Câu 9: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần. (không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là PA, phần chứa điểm B ký hiệu là PB (hình bên)[r]
(1)Giải SBT Tốn bài: Ơn tập chương 3
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm M
sao cho BM = BA Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = CA a, Hãy so sánh góc AMB ANC
b, Hãy so sánh độ dài AM AN Lời giải:
a, Trong ΔABC, ta có AB < AC
Suy ra: (ABC) ∠
> (ACB) (đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn) (1)∠ Ta có: AB = BM (gt) ΔABM cân B⇒
Suy ra: (AMB) = A1(tính chất tam giác cân)∠ ∠ Trong ΔABM, ta có (ABC) góc đỉnh B∠ Suy ra: (ABC) = (AMB) + A1∠ ∠ ∠
Suy ra: (AMB) = 1/2 (ABC)∠ ∠ (2) Lại có: AC = CN (gt) ΔACN cân C⇒
Suy ra: (ANC) = A2(tính chất tam giác cân)∠ ∠ Trong ΔACN, ta có (ACB) góc đỉnh C∠ Suy ra: (ACB) = (ANC) + A2∠ ∠ ∠
Suy ra: (ANC) = 1/2 (ACB) (3)∠ ∠
Từ (1), (2) (3) suy ra: (AMB) > (ANC) ∠ b, Trong ΔAMN, ta có: (AMB) > (ANC)
Suy ra: AN > AM (đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn)
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH Chứng minh rằng: HB
< HC, (HAB) < (HAC)(xét hai trường hợp: B nhọn B tù).∠ ∠ Lời giải:
Ta có: AB < AC (gt)
Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hình chiếu lớn hơn)
* Trường hợp Bnhọn (hình 83a) Trong Δ ABC, ta có: AB < AC
Suy ra: B > C (đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn)∠ ∠ Trong Δ AHB, ta có (AHB) = 90∠ o
(2)Trong Δ AHC, ta có (AHC) = 90∠ o
Suy ra: C + (HAC) = 90o (tính chất tam giác vuông)∠ ∠ (2) Từ (1) (2) suy ra: B + (HAB) = C + (HAC)∠ ∠ ∠ ∠
Mà B > C nên (HAB) < (HAC)∠ ∠ ∠ ∠ * Trường hợp Btù (hình 83b)
Vì điểm B nằm H C nên (HAC) = (HAB) + (BAC)∠ ∠ ∠ Vậy (HAB) < (HAC).∠ ∠
Câu 3: Có thể vẽ tam giác (phân biệt) với ba cạnh ba năm
đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm Lời giải:
Ta có: = - = - = -
Suy ra: cạnh tam giác khơng có cạnh có độ dài 1cm * Nếu cạnh nhỏ 2cm
Ta có: - < < + 3; - < < +
Suy ra: hai cạnh 3cm 4cm 4cm 5cm * Nếu cạnh nhỏ 3cm
Ta có: - < < + 4; = - 2; > - Như hai cạnh 5cm 4cm
* Khơng có trường hợp cạnh nhỏ 4cm
Vậy vẽ ba tam giác với độ dài cạnh là: 2cm; 3cm; 4cm
2cm; 4cm; 5cm
3cm; 4cm; 5cm
Câu 4: Cho bốn điểm A, B, C, D hình bên Hãy tìm điểm M cho
tổng MA + MB + MC + MD nhỏ Lời giải:
* Nếu M không trùng với giao điểm AC BD
Trong
ΔAMC, ta có: MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) Trong
(3)Ta có: MA + MC = AC MB + MD = BD
Suy ra: MA + MC ≥ AC
MB + MD ≥ BD (dấu xảy M trùng với giao điểm AC BD) Suy ra: MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD
Vậy MA + MB + MC + MD = AC + BD bé M giao điểm AC BD
Câu 5: Cho hình sau G la trọng tâm tam giác ABC Chứng minh
rằng:
a SAGC = 2SGMC
b SGMB = SGMC
c SAGB = SAGC = SBGC
Lời giải:
a, Vì G trung điểm ΔABC nên GA = 2GM (tính chất đường trung tuyến)
Ta có ΔAGC ΔGMC có chung
đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM, đồng thời cạnh đáy GA = 2GM Suy ra: SAGC = 2SGMC (1)
b, Ta có ΔGMB ΔGMC có cạnh đáy MB = MC, chung đường cao kẻ từ đỉnh G đến cạnh BC
Suy ra: SGMB = SGMC (2)
c, Ta có ΔAGB ΔGMB có chung đường cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM, đồng thời AG = 2GM (chứng minh trên)
Suy ra: SAGB = 2SGMB (3)
Mà SBGC = SGMB + SGMC = 2SGMB (4)
Từ (1), (2), (3) (4) suy ra: SAGB = SAGC = SBGC
Câu 6: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh
Oy
a, Hãy tìm điểm M nằm góc xOy cách hai cạnh Ox Oy nên M thuộc tia phân giác Oz (xOy)∠
b, Nếu OA = OB có điểm M thỏa mãn điều kiện câu a? Lời giải:
a, Vì điểm M nằm góc xOy cách hai cạnh Ox Oy nên M thuộc tia phân giác Oz (xOy).∠
Vì điểm M cách điểm A B nên M thuộc đường trung trực AB Vậy M giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB tia phân giác
(4)b, Nếu OA = OB ΔOAB cân O
Khi tia phân
giác
(xOy) ∠
là đường trung trực AB Vậy điểm M nằm tia
phân giác (xOy) thỏa mãn điều kiện câu a).∠
Câu 7: Cho góc xOy khác góc bẹt Dùng thước thẳng có chia
khoảng, nêu cách vẽ tia phân giác góc xOy Lời giải:
- Dùng thước chia khoảng, Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB
- Nối AB
- Dùng thước chia khoảng để đo đoạn AB, lấy trung điểm M AB
- Kẻ tia OM
Vì tam giác OAB
cân O OM đường trung tuyến nên OM đường phân giác (AOB)
∠
Vậy OM tia phân giác (xOy).∠
Câu 8: Cho hình giao điểm O hai đường thẳng a b nằm
ngoài phạm vi tờ giấy Chỉ vẽ hình phạm vi tờ giấu, vẽ đường thẳng d qua A cho đường thẳng d qua O kéo dài đường thẳng d phạm vi tờ giấy
Lời giải:
- Kẻ AH ⊥ a kéo dài HA cắt b B
(5)- Kẻ AI BC, đường thẳng AI qua O⊥
Vì tam giác OBC có hai đường cao BH CK cắt A nên A trực tâm tam giác OBC
Khi OA đường cao thứ ba nên OA BC.⊥
Vì AI BC nên đường thẳng OA đường thẳng AI trùng hay đường⊥ thẳng AI qua O
Câu 9: Đường trung trực d đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần
(không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu PA, phần chứa điểm B ký hiệu PB (hình bên)
a, Gọi M điểm PA Chứng minh MA < MB b, Gọi N điểm PB Chứng minh NB < NA
c, Gọi K điểm cho KA < KB Hỏi K nằm đâu: PA, PB hay d?
Lời giải:
a, Nối MA, MB Gọi C giao điểm MB với đường thẳng d, nối CA
Ta có: MB = MC + CB
mà CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB = MC + CA (1) Trong ΔMAC ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: MA < MB
b, Nối NA, NB Gọi D giao điểm NA với đường thẳng d, nối DB Ta có: NA = ND + DA mà DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA = ND + DB (3) Trong ΔNDB, ta có:
(6)c, Theo câu a), ta có: MA < MB