Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK.. Ta có HK⊥CD.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a (1,0 điểm)
Khi m = −1 ta có y=2x3− 6x • Tập xác định: D= \ • Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 6= x2−6; ' 0y = ⇔ = ±x
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞ −; 1) (1;+ ∞ khoảng nghịch biến: (−1; 1) ); - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = −4; đạt cực đại x = −1, yCĐ =
- Giới hạn: lim ; lim
x→−∞y= −∞ x→+∞y= +∞
0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
b (1,0 điểm)
Ta có y' 6= x2−6(m+1)x+6 ; ' 0m y = ⇔ =x x m= 0,25 Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m≠ 0,25 Ta có A(1;3m−1), ( ;B m m− 3+3m2). Hệ số góc đường thẳng AB k= − − (m 1)2
Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y= + x k= − 0,25 1
(2,0 điểm)
0 m
⇔ = m=
Vậy giá trị m cần tìm m=0 m= 0,25
x ' y y
− ∞ −1 + ∞
0
+ + −
+ ∞
− ∞ −
4
1 O
y
x
−1
(2)Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
Phương trình cho tương đương với sin 5x+cos 2x= 0,25 π
cos cos
2
x x
⎛ ⎞
⇔ ⎜ + ⎟=
⎝ ⎠ 0,25
π
5 2π ( )
2
x x k k
⇔ + = ± + ∈] 0,25
2 (1,0 điểm)
π 2π
6 3 ( )
π 2π
14
x k
k
x k
⎡ = − + ⎢
⇔⎢ ∈
⎢ = − + ⎢⎣
] 0,25
2
2
2 3
4 4
x y xy x y
x y x x y x y
⎧ + − + − + =
⎪ ⎨
− + + = + + +
⎪⎩
(1) (2)
x+ ≥y x+ y≥
Điều kiện: 0, Từ (1) ta y= + x y 2x
0,25
= +
• Với y= +x 1,thay vào (2) ta 3x2− + =x 3x+ +1 5x 4+
3(x x) (x 3x 1) (x 5x 4)
⇔ − + + − + + + − + =
2 1
( )
1
x x
x x x x
⎛ ⎞
⇔ − ⎜ + + ⎟=
+ + + + + +
⎝ ⎠
0,25
2 0 0
x x x
⇔ − = ⇔ = x=1 Khi ta nghiệm ( ;x y) (0;1) (1;2) 0,25 3
(1,0 điểm)
• Với y=2x+ ,1 thay vào (2) ta 3− =x 4x+ +1 9x+ 3x ( 4x 1) ( 9x 2)
⇔ + + − + + − =
4
3
4 1
x
x x
⎛
⇔ ⎜ + + = ⇔ =
+ + + +
⎝ ⎠ x
⎞
⎟ Khi ta nghiệm ( ; )x y (0; 1) Đối chiếu điều kiện ta nghiệm ( ; )x y hệ cho (0;1) (1;2)
0,25
Đặt t= 2−x2 ⇒t td = −x xd Khi x= t= 2, x= t= 0,25
Suy
2
d I = ∫ t 4
t 0,25
2
1
3 t
= 0,25
(1,0 điểm)
2
−
= 0,25
Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ AB a SH= Mà (SAB) vng góc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ (ABCD)
0,25
Do . 3
3
S ABCD ABCD
a
V = SH S = 0,25
Do AB || CD H∈AB nên d A SCD( ,( ))=d H SCD( ,( )) Gọi K trung điểm CD I hình chiếu vng góc của H SK Ta có HK⊥CD Mà SH⊥CD ⇒ CD⊥(SHK) ⇒ CD ⊥ HI Do HI ⊥(SCD)
0,25 5
(1,0 điểm)
Suy
2
( ,( ))
7
SH HK a
d A SCD HI
SH HK
= = =
+ S
I A
1
0,25
B C
H
(3)Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Ta có: ( ) ( )( ) ( ) 2 4 2( 2
2
a b c a b ab ac bc
a b+ a+ c b+ c ≤ +a b + + = + + + + ≤ a +b + ) 0,25 c Đặt t= a2+b2+c2+ suy 4, t>2 29
2( 4) P
t t
≤ − − Xét ( ) 29 ,
2( 4)
f t
t t
= −
− với t>2 Ta có
3
2 2 2
4 ( 4)(4 16
'( )
( 4) ( 4)
t t t t t
f t
t t t t
− − + − −
= − + =
− −
)
Với t > ta có 4t3+7t2− −4t 16 4(= t3− +4) t(7t−4) 0> Do '( ) 0f t = ⇔ = t
0,25
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta P≤
0,25 6
(1,0 điểm)
Khi a= = =b c ta có
P= Vậy giá trị lớn P 5
8 0,25
Gọi I giao điểm AC BD⇒IB=IC Mà IB IC⊥ nên ΔIBC vuông cân I⇒nICB=45 o BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vuông cân B ⇒ I trung điểm đoạn thẳng HC
0,25
Do CH ⊥ BD trung điểm I CH thuộc BD nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
2( 3) ( 2)
3
2
2
x y
x y
+ − − = ⎧⎪
− +
⎨ ⎛ ⎞
0
+ ⎜ ⎟− =
⎪⎩ ⎝ ⎠
Do ( 1;6).C −
0,25
Ta có
3 IC IB BC
ID IC ID=ID= AD= ⇒ =
2 10 10 5 2.
2 CH
CD IC ID IC
⇒ = + = = = 0,25
7.a (1,0 điểm)
Ta có (6 ; )D − t t CD=5 suy (7 )2 ( 6)2 50 t
t t
t = ⎡
− + − = ⇔ ⎢ =
⎣ Do D(4;1) D( 8;7).−
0,25
(P) có véctơ pháp tuyến nJG=(2;3; 1).− 0,25
Đường thẳng Δ qua A vng góc với (P) nhận nJG làm véctơ phương, nên có phương trình
3
2
x− y− z
= =
−
0,25
Gọi B điểm đối xứng A qua (P), suy B thuộc Δ Do (3 ;5 ; ).B + t + t − t 0,25 8.a
(1,0 điểm)
Trung điểm đoạn thẳng AB thuộc (P) nên 2(3 ) 10
2
t t
t ⎛ + ⎞ ⎛− ⎞ t
+ + ⎜ ⎟ ⎜− ⎟− = ⇔
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −
Do B( 1; 1; 2).− −
0,25
Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là: 7.6 42.= 0,25 Số cách chọn viên bi đỏ, viên từ hộp là: 4.2 8.= 0,25 Số cách chọn viên bi trắng, viên từ hộp là: 3.4 12.= 0,25 9.a
(1,0 điểm)
Xác suất để viên bi lấy có màu là: 12 10
42 21
p= + = 0,25
A D
B C
H I
t
( )
2 + ∞
0
+ −
f t
−∞
5
0
f '( )t
(4)Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
Ta có H AH∈ AH⊥HD nên AH có phương trình:
2
x+ y− = Do (3 ; ) A − a a 0,25 Do M trung điểm AB nên MA = MH
Suy (3 )− a 2+ −(a 1)2= ⇔ = 13 a a= − Do A khác H nên ( 3;3).A −
0,25
Phương trình đường thẳng AD y− = Gọi N điểm đối xứng 3 của M qua AD Suy N AC∈ và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ
1
3
1 0.( 1) y
x y
+
⎧ − =
⎪ ⎨
⎪ + − =
⎩
(0;5) N
⇒ 0,25
7.b
Đường thẳng AC có phương trình: 2x 3y 15 (1,0 điểm)
− + =
Đường thẳng BC có phương trình: 2x− − = y Suy tọa độ điểm C thỏa mãn hệ:
2 15
x y x y
− − = ⎧
⎨ − + = ⎩
Do C(9;11)
0,25
Ta có JJJGAB= −( 2;3;2 ,) vectơ phương Δ uJG= −( 2;1;3) 0,25 Đường thẳng vng góc với AB Δ, có vectơ phương vJG= ⎡⎣JJJG JGAB u, ⎤⎦ 0,25
Suy vJG=(7; 2; ) 0,25
8.b (1,0 điểm)
Đường thẳng qua A, vng góc với AB Δ có phương trình là: 1
7
x− = y+ =z−1
0,25 Điều kiện: x>1;y> −1 Hệ cho tương đương với
2
3
2
log ( 1) log ( 1)
x y x
x y
+ = −
⎧ ⎨
− = +
⎩ 0,25
2 2 3 0
x x
y x
− − =
⎧ ⇔ ⎨
= −
⎩ 0,25
1,
3,
x y
x y
= − = − ⎡
⇔ ⎢ = =⎣ 0,25
9.b (1,0 điểm)
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm ( ; )x y hệ cho (3;1) 0,25 - Hết -
D
B C H
M
N A
dethivn.com