Tham khảo TN Toán 2010 số 6

http://ductam_tp.violet.vn/ THAM KHAO TOT NGHIEP 2010 ( Thời gian làm bài 150 phút ) I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 4 2 y = x 2x− + có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ;0) . . Câu II ( 3,0 điểm ) a. Cho lg392 a , lg112 b= = . Tính lg7 và lg5 theo a và b . b. Tính tìch phân : I = 2 1 x x(e sin x)dx 0 + ∫ c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nếu có của hàm số + = + 2 x 1 y 1 x . Câu III ( 1,0 điểm ) Tính tỉ số thể tích của hình lập phương và thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đó . II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó . 1. Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0; 2 − ;1) , B( 3− ;1;2) , C(1; 1 − ;4) . a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác . b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vng góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc tọa độ . Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : = + 1 y 2x 1 , hai đường thẳng x = 0 , x = 1 và trục hồnh . Xác định giá trị của a để diện tích hình phẳng (H) bằng lna . 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;4;2)− và hai mặt phẳng ( 1 P ) : 2x y z 6 0− + − = , ( + − + =P ) : x 2y 2z 2 0 2 . a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( 1 P ) và ( 2 P ) cắt nhau . Viết phương trình tham số của giao tuyến ∆ của hai mặt phằng đó . b. Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M trên giao tuyến ∆ . Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = 2 x và (G) : y = x . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) http://ductam_tp.violet.vn/ Câu I ( 3,0 điểm ) a) 2đ b) 1đ Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k nên ( ) : y k(x 2)∆ = − ( ∆ ) là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ Hệ sau có nghiệm : 4 2 x 2x k(x 2) (1) 3 4x 4x k (2)  − + = −    − + =  Thay (2) vào (1) ta được : 2 2 2 x(x 2)(3x 2x 4) 0 x ,x 0,x 2 3 − − − = ⇔ = − = =  2 2 8 2 8 2 16 (2) x k ( ) : y x 1 3 27 27 27 = − → = − → ∆ = − +  (2) x 0 k 0 ( ) : y 0 2 = → = → ∆ =  (2) x 2 k 4 2 ( ): y 4 2x 8 3 = → = − → ∆ = − + Câu II ( 3,0 điểm ) a) 1đ Ta có : a = lg392 = = + = + = − + 3 2 10 lg(2 .7 ) 3lg2 2 lg 7 3lg 2lg 7 3 3lg5 2 lg7 5 ⇒ − = −2lg 7 3lg5 a 3 (1) b = lg112 = = + = − = − + 4 10 lg(2 .7) 4lg2 lg7 4 lg 4lg5 4 4lg5 lg7 5 ⇒ − = −lg7 4lg5 b 4 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : − = −  ⇒ = − + = −  − = −  2lg 7 3lg5 a 3 1 1 lg5 (a 2b 5) , lg 7 (4a 3b) lg7 4lg5 b 4 5 5 b) 1d Ta có I = 2 2 1 1 1 x x x(e sin x)dx xe dx xsin xdx I I 1 2 0 0 0 + = + = + ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x 2 x I xe dx e d(x ) ( e ) = (e 1) 1 2 2 2 0 0 0 = = = − ∫ ∫ . Cách khác đặt t = 2 x 1 I xsin xdx . 2 0 = ∫ Đặt : = =   ⇒   = = −   u x du dx dv sinxdx v cosx nên = − + = − + = − + ∫ 1 1 1 2 0 0 0 I [ x cosx] cos xdx cos1 [sin x] cos1 sin1 x −∞ 1− 0 1 +∞ y ′ + 0 − 0 + 0 − y 1 1 −∞ 0 −∞ http://ductam_tp.violet.vn/ Vậy : = − + − 1 I (e 1) sin1 cos1 2 c) 1đ Tập xác định : = ¡D − ′ ′ = ⇔ + + 2 2 1 x y , y = 0 x = 1 (1 x ) 1 x , → ±∞ → ±∞ → −∞ →+∞ + = ⇒ = − = + x x x x 2 1 x(1 ) x lim y lim lim y 1 ; lim y 1 1 x . 1 x Bảng biến thiên : Vậy : Hàm số đã cho đạt : = = ¡ M max y = y(1) 2 ¡ Không có GTNN¡ Câu III ( 1,0 điểm ) Nếu hình lập phương có cạnh là a thì thể tích của nó là 3 V a 1 = Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đó có bán kính a 2 R 2 = và chiều cao h = a nên có thể tích là 3 a V 2 2 π = . Khi đó tỉ số thể tích : 3 V a 2 1 3 V 2 a 2 = = π π II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó . 1. Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : a) 1đ Trung điểm của cạnh BC là M( −1;0;3 ) Trung tuyến − + −  ⇒ = =  = − −  uuuur r Qua M( 1;0;3) x y 2 z 1 (AM) : (AM) : VTCP u = AM ( 1;2;2) 1 2 2 § § b) 1đ x −∞ 1 +∞ y ′ + 0 − y 2 1− 1 http://ductam_tp.violet.vn/ Mặt phẳng (OAB) :   = −   = −  uuur uuur Qua O(0;0;0) OA (0; 2;1) VTCP : OB ( 3;2;1) § § ⇒ = − uuur uuur r VTPT n = [OA;OB] ( 1)(5;3;6) { = +  −  ⇒ ⇒ = − +  −  = +  r r x 1 5t Qua C(1; 1;4) (d): (d) : y 1 3t VTCP u = n = ( 1)(5;3;6) z 4 6t § § Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Vì hàm số = + 1 y 2x 1 liên tục , không âm trên [ 0; 1 ] nên hình phẳng (H) có diện tích : + = = = + = + + ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 1 1 d(2x 1) 1 1 S dx ln 2x 1 ln3 2x 1 2 2x 1 2 2 Theo đề : >  = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ =  =  a 0 1 S ln a ln3 ln a ln 3 ln a a 3 a 3 2 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : a) 1đ + Mặt phẳng ( 1 P ) có VTPT = − r 1 n (2; 1;1) , mặt phẳng ( 2 P ) có VTPT = − r 2 n (1;2; 2) Vì − ≠ 2 1 1 2 nên suy ra ( 1 P ) và ( 2 P ) cắt nhau . + Gọi u ∆ r là VTCP của đường thẳng ∆ thì u ∆ r vuông góc 1 n r và 2 n r nên ta có : ∆ = = = r r r 1 2 u [n ; n ] (0;5;5) 5(0;1;1) Vì ∆ = ∩ 1 2 (P ) (P ) . Lấy M(x;y;x) ( )∈ ∆ thì tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ : − + − =   + − + =  2x y z 6 0 , cho x = 2 ta x 2y 2z 2 0 được : − + = =   ⇔   − = − =   y z 2 y 1 . Suy ra : M(2;1;3) 2y 2z 4 z 3 Vậy ∆ =    ∆ ⇒ ∆ = +   =   = +  r x 2 qua M(2;1;3) ( ) : ( ) : y 1 t vtcp u 5(0;1;1) z 3 t § § b) 1đ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ( ∆ ) . Ta có : MH ⊥ ∆ . Suy ra : H (Q)= ∆ ∩ , với (Q) là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông với ∆ . Do đó ∆  ⇒ + + − + − = ⇔ + − =  =  r r qua M(2;1;3) (Q): (Q): 0(x 1) 1(y 4) 1(z 2) 0 (Q) : y z 6 0 vtpt n = u 5(0;1;1) § § Thay x,y,z trong phương trình ( ∆ ) vào phương trình mặt phẳng (Q) ta được : ∆ = → pt( ) 1 t H(2;2;4) 5 Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (G) : = ⇔ = = 2 x x x 0,x 1 Khi đó (H) giới hạn bởi các đường thẳng x = 0 , x = 1 , ( C) và (G) . Vì < < ∀ ∈ 2 0 x x , x (0;1) nên gọi 1 2 V ,V lần lượt là thể tích sinh ra bởi ( C) và (G) . Khi đó : π = − = π − = π − = ∫ 1 2 5 4 1 2 1 0 0 x x 3 V V V (x x )dx [ ] 2 5 10 ******************************** http://ductam_tp.violet.vn/ . 1)(5;3 ;6) { = +  −  ⇒ ⇒ = − +  −  = +  r r x 1 5t Qua C(1; 1;4) (d): (d) : y 1 3t VTCP u = n = ( 1)(5;3 ;6) z 4 6t § § Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Vì hàm số. ) : 2x y z 6 0− + − = , ( + − + =P ) : x 2y 2z 2 0 2 . a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( 1 P ) và ( 2 P ) cắt nhau . Viết phương trình tham số của giao