DêthiHGaCasio12Qd(05-06)

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh giải toán trên máy tính casio lớp 12 THPT Năm học: 2005-2006 đề chính thức Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lu ý: - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. - Đề thi gồm có 04 tờ. Điểm bài thi Giám khảo (Họ tên, chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ Giám khảo thứ nhất: Giám khảo thứ hai: Các quy định: - Thí sinh có thể sử dụng bất kỳ một trong các loại máy tính sau: Casio f(x)-220, f(x)-500A, f(x)-500MS, f(x)-500ES và f(x)-570MS. - Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, đợc ngầm định là chính xác đến 9 chữ số thập phân. Câu 1 (5,0 điểm) : Cho một cấp số nhân có số hạng đầu là u 1 = 1,678 ; công bội q = 8 9 . Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó (lấy gần đúng đến 8 chữ số thập phân). Câu 2 (5,0 điểm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn có phơng trình: (C 1 ) : x 2 + y 2 + 5x - 4y + 3 = 0 (C 2 ) : x 2 + y 2 + 4x - 2y - 1 = 0 Tính gần đúng (lấy đến 5 chữ số thập phân) toạ độ các giao điểm của hai đờng tròn đó. 1 Câu 3 (5,0 điểm) : Trong không gian cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = AC = AD = 8 cm, BC = 4 cm, BD = 5 cm, CD = 6 cm . Tính gần đúng (lấy 4 chữ số thập phân) khoảng cách AH từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) và thể tích V của khối tứ diện đó. AH ; V Câu 4 (5,0 điểm) : Trình bày bằng lời giải bài toán sau đây: Cho đa thức P(x) = x 81 + ax 57 + bx 41 + cx 19 + 2x + 1 ; a, b, c R . Cho biết: Khi chia đa thức P(x) cho (x - 1) đợc số d là 5. Khi chia đa thức P(x) cho (x - 2) đợc số d là - 4. Hãy tìm các số M và N sao cho đa thức Q(x) = x 81 + ax 57 + bx 41 + cx 19 + Mx + N chia hết cho (x - 1)(x - 2). Câu 5 (5,0 điểm) : Cho dãy các số x 1 , x 2 , . , x n , x n+1 , . xác định nh sau: * 2 1 ; 4 12 Nn x xx x n nn n + ++ = + . Hãy viết quy trình ấn phím để tính x n+1 ứng với x 1 = 2 . áp dụng: Tính x 10 , x 50 ? 2 Câu 6 (5,0 điểm) : Cho hàm số: )1( 1x 52x4x y 2 2 + ++ = Tính giá trị gần đúng giá trị của a và b (lấy đến 6 chữ số thập phân), biết rằng đ- ờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) với tiếp điểm có hoành độ là 5-1x = . Câu 7 (5,0 điểm) : Gọi A, B là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: 3xx 4 1 y 3 = a) Tính gần đúng khoảng cách AB (lấy gần đúng đến 5 chữ số thập phân). b) Đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A và B. Tìm giá trị của a và b ? AB a = ; b = Câu 8 (5,0 điểm) : Trình bày bằng lời giải bài toán sau đây: Cho đa thức P(x) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 43 Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P(x) là số chính phơng. Câu 9 (5,0 điểm) : Trong không gian cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; P là điểm nằm trên cạnh CD sao cho PD = 2PC . Mặt 3 phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi V 1 , V 2 lần lợt là thể tích của phần tứ diện chứa đỉnh A và phần tứ diện chứa đỉnh B. Tính tỷ số 2 1 V V ? Câu 10 (5,0 điểm) : Ghi lời giải và kết quả của bài toán sau vào khung có sẵn: Cho hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện: 0; 1 )( 2 = + xx x fxf a) Hãy xác định công thức tìm giá trị f(x) theo x . b) Tính f(50) và f(100) . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh giải toán trên máy tính casio lớp 12 THPT Năm học: 2005-2006 đáp án, hớng dẫn chấm đề thi chính thức Lu ý: 4 - Đáp án chỉ trình bày vắn tắt một lời giải cho mỗi câu, trong bài làm của thí sinh yêu cầu phải trình bày đầy đủ, chi tiết, lô gic. Học sinh giải cách khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng câu. - Tổ giám khảo thống nhất để chiết điểm thành phần của từng câu trên cơ sở điểm thành phần quy định trong đáp án. nội dung lời giải, đáp số điểm Câu 1 (5,0 điểm) : áp dụng công thức: S 17 = 1 1 17 1 q q u 2,5 Kết quả: S 17 85,9962441 2,5 Câu 2 (5,0 điểm) : A(0,19090 ; 2,09545) 2,5 và B(- 4,19089 ; - 0,09544) 2,5 Câu 3 (5,0 điểm ) : a) AH 7,4066 cm 2,5 b) V 24,4949 cm 3 2,5 Câu 4 (5,0 điểm) : Đặt F(x) = x 81 + ax 57 + bx 41 + cx 19 1,0 Khi đó: P(x) = F(x) + 2x + 1 P(1) = F(1) + 2 = 5 F(1) = 2 1,0 P(2) = F(2) + 5 = - 4 F(2) = - 9 1,0 Mặt khác: Q(x) = F(x) + Mx + N Theo giả thiết, Q(x) chia hết cho (x - 1)(x - 2) nên ta có hệ phơng trình: 5    −= = ⇔    −=+ −=+ ⇔    =++= =++= 13 11 92 2 02)2()2( 0)1()1( N M NM NM NMFQ NMFQ 2,0 C©u 5 (5,0 ®iÓm ) : Trªn m¸y f(x)-500MS hoÆc f(x)-570MS : 2 = ( Ans x 2 + 2 Ans + 1 ) ÷ ( Ans + 4 ) = = . 3,0 ¸p dông: x 10 = 0,513234801 ; x 38 = x 39 = . x 50 = 0,5 2,0 C©u 6 (5,0 ®iÓm ) : a ≈ 0,606264 2,5 b ≈ 1,912133 2,5 C©u 7 (5,0 ®iÓm ) : a) AB ≈ 8,94427 2,5 b) a = - 2 ; b = 0 2,5 C©u 8 (5,0 ®iÓm ) : Víi mäi x, ta cã: P(x) = (x 2 + x) 2 + x 2 + x + 43 Do ®ã: P(x) - (x 2 + x) 2 = x 2 + x + 43 = 0 4 171 2 1 2 >+       + x 1,0 MÆt kh¸c: P(x) - (x 2 + x + 1) 2 = - x 2 - x + 42 = - (x - 6)(x + 7) < 0 §óng víi mäi x > 6 hÆc x < - 7. 1,0 VËy: (x 2 + x) 2 < P(x) < (x 2 + x + 1) 2 víi mäi x < -7 hoÆc x > 6. 6 Vì thế P(x) không thể là số chính phơng với mọi x < -7 hoặc x > 6. 1,0 Mặt khác: P(- x - 1) = (- x - 1)(- x)[(- x - 1) 2 +(- x - 1) + 1] + 42 = P(x) 1,0 Nên ta chỉ cần thử trên máy với 0 x 6. Kết quả: x = - 7 hoặc x = 6 thì P(x) = 1849 = 43 2 x = - 2 hoặc x = 1 thì P(x) = 49 = 7 2 Đáp số: x = - 7 ; - 2 ; 1 ; 6 . 1,0 Câu 9 (5,0 điểm ) : 11 7 V V 2 1 = 5,0 Câu 10 (5,0 điểm ) : a) Theo giả thiết: .(*) 1 )( 2 x x fxf = + Thay x bởi x 1 vào (*) : 2 1 )( 1 x xf x f =+ 2,0 Ta có hệ phơng trình: =ì = =+ = =+ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )(0 )( 11 )( 1 )( )( 11 1 )( 1 1 )( x xxf xf x x f xxf x xf xf x x f x xf x f x x fxf 1,0 2 1 )1( 1 )( 11 2 = = = f x xf x x f Thoả mãn yêu cầu bài toán! 7 Hµm sè f(x) chØ x¸c ®Þnh t¹i x = 1 ± 1,0 b) Kh«ng tån t¹i c¸c gi¸ trÞ f(50) vµ f(100). 1,0 8