Thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập

Thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập Thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập Thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ TRANG THUẬT TOÁN LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên – 2021 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường phịng chức trường, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 1.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 12 1.3.1 Một số vấn đề sơ lược bất đẳng thức biến phân 12 1.3.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16 Chương Một số thuật toán lai ghép giải toán chấp nhận tách nhiều tập 22 2.1 Phát biểu toán số cải tiến phương pháp CQ 22 2.2 Thuật toán hội tụ 26 Kết luận Tài liệu tham khảo 34 35 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X khơng gian Banach , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu “Bất đẳng thức biến phân” nảy sinh q trình nghiên cứu giải tốn thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài tốn giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [5] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” D Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [7] Bất đẳng thức biến phan tập nghiệm toán khác thường gọi bất đẳng thức biến phân hai cấp Gần có nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm đến bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách (đa tập), lớp tốn áp dụng để giải số lớp toán khác, đặc biệt toán liên quan đến xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh Y học Mục đích luận văn trình bày lại kết Wang cộng tài liệu [14] phương pháp lặp xoay vòng tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert Nội dung luận văn cấu trúc thành hai chương, đó: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert, ánh xạ không giãn bất đẳng thức biến phân Chương trình bày lại chi tiết kết Wang cộng phương pháp lặp kiểu đường dốc kết hợp với phương pháp CQ xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập không gian Hilbert Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điển bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 1.4 đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân cổ điển toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2] [7] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y Vậy ta điều phải chứng minh + x − z Mệnh đề 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H , ta ln có x+y ≤ x + y, x + y với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H , ta có x+y = x + x, y + y ≤ x + x, y + y = x + y, x + y 2 Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H , lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R : ∞ n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H , từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, Suy limn→∞ en , y = 0, tức en en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, thỏa mãn điều kiện xn ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Chứng minh Vì xn n→∞ (1.2) x, nên {xn } bị chặn Ta có xn − y = xn − x + x−y > xn − x + xn − x, x − y + xn − x, x − y Vì x = y , nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn xn → x , xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có xn − x = xn − xn , x + x x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho x∗ ≤ x với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C xn −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có xn − xm ≤ ( xn 2 = 2( xn + xm ) − xn + xm + xm ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên n→∞ x∗ = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho y ∗ = d Ta có x∗ − y ∗ = 2( x∗ + y∗ 2) − x∗ + y ∗ 2 ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = Suy x∗ = y ∗ Vậy tồn phần tử x∗ ∈ C cho x∗ = inf x∈C x Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.7 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H , tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC (x) ≤ x − y với y ∈ C Chứng minh Vì C tập lồi, đóng khác rỗng nên x − C tập lồi, đóng khác rỗng Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn phần tử PC ∈ C cho x − PC (x) ≤ x − y với y ∈ C Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định gọi phép chiếu mêtric từ H lên C Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = Khi PC x = x + y − x, u u u Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : x − a ≤ R}, a ∈ H phần tử cho trước R số dương Khi đó, ta có:   x x − a ≤ R, PC x =  a + R (x − a) x − a > R x−a Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H −→ C phép chiếu mêtric Mệnh đề 1.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho PC : H −→ C ánh xạ Khi đó, phát biểu sau tương đương: a) PC phép chiếu mêtric từ H lên C ; b) y − PC x, x − PC x ≤ với x ∈ H y ∈ C ; Chứng minh Thật vậy, giả sử PC phép chiếu mêtric từ H lên C , tức x − PC x = inf u∈C x − u Với x ∈ H , y ∈ C với α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x Vì C lồi nên yα ∈ C x − PC x ≤ yα − x Điều tương đương với x − PC x ≤ α(y − PC x) − (x − PC x) = α y − PC x + x − PC x 2 − 2α y − PC x, x − PC x Từ đó, ta nhận y − PC x, x − PC x ≤ α y − PC x 22 Chương Một số thuật toán lai ghép giải toán chấp nhận tách nhiều tập Nội dung chương trình bày lại kết Wang cộng tài liệu [14] phương pháp lặp xoay vòng tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert 2.1 Phát biểu tốn số cải tiến phương pháp CQ Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho A : H1 −→ H2 toán tử tuyến bị chặn A∗ : H2 → H1 toán tử liên hợp A Bài toán chấp nhận tách (SFP) không gian Hilbert phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ Γ = C ∩ A−1 (Q) = ∅ (SFP) Dạng tổng quát Bài toán (SFP) toán (MSSFP), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , t Qj , j = 1, 2, , r tập lồi đóng H1 H2 , tương ứng Tìm phần tử x∗ ∈ Γ = ∩ti=1 Ci ∩ A−1 (∩rj=1 Qj ) = ∅ (MSSFP) Một phương pháp để giải toán (SFP) phương pháp CQ Với phương pháp CQ, Bài toán (SFP) đưa tốn tìm điểm 23 bất động ánh xạ PC I − γA∗ (I − PQ )A , γ > 0, PC PQ phép chiếu mêtric từ E lên C từ F lên Q, tương ứng Ta biết γ ∈ 0, A , PC I −γA∗ (I −PQ A ánh xạ không giãn Do đó, người ta vận dụng phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn (phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ gắn kết) để tìm nghiệm Bài toán (SFP) Xu [12] đưa chứng minh kết Trước hết ông hội tụ yếu phương pháp CQ nghiệm Bài toán (SFP) Định lý 2.1 [12] Nếu γ ∈ 0, A dãy {xn } xác định x1 ∈ H1 xn+1 = PC I − γA∗ (I − PQ )A xn hội tụ yếu nghiệm toán (SFP) Sự hội tụ phương pháp lặp Mann phương pháp lặp cho định lý đây: Định lý 2.2 [12] Cho dãy {αn } ⊂ [0, 4/(2 + γ A )] thỏa mãn điều kiện ∞ αn n=1 Nếu γ ∈ 0, T 2+γ A − αn = ∞ dãy {xn } xác định x1 ∈ H1 xn+1 = (1 − αn )xn + αn PC I − γA∗ (I − PQ )A xn , hội tụ yếu nghiệm toán (SFP) Năm 2006, Xu [11] đưa thuật toán mở rộng phương pháp CQ cho Bài toán (MSSFP) Đặt p(x) = r βj Ax − PQj (Ax) , j=1 βj > với j = 1, 2, , r Trước hết, Xu [11] chứng minh kết đây: Mệnh đề 2.1 Giả sử tập nghiệm Bài toán (MSSFP) khác rỗng Khi đó, ta có khẳng định sau: 24 i) Hàm p(x) lồi, khả vi với đạo hàm xác định r βj A∗ (I − PQj )Ax, p(x) = (2.1) j=1 p(x) ánh xạ Lipschitz với số L = A r j=1 βj ii) Phần tử x∗ nghiệm Bài tốn (MSSFP) điểm bất động chung ánh xạ khơng giãn trung bình {Ti }ti=1 với Ti = PCi (I − γ p), γ > 0, i = 1, 2, , t Tiếp đó, ơng chứng minh hội tụ phương pháp lặp Picard cho Bài toán (MSSFP) Định lý 2.3 [11] Nếu γ ∈ A r j=1 βj , 0, L với βj > với j = 1, 2, , r L = dãy {xn } xác định x1 ∈ H1 r r ∗ xn+1 = PCN (I − γ βj A∗ (I − PQj )A)xn βj A (I − PQj )A PC1 (I − γ j=1 j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) Xu xây dựng chứng minh hội tụ phương pháp lặp song song phương pháp lặp xoay vịng cho Bài tốn (MSSFP) dạng đây: Định lý 2.4 [11] Nếu γ ∈ A r j=1 βj 0, L t i=1 λi λi > thỏa mãn với βj > với j = 1, 2, , r, L = t = 1, dãy {xn } xác định x1 ∈ H1 r βj A∗ (I − PQj )A)xn λi PCi (I − γ xn+1 = i=1 j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) Định lý 2.5 [11] Nếu γ ∈ T r j=1 βj , 0, L với βj > với j = 1, 2, , r L = dãy {xn } xác định x1 ∈ H1 r βj A∗ (I − PQj )A)xn xn+1 = PC[n+1] (I − γ j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) 25 Từ kết [11, 3, 6], ta có kết Bổ đề 2.1 [11, 3, 6] Giả sử Bài toán (MSSFP) có tập nghiệm khác rỗng Đặt Ti := PCi (I − γ∇q), i = 1, 2, , t, < γ < 2/L Khi ánh xạ t U = T1 Tt trung bình; tổ hợp lồi S = αi Ti trung bình, αi > i=1 t 0, αi = 1; T[n+1] = Tn mod t trung bình, hàm mod lấy giá trị i=1 tập {1, 2, , t} Bổ đề 2.2 [11] Ký hiệu toán tử trung bình U, S, T[n+1] Bổ đề 2.1 T Vơi điểm khởi đầu x0 , y0 z0 H, n ≥ 0, dãy {xn }, {yn } {zn } sinh xn+1 = T xn , (2.2) yn+1 = (1 − an )T yn , (2.3) zn+1 = (1 − bn )zn + bn T zn , (2.4) {an } {bn } dãy số thực (0, 1) Khi đó, ta có khẳng định sau: i) Dãy {xn } xác định (2.2) hội tụ yếu tới nghiệm Bài toán (MSSFP); ii) Nếu ∞ n=1 bn (1 − bn ) = ∞, dãy {zn } xác định (2.4) hội tụ yếu tới nghiệm Bài toán (MSSFP); iii) Nếu điều kiện sau thỏa mãn a) limn→∞ an = 0; b) ∞ n=1 an c) ∞ n=1 |an+1 = ∞; − an | < ∞ limn→∞ an+1 /an = 1, dãy {yn } xác định (2.3) hội tụ mạnh nghiệm chuẩn tắc Bài toán (MSSFP) Định nghĩa 2.1 Cho tốn tử trung bình U, S, T[n+1] Bổ đề 2.2 f : H × H → H ánh xạ tổ hợp xác định f (x1 , x2 ) = (1 − αn )x1 + αn x2 , n ≥ 0, 26 với (x1 , x2 ) ∈ H × H αn ∈ [0, 1] Ta đặt ánh xạ X := U f (S, T[n+1] ), Y := Sf (U, T[n+1] ), Z := T[n+1] f (U, S) Khi đặt B : H → H tốn tử trung bình xác định B := an X + bn Y + cn Z, n ≥ với an , bn , cn dãy R thỏa mãn an + bn + cn = 2.2 Thuật toán hội tụ Trong mục chúng tơi trình bày lại vài thuật tốn lai ghép hội tụ mạnh để giải toán chấp nhận tách đa tập, xác tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm Bài toán (MSSFP) từ tài liệu [14] Trước hết, có kết sau Định lý 2.6 Giả sử H không gian Hilbert thực F : H −→ H ánh xạ k -Lipschitz η -đơn điệu mạnh Ký hiệu toán tử trung bình U, S T[n+1] xác định Bổ đề 2.1 Tα Với x0 ∈ H , dãy {xn }n xn+1 = (I − λn µF )Tα xn , n ≥ 0, sinh (2.5) λn ∈ (0, 1) thoả mãn (P1) lim λn = 0, n→∞ ∞ λn = ∞ γ ∈ (0, 2/L) (P2) n=0 Khi dãy {xn } xác định (2.5) hội tụ mạnh tới nghiệm Bài toán (MSSFP), đồng thời nghiệm toán bất đẳng thức biến phân F x∗ , x − x∗ ≥ 0, với x ∈ Γ (2.6) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Vì Tα ánh xạ không giãn Tα p = p, nên từ Bổ đề 1.1 (2.5), với p ∈ Γ ta có xn+1 − p = (I − λn µF )(Tα xn − p) + λn F p µ ≤ (1 − λn τ ) xn − p + Fp τ µ ≤ max x0 − p , F p τ Từ ta suy dãy {xn } bị chặn 27 Tiếp theo ta có xn+1 − xn = (I − λn µF )Tα (xn − xn−1 ) + (λn−1 − λn )µF Tα xn−1 (1 − λn τ ) xn − xn−1 + | λn−1 − λn | µF Tα xn−1 (2.7) Từ điều kiện (P1 ), (P2 ) Bổ đề 1.4 ta có lim xn+1 − xn = (2.8) n→∞ Đặt un = Tα xn ta thu ||xn − un || ≤ xn − xn+1 + xn+1 − un ≤ xn − xn+1 + λn µ F un Từ điều kiện (P1 ) (2.8) ta nhận lim xn − un = (2.9) n→∞ Vì dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy xni tổng quát ta giả sử xn xn x∗ i → ∞ Một cách x∗ i → ∞, kết hợp với Mệnh đề 1.12 ta có x∗ ∈ F ix(Tα ) Mặt khác, từ Bổ đề 2.1 2.2 ta biết un x n → ∞ x ∈ Γ Do lim F x∗ , un − x∗ ≥ 0, x∗ ∈ Γ (2.10) n→∞ Cuối ta chứng minh xn xn+1 − x∗ x∗ theo chuẩn Thật vậy, ta có = (I − λn µF )(un − x∗ ) − λn µF x∗ = (I − λn µF )(un − x∗ ) 2 + λ2n µ2 F x∗ − 2λn µ (I − λn µF )(un − x∗ ), F x∗ ≤ (1 − λn τ ) xn − x∗ − 2λn µ un − x∗ , F x∗ + λ2n µ2 F x∗ + 2λ2n µ2 F un − F x∗ = (1 − σn ) xn − x∗ + σn δn , σn = λn τ, F x∗ 28 δn = −2µ λn µ2 un − x∗ , F x∗ + τ τ F x∗ + F un − F x ∗ F x∗ ∞ σn = ∞ lim σn ≤ Do đó, từ Bổ đề 1.2 ta suy Rõ ràng xn → x∗ n=0 n→∞ n → ∞, Nhận xét 2.1 Khi ta thay F = I Định lý 2.6, thuật toán (2.5) trở thành (2.3) hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn nhỏ Bài toán (MSSFP) Định lý 2.7 Giả sử H không gian Hilbert thực F : H −→ H ánh xạ k -Lipschitz η -đơn điệu mạnh Gọi Ω tập lồi, đóng, khác rỗng H1 giả sử Ω ∩ Γ = ∅ Với x0 ∈ H1 , dãy lặp {xn } sinh    x0 ∈ Ω, yn0 = xn , n ≥ 0,     y i = Ti y i−1 , i = 1, 2, , t, n n      xn+1 = PΩ (I − λn µF )(εn T[n+1] ynt + (1 − εn ) t (2.11) αi Ti yni ) , i=1 t αi = 1, λn ∈ (0, 1], εn ∈ [0, 1], αi > với i cho i=1 Ti = PCi (I − γF ), i = 1, 2, , t, Tnmodt = PCn mod t (I − γF ) γ ∈ (0, 2/L) Khi dãy {xn } xác định (2.11) hội thụ mạnh tới phần tử Ω ∩ Γ, dồng thời nghiệm toán bất đẳng thức biến phân F x∗ , x − x∗ ≥ 0, với x ∈ Ω ∩ Γ (2.12) Chứng minh Đặt F = Ω∩Γ Ta biết PF x hoàn toàn xác định với x ∈ H , F tập lồi đóng H1 Chúng ta tồn x∗ ∈ F cho x∗ = PF (I − µF )x∗ (2.13) Từ Bổ đề 1.1 ta biết I − µF ánh xạ co PF (I − µF ) ánh xạ co H Khi nguyên lý ánh xạ co Banach ta suy (2.13) Ta viết un = εn T[n+1] ynt + (1 − εn ) t αi Ti yni , với p ∈ F n ≥ i=1 yn1 − p = T1 yn0 − T1 p ≤ yn0 − p = xk − p , yni − p = Ti yni−1 − Ti p ≤ yni − p 29 ≤ ≤ yn0 − p = xk − p , i = 1, 2, , t (2.14) Từ Bổ đề 2.1 (2.14) ta có t un − p = εn T[n+1] ynt −p αi Ti ynt − p + (1 − εn ) i=1 t αi Ti ynt − εn (1 − εn ) T[n+1] ynt − i=1 ≤ εn ynt − p + (1 − εn ) ynt − p ≤ xn − p , với n ≥ Do ta có un − p ≤ xn − p , với n ≥ Phần lại định lý lập luận giống chúng minh Định lý 2.5 Tương tự trên, ta có định lý Định lý 2.8 Giả sử H không gian Hilbert thực F : H −→ H ánh xạ k -Lipschitz η -đơn điệu mạnh Gọi Ω tập lồi, đóng, khác rỗng H1 Với x0 ∈ H1 , dãy lặp sinh    x0 ∈ Ω,       yn0 = εn T[n+1] xn + (1 − εn ) t αi Ti xn , n ≥ 0, (2.15) i=1    yni = Ti yni−1 , i = 1, 2, , t,      x = P (I − λ µF )y t , n+1 Ω n n t αi = 1, λn ∈ (0, 1], εn ∈ [0, 1], αi > với i cho i=1 Ti = PCi (I − γF ), i = 1, 2, , t, Tn mod t = PC n mod t (I − γF ) γ ∈ (0, 2/L) Khi dãy {xn } xác định (2.15) hội thụ mạnh tới phần tử Ω ∩ Γ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (2.12) Tiếp theo, ta có kết sau 30 Định lý 2.9 Giả sử H không gian Hilbert thực F : H −→ H ánh xạ k -Lipschitz η -đơn điệu mạnh Cho Ω tập lồi, đóng, khác rỗng H1 Cho g : H1 → H1 ánh xạ κ co với κ ∈ (0, k) Với điểm x0 ∈ Ω, dãy lặp {xn } sinh xn+1 = (1 − ωn )xn + ωn PΩ [λn µg(xn ) + (I − λn µF )Bxn ], n ≥ (2.16) {ωn } {λn } hai dãy đoạn [0, 1] thoả mãn điều kiện ∞ λn = ∞, (C1) lim λn = 0, n→∞ n=1 (C2) < lim ωn , n→∞ với B xác định Định nghĩa 2.1 Khi dãy {xn } xác định (2.16) hội thụ mạnh tới phần tử Ω ∩ Γ, đồng thời nghiệm toán bất đẳng thức biến phân gx∗ − F x∗ , x − x∗ ≤ 0, với x ∈ Ω ∩ Γ (2.17) Nếu g = dãy {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (2.12) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Thật vậy, với z ∈ Γ, từ Định nghĩa 2.1 ta có Bxn − z ≤ xn − z , với n ≥ Hơn từ (2.16) ta suy xn+1 − z ≤ (1 − ωn ) xn − z + ωn λn µ(g(xn ) − g(z))+ + λn µ(g(z) − F (z)) + (I − λn µF )(B(xn ) − z) = (1 − ωn λn (τ − µκ)) xn − z + max{ xn − z , µ g(z) − F (z) τ − µκ µ g(z) − F (z) } τ − µκ Bằng quy nạp thấy với n ≥ ta có: xn − z ≤ max{ x0 − z , µ g(z) − F (z) } τ − µκ 31 Do {xn } bị chặn Vì ta suy g(xn ) bị chặn Tiếp theo lim xn+1 − xn = n→∞ (2.18) Đặt W = 2PΩ − I , ta thấy W không giãn Từ Định nghĩa 2.1 ta thấy tồn số dương t ∈ (0, 1) cho B = (1 − t)I + tV , V ánh xạ khơng giãn Khi ta viết lại (2.16) sau: xn+1 = − ωn (1 + t) ωn (1 + t xn + un , 2 (2.19) un = tV xn + zn + W z˜n , 1+t zn = λn µg(xn ) − λn µF Bxn , z˜n = λn µg(xn ) + (I − λn µF )Bxn Từ theo giả thiết (C1 ) t ∈ (0, 1) ta suy ωn (1 + t) ωn (1 + t) ≤ lim