Đang tải... (xem toàn văn)
cái phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên [r]
(1)TRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
A Nội dung kiến thức.
Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật…
Ta ý số kiến thức sau:
Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình
* Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH. Chu vi tam giác : P = a + b + c.
Diện tích tam giác :
1
.sin ( )( )( )
2
S ah ab C p p a p b p c
( với
P p
)
* Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm bằng (tính theo radian)
Chu vi hình quạt :
2
2
P R P R
Diện tích hình quạt :
2
2
2
S R S R
(2)Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r có độ dài đường sinh
bằng l là:Sxq rl.
Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với
diện tích đáy hình nón:Stp rlr2
Thể tích khối nón trịn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là:
2
V r h
*Hình trụ, khối trụ:
(3)Mặt cầu bán kính R có diện tích là:S 4R2.
Khối cầu bán kính R tích là:
3
S R
2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng
Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau:
Cho hàm số y ax 2bx c , a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ khi
b x
a
Cho hàm số y ax 2bx c , a < hàm số cho đạt giá trị lớn
b x
a
Với a , b số thực dương ta có:
2
( )
2
AM GM a b a b
ab ab
Đẳng thức xảy a = b
Vớia , b, c số thực dương ta có:
3
3 ( )
3 27
AM GM a b c a b c
abc abc
Đẳng thức xảy a = b = c
Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc
(4) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a;b] diện tích S hình phẳng giới hạn
các đường : yf x y( ), 0,x a x b ,
( ) b
a
S f x dx
Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yf x( )g x( ) liên tục
đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b
( ) ( ) b
a
S f x g x dx
Cho hàm số y = f(x) liên tục [a , b] Thể tích V khối trịn xoay tạo hình
phẳng giới hạn đườngyf x y( ), 0,x a x b , , : quay xung quanh trục
hồnh tính theo cơng thức :
2 ( ) b
a
V f x dx
Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường ( ), ( ), (0 ( ) ( ); ;
yf x yg x f x g x f g liên tục đoạn [a;b]), x = a, x = b , quay xung
quanh trục Ox tính theo cơng thức :
2( ) 2( ) . b
a
V g x f x dx
B Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C trên
(5)Giả sửAS x, 0x 4 BS 4 x
Tổng chi phí mắc đường dây điện : f x( ) 300 x500 (4 x)2
Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f x( ) (0;4)
Cách 1: Ta có:
2
2
13
(4 ) 4
'( ) 300 500 (4 ) 5(4 ) ( 4)
19 16
1 (4 )
4 x x
F x x x x
x x
So sánh với điều kiện ta có 13
3, 25
x
Đáp án A
Cách 2:
Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202. Như ta tìm A đáp án
Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ
đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau: Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f (x) (0;4).
Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f (x) khoảng (0;4) để tìm ra giá trị x mà f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với các đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi
Cách 2: Sau lập hàm số f (x) Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số lớn bốn số tính giá trị lớn f (x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi
Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương
án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt
Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đơi phần hạn chế việc kiểm tra
(6)Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có
tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ
A.
2
4 m B
2
4 m C 2m2 D
2
3 m
Lời giải
Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4)
Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có:
4
(2 ) (1)
2
a a
a a b b
Diện tích cửa sổ là:
2
2
4
( ) ( ) 2
2 2
a a a a
S a a S a a a a a
Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4).
Cách 1:
Ta có:
4
'( ) 4
4
S a a a a
Suy :0
4
max ( )
4
x S a S
Đáp án B
(7)không ảnh hưởng đến q trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời không? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường trịn), nhưng hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b việc tính tốn phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính tốn
Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách
nhau m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn
A 41 m B 37 m C 29 m D m
Lời giải
(8)Đặt DCx,(0x4) CE 4 x Độ dài đoạn dây cần giăng :
2
2
( ) 16 (4 )
( ) 32
f x x x
f x x x x
Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4)
Ta có: 2
4
'( ) 0
1 32
x x
f x
x x x
Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: '( ) 0,8 ( ) (0,8) 41
f x x f x f
Đáp án A
Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt
(tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ BOC
A AO = 2,4 m. B AO = m. C AO = 2,6 m. D AO = m.
Lời giải
Đặt :AO x x ,( 0) OB x23, 24,OC x2 10, 24 Ta có:
2 2 2
2 2
3, 24 10, 24 1,96 5,76
2
OB OC BC x x x
cosBOC
OB OC
(9)Ta có:
2
2
2
6,74
13, 48 33,1776 ( 5, 76)
13, 48 33,1776 '( )
13, 48 33,1776
t
t t t
t t f t t t
3
0,98 5,6448
'( ) '( ) 5,76
13, 48 33,1776 t
f t f t t
t t
Suy cos BOC lớn x 5,76 2, 4. Đáp án A
Cách 2:
Ta thử xem đáp án cho đáp án làm nhỏ đáp án cần tìm cosBOC
Đặt:
2
2
5, 76 ( )
3, 24 10, 24 x
f x
x x
Ta có:
24
(2, 4) 0,96; (2) 0,9612260675; (2, 6) 0,960240166; (3) 0,960240166 25
f f f f
Từ suy A đáp án
Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy
A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm
Lời giải
Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn
Gọi chiều dài trang giấy làx x ,( 6), suy chiều rộng 384
x
384 2304
( ) ( 6) 4 408
f x x x
x x
(10)Ta cần tìm giá trị lớn f x( ) với x 8
Ta có :
2304
'( ) '( ) 24
f x f x x
x
Đáp án A
Ví dụ 6. (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhơm hình vng cạnh 12
cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận tích lớn
A x = 6. B x = 3. C x = 2. D x = 4.
Lời giải
Thể tích hộp là:V x( )x(12 ) x Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn với < x <
Cách 1:
Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64.
Suy C đáp án
Cách 2:
(11)Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
3 (6 ) (6 )
( ) 2.2 (6 )(6 ) 2.64 128
3
AM GM x x x
V x x x x
Đẳng thức xảy : 2x = – x => x =
Đáp án C
Cách 4:
Sử dụng chức TABLE MTCT (fx-570ES PLUS) ta thực sau:
Bước 1: Nhấn MODE chọn chức TABLE cách nhấn số
Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số f(x) bạn đọc nhập V(x) vào sau nhấn dấu “=”
Bước 3: Màn hình “Start?” giá trị bắt đầu, bọn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình tiếp “End?” giá trị kết thúc, bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình lại tiếp “Step?” khoảng cách mà bạn đọc cần chọn để đặt khoảng cách cho giá trị x, với bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=”
Bước 4: Màn hình lên cho ta bảng gồm hai cột, cột bên trái giá trị x kẻm theo giá trị tương ứng V(x) bên phải Dựa vào bảng bạn đọc suy x = V(x) lớn
Đáp số C
Bình luận: Sau xem cách giải có bạn đọc cho cách giải thứ hoặc
cách giải thứ tư nhanh chóng đơn giản Tuy nhiên quan điểm tác sau: Cách giải thứ áp dụng
Cách giải thứ tư khơng hữu ích tốn biến số số lẻ (hay bạn đọc gọi
là số xấu) giá trị f (x) bảng lớn (nhỏ nhất) chưa hẳn đã lớn (nhỏ nhất) miền ta xét Ở ví dụ giá trị x đưa phương án A, B, C, D số nguyên nên ta nhanh chóng so sánh đối chiếu với giá trị máy tính
(12)2x = - x, hai phương trình cho ta nghiệm x = 2.
Câu hỏi: Tại tác giả lại tìm hai phương trình 4x =12-2x hoặc 2x = 6- x ? Câu trả lời đơn giản, mục A (kiến thức cần nhớ) tác giả đã cung cấp cho bạn đọc dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM là:
Ta có:
3
3 ( )
3 27
AM GM a b c a b c abc abc
, với a, b, c số thực dương Đẳng thức xảy a = b = c
Dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM phần tác giả đóng khung mạnh tốn này vì chuyển trạng thái liên kiết a, b, c từ liên kết nhân sang liên kết cộng.
Trở lại với tốn Ta cần tìm x để V(x) = x(12-2x)2 đạt giá trị lớn với < x < Trong biểu thức V(x) có liên kết nhân cụ thể liên kết nhân x, 12 - 2x 12 - 2x, ta dùng AM-GM để chuyển sang liên kết cộng tổng:
3
(12 ) (12 ) 24 ( ) (12 )(12 )
3
AM GM x x x x
V x x x x
, rõ ràng ta không
thử x Tuy nhiên ta nhận thêm vào chuyện khác:
1 (12 ) (12 )
( ) (12 )(12 ) 512 128,
4 4
AM GM x x x
V x x x x
đẳng thức xảy
ra : 4x12 2 x x 2
Như để giải tốn bạn đọc cần giải phương trình 4x = 12-2x 2x = - x tìm ran gay đáp án Việc tìm hai phương trình khơng khó bước xác định điểm rơi đơn giản bất đẳng thức AM-GM.
(13)Ví dụ 7: Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường trịn nhơm hình vng cạnh m, sau cắt thành hình bơng hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Hãy tính diện tích bơng hoa cắt
A.0,56m 2 B 0, 43 m2 C 0,57m2 D 0, 44m2
Lời giải
Nhận xét: Diện tích nửa cánh hoa diện tích phần tư đường trịn trừ diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên)
Diện tích nửa cánh hoa là:
2 2
1
.3,14.0,5 0,5 0,07125( )
4 m
Diện tích bơng hoa cắt là:0,07125.8 0,57( m2) Đáp án C
Ví dụ 8. (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ nhơm hình chữ nhật có kích
thước 50 cm x 240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):
(14)Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quang thùng
Kí hiệu thể tích V1 thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị
được theo cách Tính tỉ số V V A 2 V
V B
1
2
V
V C
1
2
V
V D
1 V V Lời giải
Gọi bán kính đáy thùng gị theo cách R1 bán kính đáy thùng gị theo cách
là R2 Ta có:
2
1 1
2
2 2
50
2.50
V R R
V R R
Mà: 1
1 2
2
240 R R R R
R R Suy ra: 2 V
(15)A.700 cm B 754, 25 cm C 750, 25 cm D 756, 25 cm
Lời giải
Ống mũ hình trụ với chiều cao h = 30 cm, bán kính đáy
35 2.10
7,5
R cm
Diện tích vải để làm ống mũ là:S12Rhh2 2 7,5.30 .7,52 506, 25 ( cm2)
Diện tích vải để vành mũ là: S2 .17,52 .7,52 250 ( cm2)
Tổng diện tích vải cần để mũ là:506, 25250 756, 25 ( cm2)
Đáp án D
Ví dụ 10 Người ta giăng lưới để nuôi riêng loại cá góc hồ Biết lưới
(16)A.120m2 B 156m2 C 238,008(3)m2 D 283,003(8)m2
Lời giải
(17)Ta có: 150
'( )
S x x
x
Suy diện tích nhỏ giăng là:S(5) 120( m2)
Đáp án A
Ví dụ 11 Một khối lập phương có cạnh m chứa đầy nước Đặt vào khối khối nón
có đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước tràn lượng nước ban đầu khối hộp
A.12
B.
12
C.
4
D.
3
Lời giải
Thể tích lượng nước tràn ngồi thể tích khối nón
Thể tích khối nón là:
2
1
1
.1 .0,5
3 12
S S
Thể tích khối lập phương là: S2 1.1.1 S2 1
Do tỉ số cần tìm là:
2
:1 12 12
S S
Đáp án A
Ví dụ 12 Một miếng nhơm hình vng cạnh 1,2 m người thợ kẻ lưới thành vng nhỏ có
(18)A.0,3648m 2 B 0,3637m2 C 0, 2347m2 D 0, 2147m2 Lời giải
Tổng diện tích hai cánh hoa hai lần diện tích phần tơ đậm hình vẽ Do diện tích cách hoa diện tích phần tơ đậm hình vẽ
Suy diện tích cánh hoa là:
2
2 2
.1, 0,
.1, 0, 0,3648( )
4
S m
(19)A.3600m2 B 4000m2 C 8100m2 D 4050m2
Lời giải
Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ tường, y chiều dài cạnh vng góc với bờ
tường Theo ta có:x2y180 x180 y
Diện tích khu trồng rau là:Sx y (180 ) . y y
Ta có:
2
1 (2 180 )
.2 (180 ) 4050
2
y y
S y y S
Đẳng thức xảy khi:2y180 2 y y45( )m
Đáp án D
Ví dụ 14 Từ miếng tơn có hình dạng nửa đường trịn bán kính m, người ta cắt
hình chữ nhật (phần tơ đậm hình vẽ) Hỏi cắt miếng tơn có diện tích lớn
A.0,8m 2 B 1m2 C 1,6m2 D 2m2
(20)Đặt:ABx, (0x1).Suy ra:BD2OB2 1 x2
Diện tích hình nhật là: f x( ) 2 x 1 x2
Ta có: f x2( ) (1 x2 x2)
Đặt:y x 2,(0y1) Xétg y( ) (1 y y)4y24 y
Ta có f(x) lớn y(y) lớn nhất, mà g(y) lớn khi:
4
2.( 4)
y
Suy f(x) lớn
2
axf(x)=f
2
x m
Đáp án B
Ví dụ 15 Một hộp khơng nắp làm từ bìa tơng Hộp có đáy hình vng
(21)A cm B 10 cm C 15 cm D 20 cm
Lời giải
Ta tích hộp là:V x h2
Do hộp tích 500cm3 nên ta có:
2 500
500
x h h
x
Tổng diện tích bìa tơng là:
2 200
( ) ( )
S x x xh S x x
x
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ
2 200 ( )
S x x
x
trên (0;)
Ta có
2 100 100 3 100 100
( ) AM GM3 ( ) 300
S x x x S x
x x x x
Đẳng thức xảy khi:
2 100
10( )
x x cm
x
Đáp án B
Ví dụ 16 (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ơng An có mảnh vườn hình elip
có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa mảnh đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng hình vẽ Biết kinh phí trồng hoa 100000 đồng/ m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa mảnh đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn)
A 7862000 đồng B 7653000 đồng. C 7128000 đồng. D 7826000 đồng
(22)Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Ta có phương trình đường elip là:
2
1 64 25
x y
Phần đường cong phía trục Ox có phương trình là:
2
64 x
y
Suy diện tích mảnh đất trồng hoa là:
4
4
2
64 x
S dx
Sử dụng MTCT ta tính 2S = 76,5289182 (m2)
Suy số tiền để mảnh đất là: 2S 100000 = 7652891,82 (đồng) Do làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền 7653000 đồng
Đáp án B
Ví dụ 17 Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 50 cm x 120 cm người thợ muốn làm
một thùng hình trụ cách gị tơn thành mặt xung quanh thùng (đáy thùng cắt bổ sung từ miếng tơn khác) Có hai cách gị sau (quan sát hình vẽ minh hoạ): Cách 1: Gị cho thùng có chiều cao 50 cm
Cách 2: Gò cho thùng có chiều cao 120 cm
(23)A.V1V2 B V1V2 C V1 V2 D
12
V V
Lời giải
Bán kính đáy thùng gị theo cách là: 1 60 2R 120 R
Thể tích thùng gò theo cách là:
2
1 1
60 180000
.50
V R h
Bán kính đáy thùng gị theo cách là: 2 25 2R 50 R
Thể tích thùng gò theo cách là:
2
2 2
25
.120 75000
V R h
Suy ra:V1V2
Đáp án C
C Bài tập đề nghị.
Bài Một sợi dây có chiều dài 6m chia thành hai phần Một phần uốn thành hình
(24)A.
54 24
11 m
B
36
13 m C
48 12 13 m
D
54 72
13 m
Bài Bác nơng dân làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ
tường Bác làm ba mặt mặt thứ tư bác tận dụng ln bờ tường Bác dự tính dùng 200m lưới sắt để làm nên toàn hàng rào Hỏi diện tích lớn bác rào
A.1500m2 B 10000m2 C 2500m2 D 5000m2
Bài 3: Bạn Hoa từ nhà vị trí A đến trường vị trí C phải qua cầu từ A đến B từ B đến
(25)A h 03 phút; B h 16 phút; C h 30 phút; D h 45 phút.
Bài Người ta lắp đặt đường dây điện nối từ điểm A bờ AC đến điểm B đảo;
khoẳng cách ngắn từ B đến AC km, khoảng cách từ A đến C 12 km Chi phí lắp đặt km dây điện nước 100 triệu đồng, bờ 80 triệu đồng Hỏi phải chọn điểm S bờ AC cách A để chi phí mắc dây điện từ A đến S từ S đến B thấp
A km; B km; C km; D 10 km.
Bài Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A và
từ B đến bờ sông 118 m 487 m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B Đoạn đường ngắn mà người (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
A 569,5 m; B 671,4 m; C 779,8 m; D 741,2 m.
Bài Có hai cọc cao 10 m 30 m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách
(26)A AM = m, BM = 18 m B AM = m, BM = 17 m
C AM = m, BM = 20 m D AM = 12 m, BM = 12 m
Bài Từ mảnh giấy hình vng cạnh cm, người ta gấp thành phần dựng
lên thành hình lăng trụ tứ giác hình vẽ Hỏi thể tích lăng trụ
A.4cm3 B 16cm3 C
3
3cm D
3 16
3 cm
Bài Một người lính đặc cơng thực bơi luyện tập từ vị trí A bờ biển đến cái
(27)A 5km B 29 2km C 26 5km D.
5 12 km
Bài Đổ nước vào thùng hình trụ có bán kính đáy 20 cm Nghiêng thùng cho mặt
nước chạm vào miệng cốc đáy cốc hình vẽ mặt nước tạo với đáy cốc góc 45o Hỏi thể tích thùng cm3.
A.16000 B 12000 C 8000 D 6000
Bài 10 Tính thể tích chi tiết máy hình biết mặt cắt cắt theo phương
vng góc với trục thẳng đứng
(28)Bài 11 Người ta gập miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm x 20 cm hình vẽ để
ghép thành hộp hình hộp đứng (hai đáy cắt từ miếng tơn khác để ghép vào) Tính diện tích tồn phần hộp thể tích hộp lớn
A.1450cm3 B 1200cm3 C 2150cm3 D 1650cm3
Bài 12 Một bóng đèn huỳnh quang dài 120 cm, đường kính đường trịn đáy cm đặt
khít vào ống giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (xem hình vẽ) Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp (hộp hở hai đầu khơng tính lề, mép)
A.96cm2 B 960cm2 C 9600cm2 D 96000cm2
Bài 13 Một người thợ cần tiện khối nhựa hình cầu đặc có bán kính R = dm thành một
(29)A.
3
9
V dm
B
3
3
V dm
C
3
27
V dm
D
3
81
V dm
Bài 14 Một hộp sữa Ông Thọ cơng ty Vinamilk sản xuất tích 293 ml Hỏi phải sản
xuất đáy hộp có đường kính cm (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) trọng lượng vỏ hộp nhẹ Biết vỏ hộp làm từ hợp kim có độ dày vị trí
(30)Bài 15 Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r = chiều cao Người ta khoét rỗng khối
gỗ hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy khối gỗ đường tròn lớn nửa hình cầu Tính tỉ số thể tích phần lại khối gỗ khối gỗ
A.
1
3 B
2
3 C
1
2 D
1
Bài 16 Một xô inox có dạng hình vẽ Các kích thước (tính đơn vị dài) cũng
được cho kèm theo Tính diện tích xung quanh xơ
(31)A 350 B 400 C 450 D 500
Bài 18 Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Các kích
thước ghi đơn vị Hãy tính thể tích bồn chứa
A.4 32 B 4 32 C
2
5
D
5
2
Bài 19: Một dụng cụ gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón, kích
(32)A 490 B 4900 C 49000 D 490000
Bài 20 Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường trịn nhơm hình vng cạnh 1,5 m Sau
đó cắt thành hình bơng hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Hãy tính khối lượng phần nhôm bị cắt bỏ biết m2 nhôm có khối lượng 10 kg
A 8,55 kg B 6,45 kg. C 9,675 kg D 7,526 kg.
Bài 21 Từ tơn hình chữ nhật kích thước 40 cm x 60 cm người ta gò thành mặt xung
(33)A x 5 B x 3 C x 2 D x 4
Bài 23 Từ nhơm hình chữ nhật có kích thước 60 cm 200 cm, người ta làm thùng
đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây): Cách 1: Gị tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng
Cách 2: Gị tơn thành bốn mặt xuang quanh hình lăng trụ tứ giác
Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 thể tích thùng gị theo cách
Tính tỉ số
2
V k
V
A.k 1 B
5
k
C
4
k
D k
Bài 24 Một nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 cm chiều rộng cm Người ta cắt bốn
(34)A.
10
x
B.
12
x
C
12
x
D
10
x
Bài 25 Một thùng rượu vỏ gỗ có bán kính đáy 30 cm, bán kính lớn thân thùng 40
cm Chiều cao thùng rượu m Hãy tính xem thùng rượu chứa lít rượu (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết cạnh bên hơng thùng rượu có hình dạng parabol
A.
15329 150
lít B
502
lít C .
305
lít D.
406
lít
Bài 26 Một miếng nhơm hình vng cạnh 2,1 m người thợ kẻ lưới thành ô vng nhỏ có
diện
(35)A 11,172 kg B 22,344 kg C 21,756 kg D 32,928 kg.
Bài 27 Một cầu lơng hộp đựng có kích thước cho hình vẽ Hãy tính
xem hộp đựng cầu lơng
A 26 B 27 quả. C 28 D 29 quả.
Bài 28 Từ nhơm hình vng cạnh người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều
3mcao m, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây):
Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng
Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành ba nhau, gị thành mặt xung quang thùng
Kí hiệuV thể tích thùng gị theo cách 1 V tổng thể tích hai thùng gị được2
theo cách Tính tỉ số
2
(36)A.
1
2
V
V B
1
2
V
V C
1
2
V
V D
1
2
V
V
Bài 29 Người ta muốn làm thùng hình trụ từ miếng nhơm có chu vi 120 cm (quan
sát hình minh hoạ) Hãy cho biết mảnh tơn có kích thước thể tích thùng lớn Biết chiều cao thùng chiều rộng miếng nhôm
A Dài 35 cm, rộng 25 cm B Dài 40 cm, rộng 20 cm
C Dài 50 cm, rộng 10 cm. D Cả A, B, C sai.
Bài 30 Một hình chữ nhật có diện tích 100 cm2 Hỏi kích thước để
chu vi nhỏ
A 10 cm x 10 cm. B 20 cm x cm. C 25 cm x cm. D Đáp án khác
Bài 31 Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người
(37)A.
3 15000
3 cm B
3 125000
cm
C
3 48000
cm
D
3 12000
cm
Bài 33 Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện
tích vải cần để làm mũ biết vành mũ hình trịn, ống mũ hình trụ mũ may hai lớp
A.700 cm B 1512,5 cm C 1500,5 cm D 756, 25 cm
Bài 34 Một nhóm học sinh dựng lều dã ngoại cách gấp đơi bạt hình chữ nhật có
(38)A m B 1,5 m. C m. D
3 m
Bài 35 Một nhơm hình trịn tâm O bán kính R cắt thành hai miếng hình quạt, sau đó
quấn thành hai hình nón (N1) (N2) Gọi V1 V2 thể tích hai hình nón Tính
tỉ số
2
V k
V
biếtAOB 90
A k = 2. B.
7 105
k
C k = 3. D
3 105
k
(39)A.
3 96
V
B
2 12
V
C
2 96
V
D
3 16
V
Bài 37 Để tạo mơ hình kim tự tháp Ai Cập, từ bìa hình vng cạnh dm, người ta
cắt bỏ bốn tam giác cân có đáy cạnh hình vng gấp lên sau ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy mơ hình mơ hình tích lớn
A.
3
2 dm B.
5
2dm C
5
2 dm D 2dm
Bài 38 Viên phấn viết bẳng có dạng khối trụ trịn xoay đường kính cm, chiều dài cm
Người ta làm hộp tông đương phấn dạng hinh hộp chữ nhật có kích thước 6cm x cm x cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết kết sau
A Vừa đủ. B Thiếu 10 viên. C Thừa 10 viên D Thiếu viên.
Bài 39 Một cốc nước hình trụ có chiều cao 12 cm, đường kính đáy cm Thả vào cốc 4
(40)A.
1
3 B.
2
3 C 0,75 D 0,25
Bài 40 Một kim tự tháp Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác Kim tự tháp có chiều cao
150 m, cạnh đáy dài 220 m Hãy tính diện tích xung quanh kim tự tháp
A.2200 346m 2 B 4400 346m2 C 2420000m2 D 1110 346m2
Bài 41 Trong hộp hình trụ, người ta bỏ vào hộp vừa khít ba bóng Tennis, biết
đường kính đáy hộp đường kính bóng Tennis Gọi S tổng diện tích ba 1
quả bóng, S diện tích xuang quanh hộp Tính tỉ số diện tích2
2
S S
A 1. B 2. C 5. D 3.
Bài 42 Một cốc hình nón cụt có đường kính miệng cốc cm, đường kính đáy cốc cm.,
chiều cao cốc 12 cm Nếu dùng cốc để đong 10 lít nước phải đong lần
A 24 lần. B 20 lần C 22 lần D 26 lần
Bài 43 Bốn bạn An, Bình, Chi, Dũng có chiều cao 1,6 m; 1,65 m; 1,7 m; 1,75 m Họ
muốn tham gia trị chơi đứng thẳng bóng hình cầu tích0,8 m lăn cỏ Hỏi bạn không đủ điều kiện tham gia chơi
A Bạn An B Bạn An bạn Bình
C Bạn Dũng D Bạn Chi bạn Dũng.
Bài 44 Một công ty sản suất bóng tennis muốn thiết kế hộp làm giấy cứng để đựng 4
quả bóng tennis có bán kính r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo hai cách sau:
(41)Bài 45 Để làm mũ sinh nhật từ miếng giấy hình trịn bán kính 20 cm người ta cắt bỏ
phần hình quạt OAB cho góc tâm 75 Sau dán phần hình quạt lớn cịn lại cho
đA B ể làm mũ Hỏi thể tích mũ cm3
A.
3125 511 648
B.
8000
C.
45125 215 648
D.
1000
Bài 46 Một người thợ pha khối thạch cao vào nước tạo thành hỗn hợp tích 330 cm3,
sau đổ vào khn để đúc thành viên phấn hình trụ có bán kính đáy 0,5 cm chiều cao cm Hỏi người thợ đúc tối đa viên phấn
A 50 viên B 70 viên C 24 viên D 23 viên.
Bài 47 Một thùng đựng nước, có đường kính đáy 12,24 cm Mực nước thùng cao 4,56
cm Một viên bi kim loại hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi Bán kính viên bi gần với giá trị giá trị sau đây, biết đường kính viên bi khơng vượt cm
A 2,59 cm B 2,45 cm C 2,86 cm D 2,68 cm
Bài 48 Một ly có dạng hình nón hình vẽ Người ta đổ lượng nước vào ly cho
(42)A.
3 2 B. C. D 3 26
Bài 49 Người thợ làm bể cá hai ngăn khơng nắp với thể tích 1, 296cm Người thợ cắt3
các tấmkính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c mét để đỡ tốn kính Giả thiết độ dày kính khơng đáng kể
A. 3, 0, 0, a b c B 2, 0,9 0, a b c C 1,8 1, 0,6 a b c D 1, 1, 0,9 a b c
Bài 50 Một gàu múc nước hình nón có bán kính đáy 1,5 dm độ dài đường sinh dm
Hỏi phải múc lượt để đổ đầy thùng tích 240 lít
A 28 lượt B 27 lượt. C 26 lượt D 25 lượt
Bài 51 Người ta cắt miếng tôm hình trịn làm ba miếng hình quạt Sau quấn
(43)A.120 B 60 C.
1 2arcsin
2 D
1 2arcsin
3
Bài 52 Một nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN
và PQ vào đến AB CD trùng hình vẽ để lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng tru lớn
A.
2 27
x
B
2
x
C
2
x
D
2
x
Bài 54 Chủ nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh 600m2 đất để làm bãi đỗ xe Ba
cạnh khu đất rào loại thép với chi phí 14000 đồng mét, riêng mặt thứ tư tiếp giáp với mặt bên nhà hàng nên xây tường gạch xi măng với chi phí 28 000 đồng mét Biết cổng vào khu đỗ xe m.Tìm chu vi khu đất cho chi phí nguyên liệu bỏ nhất, biết khu đất rào có dạng hình chữ nhật
A 75 m B 100 m C 125 m D 150 m.
Bài 55 Một người lấy dải ruy bang dài 160 cm bọc quanh hộp quà hình trụ Khi bọc
(44)A.4000 cm B 1000 cm C 2000 cm D 1600 cm
Bài 56 Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính m, chiều dài m để một
cây xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong
A.4m3 B 2 2m3 C 4 2m3 D 8m3
Bài 57 Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây
(45)A.20m3 B 50m3 C 40m3 D 100m3
Bài 58 Một hình nón có chiều cao gấp lần bán kính đáy Một hình trụ nội tiếp trong
hình nón cho Hãy tính diện tích xuang quanh hình nón, biết khối trụ tích
3 16
9 dm chiều cao đường kính đáy đường trịn.
A.
2 10
xq
S dm
B.Sxq 4 10dm2 C
2 xq
S dm D Sxq 2dm2
Bài 59 Người ta khâu ghép mảnh da hình lục giác màu trắng ngũ giác màu đen
(46)A 12 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác B 20 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác C 10 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác D 12 mảnh da hình ngũ giác, 24 mảnh da hình lục giác.
Bài 60 Một khối gạch hình lập phương khơng thấm nước có cạnh đặt vào một
cái phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại nằm phễu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
(47)A 8820 lít B 8802 lít C 8800 lít D 8825 lít.
Bài 62 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tích Một hình nón có tâm đường
trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời điểm A’, B’, C’, D’ nằm đường sinh hình nón Thể tích nhỏ khối nón nêu
A.
9
8 B
9
16 C
2
3 D Đáp án khác
Bài 63 Từ nhơm hình vng canh dm Người ta muốn cắt hình thang (phần tơ đậm
(48)A 7 B 5 C.
7
2 D
Bài 64 Cho tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm chiều rộng cm Gấp góc bên
phải tờ giấy cho sau gấp, đỉnh góc chạm đáy hình vẽ Gọi độ dài nếp gấp y giá trị nhỏ y bao nhiêu.
A B 5 C 3 D 2
Bài 65 Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20 cm Trên biên miếng bìa ta xác định điểm
(49)A.
4000(2 2) 2
B.
3 4000( 2 )
2
C.4000(2 2) 2 D.4000( 2 )3
Bài 66 Một chậu nước hình bán cầu nhơm bán kính R = 10cm Ban đầu lượng nước trong
chậu có chiều cao (tính từ đáy chậu đến mặt nước) h = 4cm, người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên phủ kìn viên bi Biết thể tích khối chỏm
cầu tính theo công thức
2 ,
3
h V h R
tính bán kính viên bi (làm trịn đến hàng đơn vị)
A cm B cm C cm D 10 cm
Bài 67 Người thợ gốm nặm chum từ khối đất hình cầu bán kính dm cách cắt
bỏ hai chỏm cầu đối diện Hãy tính thể tích chum biết chiều cao 60 cm
A 414,48 lít B 128,74 lít C 104,(6) lít. D 135,02 lít.
Bài 68 Người ta muốn treo bóng đèn phía bàn có bán kính
(50)bóng đèn biểu thị cơng thức
sin
C c l
(trong đó góc tạo tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c số tỉ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ bóng đèn tới mép bàn) Hỏi phải treo bóng đèn cách mặt bàn mét
A m B 1,2 m C 1,5 m D 2m.
Bài 69 Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 50 cm, chiều rộng 20 cm Người ta chia miếng
bìa thành ba phần hình vẽ để gấp lại thu hình lăng trụ đứng có chiều cao chiều rộng miếng bìa Hỏi diện tích xuang quang lăng trụ gấp
A.1500cm2 B 2000cm2 C 1000cm2 D 500cm2
Bài 70 Người ta xếp viên bi có bán kính r vào lọ hình trụ cho tất viên
bi tiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Hãy tính diện tích đáy lọ
A.16 r B 18 r C 9 r D 36 r
Bài 71 Một gia đình cần xây dựng hố ga (khơng nắp) dạng hình hộp chữ nhật tích 3
(51)A.
3
4m B 1,5 m C
4
3m D 2,5 m
Bài 72 Từ bìa cứng hình vng cạnh a, người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau
rồi gấp lại tạo thành hình hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt để thể tích hình hộp lớn
A.2 a
B 8 a
C 3 a
D 6 a
Bài 73 Từ nhơm hình vng cạnh 200 cm, cắt nhơm hình tam giác vng có tổng
cạnh huyền cạnh góc vng 120 cm Để miếng nhơm cắt có diện tích lớn cạnh huyền miếng nhơm có độ dài
A 40 cm B 40 3cm C 80 cm D 40 2cm
Bài 74 Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ Kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội –
Huế), người ta cắm hai cọc MA NB cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song, cách 10 mét thẳng hàng so với tim cột cờ (xem hình vẽ minh hoạ) Đặt giác kế
đứng A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo góc là51 40'12'' 45 39'
(52)A 52,20 m. B 52,29 m. C 52,30 m D 52,31 m
Bài 75 Người ta muốn làm đường từ địa điểm A đến địa điểm B hai bên bờ
(53)Bài 77 Khi thiết kế vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí làm
vỏ lon nhỏ (diện tích tồn phần nhỏ nhất) Muốn thể tích lon sữa V mà diện tích tồn phần lon sữa nhỏ bán kính đáy lon
A. V R B
3 V R
C
V R
D
V R
Bài 78 Một lon sữa hình trụ trịn xoay có chiều cao 10 cm đường kính đáy cm Nhà sản
xuất muốn tiết kiệm chi phí sản xuất vỏ lon mà khơng làm thay đổi thể tích lon sữa nên hạ chiều cao lon sữa hình trụ trịn xoay xuống cịn cm Tính bán kính đáy lon sữa
A.
45
R cm
B R 45cm C
65
R cm
D
45
R cm
Bài 79 Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh
gồm 10 cột Trước hoàn thiện cột khối bê tơng hình lăng trụ lục giác có cạnh20 cm; sau hồn thiện cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh cột khối trụ có đường kính đáy 42 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 6400 cm3 xi măng Hỏi cần bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn hệ thống cột
A 25 bao. B 18 bao C 28 bao. D 22 bao
Bài 80 Một bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng có cạnh
12 cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Nếu dung tích hộp 4800 cm3 cạnh bìa
A 38 cm B 36 cm C cm D 42 cm
Bài 81 Một khối lập phương có cạnh 1m Người ta sơn đỏ tất mặt khối lập
phương cắt khối lập phương mặt phẳng song song với mặt khối lập phương để 1000 khối lập phương có cạnh 10 cm Hỏi khối lập phương thu sau cắt có khối lập phương tơ đỏ số mặt
A 64 B 81 C 100 D 96
Bài 82 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a
(54)A.
2
3 a
B
2
32 a
C.
2
3 4 a
D Kết khác.
Bài 83 Một nhôn hình chữ nhật có kích thước a x 2a Người ta nhơm thành một
hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chiều dài đường sinh 2a bán kính đáy bao nhiêu:
A. a
B 2
a
C 2 a
D 2a
ĐÁP ÁN
1 10
A D A B C A A D A C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D B A A A B B A A C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
B B B A D C C D B A
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D B C D D B D B B B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C D A C B A D C A
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
D A B B B A C B A A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
A A C C C A A A C C
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
C D C C B B A A B C
81 82 83
(55)min S
36 54 24
11 2(9 3)
x x
Bài Gọi chiều dài chiều rộng khu đất rào x y (0 < y < x < 200).
Ta có:x2y200 x200 y
Diện tích rào : f y( )x y (200 ). y y2y2200 y
Diện tích lớn :
200
50 100 axS=5000
2( 2)
y x m
Bài Ta tính xem bạn Hoa cần thời gian để từ A đến C.
Giả sửCD x ,(0x5) BD 5 x AD 33(5 x)2
Thời gian Hoa di từ A đến C :
2
2
10 34
( ) '( )
4 4 10 34
x x x x
f x f x
x x
Ta có: f x'( ) 0 x1 Mà f(1) 1, 45 Như bạn Hoa cần h 27 phút để di chuyển muộn 6h03phút Hoa phải xuất phát
Bài Giả sửAS x,(0x12) BS 32(12 x)2 x2 24x153
Số tiền để mắc đường dây điện là: f x( ) 80 x100 x2 24x153
Ta có: f(4) 1174, 400375, (8) 1140, (6) 1150,820393, (10) 1160,555123. f f f
Suy ra: x =
(56)Ta có :ED AC 492
Đặt EF=x FD=492-x
Đoạn đường mà người phải là:
2 2
( ) 118 (492 ) 487
f x x x
2
( ) 13924 984 479233
f x x x x
Ta có:
2
492 '( )
13924 984 479233
x x x
f x
x x x
Do đó:
58056 '( )
605
f x x
Suy đoạn đường ngắn là:
59056
( ) 779,8 605
f
Bài ĐặtAM x,(0x24) Ta có tổng độ dài hai sợi dây là:
2 2
( ) 10 30 (24 )
(57)Suy quãng đường mà người phải bơi là:S x( ) 1, 25 12x2 52(3 x)2
Bài HD: Do mặt nước tạo với mặt đáy góc 450 nên chiều cao hình trụ đường kính
của đáy
Bài 10.
2 10 (5 )
80
V
Bài 11 Đáy hộp hình bình hành, thể tích hộp lớn diện tích đáy hộp lớn nhất.
Gọi góc mặt đáy, ta có diện tích đáy là:
2
30
.sin 225
2
x y
S xy
Đẳng thức xảy khi: x = y góc hình bình hành 900 Như đáy hộp hình vng cạnh 15 cm
Ta tính diện tích tồn phần hộp 1650 cm2.
Bài 12 Diện tích phần giấy cứng để làm hộp diện tích xuang quanh hộp Chu vi đáy hộp là: 2.4=8 (cm)
Diện tích giấy để làm hộp là: S 8.12(cm2)
Bài 13.
Gọi r h bán kính đường cao khối hình trụ tiện được.
Ta có:
2 2
2 2 1
2
h h
(58)Thể tích khối hình trụ tiện là:V r h2
Suy :
2
4 h V h
, V lớn khi h h
lớn nhất.
Ta ý < 2h < 2R hay < h <
Xét
2
( ) ( )
4
h h
f h h f h h
Ta có:
2
3
'( )
4
h
f h h
Dễ thấy f(h) lớn
2 3
h
và
3
( )
V dm
Bài 14 Ta có :V 293ml293cm3
Gọi bán kính đáy hộp R cm Ta có chiều cao hộp là:
V h
R
Để hộp sữa có trọng lượng vỏ hộp nhẹ diện tích tồn phần phải nhỏ
Ta có:
2 2
2
2
2 2
tp tp tp
V V
S R R h S R R S R
R R
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
3
2 3 2
2
tp tp
V V V V
S R R S V
R R R R
Đẳng thức xảy :
2 3 3
2 2
2
V V V
R R d R
R
Áp dụng cho toán :
3 293
2 7, 20( )
2.3,14
(59)Thể tích khối gỗ bị khoét :
3
1
1 4
2
2 3
V r V
Thể tích cịn lại khối gỗ sau khoét là:
4
2
3
V V V
Tỉ số cần tính là: 2 3 V V
Bài 16 HD: Nếu úp ngược lại xơ có hình nón cụt, tính diện tích xung quanh nó
thơng qua diện tích hai hình nón khác.Sxq .12.(36 108) .9.108 756
Bài 17.S ( 15 2 .5 )2 .5.30 350
Bài 18
3 2
4
9 36 3888
V
Bài 19.
2
7 7 490
V
Bài 20 Xem ví dụ 7
Bài 21.
Gọi bán kính đáy khối trụ r ta có:
30 2r 60 r
Thể tích khối trụ là:
2 30 36000
h ( ) 40 ( )
V r cm
Bài 22 Ta có:
2 1 18 18
(18 ) (18 )(18 ).4
4 27
x x x
V x x x x x
Đẳng thức xảy xa khi: 4x18 2 x x 3
Bài 23 Ta có
(60)Bài 24 Thể tích hộp :V x( ) 7(12 )(8 ). x x x Thể tích hộp lớn
10
x
Bài 25
HD: Toạ độ hố hình vẽ Thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay tạo
thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số
2
40 250
y x
trục Ox hai đường thẳng x = -50, x = 50 (như hình vẽ bên) xung quanh trục Ox Cơng việc tính tốn xin để lại cho bạn đọc
Bài 26 Xem ví dụ 12.
Bài 27 Ta có:
50 (9 1,5)
28,(3) 1,5
Suy số lượng cầu long đựng hộp 28
Bài 28 Gọi R bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 1 1
3 27
2
2
R R V
Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 2
1
2
2
R R V
(61)Xét hàm số: f x( )x360 ,x x2 (0;60)
Ta có:
2
'( ) 120
40 x
f x x x
x
Suy chiều dài 40 cm, chiều rộng 20 cm
Bài 30 Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn Bài tốn
này giải nhờ bất đẳng thức AM-GM khảo sát biến thiên hàm số.
Bài 31 Gọi hai cạnh miếng đất x, y Ta có: x + y = 400 (m).
Ta có:
2
2
( ) 400
40000
4
x y
xy
Đẳng thức xảy khi: x = y = 200 (m)
Bài 32 Gọi bán kính thùng r ta có:
50 2r 100 r
Thể tích hộp là:
2
2 50 .50 125000( 3)
V r h cm
Bài 33 Xem ví dụ 9.
Bài 34
(62)Ta có:
2
1 9
.sin sin sin 90
2 2
ABC
S AB AC A A
Đẳng thức xảy khi:ABC 90
Suy chiều cao gậy chống là: 2
3.3 2 3
Bài 35 Gọi r r bán kính đáy hình nón 1, ( ),(N1 N 2)
Ta có:
2
1 2
3 1
;
4 4
xqN xqN
S rl R r R S r l R r R
Suy ra:
2
2 2
1
1
1
2 2
2
2 2 2
2
1
3 105
3 16
1 1 15 5
3 16 4
R
S h r R r R
V
V S h r R r R R
Bài 36 Gọi S đỉnh khối tứ diện gấp được, ABC tam giác đáy, G trọng tâm tam giác
ABC
Do tứ diện gấp tứ diện nênSG(ABC)
Ta có:
0
2
.sin 60
3
AG AB
Suy ra:
2 12 6.
9
SG SA AG
Thể tích tứ diện gấp là:
1
3 12
V
(63)Gọi độ dài cạnh đáy mơ hình x, chiều cao mơ hình h.
Ta có:
5
2
2
x
x BC BC
Suy ra:
2
2 10 50 50 10
4
x x x x
h BC AB
Thể tích mơ hình là:
2
1 50 10
( )
3
x
V x x
Ta có:
2( ) .(25 ).4 18
V x x x
V(x) lớn V x lớn hay 2( ) f x( )5 2x525x4 lớn
Mà
4
'( ) 25 100
2
x
f x x x
x
Suy x 2 2 thỏa mãn đề bài.
Bài 38 Mỗi hộp đựng 30 viên phấn, suy 12 hộp đựng 260 viên phấn Do thiếu
10 viên phấn
Bài 39 Thể tích bốn viên bi là:
3
4 16
4 .1
3
Chiều cao nước dâng lên là:
2
16
: ( ) ( )
9 cm
Như nước cách mép cốc
( ) cm
Bài 40.
2 2
1
4 150 110 220 4400 346( )
xq
S m
Bài 41 Tổng diện tích ba bóng là:S1 2.4r2 12r2
Diện tích xuang quanh hộp là:S2 2 6r r 12r2
Suy ra: S S
Bài 42 Thể tích cốc là:
2
1
.4 (12 36) 36 464, 72( )
(64)Suy ra: V = 0,46472 (lít) Do dùng cốc để đong 10 lít nước phải đong 22 lần
Bài 43 Người chơi đủ điều kiện tham gia có chiều cao thấp đường kính bóng.
Bài 44 Ta có:S1 2.(2 ) 4.(8 ) 72 ;r r r r r S2 2.(4 ) 4.(4 ) 64 r r r r r2
Suy ra:
2
2
72
64
S r
S r
Bài 45 Diện tích xuang quanh mũ là:
2 360 75 950
.20
360
Suy ra:
950 95
.20
3
r r
Chiều cao mũ là:
2
2 95 215
20
6
h
Thể tích mũ là:
2
2 . 95 .5 215 45125 215 .
6 648
V r h
Bài 46 Thể tích viên phấn là:.0,5 4,71(2 cm3)
Ta có:330 70.4, 71 0,3 nên đúc tối đa 70 viên phấn
Bài 47 Gọi chiều cao mực nước dâng lên x (cm).
Bán kính viên bi là:
4,56
x
r
3
4 4,56
(65)Thể tích lượng nước đổ vào là:
2
2
1
3 3 81
n
r h
V r h
Thể tích cịn lại cốc là: 26
81r h (1)
Gọi h - k chiều cao nước úp ngược lại
Thể tích cịn lại cốc là:
2 h r k k
(sử dụng tam giác đồng dạng) (2).
Từ (1) (2) suy ra:
2 3
2
3
1 26 26 26
3 81
h k h k
r r h
k n h
Bài 49 Ta có: abc = 1,296.
Diện tích phần kính dùng để làm bể cá là:
3 2
3 36
2 3 3
5 AM GM
S ab ac bc ab ac bc a b c
Đẳng thức xảy khi:
1,8
2 1,
3
0,6
a
b c
S ab ac bc b
a c c
Bài 50 Chiều cao gàu là:
2 55
4 1,5 ( )
2
h dm
Thể tích gàu là:
2
1 55
.1,5 8,732573719( )
3
V dm
Suy cần múc 28 lần để đổ đầy thùng tích 240 lít
Bài 51 Diện tích xung quanh hình nón là: S rl, mà ta lại có:
2
l S
Suy ra:
2 1
3
l
rl r
1
Sin 2arcsin
3
r l
(66)Bài 52 Thể tích khối lăng trụ lớn diện tích đáy lớn
Diện tích đáy lăng trụ là:
2
1
( ) (60 ) (30 ) (30 ) 60 900
S x x x x x x
Sử dụng MTCT ta tính được:S x'( ) 0 x20
Nếu để ý chút bạn đọc thấy có đáp án A thoả mãn đáp án B, C, D 2x 60
Bài 53 Gọi r bán kính khối nón, h chiều cao khối nón Khơng tính tổng qt ta có
thể xem R = Ta có:h R2 r2 1 r2
Do diện tích xuang quanh hình nón ằng diện tích phần hình quạt đem quấn nên:
2. .
2 2
x x x
R rR r r
Thể tích khối nón là:
2
2
1
( )
3 2
x x
V r h
Đặt ( 0) x y y
Xét hàm số: ( )g y y 1 y , ta có:
1
'( )
2
g y y y
y
Suy ra:
2
'( ) 2(1 )
3
g y y y y
Do đó:
2 2
2 3
x x x
Bình luận: Nếu bạn đọc tính theo R tốn khó khăn phức tạp nhiều.
Bài 54 Gọi độ dài hàng rào xây xi măng x (x > 5) độ dài hai hàng rào vng góc
(67)Suy tổng chi phí là:
1200 16800000
( ) 14000 28000 42000 70000
f x x x x
x x
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
16800000
( ) 42000 1610000
f x x
x
Đẳng thức xảy khi:
16800000
42000x x 20
x
Suy chu vi khu đất là:
600
2( ) 20 100( ) 20
x y m
Bài 55 Gọi x y bán kính đáy chiều cao hình trụ.
Dải dây ruy băng thắt nơ là: 160 – 40 = 120 (cm)
Ta có:(2x y ).4 120 y30 x
Thể tích hộp quà là:
3
2 (30 )
( ) (30 ) (30 )
27 ( ) 1000
x x x
V x x x x x x
V x
Đẳng thức xảy khi:x30 2 x x10(cm)
Bài 56 Gọi chiều dài chiều rộng đáy khối gỗ lần luột x y.
Ta có: x2y2 2rx2y2 1
Thể tích khối gỗ lớn diện tích đáy lớn nhất, tức là: xy lớn
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
2 1
2
x y
xy
Đẳng thức xảy khi:
2
x y
Suy thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong là:
3
.8 4( )
(68)Bài 57
Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I (P1) có phương trình:
2 .
y ax bx x Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên( ) :P1 y ax 2bx
Sử dụng tiếp kiện (P1 ) qua I A ta suy
2
2
( ) :
625 25
P y x x
Do parabol phía có phương trình
2
2
( ) :
625 25
P y x x
Khi diện tích nhịp cầu là S2S1 với S phần diện tích giới hạn parabol1 ( )P và1
2
( )P khoảng (0;25).
Suy ra:
0,2 25
2
0 0,2
2
2 9,9( )
625 25
S x x dx dx m
(69)Gọi bán kính đáy hình nón R, (R > 0) Suy chiều cao hình nón 3R chiều cao hình trụ 2R.
Gọi bán kính hình trụ r thì
r HB
Ta có:
DC SD R
r
AH SH
Do thể tích khối trụ 16
9 nên ta có:
2
16
.2
3
R
R R
Suy đường sinh hình nón là:l SH2AH2 6222 2 10
Diện tích xuang quanh hình nón là:Rl.2.2 10 4 10 ( dm2)
Bài 59 Gọi m số mảnh da ngũ giác, n số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi
mảnh da ngũ giác mảnh da đen, mảnh da lục giác mảnh da trắng)
Số mảnh da bóng là: M = m + n
(70)Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với mảnh da đen nên số đường khâu ghép mảnh da trắng và mảnh da đen 3n (2).
Từ (1) (2) ta có:
3
5
5
n
m n m
Suy số mảnh da bóng là:
3
5
n n
m n n
Số đường khâu ghép mảnh da trắng với
2
n
Vì mảnh da trắng lại tiếp xúc với mảnh da trắng khác đường khâu ghép ta đếm lần
Tổng số đường khâu ghép bóng là: Số đường khâu mảnh da màu + Số
đường khâu mảnh da khác màu
3
3
2
n n
n
Số đỉnh tất mảnh da 5m hay 3n (bằng tổng tất đỉnh mảnh da đen) Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + nên ta có:
8 3.20
3 2 12
5 10
n n
n n m
Bài 60 Gọi R h theo thứ tự bán kính chiều cao phễu.
Thiết diện song song với đáy phễu, qua tâm viên gạch hình trịn bán kínhR 1
Ta có:
1 2 3
R h h
R
R h h
(1)
Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy phễu hình trịn
(71)Thể tích cịn lại phễu là:
2
1
2 22, 27
V R h
Bài 61.V 50.20.10 10.20.1 49.20.1 8820 (lít)
Bài 62
Gọi I tâm hình vng ABCD, H tâm hình vng A’B’C’D’, EF đường sinh qua hình vẽ bên
Do hình lập phương tích nên ta có:
2
AA ' 1, '
2
HI A H AI
Đặt EH = x ta có:
' 2
( )
1 2
x A H x x
FI r
EI FI x FI x
Thể tích khối nón là:
2 3
2
2
1 1 ( 1)
( 1)
3 6
x x
r EI x
x x
Xét hàm số
3
2 ( 1) ( ) x f x
x
x > ta có
2
3 ( 2)( 1) '( ) x x f x
x
Do thể tích khối nón
đạt giá trị nhỏ x = Thể tích khối nón là:
8
(72)Ta có:2S2x3y(6 x)(6 y)xy 4x 3y36 (1)
Mà hai tam giác AEH CGF đồng dạng nên
AE AH
xy
CG CF (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
18 2S 42 4x
x
2S lớn
18 4x
x
nhỏ
Suy ra:
18
4 2
2
x x y x y
x
Bài 64.
Gọi điểm hình vẽ, kẻ PQ vng góc với CD Để N chạm đáy CQ MB > MC nên x >
4
Hai tam giác MNC NPQ đồng dạng nên ta có:
2
2
(8 )
8
x x
MN NC x NC x
NP PQ PB y x
(73)Xét hàm số ( ) x f x x
ta có:
2
2
0 ( 6)
'( ) , '( )
6 ( 4)
x x x
f x f x
x x
Ta suy ra: miny f(6) 3
Bài 65
Gọi O tâm miếng bìa.Ta có:AOB 450
Suy ra:
0
2 2
1 45
2 0.sin 22,5 40 20 2
2
40 (20 2 ) 20 2 cos
AB A
BE AE AB
Chiều cao hộp gấp là:
1
( ) 10( 2 2 )
2
10 2 2 2 2 10 2
h BE AB
h
Thể tích hộp gấp là:V AB h2 4000(2 2) 2
Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB đơn giản chút.
Bài 66 Gọi x bán kính viên bi Điều kiện: 2 x10 0 x
Thể tích viên bi là:
3 bi
(74)Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào là:
2
4 416 16 10
3 3
h
V h R
Thể tích khối nước hình chỏm cầu thả viên bi vào là:
2
2
2 (30 )
(2 )
3
x x x
V x R
Ta có phương trình:
2
3
2
3
4 (30 ) 416
4 (30 ) 416
3 3
3 30 104 0(1) bi
x x
V V V x x x x
x x
Giải phương trình (1) ba nghiệm sau so sánh với điều kiện làm tròn đến hàng đơn vị ta x =
Bài 67 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ.
(75)Ta có :sin
h l
h2 l2
Suy cường độ sáng mép bàn là: 3 ( ) h ch
C C h c
l h
Ta có: 3 3
1, 1,5
(1) ; (1, 2) ; (1,5) ; (2)
( 3) ( 3, 44) ( 4, 25) ( 6)
c c c c
C C C C
Suy h = m cường độ sáng mép bàn lớn
Bài 69 HD: Diện tích xung quanh hộp diện tích miếng bìa.
Bài 70 Bán kính đáy lọ là:R r 2r3 r
Diện tích đáy lọ là:sR2 (3 )r 9r2
Bài 71 Ta có:
4
h
h y
y
Do thể tích hố ga nên ta có:
3
3
4
xyh xy y x
y
Tổng diện tích mặt cần xây là:
2
2
3 3 27
2 .4 8
4 4
xy xh yh y y y y y y
y y y y y
Ta có:
2 2
3
27 27 27 27 27
8 8
4 8 8
AM GM
y y y
y y y y y
Đẳng thức xảy khi:
2 27
8
8
y y x
y
Bài 72 Gọi x độ dài cạnh bốn hình vng cắt bỏ(0 2)
a x
(76)Thể tích hộp là:
3 3
1 2
( )( ) ( )( ).4
4 27
AM GM a a a x x a
V a x a x x a x a x x
Đẳng thức xảy khi:
a a x x x
Bài 73 Gọi x độ dài cạnh góc vng ( x > ),thì độ dài cạnh huyền 120 - x độ dài
cạnh góc vng cịn lại 14400 240 x
Diện tích miếng nhơm cắt là:
1
( ) 14400 240
f x x x
Ta có:
2
1
( ) (14400 240 ) 120 120 (14400 240 )
2 2.120
f x x x x x x
Suy f(x) lớn 120x14400 240 x x40 cạnh huyền 80 cm diện tích miếng nhơm lớn
(77)Ta có:HCAC.sinCAH AC.sin 51 49120 ' ''
0 ' ' ''
0 ' '' 10sin 45 39 sin 51 4912
52,30( ) sin 1012
HC m
Bài 75 ĐặtHM x,(0 x 4,1) Suy :AM x21, 44,BN (4,1 x)22, 25
Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khơng tính tổng qt giả sử a =
số tiền để làm đường là: f x( ) 1. x21, 44 1,3 (4,1 x)22, 25
Ta có: 2
4,1
'( ) 1,3
1, 44 (4,1 ) 2, 25
x x f x x x
Sử dụng MTCT ta tính f x '( ) x2,630356850x0.
Suy ra: HM = 2,630 (km)
Bài 76 Diện tích mặt cắt ống là:SR2 r2 với r = 0,0075 (m) R = 0,0095 (m).
Thể tích phần thép tạo nên ống là:V 6 ( )S m3
Khối lượng ống thép là: m = 7800.V(kg)
Suy số ống thép tạo từ 10 thép nguyên liệu là:
10000
2000
7800V (ống)
Bài 77 Ta có:
2 2
2
2
2 2
tp tp tp
V V
S R R h S R R S R
R R
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
3
2 3 2
2
tp tp
V V V V
S R R S V
R R R R
Đẳng thức xảy khi:
2 3 2 V V R R R
(78)Bán kính đáy lon sữa là:
2 45
8 90 ( )
2
R R cm
Bài 79 Thể tích lượng vữa cần trát thêm vào cột là:
2
400 21 20.20.sin 60 138203,8062( )
V cm
Thể tích xi măng tương ứng là:V' (10 ).80% 1105630,449( V cm3)
Số lượng bao xi măng cần dùng là:
'
17, 27547577 64000
V
suy cần dùng 18 bao xi măng
Bài 80 Diện tích đáy hộp là:
2 4800
400( )
12 cm
Suy cạnh đáy hộp là: 20 (cm)
Cạnh bìa hình vng là: 20 + 2.12 =44 (cm)
Bài 81 Số khối lập phương nhỏ sơn đỏ số mặt là: 8, 12 = 96 (khối)
(79)Suy ra:
3
3
1 1
2 2
SD SE SF SD SD
SA SB SC SA SA
Do đó: 3
1
2
DE a
DE
AB
Dễ thấy DEF tam giác nên:
2
3 3
1
.sin 60
2 2 4
DEF
a a a
S
Bài 83 Ta có:2
a
R a R