http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc.. ĐỀ CHÍNH THỨC[r]
(1)http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự – Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 Môn thi: Tốn
(Dùng cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP) Thời gian làm bài: 120 phút
Câu (2.5 điểm)
1 Cho biểu thức:
3
2
3
a b
a a b b
ab a
a b
Q
a b ab a a b a
Với a0,b0,ab Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a b
2 Các số thực a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh đẳng thức:
2 22 4 4
a b c a b c
Câu (2 điểm) Cho Parabol P :yx2 đường thẳng : 12( 0)
d y mx m
m
1 Chứng minh với m 0, đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt
2 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 giao điểm (d) (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
1
M y y
Câu (1.5 điểm) Giả sử a, b, c số thực, a cho hai phương trình b
a
x x ,
2 0
x bx có nghiệm chung phương trình c x2 x a0,x2cx b 0 có nghiệm chung Tính
a b c
Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC không cân, có góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm (O) Các đường cao
1 1
AA ,BB CC, tam giác ABC cắt điểm H, đường thẳng A1C1 AC cắt điểm D
Gọi X giao điểm thứ đường thẳng BD với đường tròn (O)
1 Chứng minh DX DB DC DA1 1
2 Gọi M trung điểm cạnh AC, chứng minh DHBM
Câu (1 điểm) Các số thực x, y, z thỏa mãn:
2011 2012 2013 2011 2012 2013
2011 2012 2013 2011 2012 2013
x y z y z x
y z x z x y
Chứng minh: x y z
- Hết -
(2)http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự – Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2013 Mơn thi: Tốn
(Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán lớp chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút
Câu (2.5 điểm)
1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời đẳng thức
a a b b c c aabc
b a3b3b3c3c3a3a b c3 3
Chứng minh abc 0
2 Các số thực dương a, b thỏa mãn ab2013a2014b Chứng minh bất đẳng thức:
a b 2013 20142
Câu (2 điểm) Tìm tất cặp số hữu tỷ (x; y) thỏa mãn hệ phương trình
3
2
2
6 19 15
x y x y
x xy y
Câu (1 điểm) Với số nguyên dương n, ký hiệu Sn tổng n số nguyên tố
S12,S2 2 3,S3 2 5, Chứng minh dãy số S1, S2, S3, … Không tồn hai số hạng liên tiếp số phương
Câu (2.5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O), BD đường phân giác gốc ABC Đường thẳng BD cắt đường trịn (O) điểm thứ hai E Đường trịn (O1) đường kính DE cắt
đường tròn (O) điểm thứ hai F
1 Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD qua trung điểm cạnh AC
2 Biết tam giác ABC vng B, BAC 600 bán kính đường trịn (O) R Hãy tính bán kính đường tròn (O1) theo R
Câu (1 điểm) Độ dài cạnh tam giác ABC ba số nguyên tố Chứng minh diện tích tam giác ABC số nguyên
Câu (1 điểm) Giả sử a a1, 2, ,a số nguyên dương lớn hay 2, đôi khác thỏa 11
mãn a1a2 a11407 Tồn hay không số nguyên dương n cho tổng số dư phép chia n cho 22 số a a1, 2, ,a11, , 4a1 a2, , 4a11 2012