10 đề thi cuối học kì II Toán lớp 9 năm học 2019 - 2020

mỗi đội làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với. đội thứ hai là 12 giờ[r]

(1)

Học toán online thầy Trần Hữu Hiếu

Hotline: 091.269.8216 1

MATHX.VN ĐỀ 01

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II LỚP Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I (2 điểm)

Cho biểu thức P

x x x

 



 với x4, x0

1) Rút gọn biểu thức P

2) Chứng minh P < với x4, x0

3) Tìm giá trị x để P 15  

Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương

trình:

Một người tô từ A đến B cách 90km Khi từ B trở A người tăng

tốc độ 5km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 15 phút Tính

tốc độ ô tô lúc từ A đến B

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

108 63

x y

81 84

x y



 

  

  

 

2) Cho đường thẳng

 

  Parabol

 

 hệ trục tọa độ

Oxy

a) Vẽ parabol (P) đường thẳng (d) cho

b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tìm điểm N trục hồnh cho

tam giác NAB cân N

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định, BC R 3. A điểm di động cung lớn BC (A khác B, C) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE

của tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường trịn (O),

(2)

Học tốn online thầy Trần Hữu Hiếu

Hotline: 091.269.8216 2

a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AE.AB = AD.AC

c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K (K

khác O) Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng

Bài V (0,5 điểm)

Cho hai số thực m n khác thỏa mãn 1

m n  Chứng minh hai

phương trình x2mx n 0 x2nx m 0 có phương trình có nghiệm

(3)

Hotline: 091.269.8216 3

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – ĐỀ 01

Nội dung Điểm

I a)



 





x x x x

 

  













x 2 x

P

x x x x x x

       Thu





x x

 



b) Với x 4, x 0  , ta có x x.





x

          

Mà  1 nên





1

P

x x



 



với x 4, x 0 

c) Thay





1 P

x x

 



vào P

15  





x x



 



Tính x 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x 9 để P 15   0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

II Gọi vận tốc ô tô lúc từ A đến B x (km/h), x 0 Vận tốc ô tô từ B trở A x 5 (km/h)

Thời gian ô tô từ A đến B 90 x (h)

Thời gian ô tô từ B trở A 90 x 5 (h)

Đổi 15 phút = 1h

4 Thời gian thời gian 15 phút nên ta có phương trình:

90 90

x x 5 4

Giải phương trình x 40 (thỏa mãn điều kiện)

(4)

Hotline: 091.269.8216 4

Vậy vận tốc ô tô lúc từ A đến B 40km/h 0,25

III 1)

Điều kiện: x, y 0

Đặt u; v

x y , ta thu hệ phương trình:

108u 63v

81u 84v

  



 



Giải hệ ta u 27

 ; v

21  

Từ suy x 27 ; y 21

2)

a) Học sinh tự vẽ

b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tìm điểm N

trục hoành cho tam giác NAB cân N

Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:

2

1

x x

4  2 

Giải phương trình ta x

x      

Thu A 2; , B



 



Điểm N nằm trục hoành tọa độ N(a; 0)

Tam giác NAB cân N nên ta có: NA NB N AB     









a 2             

Giải a 



Vậy tọa độ điểmN 9;        0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

(5)

Hotline: 091.269.8216 5

Tứ giác BEDC có BECBDC 90

Suy tứ giác BEDC nội tiếp (hai góc kề chắn

cung BC)

b) AED∽ACB(g g) có A chung AEDACB(cùng

bù với BED )

AE AC

AED ACB AE.AB AD.AC

AD AB

 ∽    

c) Ta có BDC ACF 90 CF BD hay CF BH (1)

 

ABF AEC 90   BF CE hay BF CH (2)

Từ (1) (2)  Tứ giác BHCF hình bình hành

d) Tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn đường kính AH



AKH 90

  (3)

Mà tam giác AKF nội tiếp đường trịn đường kính AF



AKF 90

  (4)

Từ (3) (4) suy ba điểm K, H, F thẳng hàng

0,25

0,75

0,5

0,25

0,5

V Với m, n 0

1 1

mn 2(m n)

mn 2  

Phương trình x2 mx n 0 (1) có  1 m2 4n Phương trình x2 nx m 0 (2) có  2 n2 4m









2

1 m n m n 2mn m n

          (BĐT Cô- si)





1 m n 4(m n)

       

Vậy hai phương trình cho có phương trình có

nghiệm

0,25

(6)

Hotline: 091.269.8216 6

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II LỚP Mơn : Tốn

Thời gian làm 120 phút

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức : a

P

a  



3 a a

Q

a

a a

 

  



  với a0,a9

1) Khi a 81 , tính giá trị biểu thức P 2) Rút gọn biểu thức Q

3) Với a 9 , tìm giá trị nhỏ biểu thức A P.Q

Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương

trình :

Hai đội cơng nhân làm chung công việc dự định 12 ngày hồn thành

xong Nhưng làm chung ngày, đội I điều động làm việc

khác Đội II tiếp tục làm nốt phần việc cịn lại Khi làm mình, cải tiến cách

làm, suất cảu đội II tăng gấp đơi, nên đội II đẫ hồn thành xong phần việc

còn lại 3,5 ngày Hỏi với suất ban đầu, đội làm mọt

sau thời gian hồn thành cơng việc ?

1) Giải hệ phương trình :

1

2

x y

2

1

x y



 

  

 

  

  



2) Cho parabol (P) : yx2 đương thẳng (d) : y (2m 1)x 2m   (x ẩn, mlà tham số )

a) Khi m=1 Xác định tọa độ giao điểm (d) (P)

b) Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệtA(x ; y ); B(x ; y )1 1 2 2

(7)

Hotline: 091.269.8216 7

Bài IV (3,5 điểm): Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (BC tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất

kỳ, vẽ MI vng góc với AB, MK vng góc với AC(I AB,K AC) 

a) Chứng minh : tứ giácAIMKnội tiếp đường trịn

b) Vẽ MP vng góc với BC (P BC) Chứng minh: MPK MBC 

c) Chứng minh : MI.MKMP2

d) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn

Bài V (0,5 điểm) Cho ba số x, y,z khơng âm x2y2 z2 3y Tìm giá trị nhỏ

2 2

1

P

(x 1) (y 2) (z 3)

  

  

(8)

Hotline: 091.269.8216 8

I Nội dung Điểm

1) a 81 (thỏa mãn điều kiện) suy a 9 Thay vào biểu thức P tính P 12

2) Q 3( a 3) 2( a 3) a a a

     





Rút gọn Q a a 



3) Biến đổ P.Q a a ( a 3)

a a a

       

  

Đánh giá được:

9

( a 3) ( a 3)

a a

    

  (Vời a 9 )

Từ MinA 12 a 36

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

II Gọi thời gian đội I làm (với suất ban đầu ) để hồn thành công việc x (ngày); x > 12

Gọi thời gian đội II làm (với suất ban đầu ) để

hồn thành cơng việc y (ngày); y 12

Mỗi ngày đội I làm

x (công việc)

Mỗi ngày đội II làm

y (công việc)

8 ngày làm

12 (công việc)

Năng suất đội II là:

y (cơng việc/ngày)

Khi ta có hệ phương trình:

0,25

(9)

Hotline: 091.269.8216 9

1 1

x y 12

2

3 y



 

  

  

 

Giải hệ phương trình ta được: x 28; y 21 (thỏa mãn)

Kết luận: Với suất ban đầu, để hồn thành cơng việc, đội I

làm 28 ngày, đội II làm 21 ngày

0,5

III

1) ĐKXĐ: x

y   

 

Đặt ẩn phụ u

x 2  ;

v

y 1  Hệ phương trình cho trở

thành: u v

2u 3v

  



 



Giả ta được: u

 ; v 

Từ suy x 19

 ; y

 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm (x; y) là: 19 8;

 

 

 

2a) Xét m1 hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm

của phương trình x2 3x 2 0

Giải phương trình tìm được: x1 1; x2 2 Từ tính tung độ y11; y2 4

Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) là: M(1;1) N(2; 4)

2b) Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương

trình:

2

x (2m 1)x 2m  0 (*)

Tính  (2m 1)

- (P) (d) cắt hai điểm phân biệtPT (*) có hai nghiệm phân biệt   0 m2

0,25

(10)

Hotline: 091.269.8216 10

- Khi ta có:

2 2 2

1 2 2 2

Tx x x x x x 2x x 3x x (x x ) 3x x

2b) Áp dụng hệ thức Vi- ét cho PT (*) ta có:

1

x x 2m

   



 

Thay vào biểu thức T:





T 2m 1 3.2m

2

2 3

T 4m 2m 2m

2 4

 

       

 

Vậy Tmin

 m

4

 (thỏa mãn điều kiện)

0,25

IV a)

 

AIMAKM 90

 

AIM AKM 180

  

 Tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM

b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 90  (giả thiết)

 Tứ giác CPMK tứ giác nội tiếp

Suy MPKMCK (1)

Vì KC tiếp tuyến (O) nên ta có:MCK MBC  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn MC) (2)

0,25

(11)

Hotline: 091.269.8216 11

Từ (1) (2) suy ra: MPK MBC (3) c) Chứng minh BPMI tứ giác nội tiếp

  

MIP MBP MBC

   (4)

Từ (3) (4) suy MPK MIP 

Tương tự: MKP MPI   MPK∽MIP

2

MP MI

MK.MI MP

MK MP

   

d) Từ phần c, suy MI.MK.MPMP3 Do MI.MK.MP lớn MP lớn (5)

Gọi H hình chiếu O BCOH số (do BC cố định) Gọi D giao điểm MO BC

Ta có: MP MD; OH OD 

MP OH MD OD MO    MP OH R  MP R OH

  

Do MP lớn R OH O, H, M thẳng hàng (M nằm cung nhỏ BC) (6)

Từ (5) (6)

3

max(MI.MK MP) (R OH)

  

M nằm giữa cung nhỏ BC

0,25

V Theo bất đẳng thức Cơ Si ta có :

2 2

(x 1) (y 4) (z 1) 2x 4y 2z  

3y 2x 4y 2z

    

6 2x y 2z

   

Với hai số a, b 0 Chứng minh 12 12 2

a  b (a b)

Do

2 2

2

1 8

P

y y

(x 1) ( 1) (z 3) (x 1 1) (z 3)

2

64.4 256

1 (2x y 2z 10) (6 10)

    

      

  

(12)

Hotline: 091.269.8216 12

Dấu “=” xảy x 1; y 2; z 1  

(13)

Hotline: 091.269.8216 13

KIỂM TRA HỌC KÌ II Năm học: 2017 - 2018

Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2 điểm)

Cho biểu thức A x

x  



2 x x 3x

B

x

x x



  



  với x 0; x

 

a) Tính giá trị A x 25 b) Rút gọn biểu thức PB : A c) Tìm giá trị nhỏ P

Bài II (2 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương

trình:

Hai người làm chung công việc 48 phút xong Thời gian

người thứ làm xong cơng việc nhiều thời gian để người thứ

hai làm xong cơng việc Hỏi người làm

bao lâu hồn thành cơng việc?

Bài III (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol

 

1) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) m =

2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

3) Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M x ; y









N x ; y cho y1y2 3 x





Bài IV (3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB = 2R, xy tiếp tuyến với (O) B CD

là đường kính





tự M N

1) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp

2) Chứng minh AC.AM = AD.AN

3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN

Chứng minh tứ giác AOIH hình bình hành Khi đường kính CD quya

(14)

Hotline: 091.269.8216 14

4) Khi góc AHB 600 Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành hình bình hành AHIO quay quanh cạnh AH theo R

Bài V (0,5 điểm) Cho x 0; y 0  x y 1.  Tìm giá trị lớn biểu thức

y x

A

y x

 

(15)

Hotline: 091.269.8216 15

Bài Nội dung Điểm

I

2,0

1) 0,5

* Tại x 25 x3 A 25 25



  



* Vậy x 25 A3

2) 1,0

2 x x 3x

B

x

x x



  



 

2 x x 3x

B

x

x x

      

















3 x

3 x B

x x x x

         











3 x x 1 3

P B : A :

x x

           0,25 0,25 0,25

3) 0,5

3 P

x  







 

Lập luận

3

x x x 3 P

x 

           



Dấu "=" xảy x 0 (TMĐK) Vậy Min P 1 x =

0,25

II

2,0

Đổi 48 phút 24

5

(16)

Hotline: 091.269.8216 16

Gọi thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x

24 x

5

 



 

 

Thời gian người thứ làm xong công việc x 4

(giờ)

Trong người thứ hai làm

x công việc

Trong người thứ làm

x 4 công việc

Theo ra, ta có giờ, hai người làm

24 cơng việc

Nên ta có phương trình 1

x 4 x 24

Giải phương trình tìm x1 12

 

 x2 8(TM)

Vậy thời gian người thứ hai làm xong cơng việc

Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc 12

0,25

III

2,0

1) 0,75

Khi m = ta có y x 2 

Phương trình hồnh độ giao điểm x2 x 2 x2 x 20 Giải (1) x1 2, x2  1









1

2

x y A 2;

x y B 1;1

   

     

Vậy

 









0,25

2) 0,75

Xét PT hoành độ giao điểm (d) (P):

2

x  x m 3 0 (*)

(17)

Hotline: 091.269.8216 17

(d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N phương trình (*) có hai

nghiệm phân biệt m 13

4

    

3) 0,5

Áp dụng hệ thức Vi-ét có:







 







1 2 2

y y 3 x x  x m 3  x m 3 3 x x

 2m 6 2 x





IV

3,5

0,5

1) 0,75

CM AOC cân O CAO OCA 

mà CAO ANB   (cùng phụ với AMB) ACD ANM 

Ta có: ACD DCM 180   DCM ANM 180   Chứng minh DCMN nội tiếp

2) 1,0

ACD

 ANM có:



 

MAN : chung

ACD

ACD ANM(cmt)

 

  

 

(18)

Hotline: 091.269.8216 18

AC AD

AN AM

  (cạnh tương ứng tỉ lệ)

AC.AM AD.AN

 

3) 0,75

Xác định I: I tâm đườn tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN

I

 giao điểm đường trung trực CD trung trực MN

IH MN

  IOCD

Do ABMN; IHMN AO // IH

Do H trung điểm MN AH trung điể mcủa tam giác vuông

AMN ANM NAH 

Mà ANM BAM ACD(cmt)   DAH ACD 

Gọi K giao điểm AH DO

do ADC ACD 1v   DAK ADK 90   hay AKD vuông K

AH CD

  mà OICD OI AH

Vậy AHIO hình bình hành

Do AOIH hình bình hành IHAO R không đổi

CD

 quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R

4) 0,5

Xét ABH vuông B, AHB 60 

0 4R

AH 2R sin 60

3

  

2 xqtru

R R 4R R

S AH

2 3



     

(19)

Hotline: 091.269.8216 19

KIỂM TRA HỌC KÌ II Mơn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu I: (2 điểm)

Cho hai biểu thức A x

1 x 



x

B

x x 3 x



  

   với x0; x9

a) Tính giá trị biểu thức A x 

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho PB : A Tìm x để P <

Câu II: (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương

trình

Hai công nhân làm chung công việc xong việc Nếu

người làm mình, để hồn thành cơng việc người thứ cần nhiều

hơn người thứ hai 12 Hỏi làm người phải làm

bao nhiêu xong công việc đó?

Câu III: (2,5 điểm)

1

3

2x y

3

5

2x y



 

  

 

   

  



2) Cho phương trình x22(m 1)x 2m  0 (1) (x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x ,1 x2 Tìm giá trị m để x ,1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền

12

Câu IV: (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm

O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E

(E khác A C) Kẻ CK vng góc với AE K Đường thẳng DE cắt CK F

1) Chứng minh tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp

(20)

Hotline: 091.269.8216 20

3) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác ADF lớn

(21)

Hotline: 091.269.8216 21

Câu Nội dung Điểm

I

2,0

a) 1,0

* Khi x

 x

3 

2 A 3   

b) 0,5

x

B

x x 3 x

      















 



























x

x x 3 x 3

2 x

x x

x x x x x x

x x x

x x

x x                                     

c) 0,5

Ta có: P x : x x

x 3 x x



 

  

3 x

P 3

x 

  

(22)

Hotline: 091.269.8216 22





3 x

0

x x

3 x x x

10 x x

x x                       

Kết hợp điều kiện xác định x 9  P 3

II

2,0

Giả sử người thứ làm riêng x (giờ) hồn thành cơng

việc (ĐK: x > 0)

Giả sử người thứ hai làm riêng y (giờ) hồn thành công

việc (ĐK: y > 0, y < x)

x công việc

y công việc

Theo giả thiết, hai người làm chung hồn thành cơng việc

trong nên ta có:

1

x y  (1)

Khi làm riêng người thứ cần nhiều người thứ hai

12 để hoàn thành cơng việc nên ta có: x y 12  (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình





2

1 1

8 2y 12 xy 8(2y 12) y(y 12)

x y 18

x y 12

y 4y 96

x y 12

(23)

Hotline: 091.269.8216 23

* Giải phương trình y24y 96 0







     

  

Từ suy x = 24

Vậy làm riêng người thứ cần 12 để hoàn thành

cơng việc, người thứ hai cần 24 để hồn thành công việc

III

2,5

1) 1,0

* ĐK: x 1; y

  

* Đặt

1 a 2x

1 b y 

 

 



 

  

, ta có hệ pt:

a 4b a 4b 7a a

3a 2b 6a 4b 10 a 4b b

           

  

   

        

   

1

2x 1 x

2x

(TM)

1 1 y y

y 

 

      

 

  

   

 

 

  

Vậy hệ có nghiệm (x.y) = (0;4)

2) 1,5

a) 0,75

Xét phương trình x22(m 1)x 2m  0 Ta có

2

' (m 1) 2m m

      m2 0 với m nên   '

suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2

b) 0,75

(24)

Hotline: 091.269.8216 24

Theo hệ thức Viet ta có :

1

x x 2(m 1)

x x 2m

   

  

Để x ,x1 2 0 thì: 2(m 1) m

2m

  

 

  

hệ thức x12 x22 12  (m - 1)(m - 2) =

 m

m

 

   

đối chiếu với điều kiện ta thấy m = thỏa mãn

IV

3,0

0,25

a) 0,75

Vì CKAK nên AKC 90  CHAB H nên AHC 90  Tứ giác AHCK có :

 

AHC AKC 180  nên ACHK tứ giác nội tiếp

(Tổng góc đối 1800 )

b) 1,0

Từ CHAK tứ giác nội tiếp ta suy CHK CAK CAE   (góc nội tiếp chắn cung KC)

(25)

Hotline: 091.269.8216 25

Từ suy CHK CDEHK / /DE

Do HK// DF, mà H trung điểm CD (Được suy từ quan hệ

vuông góc đường kính AB với dây CD H )

Suy HK đường trung bình tam giác CDF, dẫn đến K

trung điểm FC Tam giác AFC có AK đường cao đồng thời

là trung tuyến nên CAF tam giác cân K

c) 1,0

Tam giác FAC cân A nên AF = AC

Dễ thấy tam giác ACD cân A nên AC=AD từ suy AF =AD

hay tam giác AFD cân A, hạ DIAF

Ta có SAFD 1DI.AF= DI.AC,1

2

 AC không đổi nên SAFD lớn

nhất DI lớn nhất, Trong tam giác vuông AID ta có:

ID AD AC  hay

2 AFD

1 AC

S DI.AF= DI.AC

2 2

  dấu đẳng

thức xảy IA DAF 90 dẫn đến tam giác ADF vuông cân A, suy EBA EDA 45   hay E điểm cung AB

V

0,5

Điều kiện:

2

x 3x 18

x x

5x 4x

   



  

 

 



PT  5x24x  x23x 18 x 



























2 2

2

5x 4x x 22x 18 10 x x 3x 18

5 x x x 2x 9x

5 x 6x x x 6x x

       

     

      

(26)

Hotline: 091.269.8216 26







2

a x 6x

2a 3b 5ab a b 2a 3b

b x 3

   



       



  

 

* TH1: a b x2 6x x x2 7x x 61

2 

          

* TH2:









(27)

Hotline: 091.269.8216 27

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thứcA x :

x x 3 x 3

 

  

  

 

với x 0; x 9 

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x để A 

3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A

Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình:

Hai đội cơng nhân làm cơng việc làm xong Nếu

mỗi đội làm xong cơng việc đó, đội thứ cần thời gian so với

đội thứ hai 12 Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?

2

x

y

x

y 

  



 



   

 



2) Cho phương trình x2 2 m x m





a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho

2

1 2

x x 4 x x

Bài IV (3,5điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O

bán kính R AH đường cao tam giác ABC Gọi M, N thứ tự hình chiếu

của H AB, AC

1) Chứng minh tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ABC = ANM

(28)

Hotline: 091.269.8216 28

4) Cho biết AH R 2 Chứng minh M, O, N thẳng hàng

Bài V (0,5điểm) Cho a, b > thỏa mãn a b 2  Tìm giá trị lớn biểu thức









(29)

Hotline: 091.269.8216 29

I

(2 điểm)

Rút gọn A với x0; x9 0,75

2 x

A :

x x x

 

  

  

 

2 x x x

( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)

   

  

   

 

2 x x x

( x 3)( x 3)

      x x    0,25 0,25 0,25

1) Tìm x để A

 0,75

x

6

x

 



6( x 1) 5( x 3)

   

x

 

x 81

  (thỏa mãn điều kiện)

0,25

1)Tìm GTNN A 0,5

x

A

x x



  

 

Do x 0 A

3

  với x thỏa mãn điều kiện xác định

Dấu “=” xảy rax 0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTNN A: A x

3

  

0,25

(30)

Hotline: 091.269.8216 30

II

(2 điểm)

Gọi thời gian đội thứ làm xong việc x (giờ), x 8 Vậy thời gian đội thứ hai làm xong việc x 12 (giờ)

Mỗi đội thứ làm

x (công việc)

Mỗi đội thứ hai làm

x 12 (công việc)

Theo ra, hai đội làm

8 công việc nên ta có phương

trình : 1

xx 12 8

Giải phương trình ta x 8(không thỏa mãn đk); x12 (thỏa mãn đk)

Vậy thời gian đội thứ làm xong việc 12 giờ;

thời gian đội thứ hai làm xong việc 24

0,25

0,75

0,25

0,5

0,25

III (2điểm)

1) điểm

Giải Hệ PT

2

x

y

x

y 

  



 



   

 



Đk: y 0; y 4

Đặt a x ; b y

  

 với a 0

0,25

Giải HPT: a 2b

a b

  



 



Ta tìm a 10; b

3



 

0,5

Giải x 5; 25

3

  

  

  y

  nên khơng có y thỏa mãn

KL: Hệ phương trình vơ nghiệm

(31)

Hotline: 091.269.8216 31

(Nếu HS nhận thấy khơng có y t/m nên HPT vơ nghiệm mà khơng cần tìm x cho 0,25)

2) điểm Cho phương trình x22 m x m





a) Giải PT m4

Với m=4, giải PT: − 10 + 16 x





b)

PT cho có nghiệm phân biệt ' m

2 

    

Theo Vi-et có x1x2 2(m 1) ; x x1 2 m2

0,25

Xét x12x22 4 x x1 2 (x1x )2 22x x1 2 4 x x1 2

2 2

4(m 1) 2m 4m 2m 8m 4 m  0

TH1: m m2 6m

2 

     

1

m

    (loại); m2   3 (nhận)

TH2: m0m2 2m 2 0 (khơng có giá trị m thỏa mãn) Vậy giá trị cần tìm là: m  3

0,25

Bài IV (3,5 điểm)

0,25

1) - Giải thích AMH ANH 90 

-Tính tổng AMH ANH 180   - KL: AMHN tứ giác nội tiếp

0,25

y

x

D N

M

H O

B C

(32)

Hotline: 091.269.8216 32

2) Cách 1:

Chứng minh ANM MHA (do tứ giác AMHN nội tiếp)

 

ABC AHM

  (cùng phụ với MHB)

 

ABC ANM

 

0,5

0,25

Cách 2: Chứng minh AM.ABAN.AC( AH )

ANM ABC(c.g.c)

  ∽

 

ABC ANM

 

(cho điểm tương ứng cách 1) 3) Cách 1: Kẻ đường kính AD

 

DACDBC (góc nội tiếp chung cung DC)

 

ABC ANM (chứng minh trên)

Có DBC ABC 90   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 

ANM DAC 90 AO MN

    

0,5

0,25

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xAy (O)

Chứng minh xAC ABC   (góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây chắn cung AC)

 

ABC ANM (chứng minh trên)

Vậy xAC ANM vị trí soletrong

MN xy

  mà AOxy (do xAy tiếp tuyến (O))AOMN

(cho điểm tương ứng cách 1) 4)

(0,5 điểm)

Có AN.ACAH2 2R2 AO.AC

AN.AC AO.AC

 

AON ADC(c.g.c)

  ∽

 

AON ADC 90

  

Chứng minh trên: AOM ADB 90 

Vậy AOM AON 180   Suy O, M, N thẳng hàng

0,25

Bài V (0,5

Có 2.P 2a(b 1)  2b(a 1)

(33)

Hotline: 091.269.8216 33

điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm:

2a b 2b a

2a(b 1) ; 2b(a 1)

2

   

   

3(a b) 3.2

2.P

2

  

   

P 2

 

Dấu “=” xảy 2a b a b

2b a

  

   

  

Vậy P có GTLN 2√2 ab 1

(34)

Hotline: 091.269.8216 34

KIỂM TRA HỌC KÌ II Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I: (2 điểm)

Cho hai biểu thức A x

1 x 



x

B

x x 3 x



  

   với x0; x9

a) Tính giá trị biểu thức A x 

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho PB : A Tìm x để P 3

Bài II: (2,0 điểm)

Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:

Hai cơng nhân làm chung cơng việc xong việc Nếu

người làm mình, để hồn thành cơng việc người thứ cần nhiều

hơn người thứ hai 12 Hỏi làm người phải làm

bao nhiêu xong cơng việc đó?

Bài III: (2,5 điểm)

1

3

2x y

3

5

2x y



 

  

 

   

  



2) Cho phương trình x22(m 1)x 2m  0 (1) (x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x ,1 x2 Tìm giá trị m để x ,1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền

12

Bài IV: (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm

O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E

(E khác A C) Kẻ CK vng góc với AE K Đường thẳng DE cắt CK F

1) Chứng minh tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp

(35)

Hotline: 091.269.8216 35

3) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác ADF lớn

(36)

Hotline: 091.269.8216 36

I

2,0

a) 1,0

* Khi x

 x

3 

2 A 3   

* Vậy x

 A 

b) 0,5

x

B

x x 3 x

      















 



























x

x x 3 x 3

2 x

x x

x x x x x x

x x x

x x

x x                                     

c) 0,5

Ta có: P x : x x

x 3 x x



 

(37)

Hotline: 091.269.8216 37

3 x

P 3

x 

  







3 x

0

x x

3 x x x

10 x x

x

 

  

 

  

 



 



  

 

Kết hợp điều kiện xác định x 9  P 3

II

2,0

Giả sử người thứ làm riêng x (giờ) hồn thành cơng

việc (ĐK: x 0 )

Giả sử người thứ hai làm riêng y (giờ) hồn thành cơng

việc (ĐK: y 0; y x  )

x công việc

y công việc

Theo giả thiết, hai người làm chung hồn thành cơng việc

8 nên ta có: 1

xy 8 (1)

Khi làm riêng người thứ cần nhiều người thứ hai

12 để hồn thành cơng việc nên ta có: x y 12  (2)

(38)

Hotline: 091.269.8216 38





2

1 1

8 2y 12 xy 8(2y 12) y(y 12)

x y 18

x y 12

y 4y 96

x y 12

                                      

* Giải phương trình y2 4y 96 0







     

  

Từ suy x24

Vậy làm riêng người thứ cần 12 để hồn thành

công việc, người thứ hai cần 24 để hồn thành cơng việc

III

2,5

1) 1,0

ĐK: x 1; y    Đặt a 2x 1 b y           

, ta có hệ pt:

a 4b a 4b 7a a

3a 2b 6a 4b 10 a 4b b

                                1

2x 1 x

2x (TM)

1 1 y y

y                          

Vậy hệ có nghiệm cặp nghiệm (x; y)là: (0; 4)

2) 1,5

a) 0,75

Xét phương trình x2 2(m 1)x 2m  0 Ta có

2

' (m 1) 2m m

      m2 0 với m nên   '

(39)

Hotline: 091.269.8216 39

b) 0,75

Để nghiệm x ,x1 2là độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 12 Thì x ,x1 2 số thực dương thỏa mãn x12x22 12

Theo hệ thức Viet ta có :

1

x x 2(m 1)

x x 2m

   

  

Để x ,x1 2 0 điều kiện là: 2(m 1) m

2m

  

 

  

Hệ thức x12 x22 12 (m - 1)(m - 2) =

 m

m

 

   

đối chiếu với điều kiện ta thấy m = thỏa mãn

IV

3,0

0,25

a) 0,75

Vì CKAK nên AKC 90 CHAB H nên AHC 90 Tứ giác AHCK có :

 

AHC AKC 180  nên ACHK tứ giác nội tiếp

(Tổng góc đối 180 )

b) 1,0

(40)

Hotline: 091.269.8216 40

tiếp chắn cung KC)

Lại có ADCE nội tiếp nên CAE CDE   (góc nội tiếp chắn cung EC)

Từ suy CHK CDEHK DE

Do HK// DF, mà H trung điểm CD (Được suy từ quan hệ

vng góc đường kính AB với dây CD H )

Suy HK đường trung bình tam giác CDF, dẫn đến K

trung điểm FC Tam giác AFC có AK đường cao đồng thời

là trung tuyến nên CAF tam giác cân K

c) 1,0

Tam giác FAC cân A nên AF = AC

Dễ thấy tam giác ACD cân A nên AC=AD từ suy AF =AD

hay tam giác AFD cân A, hạ DIAF

Ta có SAFD 1DI.AF= DI.AC,1

2

 AC không đổi nên SAFD lớn

nhất DI lớn nhất, Trong tam giác vuông AID ta có:

ID AD AC hay

2 AFD

1 AC

S DI.AF= DI.AC

2 2

  dấu đẳng

thức xảy IA DAF 90 dẫn đến tam giác ADF vuông cân A, suy EBA EDA 45   hay E điểm cung AB

V

0,5

Điều kiện:

2

x 3x 18

x x

5x 4x

   



  

 

 



(41)

Hotline: 091.269.8216 41



























2 2

2

5x 4x x 22x 18 10 x x 3x 18

5 x x x 2x 9x

5 x 6x x x 6x x

       

     

      

Đặt







2

a x 6x

2a 3b 5ab a b 2a 3b

b x 3

   



       



  

 

* TH1: a b x2 6x x x2 7x x 61

2 

          

* TH2:









(42)

Hotline: 091.269.8216 42

MATHX.VN

ĐỀ 07

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II LỚP Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I: (2,0 điểm)

Cho biểu thức P x x x

x x x x

  

  

   

x Q

x  



với x0; x4; x9

a) Tính giá trị biểu thức Q x 3  b) Rút gọn biểu thức T P : Q

c) Tìm x để

T có giá trị nguyên Câu II: (2,0 điểm)

Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:

Bạn An dự định thực công việc quét sơn cho 40m2 tường thời gian định Tuy nhiên, thực bạn An quét dự

định 2m2, bạn hồn thành cơng việc chậm so với kế hoạch Hỏi kế hoạch bạn An hồn thành công việc bao lâu?

Câu III: (2,5 điểm)





1

x 3y

2x y

4

5 x 3y

2x y 

  

 

 

    

 



2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

 

parabol

 

a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x ,1 x2 thỏa mãn

2

1 2

x x x x 5

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để (d) (P) khơng có điểm chung

Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE

(43)

Hotline: 091.269.8216 43

1) Chứng minh tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh AF.ABAE.AC

3) BE CF cắt (O) điểm thứ hai M N Chứng minh EF // MN

4) Giả sử B C cố định; A thay đổi Tìm vị trị A cho tam giác AEH có

diện tích lớn

Câu V: (0,5 điểm) Với số dương x, y, z, t thỏa mãn x y z t   4 Tìm giá trị

nhỏ biểu thức A 21 21 21 21

x y z t

   

(44)

Hotline: 091.269.8216 44

Bài Nội dung Điể

m

I

1) (0,5 điểm) Biến đổi x 3  









Q 2  

0,25

2) (1 điểm)



























 

















x x x x x x

P

x x x x x x x x

x x x x x 2

P

x x x x x x

x x x x

P

x

x x x x

x

Q

x x

x T P : Q

x                                                          0,25 0,25 0,25 0,25

3) (0,5 điểm)

1 x

T x

 



Chặn giá trị : 1 T  T 

Vì

T nguyên suy

2 T  

1 T  

1 T 

Tìm x x = (TMĐK); x

 (TMĐK); x = (KTMĐK)

Kết luận

0,25

(45)

Hotline: 091.269.8216 45

II

+ Gọi số mét vuông tường bạn An định quét sơn x

(m2)





Khi thời gian dự định hồn thành công việc 40(h)

x

Thực tế quét sơn x 2

 

x 2

Theo đề ta có PT: 40 40 x 2  x 

+ Giải pt được: x 8 (không thỏa mãn), x 10 (thỏa mãn) + Kết luận thời gian dự định hoàn thành công việc

0,25

0,5

0,25

III

1) (0,75đ)

ĐKXĐ: 2xy

Đặt a; x 3y b

2x y   

Ta có hệ:

3 a b

2

4a 5b



 

 

   



Giải hệ tìm a 1; b

 

Giải hệ 2x y

x 3y

  



 



tìm x 1; y 0(TM) 

0,25

2) (1,25 điểm)

a) (0,75 điểm)

+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d)

2

x mx 2m 3(1)

x mx 2m

  

    





2

m 8m 12 m 4

      

(P) cắt (d) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt

(46)

Hotline: 091.269.8216 46

và  0





0 m 4

m m

    

    

  

   

 

+ Với m > m < 2, (P) cắt (d) hai điểm phân biệt x ,x1 2 nghiệm pt (1)

Theo Vi-ét ta có:

1

x x m

x x 2m

  



 







2 2

1 2 1 2

x x x x 5x x x x 5m(2m 3) 5  2m 3m 0 

Tìm

m

5

(KTM)

2



Vậy

0,25

b) (0,5 điểm)

(P) (d) khơng có điểm 1(TM)m chung pt (1) vơ nghiệm









0 m 4 m 4 m

           

Mà m số nguyên nên m





Vậy giá trị m nguyên nhỏ để d không cắt (P) m =

0,25

(47)

Hotline: 091.269.8216 47

IV

0,25

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường kính

BC 0,75

b) Chứng minh AHF đồng dạng với ABD

AF.AB AH.AD

  (1)

Chứng minh AEH đồgn dạng với ADC Suy AE.ACAH.AD (2)

(1) (2) suy AF.AB = AE.AC

(Hoặc chứng minh AEF đồng dạng với ABC)

0,25

c)

+ Chứng minh MAC CAD   hay MAE EAH  suy AE trung trực HM, suy E trung điểm HM

+ Tương tự chứng minh F trung điểm HN

Suy FE // MN (đường trung bình)

(Hoặc chứng minh FCB FEB NMB   )

0,25

d) 4SAEH 2AE.EH AE EH2 AH2 Chứng minh AH = 2OK, OK không đổi

Lập luận, kết luận SAEH lớn AE = EH hay

 

HAE45 ACB45 , suy vị trí A

0,25

(48)

Học tốn online thầy Trần Hữu Hiếu

Hotline: 091.269.8216 48

V

Với số dương x, y, z, t

Biến đổi áp dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh được:

2

1 x x

1 ;

2

x 1 x 1  Dấu "=" xảy x 1

Chứng minh tương tự:

2

y y

1

1 ;

2

y 1 y 1  Dấu "=" xảy y 1

2

1 z z

1 ;

2

z 1 z 1  Dấu "=" xảy z 1

2

1 t t

1 ;

2

t 1 t 1  Dấu "=" xảy  t

Mà x y z t   4

Do

2 2

1 1

A

x y z t

    

   

(49)

Hotline: 091.269.8216 49

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài (3,0 điểm):

1 Rút gọn biểu thức A 1 x

1 x

2 x 2 x

  



  với x 0; x 1 

2 Giải phương trình, hệ phương trình sau:

a) x2 10x 16 0 b) x 2y

2x y

   



 

 Bài (3,0 điểm):

Cho phương trình bậc hai:

x



8x m



2 (*)



a) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x



2

Bài (4,0 điểm):

Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O);

B, C hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (AD < AE) CMR:

a) Tứ giác ABOC nội tiếp; b) AB2 = AD AE c) BD CE = CD BE

Bài Cho x, y, z ba số dương xyz = Chứng minh:

2

2 y

x z

1 y 1 z 1 x 

(50)

Hotline: 091.269.8216 50

HƯỚNG DẪN CHẤM THI – ĐỀ 08

Câu Nội dung Điểm

I

Với x0; x1ta có:

1 x

2 x 2 x

1 x

2( x 1) 2( x 1) ( x 1)( x 1)

x x x

2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1)

x ( x 1) x 2 x

2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1)

2( x 1)

2( x 1)( x 1) x

                                           0,25 0,25 0,25 0,25

a) x2 10x 16 0

' 25 16 0 ' 3

        ,

phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 2, x2 8

0,5

0,25

b) x 2y 2x 4y

2x y 2x y

                 5y 10

x 2y

         x y       

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; -2)

0,5

0,25

II

a)

x



8x m



2 (*)







' ( 4)2 m 2 14 m

      

Phương trình có nghiệm kép khi:

' 0 14 m 0 m 14

      

Khi phương trình có nghiệm kép x1 x2 4

Vậy m = 14 pt cho có nghiệm kép x1 x2 4

0,5

(51)

Hotline: 091.269.8216 51

b) Phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 khi:

' 0 14 m 0 m 14

      

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

x x (1)

x x m (2)

  



 



Theo ta có:

x



2

1 2

x x 3x x

x 2x x 2x x

      

 

  

    

  

Thay kết vào (2) ta m + = 12  m = 10 (thỏa mãn) Vậy m 10 giá trị cần tìm

0,5

0,25

0,5

0,25

III GT, KL, hình vẽ

0,25

a) Ta có ABO 90 (  ) ACO 90  (AC  OC) Suy ABO ACO 180  

Do tứ giác ABOC nội tiếp

0,75

b) Xét ABD AEBcó Achung, ABD AEB (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)

ABD

  AEB(g.g)

2

AB AD

AB AD.AE

AE AB

   

0,5

c) Do ABD AEB(theo 2) nên BD AB

BE AE

 

Chứng minh tương tự: ACD AEC(g.g)  CD AB CE AE

mà AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

0,25

0,5

O D

E

C B

(52)

Hotline: 091.269.8216 52

IV

BD CD

BD.CE BE.CD

BE CE

    0,5

2

p dụng BĐT Cauchy cho hai số d-ơng, ta cã:

1 y y

x x

x

1+y 1+y

y z y z

y

1+z 1+z

z x z x

z

1+x 1+x

 

  

 

  

 

  

¸

Cộng vế với vế ba BĐT ta được:

2

2 1 y y

x z z x

(x y z)

1+y 1+z 1+x

 

      

       

   

     

     

2

3

y x y z 3(x y z)

x z 3

(x y z)

1+y 1+z 1+x 4 4

3 3

.3 xyz

4

   

          

  

Dấu “=” xảy rax y z 1   BĐT cho chứng minh

0,5

0,25

(53)

Hotline: 091.269.8216 53

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thức A x

x x

 

 

6 B

x x 

 với x 0 ; x 9

1) Tính giá trị B x 25 2) Rút gọn biểu thức A

3) Tính giá trị x để B x

A





Bài II (2,0 điểm)

Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình:

Hai vịi nước chảy vào bể sau bể đầy Nếu mở vòi chảy

mình khóa lại, mở vịi chảy tiếp lượng nước chảy

được 60% bể Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể?

Cho parabol (P): y x2

1) Điểm M( 2; 4)  có thuộc parabol (P) khơng? Vì sao?

2) Tìm m để đồ thị hàm số (d):y (m 1)x m   1tiếp xúc với (P)

Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với

nhau Lấy điểm M thuộc đoạn OA (M khác O, A) Tia DM cắt đường tròn

(O) N

1) Chứng minh tứ giác OMNC nội tiếp đường tròn

2) Chứng minh rằng: DM.DNDO.DC2R2

3) Tiếp tuyến C với đường tròn (O) cắt tia DM E, đường tròn ngoại tiếp

tam giác CDE cắt BC F Chứng minh DF AN

4) Nối B với N cắt OC P Tìm vị trí M để OM OP

(54)

Hotline: 091.269.8216 54

Một bóng size dùng cho trẻ em từ đến 12 tuổi có kích thước chu vi

(chu vi đường trịn lớn) từ 63cm đến 66cm Một bóng đá size dùng cho

trẻ em 13 tuổi người lớn có kích thước chu vi (chu vi đường

trịn lớn) từ 69cm đến 71cm Hãy tính thể tích chênh lệch lớn

(55)

Hotline: 091.269.8216 55

I

1) B 

2) A

x 



3) Có B x x x 2x x

A x

 

     

2x x x x

       (thỏa mãn)

0,5

1,0

0,5

II Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là: x (giờ); x 6 Thời gian vịi II chảy đầy bể là: y (giờ); y 6

Trong giờ, vòi I chảy

x(bể), vòi II chảy y (bể)

1 1

x y

   (1)

Trong giờ, vòi I chảy

x(bể), vòi II chảy

y(bể)

3

x y

   (2)

Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:

1 1

x y

3

x y



 

  

   



Giải hệ phương trình: x 15; y 10 

Kết luận:

0,25

0,5

0,25

III 1) M( 2; 4) 

2) Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

x (m 1)x m   1

0,5

(56)

Hotline: 091.269.8216 56

Xét:  (m 1)(5m 3) 0  

m

3 m

5     

 



0,5

0,25

IV 1)

Ta có CND 90  (vì N thuộc đường trịn (O)) COA 90 (giả thiết)



COA 90

  (giả thiết)

 

CNM COM 180

  

 Tứ giác OMNC nội tiếp

2) Lập luận chứng minh DOM∽DNC(g.g)

Suy DO DM DM.DN DO.DC 2R2

DN DC   

3) Vì tứ giác DECF nội tiếp DEC DFB

Có EDC NBC  (hai góc nội tiếp chắn cung NC)

Vì CE tiếp tuyến (O)DEC EDC 90  

 

DFB NBC 90

  

DF NB

 

Có ANB 90  0(đường kính AB)

DF AN

 

0,25

0,5

0,25

(57)

Hotline: 091.269.8216 57

4) Ta có DOM∽DNC(g.g) suy

OM DO DO.NC

OM

NC  DN  DN

Ta lại có AMD∽NAD có ADN chung

 

MAD AND 45 

Suy AM AD AM AD.AN

AN  DN  DN

Do OM DO.NC R.NC NC

AM AD.AN R 2.AN  2.AN (1)

Tương tự ta có OBP NBA OP OB OP OB.NA

NA NB NB

 ∽    

Và CPB NCB CP CB CP NC.CB

NC NB NB

 ∽    

Nên OP OB.NA NA

CP  NC.CB  2.NC (2)

Từ (1) (2) ta có: OM OP NC NA

AM CP  2.AN 2.NC 

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM- GM ta có:

OM OP OM OP

2

AMCP  AM CP 

Vậy OM OP

AM CP đạt giá trị nhỏ khi:

OM OP OA

AM CP AM



   

2

AM OA R

2

  

 

0,25

V Quả bóng size có chu vi đường trịn lớn 63cm có bán

kính là: R1 63(cm)





 Thể tích V1 R (cm )13 3

 

Quả bóng size có chu vi đường trịn lớn 71cm có bán

(58)

Hotline: 091.269.8216 58

kính là: R1 71(cm)





 Thể tích V2 R (cm )32 3

 

Thể tích chênh lệch lớn bóng size size

5 là:





2

4

V V R R 1,821(cm )

3

(59)

Hotline: 091.269.8216 59

MATHX.VN

ĐỀ 10

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút

Bài I (2 điểm)

Cho hai biểu thức







x x 2x

A

x x x x

 

  

   

B

x 



Với x0; x4 x 36

1) Tính giá trị biểu thức B x = 25

2) Rút gọn biểu thức A

3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A : B

Bài II (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình:

Một tổ sản xuất theo kế hoạch cần làm 600 sản phẩm thời gian

quy định Thực tế, thao tác hợp lý ngày tổ làm thêm 10 sản phẩm

nên khơng hồn thành sớm kế hoạch ngày mà vượt mức kế

hoạch 50 sản phẩm Tính số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch

Bài III (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình :









2 x y x

5 x y x

    

 

   

 

2) Cho phương trình: x22(m 1)x 4m  0. (x ẩn, m tham số)

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:





2

1 2

x x  x x 4

Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến

AP, AQ (O), với P, Q tiếp điểm Qua P kẻ đường thẳng song song với AQ

cắt (O) M Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AM với (O)

1) Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp

(60)

Hotline: 091.269.8216 60

3) Kẻ đường kính QS (O) Gọi H giao điểm PQ NS, I giao điểm

NM QS

a) Chứng minh NS tia phân giác góc PNM

b) Chứng minh HI//PM

4) Tia PN cắt đường thẳng AQ K Gọi G giao điểm AO PN; E trung

điểm AP Chứng minh Q, E, G thẳng hàng

Bài V (0,5 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x2 42 y

 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 3x y

y 2x

 

……… HẾT………

(61)

Hotline: 091.269.8216 61

Bài Đáp án Điểm

Bài I (2đ)

Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B, ta có: 0,25

2

B

25

  

 Vậy với x = 25 B = -2 0,25







x x 2x

A

x x x x

 

  

    0,25



 













2

x x x 2x

x x

    



 

0,25













x x x x 2x x

x x x x

      

 

    0,25











2 x 2

x

x x



 



  0,25

2 x

P A : B :

x x x x



    

   

Vì x x 2 8 P

x x

              

 

0,25

Dâu “=” xảy x = (tmđk) Vậy GTNN P -3 x =0 0,25

Bài II (2đ)

Gọi số sản phẩm tổ phải làm ngày theo kế hoạch x(sản phẩm,

xN*) 0,25

Thực tế, ngày tổ làm số sản phẩm là: x + 10 (sản phẩm) 0,25

Thời gian tổ phải làm 600 sản phẩm theo kế hoạch là: 600

x (ngày) 0,25

Số sản phẩm làm thực tế là: 600+50 = 650 (sản phẩm) 0,25

Thời gian tổ sản xuất làm thực tế là: 650

x 10 (ngày) 0,25

Ta có phương trình: 600 650

x x 10  0,25

(62)

Hotline: 091.269.8216 62

Giải phương trình tìm x1 = 40(TMĐK), x2 = -75 (loại) 0,25

Vậy số sản phẩm tổ làm ngày theo kế hoạch 40 sản phẩm 0,25

Bài III (2đ)









2 x y x

5 x y x

            

(ĐKXĐ: x -2)

Đặt ax y, b  x 2 ta có hệ phương trình 2a b

5a 2b

  



 



0,25

Giải hệ a = 2, b =3 0,25

Khi x y x y x 7(tmdk)

x y

x

                        0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(7;-5) 0,25









2

x 2(m 1)x 4m  0 a1, b'  m ,c 4m

ta có  b'2ac 









0,25

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Δ’ >  (m-1)2 >

0  m1 (m – 1)2  với m 0,25

Với m 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viets,

ta có:

1

x x 2m

x x 4m

   

  

Ta có













2

1 2 2

2

x x x x x x 2x x x x

4m 2m

              0,25







m 2m 1

(63)

Hotline: 091.269.8216 63

Bài IV (3,5đ)

Vẽ hình đến câu a

0,25

Xét tứ giác APOQ có



APO 90 (do AP tiếp tuyến (O) P) 0,25



AQO90 (do AQ tiếp tuyến (O) Q) 0,25

 

APO AQO 180

    APOQ tứ giác nội tiếp 0,25

 

APN AMP (góc nt góc tạo tia tt dây cung chắn cung NP)

Xét ΔAPN ΔAMP có NAPlà góc chung, APN AMP

0,25

 ΔAPN ∽ ΔAMP (g.g) 0,25

2

AP AM

AP AM.AN

AN AP

    0,25

a) Ta có AQQS (AQ tt (O) Q) mà AM//PQ (gt ) nên PMQS

Đường kính QS  PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ 0,25

sđPS= sđSMPNS SNM (2 góc nt chắn cung nhau)

hay NS tia phân giác góc PNM 0,25

b) Chứng minh SNM PQS(2 góc nt chắn cung nhau)

 

HNI HQI

   HNQI nội tiếp

0,25

 

HIN HIQ

  (2 góc nt chắn cung HN) mà HQN PMN(2)

góc nt chắn cung PN (O)) HINPMNHI PM

0,25

Gọi F giao điểm AO PQ

Ta có APAQ (t/c tiếp tuyến cắt nhau) OP OQ R  nên AO 0,25

O F

G E

K

H

I N

M A

Q

(64)

Hotline: 091.269.8216 64

là đường trung trực PQ  F trung điểm PQ

Chứng minh ΔAKN ∽ ΔPKA (g.g) AK NK AK2 NK.KP

PK AK

   

Chứng minh ΔKNQ ∽ ΔKQP (g.g) KQ2 NK.KP

2

AK KQ AK KQ

   

ΔAPQ có hai trung tuyến AF PK cắt G nên G trọng tâm

tam giác mà E trung điểm AP nên A, G, E thẳng hàng 0,25

Bài V (0,5đ)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

2

y

4 x x

1 x x 4

y y x

y y

        

y 3y 5y y 5y

3x 3x x 11

M 3.2 .4

y 2x y 16x 16x y 16x 16x 16

         

0,25

Dấu “=” xảy 2 2

2 x

y

2

y 4x x

2

x 4y

y 2

y x

y 16x

  

 

  

 



 

 

  

 

   

Vậy M 11

 x , y 2

2

 