Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm O và bán kính 2.[r]
(1)1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MƠN TỐN LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012
Bài Đáp án Điểm
Bài (3,5 điểm)
a (1,5 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2
x
y C
x
Tập xác định: D \
Sự biến thiên:
Giới hạn tiệm cận: lim lim
xyxy Tiệm cận ngang: y 1
3
lim ; lim
x x
y
Tiệm cận đứng x 3
Chiều biến thiên:
2
5
'
3
y x x D
x
hàm số nghịch biến khoảng ;3 3;
0,5
Bảng biến thiên:
x
'
y
y
1
1
0,5
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao
điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
b (1 điểm) Khoảng cách đến TCĐ lần đến TCN
Giả sử 0 0
0
5
;1 ,
3
M x C x
x
Khi đó: Khoảng cách từ M đến TCĐ
là
1 2 2
1
3
1
x
d x
Khoảng cách từ M đến TCN
0
0
2 2 2
0
1
0 1
3
x
x d
x
(2)2
Theo giả thiết ta có 1 2 0 0 2
0
10
2 3 10
3
d d x x
x
0
10
3 10 10;1
2
x M
10;1 10
M
c (1 điểm) Biện luận số nghiệm phương trình
Dễ thấy x 3 khơng nghiệm nên phương trình tương đương với
2
x m
x
Số nghiệm phương trình số giao điểm đường
thẳng ym đồ thị C' hàm số
x y
x
Ta có:
2
,
2 3
,
3
, 3
x
x
x x
y
x x
x x
C' suy từ C cách:
Giữ nguyên phần đồ thị C ứng với x 3; lấy đối xứng phần đồ thị C
ứng với x 3 qua Ox Ta đồ thị C' hình vẽ
0,5
Từ hình vẽ suy ra:
* Với m 1: Phương trình vơ
nghiệm
* Với 1 m1: Phương trình có nghiệm
* Với m 1:Phương trình có nghiệm phân biệt
Ghi chú: Học sinh không lập luận để suy đồ thị C' khơng cho điểm tối đa
0,5
a (1 điểm) Giải phương trình
Bài (2 điểm)
Phương trình tương đương 25.252x x 9.92x x 34.152x x
2 2
2 2
25
25 34 25 34
15 15
x x x x x x x x
Đặt
2
2
5
0
x x
t
PT trở thành:
2
9
25t 34 0 25t 34t 9
t
9
1
25
t t
(3)3
2
2
5
1
2
x x
x
t x x
x
2
2
2
9 5
2 2
25 3
x x
t x x x x x
Kết luận PT có nghiệm: x 0;2;1
0,5
b.(1 điểm) Giải phương trình Điều kiện x 0
Đặt tlog3x, phương trình trở thành: 3x5t2 9x19t120
Trường hợp 1: 5:
x Phương trình vơ nghiệm
Trường hợp 2: 5:
x Ta có 9x19248 3 x5 9x11 2
Khi phương trình có nghiệm 3;
3
t t
x
0,5
3
1
3 log 3
27
t x x
3
4
log
3 5
t x
x x
Cách 1:Xét hàm số log3
3
f x x
x với
5
0
3
x
2
1 12
'
ln3 3 5
f x
x x
5
0
3
x
Mặt khác: lim
x f
5
3
lim ; lim
x x
f f
x /
'
f
f x
Từ BBT dễ thấy phương trình f x ln có nghiệm phân biệt
Mặt khác 3
f f
nên phương trình f x có hai nghiệm
3;
3
x x
Cách 2:
TH 1: Nếu 0 5:
x
Thì hàm số đồng biến 0;5
f
nên
(4)4 PT có nghiệm
3
x
TH 2: Nếu 5:
x Khi f hàm đồng biến 5;
3
f nên PT có nghiệm x 3
Kết luận: PT có nghiệm 3; ;1 27
x
Gọi H trung điểm AB SH đường cao hình chóp S.ABCD
ABC
đều, cạnh a nên
a SH
Thể tích hình chóp
2
1
3
s ABCD ABCD
a
V SH S a
3
3
a (đvtt)
0,5
0,5
b.(1 điểm) Xác định tâm bán kính nặt cầu ngoại tiếp
Gọi O tâm hình vng ABCD, đường thẳng d qua O vng góc với
(ABCD) Dễ thấy d SHO. Gọi G trọng tâm ABC, qua G kẻ đường thẳng vng góc với ABC, đường thẳng cắt d I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Thật vậy, theo cách dựng nên
IAIBIC ID; mà I thuộc trục SAB IS IAIB, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
0,5
Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp RIA. Tam giác AOI
vng O, có cạnh góc vng 1 3;
3
a a
IOGH SH
2
2
AC a
OA Do
2
2 21
2 12
a a a
RIA OA OI
0,5
c.(1 điểm) Tỉ số diện tích mặt cầu mặt nón
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2
2 21
4
36
C
a a
S R
(đvtt) Đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD có tâm O bán kính
a
r OA Đây bán kính đường trịn đáy hình nón
(5)5
Diện tích tồn phần hình nón là: SN rlr2 r l r
2
2 10
2
2 2
a
a a a
(đvdt)
Tỉ số cần tìm
2
2 2 10
7 28
:
3 10
C
N
a
S a
S
0,5
d (1 điểm) Tìm x để thể tích
Vì CD/ /SAB CDM cắt SAB
theo giao tuyến song song với CD Từ M, kẻ MN / /CD N, SBhình thang MNCD thiết diện hình chóp CDM
Dễ thấy SAC chia hình chóp thành phần tích
1 ,
2V (V thể tích hình chóp S.ABCD)
0,5
Gọi V thể tích hình chóp 1 S MNCD , V thể tích phần cịn lại (của 2
hình chóp S.ABCD sau cắt CDM) Khi ta có:
1
1
1
V V V V
V
V V
Tức ta có:
1 S MNC S MDC
S ABC S ABC
V V V
V V
1 S MNC S MDC
S ABC S ADC
V V
V V
(Vì . .
2 S ABC S ADC
V V V )
1
SM SN SC SM SD SC SM SN
SA SB SC SA SD SC SA SB
3 5
5
1
2 2
a
SM SM SM a x
x
SA SA SA a
Vậy, với
3
2
a
x CDM chia hình chóp thành phần tích
bằng
0,5
Cách 1:
Dễ thấy x 0 không nghiệm nên PT tương đương:
2
4
x x
m
x
Xét hàm số
2
4x x
f x
x
miền D 0;4
Ta có
2
2
2
' '
4
x x x
f x f x x
x x x
(6)
6 Bài
(0,5 điểm)
0
lim
x
f x
Từ BBT suy điều kiện cần đủ để PT có nghiệm phân biệt
1
0
2 m
x '
f 0
f x
1
Cách :2
Xét hàm số y 4x x C
0;4
Ta có 2
2
' ;
2
x y
x x
Ta có bảng
biến thiên hình vẽ:
0,25
Số nghiệm PT số giao điểm đường thẳng d y mx: 2 đồ thị C Để ý d có hệ
số góc m ln qua
điểm A0;2 cố định
x 2 '
y
y
2
0
Gọi (có hệ số góc k) tiếp tuyến qua A C Ta có
:y k x
hay :y kx 2 tiếp tuyến hệ
2
2
2
2
'
4
kx x x
x
k y x
x x
Thay 2 vào
2
2
2
1 :
4
x x
x x
x x
2 :
x k y
Mặt khác C Ox điểm O0;0 , B 4;0 Khi PT đường thẳng
AB :
4
x y
AB hay : 2
AB y x Vậy, điều kiện cần đủ
để PT có nghiệm phân biệt đường thẳng d nằm hai đường thẳng
và
AB m