ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Môn Toán 9

Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC.[r]

PHỊNG GD-ĐT ĐƠNG HÀ

- -ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011

Mơn Tốn Thời gian 150 phút Câu 1: (1đ)

Cho số x, y, z khác không thoả mãn

2010 1 1

2010 x y z

x y z

          

Chứng minh số x, y, z tồn số đối nhau.

Câu 2: (1đ) Cho n  N* Chứng minh :

1 1 3 n n        

Câu 3: (1đ) Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ

xy yz zx A

z x y   

Câu 4: (1đ) Chứng minh :P4n36n23n17 không chia hết cho 125, n N

Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n cho 3n 55 số phương

b) Cho a + 2a + (a  N) đồng thời hai số phương Chứng minh a chia hết cho 24.

Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) x4 x2  1 y2 b) 2x  3y 1

Câu 7: (3đ) Cho tam giác ABC với tâm O Gọi M điểm bên tam giác ABC Kẻ

, ,

MH BC MK AC MIAB

a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h chiều cao tam giác ABC). b) Đường thẳng MO cắt cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’

Chứng minh rằng:

' ' '

3

' ' '

MA MB MC

OA OB OC  .

-Hết -ĐÁP ÁN

Câu 1: Từ

2010 1 1

2010 x y z

x y z

          

1 1 1 1

0

x y z x y z x y z x y z

   

         

       

 

0 ( ) ( )

( )

x y x y

x y z x y z xy

xy z x y z

 

        

 

   

2

(x y zx zy z) xy (x y z x z) ( ) y x z( )

           

0

( )( )( ) 0

0

x y x y

x y y z z x y z y z

z x z x

                         

Vậy số x, y, z tồn số đối Câu :

 Với n = 1, ta có :

1

1

1 2 3

1  

  

 

  (đúng)

 Với n  2, ta có :

1 ( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 2) 2.1

1

2! 3! !

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n

    

 

      

 

1 1

1

2! 3! n!

 

      

 

Mặt khác:

1 1 1 1

1

2! 3!  n! 1.2 2.3 (n1)n   n 

Vậy

1

1 3

n

n

 

 

 

  (đpcm)

Câu 3:

Vì x > 0, y > 0, z > nên

0, 0, 0 xy yz zx

z  x  y 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

2 . 2

xy yz xy yz y

z  x  z x  (1)

2 . 2

yz zx yz zx z

x  y  x y  (2)

2 . 2

zx xy zx xy x

y  z  y z  (3)

Từ (1), (2), (3) 

2 xy yz zx 2(x y z) 2 z x y

 

     

 

  (vì x + y + z = 1)  2A   A  1

Vậy Min A = 

1 3 xy yz zx

x y z z  x  y    

Câu 4:

Giả sử tồn n  N cho P4n36n23n17  125  P  5  2P2(4n36n23n17) (2 n1)3 35 5

 (2n1) 53  2n1 5  2n 1 ,k kN  k lẻ Đặt k = 2m + 1, m  N ta có : 2n = 5(2m + 1) –  n = 5m + 2

Khi :P4(5m2)36(5m2)2 3(5m2) 17 125(4  m36m23 ) 45m  không chia hết cho 125, trái với điều giả sử

VậyP4n36n2 3n17 không chia hết cho 125, với n N.

Câu 5:

a) Đặt 3n 55a2, với a  N (1)

Từ (1)  a chẵn  a 2 0(mod 4) 3n 1(mod 4) (2) Mặt khác: 31(mod 4) 3n  ( 1) (mod 4)n (3) Từ (2) (3)  n chẵn  n = 2m, (m  N)

pt (1)  a2  (3 )m 55 (a 3 )(m a3 ) 55m  (*)

Vì 0a 3m a3mnên từ (*) 

3 11

3 3

3 27

3 55

m

m m

m m

m a

a m

m a

a      

     

 

   

  

    

 

 Với m =  n = 

2

3n 55 3 55 64 8

    

 Với m =  n =  3n 55 3 655 784 28  Vậy n 2;6 3n 55 số phương

b) Đặt a + = k2, 2a + = m2 , (k, m  N)

Vì 2a + lẻ nên m2 lẻ  m lẻ  m = 2t + 1, (t  N)  2a + = (2t + 1)2  a = 2t(t + 1) số chẵn

 a + lẻ  k2 lẻ  klẻ  k = 2n + 1, (n  N)

Do từ a + = k2  a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1)  (1)

Mặt khác: k2 + m2 = a + + 2a + = 3a + 2(mod 3)

2 1(mod 3) 2 0(mod 3)

k m m k a

       hay a3 (2)

Từ (1) (2)  a(3.8), (vì (3; 8) = 1) Vậy a chia hết cho 24.

Câu 6: a) x4 x2  1 y2 (1) Ta có

2 0

x  x

 ( )x2 x4 x2  1 (x2 1)2 Do từ (1) ( )x2  y2 (x2 1)2 (*)

Vì x2 x2 + số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y2 (x2 1)2

 (x21)2 x4 x2  1 x2  0 x0  y2  1 y 1 Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (0 ; 1), ( ; -1)

b) 2x  3y  1 2x  1 3 y (1) Từ (1)  2x >  x >  y 0

Xét y số chẵn : Ta có : 31(mod 4) 3y  ( 1) (mod 4)y  3y 1(mod 4) (vì y chẵn) Do từ pt(1)  2x 2(mod 4) x =  y =

 Xét y số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m  N) Ta có :

2

3y m 3.9m 3(mod8)

  

Do từ pt(1)  2x 4(mod 8) x =  y = Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1) Câu 7:

Chứng minh:

a) Ta có: SABC SMBCSMCASMAB

1 1

2 BC h BC MH AC MK AB MI

   

 BC h (MH MK MI BC  )  MH MK MI  h (đpcm)

b) Từ O kẻ OH'BC OK, 'AC OI, 'AB Theo kết câu a ta có:

OH’ + OK’ + OI’ = h

Mà O tâm tam giác ABC nên:

1

' ' '

3 OH OK OI  h Ta có: MH // OH’ nên:

'

' '

MA MH

OA OH (1)

OK’ // MK nên: '

' '

MB MK

OB OK (2)

H C'

K

I B'

A'

I'

H'

K'

O A

B C

IM // OI’ nên: '

' '

MC MI

OC OI (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta có:

' ' '

' ' ' ' ' ' '

MA MB MC MH MK MI MH MK MI

OA OB OC OH OK OI OH

 

     

(vì OH’ = OK’ = OI’)

3 h

h

 

Vậy

' ' '

3

' ' '

MA MB MC