Đang tải... (xem toàn văn)
Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân BD vaø E laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân SK.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
−−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN; Khối A Khối A1
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu Đáp án Điểm
1 a) (1,0 điểm)
(2,0đ) • Tập xác định D = R \ {1} • Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y0
= −
(x − 1)2; y
<0, ∀x ∈ D.
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞)
0,25
- Giới hạn tiệm cận: lim
x→−∞y= limx→+∞y= 1; tiệm cận ngang: y =
lim
x→1−
y = −∞; lim
x→1+y = +∞; tiệm cận đứng: x =
0,25 - Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
y0
− −
y
1 +∞
−∞
P P
P P
P P
P q
P P
P P
P P
P q
0,25
• Đồ thị:
y
x
O
−2
−2
1
1
0,25
b) (1,0 điểm)
M ∈ (C) ⇒ Ma;a+ a− 1
, a6= 1. 0,25
Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = a+
a+ a− 1 √
2 0,25
d=√2 ⇔ |a2
+ 2| = 2|a − 1| ⇔h a
2
− 2a + = a2
+ 2a = 0,25
• a2
− 2a + = 0: phương trình vô nghiệm • a2
+ 2a = ⇔h aa= 0= −2. Suy tọa độ điểm M cần tìm là: M(0; −2) M(−2; 0) 0,25
(2)Câu Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với sin x + cos x = + sin x cos x 0,25
(1,0ñ) ⇔ (sin x − 2)(2 cosx − 1) = 0,25
• sin x − = 0: phương trình vô nghiệm 0,25
• cos x − = ⇔ x = ±π3 + k2π (k ∈ Z)
Nghiệm phương trình cho là: x = ±π3 + k2π (k ∈ Z)
0,25
3
(1,0đ) Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y = x
2
− x + đường thẳng y= 2x + x2
− x + = 2x + ⇔h xx= 1= 2.
0,25
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
2
Z
1
|x2− 3x + 2|dx 0,25
=
2
Z
1
(x2− 3x + 2)dx =
x3 −
3x2
2 + 2x
2
0,25
=
6 0,25
4
(1,0đ) a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy
3a + b =
a− b = 5 0,25
⇔ a = 2, b = −3 Do số phức z có phần thực 2, phần ảo −3 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C4
16= 1820 0,25
Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là: C4 = 70
Xác suất cần tính p = 70 1820 =
1 26
0,25
5 Gọi M giao điểm d (P), suy M(2 + t; −2t; −3 + 3t). 0,25 (1,0đ) M ∈ (P) suy 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − = ⇔ t = 32 Do M7
2; −3;
0,25
dcó vectơ phương −→u = (1; −2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến −→n = (2; 1; −2).
Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ −→u , −→n] = (1; 8; 5). 0,25 Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0,
nghóa (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0,25
6
(1,0đ) Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ (ABCD).Do SH ⊥ HD Ta có SH =√SD2− DH2
=pSD2− (AH2+ AD2) = a.
0,25
Suy VS.ABCD=
1
3.SH.SABCD= a3
3 0,25
Gọi K hình chiếu vuông góc H BD E hình chiếu vuông góc H SK Ta có BD⊥ HK BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK). Suy BD ⊥ HE Mà HE ⊥ SK,
do HE ⊥ (SBD)
0,25
Ta coù HK = HB sin \KBH = a √
2 Suy HE = √ H S.H K
H S2+ HK2 =
a
3 0,25
A
B
C
D
H
S
K
E
Do d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = 2a
dethivn.com
(3)Câu Đáp án Điểm
(1,0đ) Ta có MN =
√
10 Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD, a >0 Ta có AM = a
2 vaø AN = 3AC
4 =
3a√2 , neân MN2
= AM2
+ AN2
− 2AM.AN cos \M AN = 5a
2
8 Do 5a2
8 = 10, nghóa a =
0,25
Gọi I(x; y) trung điểm CD Ta có IM = AD =
A
B
C
D
M
N
I
vaø IN = BD
4 =
√
2, nên ta có hệ phương trình 0,25
(x − 1)2
+ (y − 2)2
= 16 (x − 2)2+ (y + 1)2= 2 ⇔
h x= 1; y = −2 x= 17
5 ; y = − • Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) −−→IM= (0; 4)
Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến −−→IM, nên có phương trình y + = 0,25 • Với x = 175 ; y = − 65 ta có I175 ; − 65 −−→IM =− 12
5 ; 16
5
Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến −−→IM, nên có phương trình 3x−4y−15 =
0,25
8 (1,0đ)
(
x√12 − y +py(12 − x2) = 12 (1)
x3
− 8x − = 2√y− 2 (2) Điều kiện: −2 √
3 ≤ x ≤ 2√3; ≤ y ≤ 12 Ta coù x√12 − y ≤ x2+ 12 − y2 vaø py(12 − x2) ≤ y+ 12 − x
2
2 nên x√12 − y + py(12 − x2) ≤ 12 Do (1) ⇔
x≥ 0 y= 12 − x2.
0,25
Thay vào (2) ta x3
− 8x − = 2√10 − x2 ⇔ x3
− 8x − + 2(1 −√10 − x2) = 0
⇔ (x − 3)x2+ 3x + + 2(x + 3) +√10 − x2
= (3) 0,25
Do x ≥ neân x2+ 3x + + 2(x + 3)
1 +√10 − x2 >0 0,25
Do (3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm: (x; y) = (3; 3) 0,25
(1,0đ) Ta có ≤ (x − y − z)
2= x2+ y2+ z2
− 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz), neân x2
+ yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1) Suy x2
x2+ yz + x + 1 ≤
x x+ y + z +
0,25
Mặc khác, (x + y + z)2= x2+ y2+ z2+ 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z)
≤ + 2yz + [x2+ (y + z)2
] = 4(1 + yz) Do P ≤ xx+ y + z + y + z + −
(x + y + z)2
36
0,25
Đặt t = x + y + z, suy t ≥ vaø t2
= (x + y + z)2
= (x2
+ y2
+ z2
) + 2xy + 2yz + 2zx ≤ + (x2
+ y2
) + (y2
+ z2
) + (z2
+ x2
) = Do ≤ t ≤√6 Xét f(t) = t
t+ 1− t2
36,với ≤ t ≤ √
6 Ta coù f0
(t) = (t + 1)2 −
t 18 = −
(t − 2)(t2
+ 4t + 9)
18(t + 1)2 , neân f
(t) = ⇔ t =
0,25
Ta coù f(0) = 0; f(2) = vaø f(
√
6) = 31 30 −
√
5 , neân f(t) ≤
9 ≤ t ≤ √
6 Do P ≤ 59 Khi x = y = z = P =
9 Do giá trị lớn P
0,25
−−−−−−Heát−−−−−−
dethivn.com
... = 2HE = 2adethivn.com< /h3>
(3)Câu Đáp án Điểm< /sub>
(1,0đ) Ta có MN...
10 Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD, a >0 Ta có AM = a
2 vaø AN = 3AC
4 =
3a? ??2 , neân MN2
= AM2
+ AN2
− 2AM.AN cos M AN = 5a
2... a+
a+ a< sub>− 1 √
2 0,25
d=√2 ⇔ |a< /sub>2
+ 2| = 2 |a − 1| ⇔h a
2
− 2a + = a2
+ 2a = 0,25
• a2
− 2a + =