1 K THI CHN HC SINH GII NM HC : 2010-2011 -------------------------- MễN : TON LP 9 CHNH THC ( Thi gian lm bi : 150 phỳt Câu 1( 5 đ ) : Giải các phơng trình a) 1 x x - x + 1 2007 = 1 2 2 x b) 12 xx + 12 + xx = 2 Câu2( 4 đ ) : a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và + + + 8 1 2 1 1 1 222 cba = abc 32 b) Tìm a , b , c biết : a = 2 2 1 2 b b + ; b = 2 2 1 2 c c + ; c = 2 2 1 2 a a + Câu 3 ( 4 đ ) : b) Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 Tính P = (2006+ b a )(2006 + c b ) ( 2006 + a c ) a) Tìm GTNN của A = 2 2 20062 x xx + Câu 4.(3đ ) Cho hình bình hành ABCD sao cho AC là đờng chéo lớn . Từ C vẽ đờng CE và CF lần lợt vuông góc cới các đờng thẳng AB và AD Chứng minh rằng AB . AE + AD . AF = AC 2 Bài 5: Cho tam giác ABC từ điểm D bất kỳ trên cạnh BC ta dựng đờng thẳng d song song với trung tuyến AM. Đờng thẳng d cắt AB ở E cắt AC ở F. a, Chứng minh AF AE = AC AB . b, Chứng minh DE + DF =2AM K THI CHN HC SINH GII NM HC : 2010-2011 -------------------------- MễN : TON LP 9 CHNH THC ( Thi gian lm bi : 150 phỳt Câu I:. Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1. 2 c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn nhất. CâuII: Giải các phơng trình: a) 696122 22 =++++ xxxx b) 11212 =++ xxxx Câu III: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= y zx x yz z xy ++ với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1 b) Giải hệ phơng trình: =+ = = 1223 2 2 3 2 5 1 zyx zyx c) B = xxx xxx xxx xxx 2 2 2 2 2 2 2 2 + + 1. Tìm điều kiện xác định của B 2. Rút gọn B 3. Tìm x để B<2 Câu IV: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F. K o dài CA cho cắt đờng thẳng BM ở D. Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N. a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN d) Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC. Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đ- ờng tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đờng tròn cắt đờng thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. K THI CHN HC SINH GII NM HC : 2010-2011 -------------------------- MễN : TON LP 9 CHNH THC ( Thi gian lm bi : 150 phỳt) Cõu 1: (4 im) Cho biu thc : 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x + = + + + 1. Rỳt gn A 2. Tỡm giỏ tr ca x khi 1 2 A = 3 3. Tìm giá trị nguyên của x để A là số nguyên. 4. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất Câu 2: (4 điểm) 1. Cho 1, 1.x y≥ ≥ Chứng minh : 1 1x y y x xy− + − ≤ . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 ( 1; 1) y x A x y y x − − = + ≥ ≥ Câu 3: (4 điểm) Một đoàn khách du lịch đi tham quan bằng ô tô. Họ quyết định mỗi chiếc ô tô phải chở một số hành khách như nhau. Ban đầu họ định cho mỗi ô tô chở 22 hành khách, nhưng như vậy còn thừa ra một người. Về sau , khi bớt đi 1 ôtô thì có thể phân phối số hành khách như nhau lên mỗi ôtô còn lại. Hỏi ban đầu có bao nhiêu ôtô và có tất cả bao nhiêu khách du lịch, biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 người. Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O,R) dây AB = R 2 . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy M sao cho AM = R ( M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa O) 1. Tứ giác AMBO là hình gì? 2. Đường OM cắt (O) tại I, tính IM theo R ( I thuộc cung nhỏ AB ) 3. Tính AI theo R 4. Đường AI cắt BM tại H . Chứng minh AH là phân giác của góc MAB 5. Khi A chuyển động trên (O) thì M di chuyển trên đường nào? Câu 5: (3điểm ) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB. Hãy chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến A và B không lớn hơn đường kính của đường tròn đó. ------------------------------- Hết -------------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2010-2011 Câu 1: (4điểm) Cho biểu thức 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x − − + = + − + − − + Đ /k : 0; 1x x≥ ≠ (0,5đ) 1. Rút gọn: 15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3) x x x x x A x x x x x x − − + + − = − − − + − + − + (1đ) 4 15 11 3 7 6 2 3 ( 1)( 3) x x x x x x x − − − + − − + = − + (1đ) 7 5 2 ( 1)(5 2) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 5 2 3 x x x x x x x x x A x − − − − = = − + − + − = + (1,5đ) Câu 2: (4điểm) 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 1.( 1) 2 2 y y y y + − − = − ≤ = (0,5đ) 1 2 xy x y⇒ − ≤ (0,5đ) Tương tự : 1 2 xy y x − ≤ (0,5đ) Do đó : 1 1x y y x xy− + − ≤ (0,5đ) 2. Theo câu 1: 1 1 1 1 1 x y y x x y y x xy xy − + − − + − ≤ ⇔ ≤ Do đó : 1 1 1 y x y x − − + ≤ Dấu “=” xảy ra 1 1 2 1 1 2 x x y y − = = ⇔ ⇔ − = = Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1. Câu 3: (4điểm) Gọi x là số ôtô có lúc đầu và lúc sau mỗi ôtô chở y người.( đ/k : 2, 32x y≥ ≤ ) Vì mỗi xe lúc đầu dự định chở 22 hành khách nhưng còn thừa ra một người nên số hành khách có :22x +1 người. Vì lúc sau bớt đi 1 xe ôtô nên số xe còn lại là : (x – 1) xe và mỗi xe lúc sau chở y người nên số hành khách là : y(x-1) người. Vậy ta có phương trình: y(x-1) = 22x + 1 22 1 23 22 1 1 x y x x + ⇒ = = + − − Vì y là số tự nhiên, 2x ≥ nên 23 1x − cũng là một số tự nhiên, do đó 23 1x −M Vậy x-1 = 1 hoặc x-1 = 23 Với x-1 = 1 thì x = 2 ⇒ y = 22 +23 = 45 . Trái giả thiết mỗi xe chở không quá 32 người. Với x-1 = 23 thì x = 24 22 1 23y⇒ = + = 32〈 .(thoả mãn đ/k) Vậy số ôtô ban đầu là 24 chiếc và tổng số khách du lịch là: 22.24+1= 529 người. Bài 4: (5 điểm) 5 Vẽ hình đúng, ghi GT,KL đúng : (0,5đ) 1. Xét tam giác OAB có OA = OB (=R); AB = R 2 Nên tam giác OAB vuông tại O. (đảo Pytago) Ta có :OB vuông góc với OA (cm trên) MA vuông góc với OA(tính chất tiếp tuyến) / /OB MA⇒ , lại có OB = MA (=R) nên tứ giác AMBO là hình bình hành. Mặt khác : MAO Góc MAOvuông và AM = AO nên AMBO là hình vuông. 2. IM = OM – OI = R 2 -R =R( 2 -1) 3. Gọi C là giao điểm hai đường chéo AB và OM ta có AB vuông góc với OM và CM = 2 2 R . Ta có : CI = CM – IM = 2 2 ( 2 ) 2 2 R R R R R− − = − Tam giác ACI vuông tại C nên: AI 2 = CI 2 +AC 2 ( Pytago) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 R R R R R AI R R R R R⇒ = − + = − + + = − 2 2AI R⇒ = − 4. Ta có IAO AIO ∠ = ∠ (tam giác AOI cân tại O) mà IAO AHM ∠ = ∠ (so le trong AO//MB) .Mà : 0 2 0 1 90 90 IAO A AHM A ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 1 2 A A⇒ ∠ = ∠ Vậy AH là phân giác của góc MAB. 4. Ta có OM = AB = R 2 không đổi , O cố định . Do đó M thuộc đường tròn tâm O bán kính R 2 Bài 5: (3điểm) (Các bạn tự giải nhé, chúc các bạn thành công) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 9 (Thời gian: 90 phút) Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y y x y ÷ ÷ + − + − + + với x > 0, y > 0 Bài 2: (4 điểm) a. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm 4 3x x x m x + + = + 6 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x – 2y + 1) 2 + (2x – 4y + 7) 2 . Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng : a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt. b. Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp. c. Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3. d. Người 4 không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nhưng nói chuyện trực tiếp được với người 1. Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ? Bài 4: (4 điểm) a. Cho a ≥ b, x ≥ y. Chứng minh (a + b) (x + y) ≤ 2(ax + by) (1) b. Cho a + b ≥ 2. Chứng minh a 2006 + b 2006 ≤ a 2007 + b 2007 (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a . a. Nêu cách dựng và dựng ∆ ABC sao cho · 0 BAC 60= và trực tâm H của ∆ ABC là trung điểm của đường cao BD. (2 điểm) b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OK ⊥ BC. (2 điểm) c. Chứng minh AOH ∆ cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a. (2 điểm) d. Tính diện tích tam giác ABC theo a. (2 điểm) ĐỀ THI ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 Thời gian: 120 phút 7 Câu 1: Cho biểu thức D = + + + − + ab ba ab ba 11 : − ++ + ab abba 1 2 1 a) Rút gọn D b) Tính giá trị của D khi a = 32 2 − c) Tìm giá trị lớn nhất của D Câu 2 : a) Cho a+b+c= 2010 và 2010 1111 =++ cba Chứng minh rằng trong các số a,b,c có ít nhất một số bằng 2010 b) Cho các số dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 22 2 22 2 22 1 11 1 11 1 11 c ba c b ac b a cb aS + ++ + + ++ + + ++ = Câu 3: Giải các phương trình sau: a) 11212 −=−−+−+ xxxxx b) 333 231 +=+++ xxx Câu 4: Cho các tổng S=1 5 +2 5 +3 5 + . + n 5 và P= 1+2+3+ .+ n ( n là sô tự nhiên khác 0) Chứng minh rằng PS Câu 5 a) Cho 3 số a,b,c thoả mãn 1,,0 ≤≤ cba . Chứng minh rằng ( ) accbbacba 222333 32 +++≤++ b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=abc Câu 6 a) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn hệ thức 2y 2 x+x+y+1=x 2 +2y 2 +xy b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 +2x = 4y 3 -z 2 +2 không có nghiệm nguyên Câu 7: Cho (O;R) đương kính AB. Trên các bán kính OA,OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM=ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C,E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh rằng: tứ giác CDFE là hình chữ nhật b) Cho ROM 3 2 = góc nhọn giữa CD và OA bằng 60 0 . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE theo R. §Ò sè 6 Thêi gian: 150 phót C©u I. ( 4 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh 1. 2 2 6 9 10 25 8x x x x− + + + + = 2. y 2 – 2y + 3 = 2 6 2 4x x+ + C©u II. (4 ®iÓm) 1. Cho biÓu thøc : 8 A = 2 2 2 3 ( 2) x x x + + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2. Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 1 1 1 9 a b c + + ữ Câu III. (4,5 điểm) 1. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phơng các chữ số của nó là 1. 2. Cho phơng trình: x 2 (m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh rằng phơng trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. + Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm bằng 3. Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 60 0 ; gọi E; F; M lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC. 1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc trong một đờng tròn. 2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều. Câu V . (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đờng cao SH của hình chóp. Chứng minh rằng: ã ã ã 0 90AOB BOC COA = = = Đề số 7 Bài 1 (2đ): 1. Cho biểu thức: A = + + + + + + + + 1 1 1 1:1 11 1 xy x xy xxy xy xxy xy x a. Rút gọn biểu thức. b. Cho 6 11 =+ yx Tìm Max A. 9 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có: 2 22 1 11 1 )1( 11 1 + += + ++ nnnn từ đó tính tổng: S = 222222 2006 1 2005 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 +++++++++ Bài 2 (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) xyz Bài 3 (2đ): 1. Tìm giá trị của a để phơng trình sau chỉ có 1 nghiệm: )1)(( )32(5 1 36 ++ + = ++ ++ axax aa ax ax 2. Giả sử x 1 ,x 2 là 2 nghiệm của phơng trình: x 2 + 2kx+ 4 = 4 Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức: 3 2 1 2 2 2 1 + x x x x Bài 4: (2đ) Cho hệ phơng trình: = = + 1 1 3 2 2 2 21 1 x m y y m x 1. Giải hệ phơng trình với m = 1 2. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Bài 5 (2đ) : 1. Giải phơng trình: 222 2414105763 xxxxxx =+++++ 2. Giải hệ phơng trình: 3 2 3 2 3 2 9 27 27 0 9 27 27 0 9 27 27 0 y x x z y y x z z + = + = + = Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k 1)y = 2 (k là tham số) 1. Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = x.3 ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) và tia Ox. 2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất? Bài 7 (2đ): Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức: 10 =+ yx Tìm giá trị của x và y để biểu thức: )1)(1( 44 ++= yxP đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Bài 8 (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gọi O là giao điểm 3 đ- ờng phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài đoạn OG. Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đờng thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. a. Chứng minh rằng AE vuông góc với BC. 10 b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng. c. Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đờng thẳng AB cố định. Bài 10 (2đ): Cho ã xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đờng thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. [...]... giỏi Văn của hai trờng THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trờng là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi toán của trờng thứ hai là 12 Biết rằng số học sinh đi thi của trờng thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trờng thứ hai và số học sinh đi thi của trờng thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Toán của trờng thứ nhất Tính số học sinh đi thi của mỗi trờng Câu 6( 3đ)... D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD AB = AE.AC 26 c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH d, Tính diện tích tứ giác DENM -&*& - đề 24 Câu I: (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau 1 A= 1 2 1 - 3 +2 2 2 +1... (D) không đi qua với mọi m 24 7 Cho a1, a2, , an là các số dơng có tích bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1+ 1 1 1 + 1+ + + 1 + a1 a2 an 8 Cho điểm M nằm trong ABC AM cắt BC tại A1, BM cắt AC tại B1, CM cắt AB tại C1 Đờng thẳng qua M song song với BC cắt A1C1 và A1B1 thứ tự tại E và F So sánh ME và MF 9 Cho đờng tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D Gọi M và N lần lợt là trung điểm... 4 Câu2: Giải các phơng trình: a 9 12 x + 4 x 2 = 4 b 3x 2 18 x + 28 + 4 x 2 24 x + 45 = -5 x2 + 6x c x 2 + 2x 3 x +3 + x-1 Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = ( 3 -1) 6 +2 2 3 bB= 1 2 1 +1 2 +3 2 + 12 + 18 128 1 2 +2 3 + + 1 2006 2005 + 2005 2006 + 2007 1 2006 + 2006 2007 Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ a Tính góc... cho hình vuông đó có diện tích nhỏ nhất./ Đề số 17 Phần I: Trắc nghiệm (4 điểm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trẻ lời đúng 1 Nghiệm nhỏ trong 2 nghiệm của phơng trình 2 1 1 2 x + x + x + = 0 2 2 5 A 1 2 B là 2 5 C 1 2 2 Đa thừa số vào trong dấu căn của a b với b 0 ta đợc A a 2 b B a2b C a b 3 Giá trị của biểu thức 5 3 +5 48 10 7 + 4 3 bằng: D 1 20 D Cả 3 đều sai 20 A 4 3 B 2 C... 51 x 7x + 2 + b/ 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 5 (2) Câu 6: Cho hai đờng tròn tâm O và tâm O cắt nhau tại A và B Một cát tuyến kể qua A và cắt đờng tròn (O) ở C và (O) ở D gọi M và N lần lợt là trung điểm của AC và AD 1 a/ Chứng minh : MN= 2 CD b/ Gọi I là trung điểm của MN chứng minh rằng đờng thẳng vuông góc với CD tại I đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi c/ Trong số những cát tuyến kẻ qua... Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 4 và đờng thẳng (d): y = mx 2m 1 1 Vẽ (P) 2 Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) 3 Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x 2 xy + 3y - 2 x + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt đợc Bài 8: (4 điểm) Cho hai đờng tròn (O) và (O) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong... a2 c a2 b2 Với a + b + c = 0 Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng : 5 2 . đờng thẳng d song song với trung tuyến AM. Đờng thẳng d cắt AB ở E cắt AC ở F. a, Chứng minh AF AE = AC AB . b, Chứng minh DE + DF =2AM K THI CHN HC SINH. 1 K THI CHN HC SINH GII NM HC : 2010-2011 -------------------------- MễN : TON LP 9 CHNH THC ( Thi gian lm bi : 150 phỳt Câu