[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 20122013
Mơn: Tốn 12. Khối AB
Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số 2
1
x m y
mx
- =
+ ( mlà tham số ) ( ) 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi m = 1 .
2.Chứng minh rằng với mọi m ¹ 0 ,đồ thị của hàm số ( ) 1 cắt đường thẳng
: 2
d y= x- m tại hai điểm phân biệt A B, .Đường thẳng dcắt các trục Ox Oy, lần lượt tại các điểm M N , Tìm m để SDOAB = 3 S D OMN .
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 3sin4x+2 cos 32 x+cos 3x=3cos4 x-cosx + 1
2. Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )
2 2 2
2
3 2
4 16 8
x y x xy y x y
x y x
ì - + + + = + +
ï í
+ + - = +
ù ợ
( ,x y ẻ Ă)
CõuIII.(1,0im) Tìm giới hạn:
2
2 0
8 cos 5 lim
x
x
x L
x ®
- =
Câu IV. (2,0 điểm)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có . AB= 2 a ,
( )
4 ,
AD = a SA^ ABCD và góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng ( ABCD ) bằng 0
30 .
1. Tính thể tích của khối chóp S ABCD
2. Gọi H M lần lượt là trung điểm của , AB BC N ở trên cạnh AD sao cho DN, ; = a
Tính thể tích khối chóp S AHMN và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SB
Câu V. (1,0 điểm) . So sánh hai số thực a b , biêt rằng chúng đồng thời thoả mãn các điều
kiện sau đây 7a+5b = 13 a ( ) 1 và 8a+11b = 18 b ( ) 2
PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng
( )d :x-y = 0 và điểm M ( ) 2;1 .Tìm phương trình đường thẳng ( ) D cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng ( ) d tại B sao cho tam giác AMB vng cân tại M .
Câu VII.a. (1,0 điểm) Tìm số ngun dương n lớn hơn biết rằng :
( )
0 2
2Cn +5Cn+8Cn +L + 3n+2 C n n = 1600
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD
có cạnh AB x: -3y + = , đường chéo 5 0 BD x: -y - = và đường chéo 1 0 ACđi qua điểm ( 9; 2 )
M - .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Câu VIIb. (1,0 điểm)
Giải phương trình: 2log3( x2 -4) +3 log3( x+2) 2 -log3 ( x -2) 2 = 4
Hết Ghi chú: Thí sinh khơng được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ……….……… Số báo danh: ………
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoanvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Đề chính thức
(2)ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM HỌC 20122013 Mơn: Tốn; Khối:A+B
(Đáp án – thang điểm: gồm 06 trang)
Câu Đáp án Điêm
I å 2,0
1/ Khi m = 1 .hàm số trở thành : 1
1
x y
x
- =
+ 1,00
a) TXĐ D =¡ \{ } - 1 b) Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên.:
( )
,
2
3
0 1
1
y x
x
= > " - +
Hmsngbintrờncỏckhong ( -Ơ - ) và ( 1; +¥ )
0,25
+Hàm số khơng có cực trị. +Giới hạn tiệm cận:
2 1
lim lim 2
1
x x
x y
x
đƠ đƠ
-
= =
+ nên y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2
1 1 1
2 1
lim lim ; lim lim
1 1
x x x x
x x
y y
x x
+ + - -
®- ®- ®- ®-
- -
= = -¥ = = +¥
+ + nên x = - là TCĐ 1
0,25
BBT.
x -¥ - +¥
y + || +
,
y +¥ || 2
||
2 || -¥
0,25
c)Đồ thị .( Tự vẽ)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là 10 ổ ỗ ữ ố ứ GiaoimcathvitrcOy l ( 0; - ) Vẽ đồ thị.
Nhận xét:Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận ( 1; 2) I - làm tâm đối xứng
0,25
2/ lần lượt tại các điểm M N , Tìm m để SDOAB = 3 S D OMN . 1,00
PT hoành độ giao điểm của ( )C & ( ) d là : 2 2 1
x m
x m mx
-
= - +
( ) ( 2 )
1
2 0
x m
F x m x mx m
ì ¹ - ï Û í
ï = - - =
ỵ ( )
2
1
2 0(*)
x m
f x x mx
ì ¹ - ï Û í
ï = - - =
ỵ
Xét pt (*) có:
' 2
2
2 0
1 2
1 0
m m
f m
m m
ìD = + > " ¹ ï
í ỉ
- = + ¹ " ỗ ữ
ù
ố ứ ợ
( ) ( ) { d C A B} m 0
ầ = "
(3)Theo định lí Viet
1 2 2 2 A B
A B
A A
B B
x x m
x x
y x m
y x m
+ = ì
ï
ï × = - ï
í
ï = - ï
= - ï
ỵ
( ) ( 2 ) 2 ( ) 2
5
A B A B A B
AB= x -x + y - y = x - x = ( xA+xB) 2 - 4 x x A B
0,25
( ) 2 2 2 ( ) ( )
, ; 2, ;0 , 0; 2
5 5
m
h=d O d = - = m AB= m + M m N - m
2 2
1 1
2,
2 2
OAB OMN
S h AB m m SD OM ON m
Þ = = + = =
2 1
3 3
2 OAB OMN
SD = SD Û m + = m Ûm = ±
0,50
II 2,00
1/Giải phương trình: 4
3sin x+2 cos 3x+cos 3x=3cos x-cosx + 1 1,00
Pt Û3 sin( 4x-cos4x) ( + cos 32 x-1) +( cos 3x+cosx ) = 0
3
3cos 2x cos 6x 2cos cosx x 4cos 2x cos 2x 2cos cosx x 0
Û - + + = Û - + = 0,25
( ) ( )
( )
2
2
cos * cos 2 cos cos 0
2 cos cos 0 **
x
x x x
x x
= é
Û + - = Û ê
+ - =
ê ë
0,25
Pt(*) ,
4 2
k
x= p+ p k ẻ Â
Pt(**) ( 1 cos- x) +2 cos 2( - 2 x ) = 0
2 2
1 cos cos 1
1 cos cos 1
x x
x x
ì - = ì =
Ûí Û í
- = =
ỵ ỵ
0,25
( ) cosx x k2 k
= = p ẻ Â (thlinghimỳngPt)
VyPtcúhaihnghim , 2
k
x= p+ p k ẻ Â v x=k2p( k ẻ Â) 0,25
2/Giihphngtrỡnh: ( )( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
3 1
4 16 8 2
x y x xy y x y
x y x
ì - + + + = + +
ï í
+ + - = +
ï ỵ
1,00
Đ/K 2, 16 3
x³ - y £
Từ phương trình ( ) 1 Þx3-3x2+3x- =1 y3+3y2 +3y + 1
( x-1) ( 3= y+1) 3 Û x- =1 y + Û 1 y= x - 2 (3) ,thế (3) vào (2) ta được ( ) 2
4 x+2+ 16 3- x-2 =x + Û 8 2
4 x+2+ 22 3- x =x + 8
( 2 ) ( ) ( )
4 2 22 0
x x x
Û - + - + + - - =
0,25
Û ( 2) ( 2) 3 0
2 22 3
x x
x x
é ù
- ê + - + ú =
+ + + -
(4)2 0
(*)
4 3
2 0
2 22 3
x y
x
x x
= Þ = é
ê Û
ê + - + =
ê + + + -
ë
Giải(*) xét hàm số ( ) 2 3
2 22 3
f x x
x x
= + - +
+ + + - trên đoạn
22 2;
3
é ù
-ê ú
ë û
( )
( ) ( )
'
2 2
2 22
1 2;
3
2 2 22 22 3
f x x
x x x x
ỉ
= + + > " ẻ - ỗ ữ
ố ứ
+ + + - + -
Þ hàm số f x liên tục và đồng biến trên đoạn ( ) 2; 22
é ù
-ê ú
ë û
mà 2; 22
é ù
- Ỵ -ê ú
ë û
và f -( ) 1 = từ đó phương trình (*) 0 Û f x( ) = f ( ) -1 Û x = - 1 Þ y = - 3 ( do(3))
0,25
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x y = ; ) ( 2; 0 ) và ( x y = - - ; ) ( 1; 3 ) 0,25
III Tìm giới hạn:
2
2 0
8 cos 5 lim
x
x
x L
x ®
-
= å 1,
( 2 ) ( )
2
1 2
2 2
0 0
8 1 cos 5 8 1 1 cos 5
lim lim lim
x
x
x x x
x x
L L L
x x x
® ® ®
- + - - -
= = + = + 0,25
Tính
2
2 2
ln ln 8
1 0 0 0 2
8 1 1
lim lim lim ln ln 8
ln 8
x
x x
x x x
e e
L
x x x
® ® ®
ỉ
- - -
= = = ỗ ữ =
è ø
0,25
Tính
( ) ( )
2 2
2 0 0 2 0
1 cos5 cos sin 25 25
lim lim lim
1 cos 5 cos 2
x x x
x x x
L
x x x x x
® ® ®
- - ổ
= = = ỗ ÷ =
+ è ø + 0,25
Vậy ln 8 25 2
L = + 0,25
IV Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình chữ nhật ABCDcó AB= 2 a ,
( )
4 ,
AD= a SA^ ABCD ( SC ABCD = ,( ) ) 30 0
2,0
å
1/Tính thể tích của khối chóp S ABCD. . 1,0
0,25
Ta có SW ABCD =AB AD = 8 a 2
( )
SA^ ABCD Þ SC có hình chiếu trên mặt phẳng ( ABCD là AC )
( )
( · ) ( · · ) 0
, , 30
SC ABCD SC AC SCA
Þ = = =
0,25
SCA
D vng tại A có 2 2
4 16 2 5
AC = AB +BC = a + a = a
K L
J
N
M H
D A
B C
S
(5)Vậy 1 15 16 15 3
.8
3 3 9
ABCD ABCD
V = SA SW = a a = a
2/ Tính thể tích S AHMN . ,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MNvà SB
( )
2 2 2 2
8 4
2 AHMN ABCD BHM CDMN
a a a S =S -S -S = a -a - + = a
2 3
.
1 15 15
4
3 3 9
S AHMN AHMN
a
V = SA S = × × a = ìa
1,00
0,25
LyimLẻAD sao cho AL=aÞY BMNL là hình bình hành Þ MN / / BL
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
/ / , , , ,
MN SBL d MN SB d MN SBL d N SBL d A SBL
Þ Þ = = =
do ( ( ) ) ( )
( )
,
2 ,
d N SBL LN d A SBL = LA =
0,25
( ) 2
2 2
1 1
4 0
4 4
BL AC =ổỗBA+ ADử ữ AB+AD = -AB + AD = - a + a = ÞBL^AC= K
è ø
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
BL^ SAC Þ SBL ^ SAC = SK ,
Hạ AE ^SK ÞAE ^( SBL) Þ AE = d A SBL ( , ( ) )
0,25
Trong tam giác vuông SAK đường cao
2 2 2 2 2
1 1 1 84
60 60
AE
AE SA AB AL a a a a
Þ = + + = + + =
35 7
a AE
Þ = ( , ) ( ,( ) ) 2 35 7
a d MN SB d A SBL AE
Þ = = =
0,25
V Cho , a b Ỵ ¡ 7a 5b 13 a
+ = ( ) 1 và 8a 11b 18 b
+ = ( ) 2 Em hãy so sánh a b , å 1,
Giả sử a> Þ 5b b <5 ,11a b < 11 a (1)
+Giả thiết : 7a 5b 13 a
+ = 13 7 5 (*)
13 13 13 13
a a
a a a ỉ ỉ
ị + > ịỗ ữ +ỗ ữ > > +
è ø è ø
Xét h/s ( ) 5 13 13
a a
f a =ổỗ ửữ + ổỗ ữ ố ø è ø
trên tập ¡ , ' ( ) 7 5
ln ln 0
13 13 13 13
a a
f a =ổỗ ửữ +ổỗ ữ <
ố ứ ố ø
( )
f a
Þ nghịch biến trên tập ¡ từ (*) f a( ) > >1 f ( ) 1 Ûa < 1 (2)
+Gt: 8a+11b = 18 b 11 18 11 11 (*) * ( )
18 18 18 18
b b
b b b ỉ ỉ
Þ + < ịỗ ữ +ỗ ữ < < +
è ø è ø
Xét h/s ( ) 11 18 18
b b
g b =ổỗ ửữ + ổỗ ữ ố ứ ố ø
trên tập ¡ , , ( ) 8 11 11
ln ln 0
18 18 18 18
b b
g a =ổỗ ửữ +ổỗ ö ÷ <
è ø è ø
( )
g b
Þ nghịch biến trên tập ¡ từ (*) g b( ) < <1 g( ) 1 Ûb > 1 (3) Từ (1),(2) và (3) ta thấy mâu thuẫn vậy điều giả sử là sai vậy b> a
0,25
0,25
0,25
0,25
VIA …Tìm phương trình đường thẳng ( ) D cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng
( ) d tại B. sao cho tam giác AMB vuông cân tại M . 1,00
( ) ( )
( ) ( )
; , : ;
2; , 2; 1
A Ox A a B d x y B b b
MA a MB b b
Ỵ Þ Ỵ - = Þ Þ
= - - = - -
(6)MAB
D vuông cân tại M : ( )( ) ( )
( ) 2 ( ) ( 2 ) 2
2 0
0
2 1
a b b
MA MB
MA MB a b b
- - - - =
ì
ì =
ï ï
Û
í í
=
ï - + = - + -
ỵ ï ỵ
uuur uuur
từ pt (1) & 2 1 2
b
b a
b
-
ị - =
- thế vào phương trình hai ta
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2
b
b b
b
-
ỉ
+ = - + -
ỗ ữ
-
è ø
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2 1
2 1
2
b b
b b
b
é - + - ù
ë û
Û = - + -
- 0,25
( b 2) 2 b 3;b 1
Þ - = Þ = =
( ) ( )
3 : 0
b= Þa = Þ D º AB x+ y - = ( ) ( )
1 : 0
b= Þa= Þ D º AB x+y - =
0,50
VIIA Tìm số nguyên dương n lớn hơn biết rằng :
( )
0 2
2 n 1600
n n n n
C + C + C +L + n+ C = 1,00
Xét số hạng tổng quát : ( 3k+2) Cnk =3kCnk +2Cnk =3nCnk- - 1 1 + 2 C n k " = k 1, 2, , n 0,25
gt ( 1) ( 1 )
1 1
3 n n 1600
n n n n n n
n C C C - C C C
- - -
Û + +L+ + + +L + =
( ) 1 ( ) 1 1
3 1 n 1n 1600 2n 2.2n 1600
n - n - +
Û + + + = Û + = Û 2n - 1 ( 3n +4) = 1600 0,25 chia hai vế cho 16 ta được 2n - 5 ( 3n +4) = 100(*)
nếu n ³ Þ VT* chia hết cho 8 cịn VP* khơng chia hết cho 8 (loại) 8 từ đó 5£n £ thử các giá trị 7 n = 5,6,7 vào (*) chỉ có n = thoả mãn 7
0,25
Vậy n = thì ta có: 7 2 ( )
2 n 1600
n n n n
C + C + C +L + n+ C = 0,25
VIB … M - ( 9; 2 ) .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 1,00
Toạ độ điểm B là nghiệm hpt: 4 ( ) 4;3
1 3
x y x
B
x y y
- + = =
ì ì
Û Û
í í
- - = =
ỵ ỵ
( ) ( )
: 3 15 0
BC^ ABÞBC x- + y- = Û x+ y - =
0,25
( 1)
DẻBDịD d d - ịpt AD: 3x+ y-4d + = 1 0
A AD AB
ị = ầ nờnto : 2; 7
3 0 5
x y d d
A A
x y d
- + =
ì ỉ - +
Þ
í + - + = ỗ ữ
ố ứ
ợ
0,25
Gọi I là tâm hình chữ nhật Þ là trung điểm của I 4; 2
2 2
d d BDị ỗI ổ + + ÷
è ø
Vì ba điểm A I M thẳng hàng nên ta có: IA, , uur= k IM uuur 28 4
22 2
d d
d d
- - +
Þ =
+ -
1; 4
d = - d =
0,25
Nếu d =4ÞD(4;3) º B loại
Nếu ( 1; ,) ( 2;1 ,) 1 ; ( ) 5; 0 2 2
d = - ÞD - - A - Iổỗ ữ ị C
è ø Vậy A( -2;1 ,) ( ) ( ) ( B 4;3 ,C 5;0 ,D - - 1; 2 )
0,25
VIIB Giải phương trình: ( 2 ) ( ) 2 ( ) 2
3 3
2log x -4 +3 log x+2 -log x -2 = 4 1,00
Đ/K ( ) ( )
2 2
2 2 2
4 0, 0; 0 x x 2
x x x x
ì - > + > - > ì > " < - é >
ï ï
(7)Khi đó bpt Û ( ) ( )
2 2
3 2
4 log
2
x x
-
- ( )
2 3
3 log x 0
+ + - =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 2
3 3
2 3
log 1
log log 0
log 4
x
x x
x VN
é + =
ê
Û + + + - = Û
ê
+ = - ê
ë
0,25
( ) 2 ( ) 2 3
2 3
log 2 3
2 3
x
x x
x
é + =
+ = Û + = Û ê
+ = - ê
ë
2 3
x
Û = - - (TM Đ/K) 0,25
Vậy nghiệm của phương trình là x = - - 2 3 0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó khơng được điểm.
Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.
