị y k < oc) < — Ẳ-1 Ả2 F o r the sak e o f sim p lic ity , in the c o u r s e o f e s tim a ti n g IP ( S t r I ) we u s e n o ta tio n s

I-Y Takeuchi et a t / J Math Anal Appi 323 (2006) 938-957 95 t

ơ n‘ (M) = [ơ„ ệ ( T i ị u ) , T i ị u ) + t * ) } , ơ„2( « ) = ịơn i { T ỉ í u ) , T ĩ ( u ) + f *) Ị ,

c ự , n , U ị , V \ , U , v ) — {ỵic = , Y k + \ = n , Z2l = U \ , Z / + I = V Ị , Z2„ = U2 Z2n + i = l ' ỉ ) '

c ( l , n , U ị , V ị , U ) = ( ỵ * = 2 1, Y k + 1— n , Z 2I = U Ị , z 21+1 = V[ , Z 2n = «2í

c ( l , U ] , v \ ) - { Y k = l , Z2i = U ị , Z i + i = v i ) ,

c ( l , n , d u \ , d v \ , d u i , d v2 ) — ịyk — 21, Yk+Ỉ = 2/1, Z2I £ d u \ , Z2I+Ì £ d v \ , Z2n e d u , Z2„+\ £ d v2 ),

c ( l , n , d u I , d v ] , ấ U2 ) — ÌYk = 2/, n + = 2/1, Z2I £ d u \ , Z2I+1 € c /v i, Ỉ 2„ e « | c ự , d u í, d v \ ) = {ỵ* = 21, Z21 £ d u I, Z2/+1 e i í [ } , H n = H X X H

n times

W ith th e s e n o ta tio n s w e have

= p l ( ơn + i (zw ) U w + ( í v» + i ) ) - w < 00 K +i + | (zW+i) U ơ^ + | + (zw+1 + i) ) W +i < o c Ị

= 12 J P{(ơ>Ui(z>'*)Uơn+2(ỉm + i)) '(CTL i + i(^ + i)Ucrn+i+2^n + ! + i)) I

0 ^ / < n < o o ft

c ( l , n , uI , U | , « U2) Ị p { c ( / , n, J M ] , <ÍI<| ỂÍM2 rff2))

= H / P { K +|(«i)Uơ| +2(v,)) h'»+, W U ^ +2(v2)) I

Oị/<n<oo £f

c ( l , n , U\, II], «2 ’ V2) Ị p ( c ( / , n , d u Ị , d v \ d u2 d v i ) )

0 ^ / <n <oc ^

+ P { ( ° / + l ( Ml ) Uũr22/ + ( l ,l ) } - ơ22n+ ( l'2) I c(/, M, « , U], « 2, t>2 ))

- F ỉ ( / + | ( Mj) UfT22/+2<l;l ) ) ’ (T2n+ l ( u2 ) ' <T22n + 2<l,2) I c(/ n tí I , U| , «2, l-’2) Ị

X p ( c ( / , rc c/m I , c/l>] , d « - ^ ))

= j ỈP{{ơ 2l + i (~u ^ [ J 2l+2(-v ^ ) ' 2n + \ (-u 2'> \ c ự , n , U \ , V ] , u , L’2 ) }

Q$c/<71 <OC yy

+ n * { 2n + ( u ) } i p { ( ° 2/ + l ( u i ) U ẳ + ( i ) ] ) ) Ị c ự n , u ị , v \ , u , v ) }

- p l fTỉ +2( l’2)}ỉ?,| ( ơ2/ + ( M | ) U 22/ + { u i ) ) 2l„ , 1( ^2) I c ự n , U Ị , V U U2, u2)j

X Ỉ P ( c ( l , n , d u Ị , d v ị , d u2 , d v 2))

0 ^ / <n <00 ^

+ (1 - A ] ) ( 1P ( { 2ií + 1( m i ) U 22, + ( U ] ) ) | c ( / , n H i , V I H V ) Ị

- Un'2/ + 2^ ]))’ơ2ln-l ^u2) c(/.n.Ui.Vi,U2, 1'2) Ị

-952 Y Takeuchi el al / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-95 7

X p ( c ( / , n , d u i , d v i , d u , d v ) )

f n i 2/+l (“ ) u 2/+2(-Vl ) ) ' Ơ2n+I ( « 2) I ư I , u 2)\ 0^/<rt<oc ^

+ (1 - * i ) P { ( ^ + ] (ki) U ơ22/ +2(í)|)) I c{/,M, «1, D|, «2)}

- p { ( ^ + ( « i ) U 22/ +2( i ; i ) ) , 21n + | (H2 ) I c ự , n , U ] , V Ị , U2)\

X IP{c(/, n, d u ] , d i , i/« ) )

= 5 + + -■P(or2'n + | ( « ) ) ) ( l - * l ) |

0 $ / < n < o o ^

x F K ơ2/ + i ( wi) U 22í+2Íui)) I c(-l ' n ' u \ , v u u 2)\W‘( c ự , n , d u ì , d v \ , d u 1)) - * + * ( - * l ) ) P { ( + l ( K l ) U 22/+ (U |)) I l>i)} ' «2

X ip (c(/, í/íí] , <il>l ))

= y ^ j o - M ) P { ( , + | ( «i ) U 22,+ 2(U|)) I c(/, U|, U|)}

' «2

X p ( c ( / , d u I, d u i ) ) < (1 — k ị k n ) 2.

B y induction we have

p ( n a ) « i - M > ' - * + ' (4.4)

w h ic h c o n v e r g e s to as rc —►00 T hu s, / ou ou \

n u « :

\i=ii=* /

□

T h e o c c u r r e n c e o f e v e n t B/c s a y s th at w e h av e tw o p o ss ib ilitie s O n e is th at the tr ajecto ry o f s o lu tio n s o f (2 ) n e v e r vis its H fro m a c e rtain m o m e n t S e c o n d p o ss ib ility is that first, the tra je c to ry o f s o lu tio n s u b j e c t to (2.4 ), e n d s at a p o in t in the d o m a i n u (w e call this p o in t by s w itc h in g o n e ) a n d th e n , it will t e r m i n a te in V as a s o l u tio n s u b je c t to Eq (2.5) T h e o r e m 4.2 tells us th a t this p r o c e s s h a p p e n s w ith p ro b a b ility M o r e o v e r , this p r o c e s s c a n be c o n t i n u e d for a finite n u m b e r o f s w it c h i n g po in ts M o r e exactly , w e h a v e

Theorem 4.3 For a n y i n t e g e r n u m b e r m > 0, the event

Ck - |°>1 + € (T’l U n )• T’l ( ỉ n ) + f * ) ’ n-*-2 £ [Ti(zYí +] ) T2(: Yt - ) + 1~)

, , ơyh € (TmiZyi+rn—l ) ' (Zyi+m— ] ) -T- t ) ^ ( Ki: — ) I

Y Takeuchi el at / J Malh Anal Appl 323 (2006) 938-957 953

T h is t h e o r e m lets us k n o w th a t w ith p ro b a b ility o n e , th e so lu tio n z ( r ) c a n sw it c h s u cces siv ely from s u b je c tin g to (2 ) into s u b je c tin g to (2 ) in th e d o m a i n s u a n d v ice v e rs a in V and so on for a finite n u m b e r , as larg e as w e p leas e, o f s w it c h in g tim es in c o n d it io n th a t z ( can stay in H for infinitely m a n y tim es B y v irtu e o f the a n a ly s is in S e c tio n w e see that, after tw o tim e s o f s w itc h in g : first at a p o in t in u a n d n ex t at a p o in t in V , the in te rse c tio n p o in t o f the tr ajecto ry w ith the s traig h t line y = q \ , X > P \ m o v e s to the rig h t w ith a d i s p l a c e m e n t b ig g e r th an ơy So the so lu ti o n o f (2 ) in C a s e II a lw a y s leave s fro m any a rb itra ry re ctan g le

In c a s e w h e r e tw o s y s te m s have th e rest p o in t in c o m m o n , usin g R e m a r k 3.8 we can prove that if the s w itc h in g p o in t s o f a tr a je c to ry o f (2 ) so jo u r n s in H lo r intìniLẹly m a n y limes , 11 m u s t visit H | In d e e d , w ith f'l giv en on R e m a r k 3.8 w e p u t U' = [ p p 4- 2&I ] X (0 ÍỊ - «1 ],

U] — [p* p + £ I ] x (0- Ợ — 26^1 ] a n d V ' = ( p , o c ) X [q, q 4- 2e\ ], VỊ — [p , oo) X [q q + f I ] Let T [ { x , y ) = inf{s: e it h e r (jt| (/ + s) , y \ ( f + i ) ) [ o r ( i | ( / + j ) , y \( r + i ) ) e W | | ,

and

T { ( x , y ) - in f j j : e it h e r (x (r + s ) , y (r + s ) ) € v [ o r ( x (r + s ) , y i ( t + i ) ) € H\ Ị.

S u p p o s e th at t is a s m a ll e n o u g h positi ve n u m b e r su ch th at if (jc (f), y i (t )) e u |' n H i then (jt| (r + s ) , y\ (t + j ) ) U ' for a ny ^ s ^ t Sim ilarly, i f (*2 (0 , y i ( t ) ) € V)' n H2 then (X2 {t + i ) y i U + s ) ) V ' for a n y ^ s ^ t.

Theorem 4.4 For any N > 0, the event

Clt = {ơyl + e ( T Ị ( z yk), T { ( z Yk) + t ) , y k+ € { T { ( z Yk+ \ ) T ^ Z y i + i) + t), , € (Tyự — )» T — l ) “ i ) u { yk = o o ) Ị

occurs infinitely many tim es with probability Here T'p equals to Tị if p is o d d and equals to

Tj i f p is even.

T h is th e o r e m tells us th at if th e sw itc h in g poin ts o f a so lu tio n stays in H to r infinitely many times, th e s o lu tio n c a n c h a n g e s u c c e s siv e ly at least N ti m e fro m s u b je c ti n g to (2 ) irno s u b j e c t­ ing to (2.5 ) at a p o i n t in U ' a n d f r o m (2 ) into (2 ) at a p o in t in V ' B y R e m a r k 3.8, at e ach c h a n g in g tim e , its m a x i m u m a b s c is s a m o v e s to p T h u s , w e have

T h e o r e m S u p p o s e t hat (2 ) a n d (2 5) h a v e a c o m m o n res! poi nt For a n y ( x y ) e i n t R ị ,

we h a v e wit h p r o b a b i l i t y 1, e i t h e r

lim ( j f ( i , x , ^ ) , y ( / , x , > ) ) = { p , q ) , (4.5)

t-*OQ o r

l i m s u p ; c ( f , X , y ) = o o , l i m i n f x ( r , X, y ) = 0, (4 6)

f —>oo l —>oo

lim s u p y (/, X, >’) = o o l i m i n f y ( f , X, y ) = (4.7)

(-•00 /-►oo

954 Y Takeuchi t ỉ ill / J Math Anal Appl 323 (2006) 93X-957

e n o u g h re c t a n g le , c o n t a i n in g th e rest p o in t, such th at e v ery trajectory , p a s s in g th r o u g h a p o in t H1 , is c o n t a i n e d in H] — H] ( f ) W e se e th at th e n u m b e r o f the s w itc h in g p o in ts in H \ H\ m u s t be finite O th e r w is e , th e o rb it o f z ( f ) h a s to leav e fr o m H by T h e o r e m 4.3 T h e r e f o r e , ther e is k > s u c h th at Zn € H \ fo r a ny n > k w h ic h im p lie s t h a t l i m , _ 00( j r ( i , >') y(r X , v)) = ( p q ) T h u s, w e h av e (4.5) □

5 Conclusion

Y Takeuchi el at / J Math Anal Appl 32Ĩ (2006) 938-957 955

<b)

Fig (a) Time evolution o f x ( t ) for Case A (b) Time evolution o f v ( for Cai»e A

L o tk a - V o lt e r r a c o m p e t it io n s y s te m in a s e a s o n a lly fluctu atin g e n v ir o n m e n t [12] arc studied T h e s to c h a s tic c h a n g e o f e n v ir o n m e n t gives the sim i la r effect on p o p u la tio n d y n a m i c s w ith s e a ­ s o n a lity [2] M o s t o f s u c h m o d e l s are fo r m u la t e d by d e te r m in is t ic d y n a m ic s , but s o m e kind o f s to c h a s tic ity ref le c tin g c o m p l e x it y o f bio lo g ical or e n v ir o n m e n ta l fa ctors sh o u ld be in tro d u ced in p o p u l a t io n d y n a m i c s S la tk in [15] in tro d u c e d a nd a n a ly z e d a clas s o f g e n e l m o d e ls o f s in ­ gle p o p u la t io n w h ic h g r o w s u n d e r th e te le g p h no is e e x a c tly s a m e in this paper D u et al [3.4] a n a ly z e d tw o - s p e c ie s L o t k a - V o l t e r r a c o m p e titio n s y s te m s u n d e r te le g r a p h noises In this p a p e r w e o b ta i n e d th e re s u lts , s t a te d in T h e o r e m 4.5, f o r tw o - s p e c ie s L o tk a - V o lt e r r a p r e d a t o r - p r e y s y s te m s u n d e r te le g r a p h n ois es W e believe the necess ity to c o lle c t the results for various ty p es o f tw o - s p e c ie s d y n a m i c a l s y s te m s in c lu d in g the a s y m p to tic a l ly stab le L o t k a - V o lt e r r a p r e d a i o r - p rey sy s te m s , a n d to p r o c e e d to o b tain the ge n e l c o n d itio n s for the b e h a v io r s o f [he system s

In v iew o f p c tic e , w h e n the a m o u n t o f a species is s m a lle r th an a th r e s h o ld , we c o n s i d e r this s p e c ie s d is a p p e a r s in o u r s y s te m T h e o r e m 4.5 tells us that a lth o u g h the e n v i r o n m e n t c o n d itio n c h a n g e s c o n s t a n tl y ( s in c e th e M a r k o v s w itc h in g p ro c e s s IS s ta tio n a ry I s p e c ie s may vanish fro m

-956 y Takeuchi et a! / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

e c o - s y s t e m T h is c o n c l u s io n w a r n s us to have a tim ely d e c is io n to p r o t e c t sp e c ie s in o u r e c o ­ sy s te m

Remark 5.1 B y s i m u l a ti o n results, w e o b s e r v e that (4.5) d o e s n o t occur H o w ev er, so far w e are u n a b le to p r o v e this c o n je c tu r e T h is is still an o p e n p ro b le m

W e illu s trate o u r re s u lt by s im u la tio n s F ig u r e show s the b e h a v i o r o f the tr a je c to ry o f the s y s te m s

f X = x ( a ( ệ , ) - b ( Ệ , ) y )

Ị (5.1)

I V = y ( - c ( ệ i ) + d ( Ệ , ) x )

C a s e A c o r r e s p o n d s to <3(1) = 2, b ( l ) = 2, r i l l — d ( ] ) — an d a ( 2) — b ( 2) — c ( ) = 6, d ị 2) — w ith th e initial c o n d itio n (2 1.5) In this c a s e , tw o s y s te m s have the rest

-Y, Takeuchi el at / J Math Anal Appi 32} (2006) 938-957 957

p o in t in c o m m o n , th e s o lu tio n o f (2 ) turns a ro u n d the rest po in t fo r a w h ile , a nd then leave s fr o m a n y c o m p a c t set

C a s e B is re la te d t o a ( l ) = 2, b{ 1) = 1, c ( l ) = 6, r f ( l ) = a n d a { ) = 2, b ( 2) = c ( 2) =

d { 2) = 2, th e initial c o n d i t i o n is ( , ) In this case, tw o rest po in ts are dif ferent, the solution

leaves q u ic k l y f r o m a n y c o m p a c t set

In b oth c a s e s , th e g r e e n line sh o w s th e trajectory o f (5 ) su b je c tin g to s y s te m (2 ) a n d the re d li ne s h o w s th e tr a je c to r y o f (5.1) subjecting to sy s te m (2.5)

F ig u r e ( o r 7) s h o w s th e tim e evo lu tio n o f x ( f ) a nd y ( t ) c o r r e s p o n d in g to C a s e A (or B), re spectively

References

[1] M Đallys, Le D ung, D A Jones, H.L Smith, Effects of random mortality on microbial growth and com petition in a flow reactor, SIA M J Appl Maỉh 57 (2) f 1998) -5 , 374-402

[2] P.L Chesson, R.R Warner, Environmental variability prom otes coexistence in lottery com petitive system s Amer Naiur 117 (1981) 923-943

[3] N.H Du, R, Kon, K Sato, Y, Takeuchi, Dynamical behavior o f Lotka-Volterra com petition system s Nonau tonom ous bistable case and the effect o f telegraph noise, J Com pui Appl Maih- 170 (2004) 199—422

[4] N.H Du, R Kon, K- Sato, Y Takeuchi, Evolution of periodic population systems under random environ me nl Tohoku Math J 57 (2005) 447-468

(5J M Farkas, Periodic M otions, springer-V erlag, New York, 1994

[6] 1.1 Gihm an, A V, Skorohod, The Theory o f Stochastic Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1979

[7] I, H anski, p TurcHin, E K orpim ảki, H Henitonen, Population oscillations of boreal rodenis: Regulation by musielid predators leads to chaos N ature 364 (1994) 232-235

(8J J Hofbauer, K Sigm und, Evolutionary Game and Population Dynamics, Cam bridge Univ Press, Cambridge 1998 [9] M E G ilpin, P re d ato r-P re y Com m unities, Princeton Univ Press, 1975

[10] A Levin, D ispersion and population interactions, Amer Nature 108 (1974) 207-228

[11] M L oreau, Coexistence o f tem porally segregated com petitors in a cyclic environment, Theorei Population Biol 36 (1989) 181-201

[12J X M ao, S Sabais E Renshaw, Asymptotic behavior o f stochastic Lotka-V olterra model, J Math Anal 287 {2003) 141-156,

[13] T N am ba, s Takahashi, Com petitive coexistence in a seasonally fluctuating environm ent II M ultiple stable states and invasion success, Theoret Population Biol 44 (1993) 374—402

{]4] J s Randall, A stochastic predator-prey mode], Irish Math Soc Bull 48 (2002) 57-63

[15] M Slatkin, The dynam ics o f a population in a Markovian environm ent Ecology 59 (1978) 249-256 [16) Y Takeuchi, G lobal Dynarrucal Properties o f Lotka-V olterra System s, World Scientific, 1996

^03-Provided for non-com m ercial research and educational use only Not for reproduction or distribution or com m ercial use

Volma6 » I N w t w I k t y t í » F&SN 0002-2471

Tfcb Cqnytwo m int 3?l

MATNEMATICAI ANALYSIS AND APPLICATIONS

€Mmt

Ỉ M m-ẴMmk’

dtềiimír ễdiibUi

H-WSw R C a KhéMiii

Ũ tmmmfcltaMi

T.JCnotii

t.imuf

W.UM

MLL.UWI

uụt «

H A I m

TV AUtkd

fcvt

M Mdfflfln

u.l

UMat iHwll

U /l Mcu M-C Nkci EL&otfci^k

D triknu CV^

MfeJupKl MMMi p

Xc»

iS S K I k

RM B.ttnuuu

t-Ttawwr BH T m

RTMyÚnắ

N.sfifcu,*

X.-T. Kka

M U * - HR Boas 198 M W I

J t - w A y Ố / / * - R ichatd Brltnvan rfw iBi 'W E b 't'v n

George liMtnuBD WiLUajnF Ames wvw*vpoca4=^eiơ>m

J i t Kn ỈĐ.M Wain

I Kuo

ArfWtfHe online K ScienceDirect

T his article was originally published in a journal published by Elsevier, and the attached copy is provided by Elsevier for the author's benefit and for the benefit of the author's institution, for non-com m ercial research and educational use including without limitation use in instruction at your institution, sending it to specific colleagues that you know, and providing a copy to your institution’s

administrator.

All other u se s, reproduction and distribution, including without limitation com m ercial reprints, selling or licensing copies or a c c e ss,

or posting on open internet sites, your personal or institution's website or repository, are prohibited For exceptions, perm ission may be sought for such use through Elsevier s perm issions site at:

Available online at www.sciencedirect.com

* * SclenceDirectQ r i a n r f l H i r i i r f MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS

ELSEVIER J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174

W W W e ls e v ie r c o m /lo c a te /jm a a

Abstract

In this p ap er, w e d e a l w ith s o m e t h e o r e m s on th e e x p o n e n ti a l s ta b ility o f trivial s o l u t i o n o f t i m e - v a r y in g n o n -r e g re s s iv e d y n a m i c e q u a t i o n o n ti m e s c a le s w ith b o u n d e d g r a in in e s s In p a rt ic u l a r, w e l l - k n o w n P e r r o n ’s th e o r e m is g e n e r a l i z e d o n ti m e s c a le s U n d e r r a t h e r re s tric tiv e c o n d i t io n , th at is, i n t e g r a l b o u n d e d n e s s o f coefficient o p e r a t o r s , w e o b ta i n a c h a r a c t e r i z a t i o n o f th e u n i f o r m l y e x p o n e n t i a l stability

© 0 E l s e v i e r Inc A ll r i g h ts r e s e r v e d

Keywords: Exponential stability; Uniformly exponential stability; Time scales; Peư on theorem; Linear dynamic

1 Introduction an d p relim in a ries

In 1988, the theory o f dynam ic equations on time scales was introduced by Stefan Hilger [11] in order to unify continuous and discrete calculus Since then, there have been many papers investigating analysis and dynam ic equations on time scales, not only unify trivial cases, that is, ODEs and O A E s, but also extend to nontrivial cases, for exam ple, q -difference equations.

However, it seem s that there are not many works concerned with stability o f dynam ic equa­ tions on time scales A s far as w e know, almost all o f these results involve the second method of Lyapunov (see [12]); Lyapunov equation and applications in stability theory (see [9]);

exponen-Corresponding author

E-mail addresses: d unh@ vnu.e du.vn (N.H Du), tienlh@vnu.edu.vn (L H Tien)

0022-247X/S - see front matter © 2006 Elsevier Inc All rights reserved doi: 10.10l6/j.jmaa.2006.09 033

1160 N.H Du, L H Tien / J Math Anal Appl 33J (2007) 1159-1174

tial Stability (see [10,13,16]); dichotom ies o f dynamic equations (see [14]); /1 -stability o f linear dynamic equations (see [7]).

Moreover, concepts o f stability (exponential stability, asymptotic sta b ility , ) are defined by various ways and som e o f these definitions are not adapted to each others This IS mainly due lo what kind o f exponential function authors used to define stability o f solutions o f dynamic equa­ tions Potzsche et al (see [16]) have used usual exponential functions w hile J.J DaCunha and J.M Davis (see [9]) have used tim e scale exponential functions Another concept o f exponential stability on time scales is given by A Peterson and R.F Raffoul in [13].

In this paper, w e want to go further in stability o f dynam ic equations More precisely, in Section 2, w e prove the preservation o f exponential stability under small enough Lipschitz per­ turbations The integrable perturbations are also considered Next, in Section 3, w e characterize the exponential stability o f linear dynamic equations via solvability o f non hom ogeneous dy­ namic equations in the space o f bounded rd-continuous functions (see notation below ) Finally, in Section 4, with an additional assumption about integral boundedness, w e also characterize the uniformly exponential stability Our tools are time scale versions o f G ronwall’s inequality, Bernouilli’s inequality, com parison result and Uniform Boundedness Principle The main results o f this paper are Theorem s 2.1, 3.1, 3.2 and 4.1.

First, to introduce our term inology, z is the set o f integer numbers, K is the set o f real num­ bers Let X be an arbitrary Banach space We denote by L (X ) the space o f the continuous linear operators on X and by I \ the identity operator on X, Next, w e introduce som e basic concepts o f time scales A time scale T is a nonempty closed subset o f IR The fo r w a r d ju m p o p e r a ­

tor : T —> T is defined by ( ỉ ) = inf{ĩ T: s > /} (supplem ented by in f0 = su pT ), the backward ju m p o p era to r p : T —> T is defined by p { t ) — su p{í e T: s < /} (supplem ented by

su p0 = infT ) The graininess ị i \ T —► K + u {0} is given by = a { t ) - I For our purpose,

we will assume that the tim e scale T is unbounded above, i.e., su p T = 00 A point t e T is said to be right-dense if ( t ) — t, right-scattered if a ( t ) > t, left-dense if p { t ) = t, left-scattered if p ( t ) < t A time scale T is said to be discrete if t is left-scattered and right-scattered for all t e T For every a , b e T , by [a, b ] w e mean the set {/ e T: a ^ t ^ b) A function / d e­ fined on T is rd-continuous if it is continuous at every right-dense point and if the left-sided limit exists at every left-dense point The set o f all rd-continuous functions from T to X is d e­ noted by Crd(T , X ) A function / from T to E is regressive (respectively positively regressive) if

1 + ị i { t ) f ( t ) 0 (respectively + n ( t ) f ( t ) > 0) for every t T The set 71 (respectively 1Z+ ) of regressive (respectively p ositively regressive) functions from T to R together with the circle

addition © defined by ( p ® q ) ( t ) = p { t ) + q { t ) + f x( t ) p( r ) q{ t ) is an Abelian group For p eTZ,

the inverse elem ent is given by ( © p) ( r ) = — TT7uoV(7) and w e define circle subtraction by

{ p Q q ) U ) = ( p ® ( Q q ) ) ( t ) then ( p Q q ) ( t ) = ]^ 7(707) ■ We write f n stand for f OƠ The space o f rd-continuous, regressive mappings from T to R is denoted by Crtj7£(T, R ) Furthermore,

C + ft(T ,M ) := { / € Crd7£(T,M ): l + M Ơ )/Ơ ) > for all t e T }.

For any regressive function p , the dynam ic equation

X A = p x , v ( s ) — l , t ^ s ,

N.H Du, L.H T ien /] Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174 161

T heorem 1.1 A ssum e p , q : T —> R are regressive and rd-eontinuous, then the fo llo w in g hold

(i) eoƠ s ) = a n d e p { t , t) = 1,

(ii) ep ( ( t ), s ) = (1 + ụ - ( t ) p ( t ) ) e p (t, s),

(iii} 7JiT)=eeP(t'

s)-(iv) ep (t, s) = = Ể e/H s, (v) ep (t, s ) e p ( s , r ) - e p ( t , r ) , (vi) e p ( t , s ) e q ( t , s ) = e p q {.t,s),

( v i i ) e- Ệ ề ) = e P®‘i { t ' s ) '

(viii) / / p e TZ+ then e p ( t , s ) > O fo r all t , s € T,

(ix) fa p ( s ) e p (c, a ( x ) ) A s = e p (c, a) - ep (c, b) f o r all a, b, c e T, (x) If p Ễ 7Z+ a n d p ( t ) ^ q ( t ) f o r al l t ^ s, t T, í/ỉểrt

i ) ^ eq {t, s) f o r all s.

Proof See [4] for the proof o f (i)-(v iii); [3] for the proof o f (ix), (x) □

We refer to [4,5] for more information on analysis on tim e scales N ext, w e state a comparison result and G ronw all’s inequality on time scales.

L em m a 1,2 Let r s T , M , i e Crd(T, R ) and a € TZ+ Then

wA ( f ) ^ - a ( t ) u n ( t ) + b ( t ) f o r a l l t ^ T , implies

I

u { t ) Ỉ5 u ( T ) e e a ( t , T) + / b ( s ) ể Q ữ ( t , s ) A s f o r a l l t ^ T

T

Proof The proof is similar to Theorem 3.5 in [3] □

L em m a 1.3 Let T e T, u, b e Crd, UQ € M an d b{ t ) ^ f o r all t ^ r Then,

I

w ( r ) ^ « o + J b ( s ) u( s ) A s f o r all t ^ Ĩ

T

implies

u{ t ) ^ u oet,(t, t ) /ơ r a //1 ^ r.

Proof S ee [3, Corollary 2.10] □

From now on, w e fix a to € T and denote T + := [/o, -t-oc) In connection with characterization o f the exponential stability, we introduce the follow ing

S C rd(T + ) = C rd( T + ,X ) := j / e C rd(T + X ): sup II/(f)II < +OC f e ­

lt can be shown that fiC rd(T^) is a Banach space with the norm

l l / I ! : = s u p | | / (0 || /eT+

1162 N.H Du L H T ien/J Math Anal Appt 331 (2007) 1159-1174

We consider a dynam ic equation on the time scale T,

x A (t ) = F ( t , x ) , Í Ễ Ĩ + , (1.1)

where F{ t , x ) :T + X X —*■ X is rd-continuous in the first argument with F{ t , 0) = We sup­ pose that F satisfies all conditions such that (1.1) has a unique solution x{ t ) with x(fo) = *0 on [io» +00) (see [15] for more information).

Throughout this paper, w e assum e that the graininess o f underlying time scale is bounded on T + , i.e., G = sup,eT+ n ( t ) < 00 This assumption is equivalent to the fact that there exist positive numbers m 1, m2 such that for every t e T + , there exists c = c( t ) € T + satisfying m 1 ^

c — t < m2 (also see [14, p 319]).

The follow ing definition is in [9] with an additional concept o f uniformly exponential stability

Definition 1.4.

(i) The solution X — o f Eq (1.1) is said to be exponentially stable if there exists a positive

constant a with —a e l + such that for every r € T + , there exists /V — iV {r) ^ ] such that the solution o f (1.1) through ( r ,j t ( r ) ) satisfies

(ii) The solution X = o f Eq (1.1) is said to be u n ifo r m ly e x p o n e n tia lly s ta b l e if it is exponen­ tially stable and constant N can be chosen independently o f T e T +

In the case T = R (respectively T = Z ), this definition reduces to the concepts o f exponential stability and uniformly exponential stability for O DEs (respectively O A E s).

We consider a special case where F( t , x) = A( t ) x , i.e., the linear dynam ic equation

By &A (t, s ) Z-(X), w e mean the transition operator o f Eq (1.2), i.e., the unique solution o f initial value problem X A (t ) = A { t ) X { t ) and X (s ) = I \ The solution o f Eq (1.1) through (j, jc(j)), s Ễ T + , can be represented as x{ t ) — <Pa(s, s ) x( s ) The transition operator has the linear cocycle p r o p er ty

<PA { t , r ) = A (t s ) A (s, r )

for T ^ 5 ^ t, T, s, t e T +

W e e m p h a s i z e t h a t in o u r a s s u m p t i o n t h e r e is n o c o n d i t i o n o n r e g r e s s i v i t y i m p o s e d o n t h e

right-hand side o f Eq (1.1) It means that w e can conclude noninvertible difference equations into our results H ence, w e refer to [15] as standard reference for, e.g., e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s

theorem.

We say Eq (] ) is exponentially stable (respectively uniform ly exponentially stable) if the solution X = o f Eq (1.2) is exponentially stable (respectively uniformly exponentially stable).

The exponential stability and the uniformly exponential stability o f the linear dynam ic equa­ tion are characterized in term o f the its transition operator.

Theorem 1.5.

(i) Equation ( ) is exponentially stable i f a n d only i f th e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t a wi t h

—a € 1Z+ such that f o r every T e T + , there exists N = N (T ) ^ such that

x ( | | ^ w ||jc(r)||e_ a (r , r) for all i ^ T , ( T +

x A (t) = A{ t ) x ( t ) , r e T + ( 1.2 )

N.H Du, L H T ten/J Math Anal Appl 331 f2007) 1159-1174 Ỉ 163

(ii) Equation (1.2) is uniformly exponentially stable i f an d only if there exist positive constants

a > 0, N ^ with —a € TZ+ such that

II0/ ( f r ) | | ^ N e - a ( t , r ) f o r all t T t, T £ T +

Proof S ee [9, Theorem 2.2] for proof o f (ii) The proof o f (Í) can be performed in a similar way □

2 Roughness o f exponential stability

We now consider the perturbed equation

where A(-) € Crd(T+ , L ( X ) ) and / ( / , x) : T + X X —► X is rd-continuous in the first argument with / ( / , 0) =

The solution o f Eq (2.1) through (r, x ( r ) ) satisfies the variation o f constants form u la

The follow ing theorem says that under small enough Lipschitz perturbations, the exponential stability o f the linear equation im plies the exponential stability o f the perturbed equation.

Theorem 2.1 I f the fo llo w in g conditions are satisfied

(i) Equation (1.2) is exponentially stable with constants a a n d N, (ii) II/Ơ *)ll < L \ \ x \ \ f o r a l l t e T + ,

(iii) a — N L > 0,

then the s olu tio n X = o f E q (2.1) is exponentially stable.

Proof For all X e T + and I ^ r , the solution o f Eq (2.1) through (t , x { t ) ) satisfies Eq (2.2) Therefore,

x ^ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + t <E T + , (2.1)

(2.2)

r

I

1164 N.H Du, L H T ien/J Math Anal Appl 331 (2007) ! 159-1174

Multiplying both sides by the factor e |f r) > (due to —a € TZ+ ), we get

II-*(Oil „ „11 , ,11 f NL ll*Cr)ll

^ A l*(r)||+ J ! _ g/

T

e - a ( t , r ) J - a ụ ( s ) e - a { s , r ) r

By virtue o f G ronwall’s inequality we obtain

- $ N [|x (r)|[g N L (t , r),

e - a ( t , r ) !-«/.(■)

|U{r)|| < AM|*(r)||<?_a (r, T ) e NL (/, r ) = w | * ( r ) | | e _ WI (f, r )

11 " 11 11 1-00(0 " " I-(*/<(•>

= JV | | * ( r ) | | í ? _ CH-Aíz,(/, T)

Hence,

— (a — NL)(.t* ^ ) f o r 3Ỉ1 Í ^ r

By (iii), we have —(ct — N L ) & TZ+ Therefore, the above estim ate means that the solution Jt = o f Eq (2.1) is exponentially stable The proof is com pleted □

Remark 2.2.

(i) The continuous version (T = R) o f the above theorem can be found in [6], Note that the condition on the positive regressivity is automatically satisfied.

(ii) The discrete version (T = Z) can be found in [1, Theorem 5.6.1].

(iii) In [10,16], the authors used another definition about exponential stability and proved that linearized principle holds with the condition on the regressivity o f coefficient function o f scalar dynamic equation.

A direct consequence o f Theorem 2.1 reads as follow s.

C orollary 2.3 I f the fo llo w in g conditions are satisfied

(i) Equation ( ) is exponentially s t a b l e with constants a and N,

( i i ) L = s u p , eT+ 115(011 < + ° o ,

(iii) a — N L > 0,

t h e n t r i v i a l s o l u t i o n X = o f t h e e q u a t i o n

jrA(r) = A ( í ) x ự ) + r e T + ,

is exponentially stable.

The next theorem show s that the exponential stability is also preserved under some integrable perturbations This is not new because it can be considered as a corollary o f [7, T h e o r e m 2.1}

N H D u, L.H T ien/J Math Anal Appi 331 (2007) / - 1174 I 1ÍÕ

T heorem 2.4 I f the fo llo w in g conditions are satisfied

(i) Equation (1.2) is exponentially stable with constants a and N, (ii) \ \ f { t , JC)|| ^ l{t)\\x\\ f o r a ll t T + ,

<” >> f , o ° ° T ^ ầ õ A t < + ° °

-th en -th e s o l u t i o n X = o f E q (2.1) is e x p o n e n t i a l l y s ta b l e

Proof We only give sketch o f the proof First, we note that for any a ^ 0,

l n ( l + w a ) f a i f ^ ( s ) — ,

l i m - - = I l n ( l + a / x ( j » < i f l i f e ) -> fl ( )

u \ ^ a 11 MW > u.

Furthermore, explicit presentation o f the modulus o f the exponential function (see [10, S ec­ tion 3]) gives

i f ln (l + \

t) = e x p ( / lim - - A s ] (2.4)

yy M J

for any q e 7£+ As in the proof o f Theorem 2.1, we have

ll*(OII .,11 ,11 , x

— " ^ N L y ( r ) \ \ e NIU ( t , r )

e - a { t, r ) ■>

Using (2.4) with <7( ) = ị and by virtue o f (2.3) we obtain

M o l l < A i x ( t ) | e NH) ( r , T ) e - a (t, r )

) ( f l i m

\ J u \ ( s )

N T

\ J - a /

M l - I I ln(l+«M (s)/(l- a / i ( j ) ) ) A , , , = /V||jc(t)II ex p ( I l i m -— - A j - |e _ ( f , r )

t \ ( s ) u

1 T

^ /V ||jr(r)|| ex p ị / N Ị ^ - A s j e - a U , T]

' T

(+ 0

/ —

/ I - O f to

which im plies the exponential stability o f the solution X = o f Eq ( 1) □

When T = z , the above theorem reduces to Theorem in [I], The c o n d i t i o n (iii) in Theorem 2.4 is satisfied if / (+0° / ( í ) A / < + o o and —a is uniformly positively regressive (i.e.,

I - a/ x( t ) > e for som e £ > 0).

3 Perron’s theorem

In this section, we consider inhom ogeneous linear dynamic equat i on:

;tA(/) = A ( r ) x ( + h ự ) r e T + ( 1)

w i t h forcing t e r m h(-) t o b e r d - c o n t i n u o u s o n T + Now we are in p o s i t i o n t o state a time s c a l e

1166 N.H Du, L H Tien / J Math Anal Appl 331 (2007) Ì Ì 59-1174

Theorem 3.1 IfE q (1.2) is exponentially stable with constants a and N, then f o r e v e r y function h { ) e C rd (T + ), th e solution X h i ) o f Eq (3.1) c o r r e s p o n d in g to h( - ) b e lo n g s to Z?Crci(T ~ ) Proof For every function h( ) € B C rd(T + ), the solution o f (3.1) is given by variation of ­ stants formula

/

Xh i t ) = # * ( / , tị)x{to) + Ị 0 A ( í , ( s ) ) h ( s ) A s ,

to

or

t

Ị 0 A ( t , ( s ) ) h ( s ) & s

to

We have

t t

j 0 A ( t , ( s ) ) h ( s ) A s ^

to 10

ì / \ wii/iIL

N\\h\\ / í?_ữ ( / t ( í ) ) A í = - — ( e - a ( t , t o ) - e - a { t , t ) )

to

W I I / ,

(1 -e-a(r,to)) ^

a a

Since Eq (1.2) is exponentially stable,

10 4( M o ) * ơo) II ^ N e a ( t , /o)ll^ơo) II

-Hence, noting that e - a ( t , to) as t —»• oo it follow s the boundedness o f x/,(-) The proof is com pleted □

In the next theorem, the exponential stability o f the hom ogeneous linear dynamic equation is attained provided that som e Cauchy problems are solvable For every r e T + , we d e n o t e by

C P (r) the follow in g Cauchy problem

jrA (f) = A ( t ) x ( t ) + h( t ) , t ^ T , t e T + ,

jc(r) = 0.

In particular, CP(/o) is

x ă {t) = A ( t ) x ( t ) + h( t ) , r s T + ,

* o ) =

Theorem 3.2 I f f o r ever}' f u n c t i o n h(-) e 5C rd(T+ ), t h e s o l u t i o n x ( ) o f t h e C a u c h y p r o b l e m

CP(io) belongs to B C rd (T + ) then Eq (1.2) is exponentially stable.

To prove, we need som e lemm as.

-N.H Du, LH T ien/J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174 1167

Lemma 3.3 Let T e T + I f f o r every f u n c t i o n h(-) € fiC rd([ r, +00)), th e s o l u t i o n x(-) o f th e Cauchy p ro blem C P (t) belongs to C rd([T, + 0 )) then there is a c o n s t a n t k = k {r) such that

f o r all t > X,

||* ( || ^ k \ \ h \\ (3.2)

Proof By variation o f constants formula, the s o l u t i o n o f the Cauchy problem C P (r) is o f the form

I

:(í) = Ị <PA ( t , ( s ) ) h ị s ) A s

X

(3.3)

By assumption, for any h{ ) € BC7d([r, + 00)), the solution x { t ) associated with h o f the Cauchy problem C P (r) is in 5C rd([r, +00)) Therefore, if w e define a family o f operators ( Vi ) t >T as follows

V ,:B C rd( [ r ,+ o o ) ) — > X,

t

5C rd([r, +00)) h I— ■» v , h = x ự ) = Ị <PA { t , { s ) ) h ( s ) s

X

e X,

then we have su p ,>r II v t h\\ < 00 for any h BCrd(T+ ) U sing Uniform Boundedness Principle, there exists a constant k > such that

||jc(0[| = IIV,/ ỉ II ^ /t||/i|| for all t > T □

The follow ing lemm a relates solvability o f the Cauchy problems CPUo) and C P (r), r Ễ Ĩ This lemma is also useful for proof o f characterization o f uniformly exponential stability.

L em m a 3.4 Let r e T + I f the problem CP(io) has a solution in S C rd (T + ) f o r every function h( - ) € S C rd( T + ) th en th e p r o b l e m C P ( r ) h a s a s o lu tio n x ( ' ) in fiC rd ([f, 00)) f o r e v e r y f u n c tio n h(-) e BCĩd([r, +00)) Moreover, there exists a constant k (independent o f r ) such that ||jr(0||

k\\h\\ f o r all t ^ r.

Proof For every function h(-) € BCỵd ( [ f , +00)), the problem C P (r) has a unique solution given by (3.3) We w ill m odify the problem C P (r), r > to, to the problem CP(fo) To this, we consider two follow in g cases:

• If r is a left-scattered point, w e set h : T + —> X as

Í ( í ) = | ? ( , ) ' ' V '

[ , t o ^ t < T.

Then, II/ill = IIh II and h{ ) e C rci(T + ) Therefore, the Cauchy problem

j f A ( r ) = A ( / ) j f( + Ã ( / ) , r e T + , Hto) =0,

has the solution jf(-) with

I t

x( r ) = j <PA ( t { s ) ) h ( s ) A s - j <PA ( t , ( s ) ) h ( s ) & s = x ị l ) I >■ T.

'0 T

1168 N H Du L.H Tien / J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174

Using Lemma 3.3, there exists a constant k such that ||jc(/)|| ^ IIÃII or ||jf(/)|| ^ k\ịh,\ for

all t ^ r.

If T is a left-dense point, for each £ > with r - E € T + , we set h f : T + - » X as

M =

h ( t ) , t f t T,

— X + £ ) , T — £ ^ t < z ,

0 , ÍQ ^ t < T — £.

We see that IIAíll = II/ ỉ II and hf_( ) e 5Crd(T+ ) Therefore, the Cauchy problem

ị x f ự ) = A ( t ) x r ị t ) + h r (t), t e T +

I XkUo) = ,

has the s o lu t io n Xfi ( ' ) w ith

t

x K( t ) = Ị <t>A ( t , { s ) ) h t A.V

'o

t i

— Ị 0 A ( t , { s ) ) h f { s ) A í + Ị <PA (t, ơ( s ) ) hf ( s ) As

T — F T

T [

(r, ( s ) ) h e ( s ) A s + j 0 A { t , ị s ) ) h ( s ) A s

T — F. T

r

= Ị <PA ( t ' ( s ) ) h F( s ) A s + x ( t ) , r ^ T

T —f

Again using Lemm a 3.3, there exists a constant & such that

For fixed r ^ r , because r is left-dense point, w e can let £ —> + to obtain

II r II

J 4>A( t , ơ( s ) ) he ( s ) A s -'•O'

"r—f '

and consequently, ||jtf (Oil —► ||jc(r) II So, IIJC(/>II < Ắ:II/ill for all t ^ r.

In our arguments, the constant k is taken out from Uniform B oundedness Principle applied to the Cauchy problems CPOo)- Therefore, k is independent o f r e T + □

Proof o f T h eo rem 3.2 Let T e T + By virtue o f Lemmas 3.3 and 3.4, there exists a constant k (independent o f r) such that ||jc(r) II ^ k\\h II for all t > r where x(-) is the solution o f the Cauchy problem C P ( r )

F o r a n y y X , s e t x ( i ) = II ‘Pa ì vV ) r ) | l a n d c o n s i d e r t h e f u n c t i o n h i t ) — - - - It IS o b v i o u s t h a t | | / | | | ^ |[VII T h e s o l u t i o n JC( / ) c o r r e s p o n d i n g h s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n

-N.H Du, L.H T ien /] Math Anal Appi 331 (2007) 115 -n 74

/ * _ t / A f <PA U r ) y A f As x ( t ) = / & A ự , ( s ) ) - -A j = / -— As = a { i , t ) \ / — —.

J x 0 J x ( s ) ' J x( s)

T T T

x ( t ) = A ( t , t o ) y Ỷ ( t ) ( 4)

with ựr(f) = /Ị From (3.2) and (3.4) we have

||0 y i( f ,r ) > ||iK O ^ AllyII for every y € X.

Therefore,

II „ *

0 /1 (f, r ) ^ —— ,

II /II ^ Ỷ(ty

which implies

- i — = x ( t ) = | | ^ ( ( , t ) | | ^ k f A ( t ) 711 f ( ( t ) )

A ự r ( ( l ) )

ỷ Aơ) ^

k

Note that w e can choose constant k such that k > G which im plies ( — ị ) € TZ+ Let c ễ T + such that c > r By com parison result (Lemma 1.2), for every t ^ c,

Ỷ ( t ) ^ Ỷ ( c ) e QÍ_ ị }(r, c).

Hence,

1 ,A , , ^ Ỷ ° ( ^ Ỷ ( c ) f _ ,

= Ỷ ( ^ J!Lj p - ^ Z^ e e(_ ,)(ơ(0,c).

X )

X Ơ ) = II0 / (°" ( t ) | | ^ 7 — e _ i ( ( r ) , c) for all t Ĩ ĩ c.

" y { c ) k

This estimate leads to

\\<pA(t, r)|j ^ g _ i (r c ) = — ——— - - e _ i ( t , T) for all / > c.

" 11 Ỷ ( c ) ỉ ỷ ( c ) e _ \ ( c , ĩ ) *

Setting or = ị Wj = ^ (, rl and

" i

l<ÍMƠ,r)||

yv = max{ /Vi, max

e - a ( t , r )

we obtain desired estim ate

\ <PA ( t , r ) II ^ N e - a ( t r ) f o r / Sỉ r

The proof is com pleted □

-1170 N.H Du L.H Tien/J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174

4 Characterization o f uniform ly exponential stability

We now investigate the uniformly exponential stability o f Eq (1.2) In general, the bounded­ ness o f the solution o f the problem CP(fo) does no: im ply the uniformly exponential stability However, if Eq (1.2) satisfies an additional condition, say integral boundedness of the operator function /4 (0 on T + , then this property is true, having known that for O DEs, it distinguishes between exponential stability and uniformly exponential stability.

For convenience, by / j f ( s ) A s we mean f b f ( s ) A s where a € T + , b e R, a ^ b, b' — sup{f € T + : t ^ b }.

The operator function /4 (0 is called integrally bounded on T + if

Obviously, if ^4(í) s A or A{ t ) is bounded (that is, sup,eT+ ||i4 (i)|| < + o c ) then the integral boundedness is satisfied.

T heorem 4.1 Suppose that the condition on integral boundedness (4.1) is satisfied In order f o r

the Cauchy pro b lem CP(/o) to have a solution in C r<j(T + ) f o r every function h ( ) € BCrd(T'+ ), it is necessary and sufficient that Eq (1.2) is uniformly exponentially stable.

To prove the above theorem, we give some estim ates o f transition operator.

Lem m a 4.2 Let t , T € T + with t ^ r.

(i) There holds the fo llo w in g estimate

(4.1)

X(r)|| = \\4>a(i, r ) * ( | | ^ II* ( T) I exP A ( í) II A s

T

(4.2)

(ii) If the condition (4.1) is satisfied then

II <ĩ>,4 ( / , r ) I ^ e M f o r all r ^ i ^ r + G + 1 (4.3) Proof For every T + , the solution o f Eq (1.1) satisfies

Hence,

jr{0 ^ |k ( r ) + / II Aị s) x( s) II A s $ II-V( r ) +

r r

N.H Du, L.H T ie n /J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1/74

Using once more (2 ) and (2.4) with q (■) = ||/U -)|| w e get

| | * ( / ) | | = I I * ( f , r ) x ( r ) I I ^ | | j f ( T ) | | e M ( ) | | , r )

_ II / sit f ln(l+m||A(5)||) \ / f.

- u lim ( -^ - A s j « | | * ( r ) || e x p ự l A(5) Aj

and the assertion (i) is proved.

Combining (4.1) and (4 2), w e have (ii). The proof is com pleted □

P roo f o f T h eorem T he sufficient condition is deduced from Theorem 3.1 To prove the necessary condition, for every r e T + and every y e X , w e set

t ) v

h ( t ) =

X r Ơ )

where X ĩơ ) = l l ^ / i ( ơ ) r)ll- By Lemma 3.4, the solution o f the problem C P (r) satisfies

||*Ơ)Ị| ^ *11^1! ^ ^lừll for all t ^ T, with k to be independent of T.

Repeating all o f the arguments presented in the proof o f Theorem 3.2, with minor change: for each r e T + , we can ch oose c = c( r ) € T + such that l ^ c — r < G + 1, then we get

||<í>^(/, r)|| ^ Ne ^ a ( t , r) for all t ^ r, t, T € T + ,

where

J i l ^ A Ừ , r ) | |

N ỳ m a x < - , max -},

[ a Ỷ r ( c ) e - {c, r ) e - a ( t , r ) J

f A

J Ấr ( r

1 _ , , f A s

a = ỳ , —a E 7Z , ỷ T ( c ) = f — —-

k J Xt(s)

It still remains to show that N can be chosen independently o f r To this end we note that tor

l e T + , r ^ t ^ c( r) < T 4- G + 1 then r ^ ( / ) ^ r + G + l and by Lemma 4.2,

X t (0= | | < M ( ' ) , r ) | | ^ e M

Hence,

f A s

J 7*f =

T

c -77+ ft

Next, since —a € 7Z+ , the B erao u illi’s inequality (see [2, Theorem 5.5]) give e a (c r) ^ -ữ ( f - r) Since the constant = £ can be chosen such that k > G + 1, we have - a ( c - T ) >

1 - a ( G 4- 1) > for all t e T + Thus,

1 e M _ _ e M e M

a\Ị/T{ c) e-ot (c r ) a ( c - r ) e _ tt(c, r) a ( c — T ) ( l — a( c - r )) a ( - Of<G -t- 1)) Moreover, because e - (t r) is decreasing on t G [r c ].

I l ^ ( / r ) | | e M e " t , v'

m a x - - $ m a x - - - - - - - — - —

T ^ I ^ C e - a ( t T ) í - a ( í r ) e - u ( c T > ỉ - a i c - T )

-1172 N.H Du, LH Tien/J Malh Anal Appl 331 (2007) 1159-] 174

Finally, we can put

N = - — — max < 1, —

1 — a ( G + 1) Ị a

The theorem is proved □

The continuous version (T = R ) o f above theorem can be found in [8] (the condition (4.1) reduces to the condition o f integral boundedness in [8, Section 3.3]).

Next, w e give a tim e scale exam ple showing that condition o f integral boundedness (4.1) cannot be dropped This exam ple is modified from one in [8, Section 3.5.3] but much simpler.

E xam ple 4.3 On time scale T = — l , n — - ] with c — supfe- j r — 1, w e consider functions r, V : T —► M defined as

0, n — \ < n — n e ] (n , ) , t — n

r ( = { , and u (0 = e\ ( t , 0) + r(t ). Note that r a (t) = for all t € T, w e have

I t I

Ị v a ( s ) ỉ \ s = Ị e i ( ( s ) , ) A s = Ị (l + ị i ( s ) ) e \ ( j , 0) A s

0 0

t

^ J £1 (s, ) A i = 2^1 ( i, 0)lo = 2(đ] (Í, ) — l) < u (/),

0

and

v ( n — / n ) e \ ( n — l / n , 0) + ne \ ( n, 0) 1

- - - -— - - > n v ( n ) e \ ( n , ) e \ { n , n — \ j n )

Summing up, we get

t

f v°( í ) A j < v ( t ) and v ( n — \ / n ) > n v ( n )

If we put a( t ) = then the transition operator o f the scalar dynamic equation A A — a ( t ) x will be

- , v ( s )

<pa(rs) = - j j ị

v( t )

Hence, <pa ( n, n — \ / n ) > n and consequently, equation x h = a( t ) X is not u n i f o r m l y e x p o n e n ­

tially stable However, the solution o f the Cauchy problem

JCA = a ( t ) x + g ( t ) , x ( ) = 0

for a function g ( ) € B C rd(T) w ill be bounded since

r

X (r) = j <Pcl( t , ( s ) ) g { s ) A s

0

N.H Du, L H Tien / J Math Anal Appl 331 (2007) 1159-1174 1173

implies that

I t

X(f)|= J 0 a ( t , ( s ) ) g ( s ) A s = Ị

0 0

The function f l +G+1 a ( s ) A s = f t'+2 a ( s ) A s in this exam ple is o f course unbounded.

5 Discussions and open problem s

With suitable change, all results in this p aper are still true if A-derivative IS replaced by V-derivative and/or tim e scale is replaced by measure chain.

It is natural to question about exponential dichotom ies o f linear dynam ic equations So, we must deal with the backward extension o f solutions But in that case, with the aid o f som e tech­ niques o f ODEs in Banach spaces, w e can still rem ove the regressivity on right-hand side o f underlying equation.

To obtain the above results, w e have to use a standard assumption that the graininess o f time scale is bounded H owever, the follow ing exam ple show s that on som e time scales with u n ­ b o u n d e d graininess, th e set o f real n u m b e r s p for which e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e p ( t , s ) ten d s to

zero as t —*■ +CO is rather abundant In turn, this exponential function can be used to define ex­ ponential stability Therefore, exponential stability on time scales with unbounded graininess is still an open problem.

E xam ple 5.1 Let T = u ^ r o t ” 2' rt2 + «]- This is a time scale with unbounded graininess The exponential function e p ( t , 0) is defined as the solution o f the equation

which tends to zero as n —*■ oo for any p < 0.

Acknowledgm ents

Authors extend their appreciations to the anonymous referee(s) for his/their very helpful suggestions w h i c h greatly improve t h i s paper

[1] R.p Agarwa) Difference Equations and Inequalities: Theory Methods, a n d A p p l i c a t i o n s , s e c o n d e d M a r c e l

Dekker New York, 2000

x A (t) = p x ( t ) , Jt(0) = 1, Í Ễ Ĩ This equation is equivalent to

x' ( t ) = p x ( t ) i f t 6 [ n , n + n),

H e n c e ,

n

x (r) = Ị"~Ị e k p { \ + p ( k + n2\ for t e [ n , n + n ] ,

References

-1174 N.H Du, L H T ie n / J Math Anal A ppi 33] (2007) ì 159-1174

[2] R p Agarwa], M Bohner, A Peterson, Inequalities on time scales: A survey, Math Inequa) App], (2001) 535— 557

[3] E Akin-Bohner, M Bohner, F Akin, Pachpatte inequalities on time scales, J Inequal Pure Appl Math f I ) (2005) 23

[4] M Bohner, A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications Birkhiiuser, Boston, 2001

[5] M Bohner, A Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhăuser, Boston, 2003

[6] W.A Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D c Heath and Company, Boston, 1965

[7] S.K Choi, N.J Koo, D.M Im, ^-Stability of linear dynamic equations, J Math Anal Appl 324 (2006) 707-720 [8] Ju.L Daleckii, M.G Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Amer Math Soc ,

Providence, RI, 1974

[9] J.J DaCunha, Stability for time varying linear dynamic systems on time scales, J Comput Appl Math 176 (2005) 381-410

[10] T Gard, J Hoffacker, Asymptotic behavior of natural growth on time scales, Dynam Systems Appl 12 (2003) 131-147

[] 1J S Hilger, Analysis on measure chains— a unified approach to continuous and discrete calculus, Results Malh 18 (1990) 18-56

[12] J Hoffacker, c c Tisdell, Stability and instability for dynamic equations on time scales, Comput Math, Appl 49 (2005)1327-1334

[13] A Peterson, R.F Raffoul, Exponential stability of dynamic equations on time scales, Adv Difference Equ Appl (2005) 133-144

114] c Polzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equatiuns on measure chains under slowly varying coeffi­ cients, J Math Anal Appl 289 (2004) 317-335

[15] c Potzsche, Langsame Faserbiinder dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin,

2002

ACTA M ATHEM ATICA VIETNAM ICA

Volume 32, Number 1, 2007, pp 99-111 99

D Y N A M IC S OF P R E D A T O R -P R E Y P O P U L A T IO N W IT H M O D IFIE D LESLIE - G O W E R

A N D H O L L IN G -T Y PE II SCH EM ES

N G U Y EN HUU D U , N GUYEN MINH MAN, A ND TONG THANH TRL'NG

A b s t r a c t In t h i s p a p e r , we i n v e s tig a te a p r e d a t o r - p r e v p o p u l a t i o n m o d ele d

by a s y s tem o f differential eq u a tio n s m odified Leslie-G ow er and H ollin g-T vp e

1] sch em es w ith tim e-d ep en d en t param eters We e s t a b l i s h a sufficient c r ite r io n

po sed on th e b eh avior at infinity o f coefficien ts for th e p erm an en ce o f sy stem s, g lob ally a s y m p to tic sta b ility o f so lu tio n s In th e case where th e co efficien ts of eq u a tio n s are p eriod ic fu n ctio n s w ith a sam e period , it is proved th a t th ere e x ists a un iq u e p eriod ic orb it w hich a ttra c ts every so lu tio n sta r tin g in int

1 In t r o d u c t i o n

In m athem atical ecology, one of the popular m odels is a model consisting of two difference species where one of them provides food to the other The interaction between population in this type is very universal in nature and is called “Prey - Predator” relation The predator-prey system plays an important role both in theory and practice and has been studied by many authors Recently, there are many works revealing the dynam ics of prey-predator system s for a so-called semi­ ratio-dependent class with functional responses This class consists of system s which are described by the equation

(1.1) x ' — x[a — bx\ — c( x) y y' = y [ d - e - } ,

1 X J

where X and y stand for the quantity (or density) of the prey and the preda­ tor, respectively The function c(x) is called predator functional response The biological signification of a , d , e and a / b has been explained in [4j The preda­ tor consum es the prey according to the functional response c(x) and carrying capacity x ( t ) / e proportional to the population size of prey (or prey abundance).

The prey-predator equation (1.1) with functional response was first proposed by Leslie (1960) Since then, there has been much interest both in theory and application of this model Based on experim ents Holling [13' suggested some

R eceived Ju n e 11, 2006

1991 M a t h e m a t i c s S u b je c t C lassi ficat ion 65L20 , P 92 D , 93 A , 93 D 99.

100 N G U Y E N HƯU DU, NGUYEN MINH MAN, AND T O N G THANH T R l ' N G

kinds of functional responses to model the phenomena of predation, which made the standard Lotka-Volterra system more realistic Depending on the form of the functional responses, these models are classified into five types (see [4]) If

c(x) — m x , we have type These models had been researched by P.H Leslie

[16], c S Holling [13], s B Hsu, T w Huang [14] The functional response

c(x) is of type if c(x) = There are some papers studying about stability, furcation behavior and so on of these models For example, we can refer to J B Collings paper [9], A A Berryman paper [7], K s Cheng, s B Hsu s s Lin [8], S B Hsu, S P Hubbell, p Waltman [18] etc When c(x) — -xf-F n ^ 2,

we called it type It was suggested by the biologist Holling [13] The general form of functional response of this type was introduced by Kazarinov and van den Driessche in [15] If c(x) — ịA+™ịB+ ^, it is concerned with type This model can be seen in J B Colling’s article [9], J Tanner [17] and so forth The type is also called Ivlev ’s functional response In this case, c(x) = m (l — e ~ Ax).

We begin by analyzing the model that M A A Alaoui and M D O kiye’s have dealt with in [1 ], that is the model of type 2

with a:(0) ^ and 1/(0) ^ 0, where 7*1, a 1, Í>1, k ị , r2 , <22 and are the m odel’s

parameters, assum ing to be positive It is proved in [1 ] that the system (1.2) is ultim ately bounded with respect to R+ In considering globally asym ptotical stability, the authors had observed

(l.b ) ki < 2k2,

(l.c ) ( n + bik 1 ) < a i,

the interior equilibrium E r ( x r , y *) is globally asym ptotically stable (see [1, T he­ orem 6]) The idea to make this assumption is interesting because it is rather simple and it can be verified by direct calculation However, in our opinion, there is no set of param eters of (1.2) which satisfies the conditions (1 a ) — (l.c ) Indeed, from (l.a ) and (l.c ) we have

This relation is im possible, hence the set of parameters satisfying (l.a ) —fl.c ) is empty.

Therefore, in this paper, we want to improve the above conditions to study the dynamic of differential equations modeling a predator-prey system (1 ) in the case where its coefficients vary in time We give some reasonable restriction on

(1.2) X = X T \ — b \ x -— — y

X K \

Li = (a2r i (ri + 4) + (r2 + l ) 2( n + M 2))

a2r l _ n n /t i rỵki - L— — -r- < L \ < - L— <

DYNAMI CS O F P R E D A T O R - P R E Y P O P UL AT I ON 101

the model and determ ine conditions that ensure the permanence and the globally asymptotic stability of the solutions of system This conditions are similar to what is done in [1] and [4] but more realistic and it is easy to verify by simple direct calculation.

The paper is organized as follows: In section II, we give a condition to ensure the perm anence of solutions of (1.2) The condition is imposed by the behav­ ior o f the coefficients at infinity meanwhile most previous works put likely the conditions on whole trajectory of coefficients The section III deals with the as­ ym ptotic stability of the solutions of (1.2) The last section, Section IV, studies the existence of a periodic solution when all parameters are periodic functions Since we are unable to construct an invariant set with our assum ption, we have to use a difference technique to show the existence of such a solution.

2 P e r m a n e n c e o f t h e s o l u t i o n s

Consider a tim e-varying predator-prey system:

(2 ) x — x J*i(i) — bi (t )x — 0,1

ỹ = y r 2{t)

-X + k i ( t )

« (

X + k ỉ ( t )

w here Tj(i), a t ( t ) , i — , , ỏ i ( í ) , /ci(f) are c o n t in u o u s f u n c t io n s , d efined ori R, b o u n d e d a b o v e an d b e lo w b y p o s it iv e co n s t a n t s ; k (i) is s u p p o s e d t o h e a

nonnegative function, bounded above by a positive constant.

B y t h e u n iq u e n e s s o f t h e s o lu t io n o f ( ) , it is e a s y to see that b o t h tile n o n n e g a t iv e c o n e R + = { ( i , y ) : X ^ , y ^ 0} and p o s i t i v e c o n e i n t R ị —

{ ( x , y ) : X > , y > } are in variant w it h re sp e c t t o S y s t e m ( ) T h i s m e a n s

that if x(t o) 5= 0, y(t o) > 0 (resp z(io ) > 0, y(t o) > 0) then xị t ) ^ 0, y(t ) ^ 0

(resp, x ( t o ) > 0, y ( t o ) > for all t > to).

D e f i n i t i o n S y s t e m (2 ) is said to b e p e r m a n e n t if th e re e x i s t s a c o m p a c t set

A c intR+ such that for every solution ( x( t ) , y( t ) ) of (2.1) with positive initial

value ( i ( i o ) i y{t o)) £ in tR + , there exists a T > to such that ( x ( t ) , y ( t ) ) € A for all t Ĩ5 T.

In ord er t o c o n s t r u c t a s e t A as in t h e d e f in itio n 2.1 w e d e n o t e

, , , r i ( t ) r2 (í)(M 1* + /C2 (í)) M { := lim sup -TpfTT, M 2* := lim s u p - J— - ,

Í —>oc t—*oc Q'2\*)

i : „ r ( ( m i + h ( t ) )

mỏ := lim i n f -=— ■ - (-.00 a 2{t)

Since all coefficients are bounded above and 6i- a-2 are bounded below by pusirivi-

c o n s t a n t s , it f o llo w s t h a t M ị < oo; M 2* < oo. T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , we a s s u m e that

-102 N G U Y E N HƯU DU, NGUYEN MINH MAN AND TO N G THANH T R l ' N G

H yp oth esis 2.1

(A l) lim in f[ri(i) — ^7-7 M ,’] > i-7+oo1 1W ki (t ) 21

W ith this assum ption, we see th at 771J > and m,2 > 0.

T his assum ption is slightly improved from the condition (A4) in [4] in the case where c ( t , x ) = and /C2( i) = Indeed, let r iM — su p r ,(i), r lL ~

Í 6: R

inf Ti(t) for i — 1, The conditions (j41), (A2) in [4] are obviously satisfied The condition (.43) ( Co > 0, such that c ( t, x ) ^ Cqx for any t e l , i > ) becomes

c ( t , x ) = ^ Cox V i ^ to Co ^ supí>tũ Let the condition (-44) in

[4] hold, i.e., riL — C0M2 > where Ml > and M2 > ^ A i ] , It is easy to see that

lim inf

t—>oc

a 1 (t ) ^ lim inf ri ( t ) - sup M -2

J i | —»00 t £ t o M W

^ T i l - C 0M 2.

Thus, T\ 1 — C0M2 > implies lim in f ỊVi(í) — Y ^ M2 > Further, M2 > M2 ■

Hence, H ypothesis 2.1 holds.

On the other hand, the following example shows that condition (j41) is in fact weaker than (.44) in [4], Indeed,

E x a m p le Consider the following system

, r3 , (2 + C O S t) ' i { t ) = x { t ) ^ ( - c o s ế ) - ( + c o st ) x ( t ) - ^ T ~ n r ~ x y ( t )

1 o ( x ( t ) + )

ỹ{t) = y( t)

Here we have

cos t + 2 2 + C O S Í - - y(t)

r \ ( t ) — —(2 + c o s t ) , T i { t ) = + cos Í, a \ ( t ) (2 + C O S t).

b \ (t) — 2 + cos t, a ỉ (t ) — 2 + CO S t, kị (t ) = , k y i t ) —

Therefore, M* = ]im supp4Ịy = 1.5, M 2* = ỉim sup = 1 an(j

t —to o ( —>00t^oo Q2(t)

satisfied But neither condition Therefore, M ' = l i m s u p ^ y = 1.5, M 2* = 111

t—>00 I

r i ( i ) " = 4- Hence’ (j41) is

(A4) nor condition (j47) in [4] hold for the function c( t , x ) — ^2gịct^ i j x ■

Since the functions a i( t ) and fci(t) are bounded above and below by positive constants, from the condition (i4 l), we can choose positive numbers M l > A'/* and M2 > M 2* such that

"■ ^2 ( )

( ) A/2 > lim sup

Ỉ —>OG a ( i )

-DYNAMI CS OF P R E D A T O R - P R E Y P O P UL AT I ON 103

and

(2.3) lim inf[r-i(i) — 77777-^2] > 0.

t - * oo k \ ( Í )

Let m 1 and m2 be real numbers satisfying (2.4) 0 < m i < lim in f ị [ r i ( í )

-t->oo b\(t) ki ( t )

(2-5) 0 < m < lira inf Ĩ ỉ M í = ± ± M )

Ì-+00 (f)

We need some following lemmas.

L e m m a Lei <?(i) and F( t ) be two differentiable functions defined on (0, 00)

such that lim G ( t ) = lim F ( t ) = +00, then

t—>+00 Í—*+oo

^ , = _ f G w ■ , = _ : r G ' ( t )

lim sup —TT ^ lim sup ——7-7: lim in I —7 ^ lim inf — 77 ■

i->+oc F(i) t-i+oi f'(i) *“ +« F(t) i “ +~ F'(t)

Proof See [2, Lemma 2} □ L e m m a 2 Let h be a real number and f be a nonnegative function defined

on [h, + o o ) , uniform ly continuous on [h, 4- oo ) and f IS integrable on \h, + o o ) in

Riemann sense Then it holds lim f ( t ) = 0.

t —>+oo

Proof We think th at this lemma has been proved somewhere but in order to com­

plete our paper, we introduce the following proof Assume that lim f ( t ) — 4a > B y definition, there exists a sequence (ín )n eN T 00 such that f { t n) > 2a Since / is uniformly continuous on [ h , + oc), there is a (5 > such that \ f{t ) - f ( t ')I < a if |i — t ’\ < Therefore, f ( t ) > Q for any t £ [t n , t n + (5] and

n E N W ithout loss of generality, we can suppose that t n + ỗ < tn+1 for all n € N Hence,

t + oo 00 f t n + é ° ° l 't n + 6

I f { t ) d t ^ I f { t ) d t ^ I a d t = oo.

J h n = J t n n = 1J t n

This contradicts the hypothesis Lemma 2.2 is proved □

T h e o r e m Suppose the assumption (j41) holds Then System ('2.1 j IX ptr-

manent.

Proof We consider the set

(2.6) A := {(x, y) € K+ : m i ^ a; ^ Ai l, m-2 ^ y ^ M 2}

Let (x (i), y {t ) ) be the solution of (2.1) with a positive initial value (x(foJ, y ( t0) 'ì Ệ

int.K ị F rom t h e first e q u a t i o n o f (2 ) w e h a v e X < x ' r \ ( t ) — ò i ( f ) x ' H e n c e, by

-comparison theorem, it follows that

* ( , ) < - -,

1 + x(to) / b\ (s)eA^ d s

to t

where A( t ) = J T \ ( s ) d s Since n ( t ) , ò i (t) are bounded below by positive con- to

stants,

104 NG U Y E N HUU DU, NG U Y E N MI NH MAN, AND T O N G T H A N H T R U N G

i

lim A( t ) = lim I b\ ( s) eA^ d s =

t —»CJC t —>oc J to

Therefore, by using Lemma 2.1 we have

, , n ( i )

lim su p x (t) ^ lim sup .

t —H X> t —t o c ( i )

Noting that Ml > Mj* = lim s u p p |^ |, this implies the existence of a constant Í1 ^ to such that

(2.7) x( t ) < M l for all t ^ t \

Substituting the estim ate (2.7) into the second equation of (2.1) we obtain

ý ■ - M ° + m b " !

Therefore

v ( t i _ f

y(t ) $ - ị -— - where B( t ) = / r 2{s)ds.

1 + y(t i ) ỉ M^rỂ( ĩ ) eB{S)ds fl

Í1

By virtue of the boundedness of d2(t), T2{t), k2(t) by positive constant we get

t

lim B( t ) = l i m [ — a2^S\ e B^s)ds = oo

t - i o o t - i o s j M l + k2{ s) 11

Using again Lemma 2.1 we get

^ ^ _ r 2{ t ) ( Ml + k2(t))

lim sup y(t ) ^ lim s u p - —— -

t —t o o t —>oo & ( £ )

Since M2 > lim su p ; there exists t ^ t \ such that

t —► oo ^

(2.8) y( t ) < M2 for all t ^ #2 -Substituting (2.8) into the first equation of (2.1) we obtain

i ^ ^r i ( f ) - ——- h i2 — b ] ( t ) x X f o r a n y t 'ỹ

t>-ki [t )

-DYNAMI CS O F P R E D A T O R - P R E Y P O PUL AT I ON 105

Or

x ( t ) e c w

x ( t ) ^ -y- f - - , t ^ t 2,

1 + x (Í2) / b i(s )e cl-s)ds

Í2

where C { t ) = / [ n ( s ) — Hence

Í2

lim infa;(i) > lim in f

t—*oo t—too i>l (t) Thus from (2.4) there exists Í3 'ỷ Ế2 such that

(2.9) x(t ) > m i for all t ^ Í3.

On the other hand, from the second equation of (2.1) we have

r 0-2 ( Ể) -1

ỷ r2(i - —— ; for any í ^ Í3, m i + fc2(f)

which implies

v í t - ) e ( t ) f

y{t) ^ - g l i m — , where D { t ) = / r 2(s)ds.

1 + i « ) / Í3

Therefore

lim i n f j / f i ) ặ lim in f r2^ ^ m i ^ ^ ( )

t ^ o o i ^ t - o o & ( t ) Hence by (2.5) there exists t ị ^ Í3 such that

(2 10) y ( t ) > m2 for all í ^ Í4.

Put T — m a x { íi, Í2, Í3, Í4}, and by combining (2.7) —(2.10) we see that (2.1 ) (x (f), y{i)) int

for all t ^ T T his means that System (2.1) is permanent T h e t h e o r e m IS

p r o v e d □

3 A s y m p t o t i c s t a b i l i t y

We now stu d y the stability of the solutions of (2 ).

Definition 3.1 System (2.1) is said to be globally asym ptotically stable if any two

solutions ( x 1( t ) , y l (t)), I = 1 , of (2 ) w i t h p o s i t i v e i n i t i a l values { x l {tữ) Ị/i(to)) e

R ị have the property

l i m ( | x i ( f ) - x ( t)I + i y i ( t ) - y ( t )1) =

Í —*+OC

-106 NG UYE N HUU DU, NGUYE N MINH MAN, AND T O N G THAN H TR U N G

T h e o r e m A ss um e that ( A l ) holds and the following conditions hold

(A2) lim in f k ( i ) - + - M l w l > 0. ^ + M * )) (m \ + k 2( t ) ) > 2 J

(A3) lim in f - r r r ^ T - *a i ^u ^ > °-i - °-i c « M j - k i ị t ) m ỉ + f c i ( í ) J

Then System (2,1) is globally asymptotically stable.

Proof Let (x ,(i), yi (t )), i — 1,2, be two arbitrary solutions of {2.1) starting respectively from ( xt (t0), y t (to)) € M+ at Í0- For any € > 0, let

, , _ T2{t )( M\ + k2(t)) t

Ml = Ml + £\ M = lim sup — , - - > Mn , t-to o a ( t )

: _ r r_ /aN a l ( f ) _ 1: _ : _ f r ( ( ™ l + k { t ) )

m i = l i m i n f — — n ( t ) — , . M < m T ; m = l i m i n f - < m ,

1 M O k t ( t ) 1 t - X m a ( t )

Since the parameters of System (2.1) are bounded above and below by positive constants, we see that lim M1 = M,*; lim Mo = MZ\ lim mi — m i ; lim m> —

in'-f —>0 c —>0 € —> c —*

Therefore, from the assumptions (A 2)-(A 3), we can choose t > small enough such that

(3.1) Ot := lim in f[ò i(t) - ( — ffl1^ — -I - - ~ ) M 2] > 0,

v ( m j + f c i W)2 (m i + k2{t)) (3.2) /3 := lim in f( Q2^ - — ] > 0.

t—>oo M l -|- & 2{ t ) ĩ ĩ i i + k i (t)

Thus we have shown that it is possible to choose the numbers M l , M2, m i , m such that (2.2), (2.3),(2.4), (2.5) and (3.1), (3.2) hold simultaneously From Theorem 2.1, w ith the set A defined by (2.6), there exists a T ặ Í0 such that the following relations hold

• ( ij ( í) ,ỉ/j ( í) ) € in t^ l,i = 1,2 for all t ^ T (see (2.11), (3.3)

1 / a l ( t ) a ( t ) Q

• W i ) - w + ( m + M O ) ’ ! > '

(3.4)

Q-ijt) _ Ql (t) 0 M l + k i {t ) rni + k i ( t ) > ’

for all t ^ T.

Consider a Lyapunov function defined by

-DY NAMICS OF P R E D A T O R - P R E Y PO PU L A T IO N 107

A direct calculation of the derivative D + V{ t ) of V( t ) along the solution of (2.1) leads to

D + |lna:i(f) — l n x2(i)|

- MO*, w - X i ( t ) + k i ( t ) + MO**) + a,(t)w<1>x ( t ) + k i ( t ) s g n (x i(f) - x 2(t)). Applying the finite increment formula of Lagrange to the function f(.r y) - —Ujr we obtain

V \ { t ) _V2 ( t )

X i ( t ) + k i ( t ) x ( t ) + k (t)

= -ĨLlLỈ - x (t)) + — - (yi (t ) - J/2 ( i )),

( i i ( + * i ( * ) ) ( i ) + * i « )

where £1 (i) is a certain point on the interval ( x \ ( t ) , x2(t)) and Tj 1 (t) 6 {yi (f), V2{t)).

Therefore, for í ^ r , we have

£J+ |ln x i ( i ) - InX2 (í) I

= - Mí) M*) - S2(t)l -< * i(* )L 7 - - *2(0)

(Í1Ơ) + MO)

i i ( +

^ - M O \xi (t) - x 2(t) I +

<*1( t )

(y i(í) - Ỉ/2ÍỂ))] sgn (z i( f ) - x2(f))

O i ( i )

771! +

( m t + M O ) '

|y i(0 - V2(t)l

: M2ị xi (t ) - x 2(t) I

Similarly,

z?+ |ln y i(i) - In 2/2(ể)I

- [

a-2 ( i ) « (

+

Z i ( i ) + fc2 ( í ) +

O2 ( % ( _ cL2(t)yi{t) '

X { t ) + k ( t ) X i ( t ) + k { t )

_ a { t ) v (

(&(*) + Mi))

a2(i)

y2(*)] s g n (y i(i) - 2/2 (t))

sgn(yi(i) - 2/2 (i)) 2(x2(i) - X i(i))

ế

& ( i ) + M ÌV2(t) - y i(f))] sg n (j/i(t) - y2(0 )

a2(fj

Xi(i) x2(i)|

-(m i + M )2 M x + k 2{t

with 62(f) e (ari ( i ) , ^2 ( i) ) and J72(í)) € (yi ( i ), m {t})

108 N G U Y E N HƯU DU, NGUYEN MINH MAN AND TO N G THAN H TRL’NG

Thus, f o r any t > to, we have

D + V ( t ) $ - [ M i) - - m2

L (m i + k i { t ) ) (m i-t-/c2)2 X i ( t ) - z 2(t )I

02_(i) a i(i)

L M i + f c ( i ) ( m i + f o ) -

Therefore, by using (3.3) and (3.4), we obtain

D + V (i) ^ - 7[ | i1(i) - x 2( t )I + |t/i(f) - Ỉ/2(*)!] with 27 = m in {a ,/3 } > and t ^ \ Hence

(3.5) V ( t ) - V ( T ) K - Ị (\x1( s ) - x 2(s)\ + \y1( s ) - y 2( s) \ ) ds,

T

|yi(*) - Ỉ/2

Ơ)I-which implies that

t

I V( T )

( |x i( s ) - 1 ( a ) ! + | ĩ / i ( s ) - 2/2(5)!) ds < — < 00.

This means that |x i(s ) — £2(3)1 + |y i(s ) - ĩ/2(s ) I £ L l ([T, + 00)) On the other hand, for t e [ r + o o ) we have (x\ (t), y\ (t)) € A and (X2( t ) , y2(t)) <E A, i.e., mi ^ x l (t) ^ M \ and m2 ^ Vi{t) ^ M for i — 1,2 Thus, the derivative of (Xi (s), yi (s)), i — 1,2 , is bounded on [T, +00) Therefore, |xi(s) — X2(5) +

|y i(s ) — 2/2(5)! is uniformly continuous on [T, +00) By Lemma 2.2, we get

l i m | z i ( s ) - x ( s ) j + \ y i ( s ) - 2/2(5) ! =

t—» + oo

The proof is com plete □

4 Ex i s t e n c e o f p e r i o d i c s o l u t i o n s

T h e o r e m (E xistence of periodic solution) Suppose that (A l) — (>13) hold

Further, suppose that parameters in System (2.1) are periodic functions in t with period u> Then Sys t em (2,1) has a unique positive uj-periodic solution which IS globally stable.

Proof D enote z { t , ÍQ, X, y) = (x(t, 10, X, y), y(t, tũ, X, y)) For all (x, y) Ễ A, put T( x , y ) = in f{s : z(r, ío, X, y ) Ễ int A V T > s}.

By virtue of Theorem 2.1, T ( x , y ) < 00 for any (x, y) e and z ( T( x , y) t o, x y) e

A Further, by the continuous dependence of solutions on the initial data, the

function T ( x , y ) is continuous in ( x, y) Therefore

DY NAMI C S O F P R E D A T O R - P R E Y POPUL AT I ON 100

Let n e N such that to + {n - l)a; ^ T\ < to + nu) Put ĩ ' = ÍO -+- Hw Consider the mapping

& \ A — >A

( x , y ) I— ■ > $ ( x , y ) = z ( T * , t o , X , y )

It is easy to see th at $ is a continuous function Since A is a com pact, convex subset of R 2, by Brouwer fixed point theorem $ has at least one fixed point in A , nam ely (x * , y *) We show that z(t , to, X*, y*) is a bounded and periodic solution of (2.1) w ith perio d nuj Indeed, for any t > to, z (t + n u , to, X*, y m) = z ( t + n u ) , T * , z ( T * , t o , X * , y * ) ) — z ( t + t i u j , T * , x * , y * ) ) S i n c e t h e p a r a m e t e r s i n

System (2.1) are periodic with period U), we have

z ( t + TUO, T ' , I * , y * ) ) = z ( t + n w , t o + n u j , X * , y * ) ) = z ( t , t ( j , X * , y * ) )

T h i s m e a n s t h a t z ( t , t o , X * , y * ) i s a p e r i o d i c f u n c t i o n w i t h p e r i o d n u >

We now use the mapping

$ 1 : A — > A

{ x , y ) I— * $ i ( x , y ) = z ( T ' +LJ , t a , x , y )

By a similar argument as above, we see that there is a fixed point (x, ỹ) e A OÍ

t h e m a p p i n g $ a n d t h e s o l u t i o n z ( t , t o , x , y ) i s p e r i o d i c w i t h t h e p e r i o d ( n - t - l ) u j

For any t > to, from Theorem 3.1 we have

0 = l i m [ z ( t + m n ( n + l ) u ỉ , t o , x * , y * ) — z ( t + m n ( n + l ) u ) , Í0, X , y ) )

m €N

= z ( t , t 0, x*, y*) - z ( t , t 0, x , y )

T h i s i m p l i e s t h a t z ( t , t o , X * , y * ) — z ( t , t o , x , y ) , T h u s z ( t , t o , X * , y * ) i s p e r i o d i c

with the period noj and with the period (n + l)u> Hence, it is periodic with the period UJ T he uniqueness and global stability is deduced from Theorem 3.1 The

theorem is proved □

I t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t t h e e x a m p l e s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n s f r o m ( A l )

to (A 3) We give another example.

E x a m p le Consider the following system

, ) ( ± ( t ) = °-25^ ) ]

\ ỹ ( t ) = y ( i ) [ , - ^ p y ( O j

We have Ml — 1; M£ = ,8 m \ ~ 0,64; m-2 «s 0,2186667 Thus, it is easy

t o c h e c k t h e c o n d i t i o n s ( j i ) — ( 3) t o b e s a t i s f i e d M o r e o v e r , a l l p a r a m e t e r s a r e

periodic functions We illustrate the behavior of numerical solutions of System (2.1) by the picture 1

( A ) s h o w s t h e b e h a v i o r o f t w o s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m ( ) f o r t w o i n i t i a l v a l u e s : t h e d a s h l i n e s h o w s t h e t r a j e c t o r y o f t h e s o l u t i o n (2 1 ( t ) y \ ( t ) ) w i t h X i ( ) =

0.97, y \ (0) = .42 and the solid line corresponds to the solution (x2( t ) y2Ìt))

with (0 ) = ,2/2(0) = 0.36.

-110 NG U Y EN HUU DU, NG UY EN MINH MAN, AND T O N G THANH TRUNG

F i g u r e

(B) shows th e g p h of \xi (t ) —X2(t)\ + \yi (t) — 2/2(01' We see t h a t l i m ^ s o | z i ( i ) -

a?2 (í) I + |y i(t) — V2(í)! = 0- T hat illustrates the result in Theorem 3.1. Re f e r e n c e s

[1] M A A ziz-A lo u i and M D ah er O kiye, B o u n d ed n ess a n d G lob al S ta b ility for a P redator- P rey M odel w ith M odified L eslie - Gower and H ollin g - T y p e II S ch em es, A p p lie d M a th e- m a tic L e tte r s (2 0 ), 1069-1075.

[2] N gu yen H uu D u , O n the e x iste n c e o f bounded s o lu tio n s f o r L o tk a - V olterra eq u a tio n s, A cta M ath V ie tn a m (2) (2 0 ), 145-159.

[3] B M L evitan , V V Zhivkov, A lm o s t P e r io d ic F u n c tio n s a n d D iffe r e n tia l E q u a tio n s, M oscow Uni, P u b H ouse 1978, E n glish tra n sla tio n by C a m b rid ge U n iversity Press, 1982 [4] Q ian W ang, M en g Fan a n d K e W ang, D y n a m ic s o f a cla ss o f n o n a u to n o m o u s se m i-ra tio -

d e p e n d e n t p r e d a to r-p re y s y s te m w ith fu n c tio n a l resp o n ses, J M ath A nal A p pl (2003), 433 - 471.

[5] M ik lós Farkas, P e r io d ic M o tio n s , A p p lied M a th em a tic a l S cien ces (1 9 ), 578.

[6] R A rd iti, N P errin, a n d H Saiah, F u n c tio n a l resp o n se a n d h e te ro g e n e itie s: a n e x p e rim e n ta l te s t w ith c la d o cera n , O IK O S (1991), 69 - 75.

[7] A A B errym an , T h e o rig in s a n d e v o lu tio n o f p red a to T -p rey th e o r y , E c o lo g y (1992),

1530 - 1535

[8] K S C h en g, s B , H su, a n d s s Lin, S o m e r e su lts o n global s ta b ility o f a p re d a to r - pre y m odel, J M a th B io l (1 ).

[9] J B C ollin gs, T h e e ffe c ts o f the fu n c tio n a l re sp o n s e on the fu r c a tio n b eh a vio r o f a m tte p r e d a to r - p re y in te r a c tio n m odel, J M ath B iol (1 9 ), 149 - 168.

[10] J B C ollin gs, B ifu r c a tio n a n d s ta b ility a n a ly s is f o r a te m p e r a tu r e -d e p e n d e n t m ite p re d a to r - p r e y in te r a c tio n m o d e l in co rp o tin g a p r e y refuge, B u ll M ath B iol (1 9 ), 63 - 76. [11] E S E ve L eigh, D A C h an t, E x p e r im e n ta l s tu d ie s on a c a n n e p r e d a to r-p re y in te c tio n s :

the e ffe c ts o f p r e d a to r d e n s ity o n p re y c o n su m p tio n , p re d a to r sea rc h in g e ffic ie n c y , a n d th t fu n c tio n a l re sp o n se to p re y d e n sity , (A carina: P h y to se iid a e ) C anad J Zool (1982Ị, 611 - 629.

[12] A G a su ll, R E K ooij, J Torrregrosa, L im it cycles in th e H o liin g - T a n n e r m odel Publ

M ath 41 (1997), 149 - 167.

[13] c S H ollin g, T h e fu n c tio n a l resp o n se o f p re d a to rs to p re y d e n s ity a n d its rote m m im ic r y

DY N A M ICS O F PR E D A T O R -P R E Y PO PU L A T IO N 111

[14] S B H su, T w H uan g, G lobal s ta b ility f o r a class o f p re d a to r - p re y s y s te m s , SIAM J

Appl M a th 55 (1995), 763 - 783

[15] N K a z a rin o v , p v an d e n D rie ssc h e, A m o d el predatO T-prey s y s te m s w ith f u n c tio n a l response,

M a th Biosci (1978), 125 - 134

[16] P H L eslie, J c G ow er, T h e p ro p e rtie s o f a s to c h a stic m o d e l f o r th e p re d a to r-p re y type o f

in te r a c tio n betw een tw o species, Biometrika (1960), 219 - 234.

[17] J T Tanner, T he s ta b ility an d in tr in s ic grow th rate o f p re y an d p re d a to r popu lation s,

Ecology 56 (1975) 855 - 867.

[18] J T T ann er, s B H su, s p H ub bell, p W altin an , A c o n tr ib u tio n to the th e o ry o f c o m ­ p e tin g sp ecies, E col, M onographs (1 ), 337 - 349

[19] I B a r b a la t, S y s te m s d ’eq u a tio n s d iffe r e n tie lle s d 'o s c illa tio n s n o n h n é a ir e s , R ev R om naine M ath P u re A p p l., (1 9 ), 267 - 270,

[20] A M- F in k , A lm o s t P e r io d ic D iffe r e n tia l E q u a tio n s , Springer-V erlag Berlin, H eidelberg N ew York, 1974.

Fa c u l t y o f Ma t h e m a t i c s,

Me c h a n ic s a n d In f o r m a t i c s,

Ha n o i Na t i o n a l Un i v e r s i t y

3 Ng u y e n T r a i, Th a n h X u a n, Ha n o i, Vi e t n a m

E - m a i l a d d r e s s : dunhO vnu e d u VII

Fa c u l t y o f Sc i e n c e s

Un i v e r s i t y o f Mi n i n g a n d Ge o l o g y

Do n g Ng a c, Tu Li e m, Ha n o i, Vi e t n a m

E -m a il a d d ress, ngiunm an20040yahoo.com

Fa c u l t y o f Ec o n o m i c a l Ma t h e m a t i c s

Na t i o n a l Ec o n o m i c Un i v e r s i t y ( N E U )

2 Gi a i Ph o n g, Ha i Ba T r u n g, Ha n o i, Vi e t n a m

E -m a il a d d ress, t o n g th a n h tr u n g iy a h o o c o m

-In te rn a tin a l Symposium on Dynamical Systems Theory and Its Applications to Biology a n f Environm ent

1 DYNAMICS OF LOTKA-VOLTERRA

L POPULATION UNDER RANDOM

ENVIRONMENT

N H Du and N T Hieu

Faculty of M athem atics, M echanics and Informatics Hanoi National University, Vietnam

Y Takeuchi and K Sato

D ep artm en t of S y ste m s Engineering

Schizuoka University, H a m a m a tsu - , Japan

• • • • • • • • •

e t a l k is d i v i d e d in t o t h r e e p a r t s :

D ynam ic behavior of population described by random coefficient competition equation.

D ynam ics of Predator-Prey with random coefficients.

I i - o : ; - i \ y !•'■ ' Í V I I ! ~:C- ■ r t Q • n r * - ' * ; p a r t s

Asymptotic behavior quantities of two com peting species in an eco-system _

A s y < i ì | j t o r c b f e h o / ' O f i t i t l i ' C o f t v - - I ' J r T I ; ! i ■ j • Í ' Ì tf c - s V j t £ ' V.

Asym ptotic behavior quantities of tw o

com peting species in an eco-system

A s y m p t o t e h e - ’

Í1 o n t ' D y n a m i c s of p r e r i o t o r - p r e y s y s t e m s

r ĩ ' - V o t i t ' I f

' w I J j ' K' ^ w i t'1

'

S

V

s :

c o m p e t i n g s p e c i e s in a n e c o - s y s t e m

We consider a two-species com petition system th a t the quantities of species are described by a Lotka-Volterra equation w ith random coefficients

f x = x ( a ( ^ ( t ) ) - b ( £ ( t ) ) x - c ( i ( t ) ) y ) \ ỹ = y ( c f ( Ẹ ( t ) ) - e ( Ẹ ( t ) ) x - / ( « r ) ) y ) ,

w h e re , ( ^ ( ) is a t e le g r a p h n o ise w it h v a lu e d on a s e t o f tw o e le m e n ts , say E = { - , + }

The telegraph noise can be illustrated as a switching between two regimes of environm ent, which depend on factors such as the n u tritio n or as rain falls The changing is non-memories and the waiting tim e for the

next change has an exponential distribution.

We s u p p o s e t h a t all c o e ffic ie n ts a, b, c, d, e, / are p o s itiv e

■ T h is is a m o d e l o f tw o c o m p e t in g s p e c ie s w h o s e q u a n titie s a t tim e t are x ( t ) and y ( f )

-■ T h e f u n c t io n s a a n d d are th e r e s p e c tiv e in trin s ic g r o w th rates; b and / m e a s u re th e re s p e c tiv e i n t r a s p e c i f i c c o m p e t i t i o n w i t h i n s p e c i e s X a n d y

■ f u n c t io n s c, e m e a s u re th e in te rs p e c ific c o m p e t it io n s b e tw e e n tw o species.

T h e n o is e ( ^ f ) in te r v e n e s v ir t u a l ly in to E q u a tio n (0.1), it m a k e s a s w itc h in g b e tw e e n tw o d e te rm in is tic s y s te m s

fx+(t) = x+(f)(cr(+) - b ( + ) x + ( - c ( + ) y + (0), (0 2)

\ y + (t) = y +( ( d ( + ) - e ( + ) x + (t) - / ( + ) y +(0),

a n d

f x - ( t ) = x ~ ( t ) ( a ( ~ ) - b ( - ) x ~ ( t ) - c ( - ) y - ( t ) ) , 3)

Ị ý - ( t ) = y - ( t ) ( d ( - ) - e ( - ) x ~ ( t ) - / ( - ) y - ( t ) )

W e s u p p o s e t h a t t h e s y s t e m (0.2) is s t a b l e , t h a t is

a(+) d(+)

< — —

b { + ) e ( + ) ' / ( + )

We illu s tr a te th e s e c o n d itio n s b y th e fo llo w in g fig u re

d { + ) c r ( + ) <

c(+)

- S s

Figure V e c to r fie ld o f L o tk a -V o lte rra u n d e r th e c o n d itio n s (0.4)

V e c t o r tie d ct L o tk a-V o It e I n o t e

It is w e ll- k n o w n t h a t u n d e r C o n d itio n s (0.4), th e u n iq u e p o s itiv e rest p o in t ( x *, y* ) o f (0.2) is a s y m p t it ic a ll y s ta b le , i.e.,

I i m x + ( t ) = x * lim y +(t) = y *

t—»00 t —.CO

(0.4)

S

i

-S u p p o s e t h a t t h e s y s t e m (0 ) is b i s t a b l e o n e , t h a t is

a ( - ) c f ( - ) d ( - ) a ( - )

b(-) > e ( - ) / ( - ) > c(—)' (0.5)

Figure V e c to r fie ld o f L o tk a -V o lte rra u n d e r t h e c o n d itio n s (0.5)

A lthough th is c a s e is v e r y sensible, w e c a n s h o w t h a t there exists a num ber a > a n d a st ri ctly

in c re a s in g , c o n tin u o u s f u n c tio n ẹ : [0, a) —* [R+ such t h a t e v e ry solution s ta rtin g a t (x, <p(x)); < X < a at

to is bounded above and below by positive c o n s ta n ts

Figure Function (p devides R2 into tw o domains

T h e f u n c t io n ộ d e v id e s [R2 in to tw o d o m a in s , n a m e ly

■Ả = {(x0, y 0) : ( x o) < yo)> and B = {(x0, yo) : 0(xo) > yo)}

su ch t h a t

■ If ( X o yo) e graph Ộ then x~ (t , t o, X o , yo) £ g r a p h (pfor any t € R.

■ If (Xo yo) e th e n l i m f ^ooX “ (f, to - X o ,y o ) = and l i m t _ o o [y ~ (t, s, x0, y o ) - v - (t, s , y o ) ] = 0. ■ If ( x0, ỵ o ) € Ì3 th e n linrif^oo y ~ ( t , t o , x o , y o ) = 0 and l i m t _oo[x (t, s, x0, y o ) - u ~ ( t , s , y o ) ] = 0.

H ence,

P r o p o s i t i o n U n d e r th e c o n di ti o n (0.4), S yste m (0 ) has a uniq ue solution b o u n d e d ab ov e an d

b e lo w b y p o s i t i v e c o n s t a n t on ( - o o , oo).

Remark 0.2 The above conclusions are still true if a, b, c, d, e , f are strictly positive, bounded continuous fu n c t io n s s a tis fy in g t h e c o n d itio n s

ữ (0 d ( t ) d(ừ) a ( 0

l i m s u p — — < (o r $0 lim in f —— l i m s u p —— < (o r 50 l i m i n f —— (0.6)

I t Hoo b ( I t Hoo e ( t ) I t Hoo f(t) Iti-Joo c ( t )

We use t h e m e n t io n e d a b o v e re s u lts to s tu d y S y s te m (0.1).

S u p p o s e t h a t s o m e s u m p l e m e n t c o n d itio n s are s a tis fie d D e n o te by c j(x , y ) th e 6Ư—lim it set o f th e s o lu tio n ( x ( t , X, y ), y ( t , X, y ) S u p p o s e t h a t X > 0, y > 0

P r o p o s i t i o n (see Figure 9, Figure and Figure 10 ).

1 The p o s it iv e o r b i t y~ o f the solu tio n ( x - (t, x + , y + ), y ~ { t , x + , y + )) o f the e qua tion (0.3) is a sub set o f CJ (x, y).

2 I f ( x + , y + ) € A then th e in te rv al s [ ( a ( - ) / b ( - ) , 0); ( a ( + ) / b ( + ) , ) ] c c j ( x , y). 3 I f ( x + , y + ) e B then the inte rval s [ ( d ( - ) / / ( - ) , 0); ( ( + ) / / ( + ) , ) ] c u ( x , y )

4 I f ( x + , y + ) € Ỉ then the p a r t o f I lin kin g ( x + , y + ) an d ( x - , y ' ) belongs to U)[x, y) Moreover, the positive

o r b i t y + o f the solution ( x +(t, x ~ , y _ ), y + (t, x~ , y ~ ) ) o f (3.14) is a subset o f CO(x, y ) In a d d i ti o n, i f

y + n A / t h e n [(a (-)/b (-) 0); (a(+)/Jb(+), 0)] c u ( x , y ) ; i f y + n Z3 ^ th e n

0 ); (c/( + ) / / ( + ), ) ] c £ j ( x , y ) ; i f y + c I th e n £j(x, y ) /S t/ie p a r t o f I linking (x + , y + ) and ( x , y )•

Figure If the supplem ent condition is satisfied

Figure If a su p p le m e n t condition is not and ( x + y + ) is not in the neutral curve solutions

satisfied a q n p rip i m av riiqannpar oscillates between ( x +, y +) and

satisfied, a species m ay disappear [ ( d ( + ) / / ( + ) , 0); ( d ( - ) / / ( - ) , )] (Case b))

We illustrate th e above m odel by two following numerical exam ples

4 r

-Figure If the su p le m e n t condition is satisfied and ( x +, y + ) belongs to the neutral curve,

solutions oscilates between ( x + , y + ) and [ ( c /( + ) // ( + ) , 0); ( t f ( - ) / / ( - ) , )] and the part of I

p t o t i c D e n a v i o r ( c o m )

Figure If the suplem ent condition is satisfied and ( x +, y + ) belongs to the neutral curve,

solutions oscilates between ( x +, y + ) and [(< *(+ )//(+ ), 0); (of(—) / / ( —), )] and the part of I

linking ( x +, y + ) and ( x _ , y “ ) belongs to j(x ,y )

/.-I

2

«; + ) V )

8 10

■?« - iK-l

f x = x ( a ( Ẹ t , t ) - b { E, t , t ) x - c ( Ẹ t t ) y) ,

-| ỹ = y W Ẹ t t) - e{Ẹt t ) x - f f a , t ) y) lU- 1

where g : E - * Ũ+ fo r g = a, b, c, d, e , f such th a t g(i, ■) are continuous, positive and periodic functions with period T > fo r any i e E.

1 Suppose th a t fun ctions g satisfy conditions (0.6) We have the following conclusions:

OG

® T h e o r e m (see Figure ) L e t c o ( x , y ) be th e CJ- l i m i t s et o f the solution ( x ( t , X, y ) , y ( t , X, y ) ) with X > , y >

1 E v e ry o r b i t y ~ ( x * , y * ) o f th e so lu tio n o f Equation (0.10), sta rtin g a t a ny p o i n t o f y + is a s ub s et o f CJ(X y).

2 I f y + n A ■£ th e n r x X { } c cj(x, y).

3 I f y + n B Ỷ t h e n { } X Vy c £ j( x , y )

4 l f C : = y + n f 7^ 0 th e n ttie sm a l le s t c o n n e c t e d p a r t o f I, ta in in g y - (a unique perio dic orb it

c onta ined in Ể, see Lemma 4.2) and c belongs to c j ( x , y )

Remark 0.4 We can develop the above model to th e case of periodic coefficients

Figure Solutions oscillates between the periodic

orb it y + and rx X { }

10 8

#"S

6

4

2

p t o x i c D e n a v i o r ỤCÕĨVL7/

Open question:

■ The pictures (12),(??) suggest th a t there ex­ ists an attractor How to determ ine this a ttra c ­ tor?

■ The picture is very complicated if the markov process ^ ( t ) takes values in a finite or count­ able set

: ' r !- H - i d r - f i

Dynam ics of predotor-prey systems

D y : i a n i u _> o f p r ^ r J u l o r - p e t y s y s t e m s A n a n a l y s i s of i n t e r c o n n e c t i o n s b e t w e e n t w o d e t e r m i n i s t i c p r f ’f i i t o i - p r o y s y s t e m s

Dynamics of predotor-prey systems

c a s t ' l l b y s r e ’ " - , w i t h i i i l f r r e n t r e ‘-t p ( V l U c

F s t i i i i r i t e o f e n i r d i v <-•

’ il’W s

D y n 111 n ' or n o p u l r ì t i o n j n d p i

n f l u P ' H O s o f r / n u l l ' "

\ K r o r s

We consider a predator-prey system, consisting of two species under a random environm ent Suppose th a t the q u a n tity X of the prey and the q u a n tity y of the predator are described by a Lotka-Volterra equation

fx = x(a(5t)~ b(Ẹt)ỵ),

1 ỷ = y ( - c ( Ẹ t ) + đ ( Ẹ t ) x ) { a ỉ

where g : E —* ỊR+ \ { } fo r g = a, b, c, d.

In th e case where the noise (£;t) intervenes v irtu a lly into Equation (0.19), it makes a switching between the d e te rm in istic system

f x i ( = X i ( t ) ( a i - b i y i ( t ) ) Ổ?

and a d e term inistic one

ỹ i ( t ) = y i ( ( - c i + d i X i ( t ) ) , (0-9)

* 2(0 = x2( t ) ( a2 - 62/ 2(0)/ (0 10)

^ ( = y (0 (-C + c/2X2(0).

t w o d e t e r m i n i s t i c p r e d a t o r - p r e y s y s t e m s

For the system (0.10) or (0.9), it is seen th a t ( P i , q () = (Ci/di, Oi/bi) is its unique positive rest point and al

integral curves in the q u a d n t intIR2 = { ( x , y ) : X > ,y > } are closed.

On each integral curve A

■ The points w ith th e sm allest or biggest abscissa are

c a l l e d t h e h o r i z o n t a l p o i n t s o f A a n d d e n o t e t h e i r a b ­

scissa r e s p e c t i v e l y b y XA a n d X A

■ The points on A th a t have the smallest or biggest ordi­ nate are called vertical points and denote th e ir ordinate

respectively by y* and y i .

r J J J J max

Vertcal point

\

\ Honzonal point

1 c 2 ĩ * Ỉ

l>

In th e follow ing, we denote an integral curve of (0.9) (or (0.10)) as A i (or A2), respectively We consider

tw o cases.

Case I: S y s te m s w ith th e com m on re s t p o in t

( Pi q i ) = ( P , C Ĩ ) ■■= ( P '

Q)-Claim (1) If Ằ ị p a s s e s through a h o r i z o n t a l point o f A 2 , two curves are tangent to each ot h er at both

h o r iz o n ta l points Moreover, e x c e p t these tw o points, one o f these curves m u s t lie within the doma in s u r r o u n d e d by the o t h e r (see Figure 16).

Claim 0.7 (2) If the re is an in te g r a l c urv e o f (0.9) to be inscribed in a curve o f (0.10) at the horizo ntal

points, then ev e ry cur ve o f (0.9) m u s t be inscribed in a curve o f (0.10) a t horizontal points M o r e o v e ịfj n

Figure A i is inscribed in A2 a t the horizontal points.

' r

: Á-1

<?-\ '■■2

r /

1

f>

For a fixed £ > 0, we can find two positive numbers

Ớ0 > and Ớ1 > such th a t if A is an integral

curve of either (0.9) or (0.10) with X A ^ p + E,

' ' ' max ^

then y A y max ^ q + ớ0 a n d y A < q - i -T u y m jn “ J-Denote

H i = [ p - £, p + 2e] X [q - 2Ỡ1, q +

o]-We note th a t lim f ^oỡo = lim £_ o ỡ i = This

means th a t we can make Hi to be as small as we

please by letting E - * 0.

Claim 0.8 {3) There exists Ox > such t/ia t i f A i

and A 2 have an intersection p o in t in [p + e, oo) X

( , o o ) , then

y xJ - y A 1 > ƠX, (0.1 1)

J m a x J m a x A

Figure 10 y i 2ax - y i a x > ơx

\ ,

\M '

f\\

(S.ỹ)

At the vertical points we have the following property:

Figure 11 X max — X max > ơy.

Claim 0.9 (4) There is a O y > such that: for any

A i with Xmax > p + £ and for any curve A' o f (0.9)

passing th rough a p o i n t ( x , ỹ ) ỹ > y m a x + x / ,

/t holds

a'

Xmax - x j m u x m a x > u y (0.12)

(see Figure 17).

Claim 0.10 (5) There ex/sts an £i > suc/7 tf?at i f Á2 satisfies ymcx - m > ơx where m > q + e0l then

ỹ > m + ơx/2 for any (X , ỹ ) € A2 n [p - 2 e 1, p ] X [q, o o )

1

~ h \

S u m m in g up w e o b ta in

Claim 1 (6) L e t A i a n d A'x be i n te g r a l c ur ves o f (0.9) Suppose t h a t A i n A 2 n [ p + £, oo) X [0 , oo) / 0

a n d n A2n [ p - 2€i , p ] X [q, 00) 5Ể then

A >

X m a x - X A ! m u x rn ax -O' ^ Ơ U y

R em ark 0.12 (7) By changing the role between the vertical points and horizontal points we see th a t for any £ > we can find £' > 0, and ơ' > satisfying the following: suppose th a t

A i n A n (0, oo) X (0, q - i ] ^ and A ' n A n (p, oo) X [ q , q + c ' ] ^ th e n

A A _ /

X A1 - X max ^ Ơ

m ax muA y

Case II: S y s te m s w ith d iff e r e n t re s t p oin ts

W e n o w s u p p o s e t h a t (P i, Q i) (p 2, «72)■ W e a r g u e f o r t h e ca se P2 ^ P i; <72 > Qi- T h e o t h e r cases can be a n a ly z e d s im ila rly

Claim (7) For s m a ll £, th e re are p o s it iv e n u m b e r s £2 a n d Oy > such that: i f there exists Ằ2, linking

t w o p o in ts (x, ỹ ) € [ p1 - E, 00) X [q 1 - £2, q 1 + £2] anơ ( X i , ỹ i ) e [ P i , 00) X [ q 2, q2 + 2f ] t/ie n for a n y Ầ I ,

passing through ( X i , ỹ i ) , w e have

X - 1 - X > v

m a x r

(see Figure 19).

: s y s t e m s w ith d i f f e r e n t r e s t p o i n t s

I

Figure 12 X m a x - X > O y

y

s '

/

r

' ! ' <

■ i / ; ;

q2 3: i - / _ ị - f /

I I *

q i 2J

V

Â1

- _ • _ —- X

m T r r r r T~f n 'T T T r n T T T n T r n T r m i r n T T r r m

0 1 1 2 2 3 3 5

P2 Pi

£

K

-For the case I, we put

u = [ p + 6, 00) X [ q , q + 2e2], u1 = [ p + 26,00) X [ q , q + e2]> v = [ p - e i , p] X [ q + 00, oo), VẠl = [ p - £ i , p ] X [q + 2Ớ0, oo). For the case II, we put

u = [P i -£ ,o o ) X [c/1 - £ 2, q i + £2]' Ui = [ p i , 00) X [ q - E 2, q 1],

\ / = [ P i , 0 ) X [ ^ , ^ + £ ] , V i = [ P l , 0 ) X [ Q , Q + c ] •

D e n o te ~ i(x ,y ) = i n f { s : e it h e r ( X i ( f + s ) , y i ( t + s )) e u1 or (X i(f: + s ) , y i ( t + s )) e H i } fo r Case I and

T i ( x , y ) = i n f { s : (Xi(í- + s ) , y i ( f + s)) e i } for Case II Similarly,

r ( x , y ) = i n f { s : e i t h e r ( X2c t + s),Y 2 ( f + s ) ) € Vi or ( X2( t + s ) , y2( t + s ) ) € H i } It is ea sy to see t h a t T i ( x , y ) < oo, r 2( x , y ) < oo and th e y n o t d e p e n d on t.

> i i

r a n d o m f a c t o r s

We prove th a t w ith probability 1, the tra je cto ry of ( z ( t , x , y ) , z (t, x , y ) ) always leaves from any rectangle if tw o rest points not coincide In case tw o systems have the rest point in common, the solution either

goes away from the dom ain H2 or converges to the rest point.

Denote

*n = x ( T n, x , y ) , y n = y ( T n,x,y), and Zn = ( x n, y n ).

We co n stru ct a sequence

7i = inf { k : Zjk € H } , Ĩ 2 = in f { k > Y i : z 2k € H } ,

7n = in f { k > y n- i : z 2k e H }

T h e o re m (9) Let

A k = { ơyk+1 G (Ti(Xyk, y Tk), T i ( X y k , yyk) + ) u (y^ = CXJ)Ị,

w h e re t * is give n in the subsec tion ?? Then

V { A k i.o } = (0.13)

The occurrence of the e vent Ak means that, e ith e r (zn) is in H fo r at most 2k time, i.e., Jk = 0°, or Zyk e H

and the solution z ( t ) satisfies the equation (0.9) on the interval [ yi(, 7/c + Oyk+i ] and the solution switches

the tra je cto ry to the system (0.10) at the point Zyk+1 = (X i(ơ y k+1, Zyk ), y i ( y k+i, Zyk )) By definition of T i

and t * , the e vent {ơ/c+1 e (T i, Ti + t * ) } implies {Zyk+1 Ư} Thus, Theorem 0.14 tells us th a t with

probability 1, e ith e r (z2n) is in H for at most finitely many tim es of n, or the sequence (z2n+ i) falls into the

d o m a i n u f o r i n f i n i t e l y m a n y t i m e s o f n. T h e o re m (10) Denote

I

^ B k = { y k + i e ( T i ( X y k , y y k ) , T ( Xy k , y y k ) + t * ) , (0 14)

ơ y k + 2 € ( T ( Xy k + ĩ , y y k + l ), T2 ( Xy k + l f y y k + l ) + t * ) u ( Ỵ k = oo)}.

Then V {Bi< i.o } = 1.

The occurrence of event Bk says th a t we have two possibilities One is th a t the trajectory of solutions of (0.19) never visits H from a certain m om ent Second possibility is th a t first, the trajectory of solution

s u b j e c t t o ( ) , e n d s a t a p o i n t in t h e domain u ( w e call t hi s p o i n t by s w i t c h i n g o n e ) a n d t h e n , it will t e r m i n a t e in V as a s o lu tio n s u b je c t to th e e q u a tio n (0 10) T h e o re m 15 te lls us t h a t th is process h a p p e n s w ith p r o b a b ilit y M o re o v e r, th is process can be c o n tin u e d fo r a fin ite n u m b e r o f s w itc h in g points More exactly, we have

T h e o re m (11) For any in te g e r n u m b e r m > 0, the e vent

c k = { Yk+l € ( T l { Z y k l T l { Z y k ) + t * ) , O y k + 2 € { T ( Zy k + l l T ( Zy k + ) + t * )

Oyk +m € (Tm{Zyk+m- i ) l TmiZyi'.+rn-1) + t ) u (Y/< = ° ° ) |

occurs in finitely m a n y times o f k with probability Here Tp( x,y) = T i ( x , y ) i f p is odd and T p ( x ,y ) = r 2( x , y ) i f p is even.

This th e orem lets us know th a t w ith probability one, the solution z ( can switch successively from

s u b j e c t i n g t o ( ) i n t o s u b j e c t i n g t o ( ) in t h e d o m a i n s u a n d v i c e v e r s a in Va n d so on f o r a f i n i t e

num ber, as large as we please, of switching times in condition th a t z (t) can stay in H for infinitely many tim es By v irtu e of the analysis in Section 0.1 we see that, after two times of switching: first at a point in b

a n d n e x t a t a p o i n t in V, t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e trajectory w i t h t h e straight line y = q i , x Pi m o v e s

to the right w ith a displacem ent bigger than O y So the solution of (0.19) in case II always leaves from any

a rb itra ry rectangle.

-f

f

f

-In case where tw o system s have the rest point in com m on, using Remark 0.12 we can prove th a t if the switching points of a tra je c to ry of (0.19) sojourns in H for infinitely m any times, it m ust visit H i Indeed,

w ith e'y given on Remark 0.12 we put U' = [p, p + £ ' ] X (0, q - i ] , u ' = [p, p + £ i ] X (0, g - i ] and

V' = (p, 0 ) X [q, q + ^ ] , \/' = [p, o o ) X [g, g + f ' J Let

7~'(x,y) = in f { s : e i t h e r ( X i ( + s), y i ( t + s)) G Ư' or ( X i ( t + s), y i ( t + s)) e H i } ,

7 "'(x ,y ) = i n f { s : e ith e r ( x 2( t + s ) , y 2( t + s)) € \/' or ( x 2( f + s ) , y 2( t + s)) G H i }

Suppose th a t t is a small enough positive num ber such th a t if ( X i ( t ) , y i ( t ) ) G Ư' n H2 then

( X i ( t + s), y 1 ( t + s ) ) e U' f o r a n y ^ s ^ t S im ila rly , if (X2(t) , ỵ2Ơ )) e V ^ n H ĩ th e n (X2( t + s ) , y2( t + s )) € V" fo r any ^ s ^ t.

T h e o re m For any N > 0, the e vent

c * = { V k + i € (T[{Zjk ), T[(Zyk) + t),Oyk + e ( T ' U > t + i ) , T ' ( z Tj t +i ) + t )

, ° y k+N ( t ' n (Zyk+N- 1 T'N(zn + N -1) + f ) u ( r * = 00) }

CO -£>

' occ u rs i n f i n i t e l y m a n y tim e s with p r o b a b i l i t y Here T' equals to T ' i f p is odd a n d equals to T ' i f p is even.

T h is t h e o r e m te lls us t h a t if th e s w itc h in g p o in ts o f a s o lu tio n s ta y s in H fo r in fin ite ly m a n y tim e s , th e s o l u t i o n c a n c h a n g e s u c c e s s i v e l y a t l e a s t N t i m e f r o m s u b j e c t i n g to ( ) into s u b j e c t i n g to ( ) a t a

point in U' and from (0.10) into (0.9) at a point in V ' By Remark 0.12, at each changing tim e, its m a x im u m abcsissa moves to p Thus, we have

T h e o r e m Suppose t h a t (0 ) a n d (0.10) have a c o m m o n rest point For an y ( x , y ) e i n m ị , w e have

w ith p r o b a b i l i t y 1, e i th e r

lim(x(t, x,y),y(f, X, y)) = (p,q), (0.15)

t —*oo

on

lim sup x(t, X, y) = oo, lim inf x(t, X, y) = 0, (0.16)

t —*00 t ~*00

We illustrate our result by sim ulations Figure 26 and 26 shows the behavior of the trajectory of the systems

j x = X ( a ( ^ t ) - b(Ẹt)y), \ ỷ = y { - c { Ẹ t ) + d{ Ẹt ) x )

Case A corresponds to d i = 2, b i = 2, Cl = 3, d i = and a = 3, = 3, C2 = 6, Ơ2 = with the initial

condition (2 ,1 ) In this case, tw o systems have the rest point in common, the solution of (0.19) turns around the rest point fo r a while, and then leaves from any com pact set.

, Case B is related to Ữ1 — , b i = 1, Cl = 6, Ơ1 = and Ũ2 = 2, b = 2, c2 = 3, d = 2, the initial condition is

tọ (1, 2) In this case, tw o rest points are different, the solution leaves quickly from any com pact set

h In b o t h c a s e s , t h e g r e e n li ne s h o w s t h e t r a j e c t o r y of ( ) s u b j e c t i n g t o S y s t e m ( ) a n d t h e r ed line

shows the tra je cto ry of (0.18) subjecting to System (0.10). Figure 13 Case A: Dynamics in case two rest

points coincide

Figure 27 (or 27) shows the tim e evolution of x ( t ) and y ( t ) corresponding to Case A (or B), respectively. Rem ark 0.19 By sim ulation results, we observe th a t (0.15) does not occur However, so fa r we are unable to prove this conjecture This is still an open problem.

O p en q u e s tio n

We consider the Lotka-Volterra prey-predator equation

íx = x(a(Ẹt)-b(Ẹt)x-c(Ẹt)y), m

\ ỷ = y ( - d ( Ẹ t ) + f ( Ẹ t ) x ) ,

^ From the sim ulation results, we see th a t there m ust have an attractor How to prove it?

'

4

r

T h e Talk IS d v i d e d i n t o “ih rx r põirts

A ' i v - ' r v r o r t ' b e h a v i o r

I.'nn: r !r - / c iri.i' If; rjt-< 1-v; I!

i • k / w ' " /

L o t k c i - V o i t e r r a

e q u a t i o n ' - : a i t h I t o n o i s e

D iscu ssio n

'K

'

To conclude this talk, we consider an ecology system of tw o com peting species Suppose th a t the

evolution of every species depends on the qu a n tity of rainfall for every period If the rainfall is sufficient, th e ir com petition potential is equal and the y develop periodically W henever the rainfall is small, the second species becomes very weak and its am ount gets sm aller with increasing of tim e although the influence of the oth e r e n viro n m e n t elem ents is still seasonally (periodically) However, in case the rainfall is in a stationary regime, t h e q u a n tity o f e v e ry species o s c illa te s b e tw e e n th e good s itu a tio n and bad s itu a tio n There is no species to be disappeared.

Practically, when the q u a n tity of a species is small, we consider th a t it perishes Thus we see th a t in an eco-system , if tw o species com pete under the influence of random environm ent or in model with white noise, one of th e m m ust be vanished T his conclusion w a rn e s us to h ave a tim e ly decision to p ro te c t sp ecies in o u r e c o -s y s te m

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H A N Ổ I

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Nguyễn Chí Liêm

s ỎN ĐINH MŨ V ô ã

S M LYAPUNOV TRấN TIME SCALE

C h u y ên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dẫn k h oa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Ngô Thị Thanh Nga

s ự TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT

HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM HÀU TUẦN HỒN CỦA MƠ HÌNH SINH THÁI

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dẫn k h oa học: PGS TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2006

-ĐẠI HỌC QUỒC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Phạm Quang Tuấn

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẢN CHl s ố I VÀ CHỈ SÓ II

C h u y ên ngàn h: Phương p h p to n s cấ p

M â số: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư

ĐẠI HỌC QUÔC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Chu Thị Huyền

PHỔ LYAPUNOV CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC TUYÉN TÍNH TRÊN TIME SCALE

C h u y ên n gàn h : Toán g iả i tích

M ã sổ: 6 01

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư

ĐẠI HỌC QƯỔC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Vũ Thị Hương Giang

BÁN KÍNH ỒN ĐỊNH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẢN

C h u yên ngành: Toán g iả i tích

M ã số: 6 46 01

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Nguyễn Trọng Hiếu

ĐỘNG L ự c HỌC CỦA HỆ THÚ MÒI TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

C h u y ên ngành: Lý thuyết xác suất thồng kê toán học

Mã số: 6 15

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dẫn k h oa học: GS TS Nguyễn Hữu Dư

ĐẠI HỌC QUÔC GIA HÀ NỔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Nguyễn Thị Ngọc Anh

ĐIÈU KHIÉN TỐI ƯU TRONG TÀI CHÍNH

C h u y ê n ngành: Lý thuyết xác suất thồng kê toán học

M ã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N g i h n g dần k hoa học: GS TS Nguyền Hữu Dư

TĨM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN

Ngành: Toán ứng dụng

Chuyên ngành: Toán học Sinh thái - Môi trường

1 Họ tên (các) tác giả cơng trình: N H Du, N T Hieu, K Sato and

Y Takeuchi.

2 Năm: 2006 3 Tên báo:

Evolution of predator-prey syste m s described by a Lotka-Volterra equation under random environment

4 Tên Tạp chi: J Math Anal Appl. 323 (2006) 938-957. 5 Tóm tắt cơng trình bàng tiếng Việt:

Tron g báo này, chúng tõl xét tiến hóa hệ hỗn hợp hai hệ tất định thú mồi m ỏ tả phương trình Lotka-Volterra mơl trường ngẫu nhiên C h ú n g tôl chứng minh ảnh hưởng củ a tiếng ổn điện báo, tất c c quỹ đ o dương c ủ a hệ đl khỏi tập com p asct bẩt kỳ chứa in t$ \R _ + A2 $ với x c suất hai điểm cân củ a c c hệ không trùng Trong trường hợp hai điểm cân trùng nhau, chung tòl đă chứng m inh c c quỹ đạo hội tụ điểm cân đl khỏi một tập co m p act bát kỳ D o đóm hệ phát triển bền vững.

6 Tiếng Anh:

+ T i t l e o f p a p e r : Evolution of predator-prey sy ste m s d escribed by a Lotka Volterra equation under random environm ent

+ Title of journal: J Math Anal Appl. 323 (2006) 938-957.

+ Sum m ary:

In this paper, we co n sid e r the evolution of a system com posed of two predator- prey determ inistic s y ste m s d escribed by Lotka-Volterra equations in random environm ent It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of su ch a system alw ays exile from an y com pact set of in t$\R _ + A2 $ with probability one if two rest points of the two sy ste m s not coincide In c a se w here they h a v e the rest point in com m on, the trajectory either leaves from any co m p act set of in t$ \R _ + A2 $ or co n verg e s to the rest point T h e exile of the trajectories from an y co m p act set m ea n s that the system is neither permanent nor d issip ative.

TÓM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN

Ngành: Tốn ứng dụng

Chuyên ngành: Toán học Sinh thái - Môi trường

1 H ọ tên (các) tác giả cóng trình: N H Du, L.H.Tien.

2 Năm: 2007

3 Tên báo:

On the Exponential Stability o f Dynamic Equations on Time Scales.

4 Tên Tạp chi: J Math Anal Appl. 331(2007), pp 1159-1174. 5 Tóm tắt cơng trình tiếng Việt:

Tron g b áo này, ch ú n g tơi để cập đến vài định lý tính ổn định mũ của nghiệm tầm thường củ a hệ động học tim e -scale với thời gian biến thiên Đ ặ c biệt, định lyd tiếng Perron chuyển cho tim e -scale

6 Tiếng Anh:

+ T itle o f paper: On the Exponential Stability o f Dynamic Equations on Time Scales,

+ Title of journal: J Math Anal Appl. 331(2007), pp 1159-1174.

+ Sum m ary:

TĨM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN Ngành: Toán ứng dụng

Chuyên ngành: Toán học Sinh thái - Môi trường

1 H ọ tên (các) tác giả cơng trình: N H Du, N M Man, T T Trung.

2 Năm: 2007 3 Tên báo:

D ynam ics o f Pređator-Prey Population with M odified Leslie - Gower and H olling- Type II Schemes.

4 Tên Tạp chi: Acta Mathematica Vietnamica, vol 32, N01(2007)? pp 99-111. 5 Tóm tát cơng trình bàng tiếng Việt:

Tron g b áo này, ch ú n g tỏi nghiên cứu quần thể mỏ hình hệ phương trình vi phân kiểu L e slie - G ow er and Holling- T y p e II sch e m e s với c c tham số phụ thuộc theo thời gian C h ú n g thiết lập điều kiện đủ để hệ ổn định phát triển vững N ếu c c hệ s ố tuần hoàn, chúng tỏi chứng minh tồn tạo nghiệm tuần hoàn, hút c c nghiêm khác.

6 Tiếng Anh:

+ T itle o f paper: D ynam ics o f Predator-Prey Population with Modified L eslie - Gower and H olling- Type II Schem es

+ Title of journal: Acta Mathematica Vietnamica, vol 32, N01(2007),

+ Sum m ary:

SCIENTIFIC PROJECT QT-06-02

BRANCH: MATHEMATICS PROJECT CATEGORY: NATIONAL UNIVERSITY

1 Title of P ro ject: M ath em atical M od els in E c o -s y s te m s and Environm ent

2 Code of Project: QG 06-02

3 H e a d of re se a rc h group: Prof N g u yen H uu Du

4 M an ag in g Institution: F a cu lty of M ath em atics, M e ch a n ics and Inform atics 5 Im plem enting Institution: C o lle g e of Natural S c ie n c e s -V N U

6 C o llab o ratin g Institutions: 8 P articip an ts:

• P h D N g u y ễ n M inh M an University of M in in g& G eolo gy D eputy head • P h D T rin h T u a n A nh U niversity of H anoi P e d a g o g y M em ber • M S c T o n g T h a n h T ru n g U niversity of National E co n o m y Secretery • P h D L e D in h D inh V N U -H a n o i M em ber • B A V u H a i S a m V N U -H a n o i M em ber 9 Duration: 6 -2 0 to -2 0 7

10 Budget: 60.000.000 VND

1 T h e aim an d m ain resu lts of the project:

a) The aim of the project

4- T o g ath e r a group of exp erts in m ath em atical m odeling for e c o s y ste m s and en viron m en t.

± T o find a bu g et in order to in vestig ate so m e m ath em atical m od elin g s d e s c rib e the evolution of a population in an e c o sy ste m under the effect of d eterm in istic or rand o m environm ent.

4- T h ro u g h o u t this investigation, w e can so lve so m e practical problem s posed during the d e v e lo p m e n t of the eco n o m y an d sociality C o n cretelly:

4- P ro c e e d in g s o m e theorical stu d ie s like the d y n a m ic behavior, stability p ro p erty of a population consistin g of two co m petative s p e c ie s o r a prey- p redator sy ste m

4 S e tu p a m odel for the growth of m angrow in south of V ie tn am or the birth flu d is e a s e D e s ig n a n algorithm to find the num erical solution

4 C re a te a g ood w orking conditions for Ph D and m aster stud en ts of B io­ m a th e m a tics.

b) Main results

i) S c ie n tific r e s u lts

4 W e in vestig ate the d y n a ic s of so m e populations on the tim e -sca le 4 T o learn a b o u t the d y n a ic s of prey-predator population of m odeling of

M odified L e s lie - G o w e r and H olling- T y p e II S c h e m e s.

4 C o m p le te a book of “M e a su re and Integral” an d subm it it for publishing at P u b lish in g h o u s e of V ie tn a m National University, H anoi T h is book can be su e d for P h D or m aste r students of m athem atics, m e ch a n ics.

T h e re se a rc h in g re su lts are realised under the form papers and two reports at international c o n fe re n c e s.

1 Evolution of p red ato r-p re y sy ste m s d escrib ed by a Lotka-Volterra equation u nd er rand o m environm ent, J Math Anal A ppl 3 (2006), -9 2 O n the E x p o n e n tia l stability of D yn am ic E q u a tio n s on T im e S c a le s , J Math

A nal A p p l. 3 (20 7), 1 - 1 4

3 D y n a m ic s of P re d a to r-P re y Population with Modified Le slie - G o w er and H o llin g - T y p e II S c h e m e s , J A cta M a th e m a tica V ietnam ica, 99, vol 32 , N u m b e r 1(2 0 ) , 9 - 1

4 P le n a ry talk at S h iz u o k a University: D y n a m ics of Lotka-Volterra population u n d e r ran d o m environm ent, P roceed ing of 2th- International conference on

M a th e m a tic a l M o d e lin g in B io lo g y (20 07).

5 A m an u scrip t of the book titled "M easure a n d Integraỉ' ii) E d u c a tio n a l a n d training r e s u lts

T h e re are m a ste r stud en ts h ave finished their th e sis under the support of this project,

• T h e project is supporting to the following m aster students

• T h e project h a s b een supporting to the Ph D students of m athem atics: • T h e project h a s b e en supporting to the P h D students of m athem atics:

+ H o n g T h i N g ọ c Y e n , + V ũ H ải S â m + P h m V ă n Q uốc, + T rầ n M inh N g ọ c + Tố n g T h n h Trung

T h e project h a s b e e n sp o n so red 0 0 0 V N D in two y e a rs 0 and 0 T h is fund c o v e rs the following iterms:

1) S p o n s o rs for writing a n d puplishing scientific re se a rc h papers: 6 B u g e ts

2) S p o n s o rs for scie n tific se m in a r and sym p o siu m 3) O ffice station ary, co m m u m n icatio n , information 4) P ro je ct m a n a g e m e n t

5) P ro je ct e v a lu a tio n

Total:

26 0 0 đ 2 0 0 đ 4 0 000 đ 2 0 0 đ 3 0 0 0 đ 60 000 000 đ

-PHIẾU ĐẢNG KÝ

KẾT QUẢ NGHIÊN c ứ u KH-CN

T én đ ề tài (h o ặ c dự án):

T iế n g V i ệ t MÔ HÌNH TO Á N HỌC TRONG SINH THÁI VÀ MƠI TRƯỜNG Tiếng Anh: Mathematical Models in Eco-systems and Environment Mã số; QG- 06-02

C q u a n c h ủ tr ì đề tài (h o ặ c dự n ): T rư n g Đ i h ọ c K h o a h ọ c T ự nhiên Đ i h ọ c Q u ố c g ia H N ội

Đ ịa c h ỉ: 3 N g u y ễ n T r ã i, T h a n h X u â n , H Nội

T el: 8 7 _ C q u a n q u ả n lý đề tà i (h o ặc dự n ): Đ i h ọ c Q u ố c g ia H ả N ội

Đ ịa c h ỉ: 14 X u â n Th u ỷ, c ầ u G iấ y, H Nội

T el:

T ổ n g kinh p h í thự c chi:

T r o n g đó: - T n gân sách N hà nước: ,0 0 0 đ

- Kinh phí trường: 0

- V ay tín dụn g: 0

- Vốn tự có: 0

- Thu hói: _ _

Thời g ia n n g h iên cứu: n ă m

T h i g ia n bát đ ầ u : n ă m 0

Thời gian kết thúc: 10 năm 20 7 Tên cá n p h ố i hợp n g h iên cứu:

- G S T S N g u y ễ n H ữ u D ư Đ H K H T ự n h iê n C N đ ề tải

- T S N g u y ễ n M in h M a n Đ H M ỏ - Đ ị a c h ấ t P C N đ ề tà

- T h S T ố n g T h n g T ru n g Đ H K H T ự n h iê n T h ký

Số đăng k ý đ ề tài

N gày:

S ố ch ứ n g nhận đãng ký kết n gh iên cứu:

Bảo mật:

a Phổ biến rộng rãi: X b Phổ biến han chế: c Bảo mât:

Tóm tăt kêt nghiên cứu:

i) K ế t q u ả v ề n g h iê n c ứ u k h o a h ọ c

a ) N g h iê n c ứ u d n g đ iệ u tiệm c ậ n c ù a q u ầ n thể thú m ồi m ôi trư ng n g ẫu n h iê n C h ỉ s ự d n g đ iệ u tiệm c ậ n c ủ a h ệ thời g ia n d ầ n vơ cù n g H ệ có d n g đ iệ u h ỗ n lo ạn

b) N g h iê n c ứ u đ ộ n g h ọ c c ủ a q u ầ n th ẻ t im e -s c a le

c) N g h iê n c ứ u d n g đ iệ u đ ộ n g h ọ c c ủ a q u ầ n th ể thú m ồi vớ i m ô h inh M odified

Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes

d) Đ ã h o n th n h viế t đ ợ c c u ố n s c h ”L ỷ th u yết đ ộ đ o ” đ a n g tiến h n h c c thủ tụ c in ấ n C u ố n s c h n y c ó th ẻ d ù n g làm tài liệu g iả n g d y c h o đ i h ọ c , c a o h ọ c h o ặ c tài liệu c h u y ê n k h ả o c h o N C S n g n h to án h ọ c, to án v to n tin ứ n g d ụ n g

C c k ế t q u ả n g h iê n c ứ u c ủ a đ ề tài đ ợ c th ể h iện b ài b o d ă n g tạp c h í c h u y ê n n g n h v b o c o hội nghị q u ố c tế

1 Evolution of predator-prey syste m s described by a Lotka-Volterra equation under random environm ent, J M ath Anal Appl 32 3(20 ).

2 O n the Expo nen tial stability of D yn am ic Eq uations on Tim e S c a le s, J Math A nal A ppl 3 (2 0 7), 1 - 1

3 D y n a m ic s of P re d a to r-P re y Population with Modified Leslie - Gow er and Holling- Type II S c h e m e s , J, A cta M a th e m a tics V ietnam ica, 99, vol 32, Num ber 1(2 0 ) 9 -1 1

A P le n a ry talk a t S h iz u o k a U n iversity, H a m a tsu J a p a n: D y n am ics of Lotka-Volterra population u nd er random environment, Proceeding of 2th- International conference on M athem atical M odeling in Biology (2007)

5 B ả n th ả o c ủ a c u ố n s c h L ý th u y ế t Đ ộ đ o ii) K ế t q u ả v ề đ o tạ o

♦> Đ ề tài đ ã g ó p p h ầ n đ o tạo đ ợ c n h iề u cử n h â n k h o a h ọ c v c n h â n k h o a h ọ c tải n ă n g tron g đ ó c ó s v T rịn h K h n h D u y thủ k h o a c ủ a Đ a i h o c Q u ố c

gia Hà Nội năm 2007;

Đ ã đ o tạ o đ ợ c h ọ c viê n c a o h ọ c k h u ô n khổ đ ề tài * Đ a n g đ o tạ o h ọ c v iê n c a o h ọ c k h u ô n khổ đ ề tải.

* Đ ề tài hỗ trợ đ ắ c lực cho 05 NCS khoa Toán - Cơ - Tin hoc

Kiến nghị v ề quy m ô v đôi tượng áp dụng nghiên c ứ u :

Các kết quả mở rộng c h o hệ động lực ẳn phi tuyển trường hợp hè động lực vô hạn chiều Đ ề nghị nâng cấp thành đề tài cấp cao

Chủ nhiệm đé tài Thủ trường quan chủ trì đé tài

Chù tịch Hói đánh giá thức

Thu trương co quan quán lỵ dé tài

H ọ tên Nguyễn Hữu Dư íhuiịiủỳtơ, M ill Sàc ÌQh PịtnỊ

0 * , T ~ A ‘ • ;

H ọc h m

h ọc vị GSTS Ốf-ĨSKH tkus s

* Õ «

K í tên

Đ ó n g dấu

ỵ Z-.

VWKjJmh rT"h

\ \

h - %

-O ' b ‘iị i ' í ; r ':'ÌỊ

( L ( ự

, i'

'■ " ■ ■ Ê M — '

www.sciencedirect.com w w w elseviercom /locate/jm aa w w w e l s e v i e r c o m