http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn TOÁN – LỚP 10 Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề A. PHẦN CHUNG: (7,0 điểm) Phần dành cho tất cả học sinh học chương trình chuẩn và nâng cao. Câu 1: (2,0 điểm) a) Tìm tập xác định của hàm số 2 3 x 2x y = − . b) Giải phương trình: 2 x 2 =1 x + + . Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số 2 y = 2x x +1 3− (1). a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Xác định các giá trị của tham số thực m để đường thẳng (d): y x m = + cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Câu 3: (1,0 điểm) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số thực k: 2 3x(2k 3) k 1 x) 9 ( + = − − . Câu 4: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(−2; −1), B(0; 3) và C(3; 1). a) Tìm toạ độ trọng tâm G và tính chu vi của tam giác ABC. b) Đường thẳng BC cắt trục hoành Ox tại điểm D. Tính diện tích tam giác OBD. Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − . B. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Học sinh các lớp Ban KHTN bắt buộc làm phần II, học sinh các lớp còn lại chỉ được chọn một trong hai phần (phần I hoặc phần II) I. Theo chương trình chuẩn: Câu 6.a: (2,0 điểm) a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = 3 2x 3 + 2x − − . b) Viết phương trình đường thẳng (D): y = ax + b, biết (D) đi qua hai điểm M(1; 2009) và N(2000; 10). Câu 7.a: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 MA MB + CA CB 0 − − = II. Theo chương trình nâng cao: Câu 6.b: (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: 2 2 (m 1)x 2y m 1 (m ) m x y m 2m + − = − ∈ − = + ¡ . a) Xác định giá trị của m để hệ phương trình trên vô nghiệm. b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là các số nguyên. Câu 7.b: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC và ba điểm M, N và P thoả mãn MC 9.MB= uuur uuur , NA 3.NB 0+ = uuur uuur r , PC 3.PA 0+ = uuur uuur r . Hãy phân tích mỗi vectơ MN, MP uuuur uuur theo hai vectơ AB, AC uuur uuur . Từ đó suy ra ba điểm M, N và P thẳng hàng. ---------------------------- Hết -------------------------- Họ và tên: SBD: Phòng thi: ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn: TOÁN 10 – ****************************** Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,0 điểm a Tìm tập xác định của hàm số 2 3 y = x - 2x . 1,0 điểm Hàm số xác định 2 2 0x x ⇔ − ≠ 0,25 0 2x x⇔ ≠ ∧ ≠ 0,50 Vậy tập xác định của hàm số là: D = D = \{0; 2}¡ . 0,25 b Giải phương trình: 2 x = 1 + x + 2 1,0 điểm 2 2 2 1 x 0 x = 1 x x 1 x) 2 2 ( + ≥ + ⇔ + + + = 0,25 x 1 x 1 2 0 ≥ − ⇔ − = x 1 x 1/ 2 ≥ − ⇔ = (mỗi ý đúng cho 0,25 điểm) 0,50 1 x 2 ⇔ = . Vậy pt có một nghiệm là 1 x 2 = 0,25 Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phép biến đổi hệ quả và thử lại để KL nghiệm. 2 Cho hàm số 2 y = 2x x + 1 - 3 có đồ thị (C). 1,5 điểm a Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 0,75 điểm 0,50 1 3 -1 y -1 2 x -1/8 3/4 1/2 1 O 0,25 Đồ thị: x −∞ 3/4 + ∞ y + ∞ + ∞ −1/8 b Xác định các giá trị của tham số thực m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 0,75 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2 2x x +1 = x + m 3 − 2 2x x +1 m = 0 4 ⇔ − − 0,25 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ' 0 0 0 S P ∆ > ⇔ > > 2 2 0 2 0 1 0 m m + > ⇔ > − > 1 1 1 1 m m m m > − ⇔ ∀ ⇔ − < < < . Vậy m ∈ (−1; 1) là các giá trị cần tìm. 0,50 3 Giải và biện luận pt sau theo tham số thực k: 2 3x(2k + 3) = k 1 - x) - 9 ( . 1,0 điểm Phương trình ⇔ 2 2 (k 3) k 9 x + = − 0,25 Nếu k ≠ − 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất 3 3 k x k − = + . 0,25 Nếu k = − 3 thì phương trình có nghiệm x tuỳ ý. 0,25 KL: . 0,25 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( − 2; − 1), B(0; 3) và C(3; 1). 1,5 điểm a Tìm toạ độ trọng tâm G và tính chu vi của tam giác ABC. 0,75 điểm Toạ độ trọng tâm G(1/3; 1). 0,25 (2;4) 2 5AB AB = ⇒ = uuur ; (5;2) 29AC AC = ⇒ = uuur ; (3; 2) 13BC BC = − ⇒ = uuur 0,25 Vậy chu vi tam giác ABC là: 2 5 29 13 + + . 0,25 b Đường thẳng BC cắt trục hoành Ox tại điểm D. Tính diện tích ∆ OBD. 0,75 điểm Gọi D(x; 0) là điểm thuộc trục Ox. Ta có: (3; 2)BC = − uuur ; ( ; 3)BD x = − uuur 0,25 Ba điểm B, C và D thẳng hàng nên: .BD k BC= uuur uuur 9 3 2 3 2 3 2 x x k k k = = ⇔ ⇔ − = − = ⇒ D(9/2; 0) 0,25 S ∆ OBD = 1 1 27 . 2 2 4 B D OB OD y x = = . 0,25 5 Chứng minh rằng: ≥ a b c + + 3 b + c - a c + a - b a + b - c (*) 1,0 điểm Ta đặt: 2 2 2 x b c a x y c y c a b y z a z a b c z x b = + − + = = + − ⇔ + = = + − + = (để ý rằng x, y, z là các số dương) 0,25 Bđt (*) biến đổi thành y z z x x y 6 x y z + + + + + ≥ (*') hay y z z x x y 6 x x y y z z + + + + + ≥ 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương (hoặc ba số dương) ta có: y x z x z y 2; 2; 2 x y x z y z + ≥ + ≥ + ≥ 0,25 Cộng các bđt trên theo vế ta được (*'). Vậy (*) được chứng minh. (Đẳng thức xảy ra a b c⇔ = = hay ∆ABC đều) 0,25 6.a 2,0 điểm a Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = 3 - 2x - 3 + 2x . 1,0 điểm TXĐ: D = ¡ . x x ∀ ∈ ⇒ − ∈ ¡ ¡ 0,25 f( x) = 3 2x 3 2x f(x), x − + − − ∀ ∈ = − ¡ 0,50 Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 0,25 b Viết phương trình đường thẳng (D): y = ax + b, biết (D) đi qua hai điểm M(1; 2009) và N(2000; 10). 1,0 điểm (D) đi qua hai điểm M và N nên ta có hệ pt: 2009 2000 10 a b a b + = + = 0,50 1 2010 a b = − ⇔ = 0,25 Vậy (D): y = −x + 2010. 0,25 7.a Cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 MA - MB + CA - CB = 0 (1) 1,0 điểm Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) . .MA+ MB MA- MB + CA+CB CA -CB = 0 ⇔ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25 ( ) . 02.MI.BA+2.CI.BA= 0 BA MI CI ⇔ ⇔ + = uuur uuur uur uuur uuur uuur uur (2) 0,25 Vẽ vectơ IJ = CI uur uuur , thế thì: (2) ( ) . 0 . 0BA MI IJ BA MJ BA MJ ⇔ + = ⇔ = ⇔ ⊥ uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur 0,25 Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng qua J và vuông góc với AB 0,25 6.b Cho hệ phương trình: ∈ ¡ 2 2 (m + 1)x - 2y = m - 1 (m ) m x - y = m + 2m . 2,0 điểm a Xác định giá trị của m để hệ phương trình trên vô nghiệm. 1,0 điểm Ta có: D = 2m 2 − m −1 = (m − 1)(2m + 1) D x = 2m 2 + 3m +1 = (m + 1)(2m + 1) D y = 4m 2 + 2m = 2m(2m + 1) 0,50 Hệ pt vô nghiệm thì điều kiện cần là D = 0, tức m = 1 hoặc m = −1/2. 0,25 Với m = 1 thì D x ≠ 0 nên hệ VN; Với m = −1/2 thì D x = D y = D = 0 nên hệ có vô số nghiệm. KL: m = 1 là giá trị cần tìm. 0,25 b Xác định các giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là các số nguyên. 1,0 điểm Hê có nghiệm duy nhất ⇔ m ≠ 1 và m ≠ −1/2. 0,25 Lúc đó nghiệm duy nhất của hệ là: 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 m x m m m y m m + = = + − − = = + − − 0,25 Để x, y là các số nguyên (với m nguyên) thì m − 1 là ước của 2. 0,25 Suy ra m = 0; m = 2; m = −1; m = 3 (thoả). 0,25 7.b Hãy phân tích mỗi vectơ uuuur uuuur MN , MP theo hai vectơ uuur uuur AB, AC . Từ đó suy ra ba điểm M, N và P thẳng hàng. 1,0 điểm MC 9.MB= uuur uuur ( ) 9 1 AC AM 9. AB AM AM AB AC 8 8 ⇔ − = − ⇔ = − uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur ; NA 3.NB 0+ = uuur uuur r ( ) 3 AN 3. AB AN 0 AN AB 4 ⇔ − + − = ⇔ = uuur uuur uuur r uuur uuur ; 1 AP AC 4 = uuur uuur 0,50 3 1 MN AN AM AB AC 8 8 = − = − + uuuur uuur uuuuclass="_ _b4 . http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 010 - 2 011 Môn TOÁN – LỚP 10 Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề A. PHẦN CHUNG: (7,0 điểm). phương trình: 2 x = 1 + x + 2 1, 0 điểm 2 2 2 1 x 0 x = 1 x x 1 x) 2 2 ( + ≥ + ⇔ + + + = 0,25 x 1 x 1 2 0 ≥ − ⇔ − = x 1 x 1/ 2 ≥ − ⇔ =