Chuyên đề: Tuyển tập các chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi THCS

phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm [r]

(1)

Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn

Trung tâm gia sư VIP –website: http://giasuvip.net Hotline: 0989189380

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HSG TRUNG HỌC CƠ SỞ

1

Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử a) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)

b) x – + xn + – xn HD:

a) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 – a2x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax – 1)

b) x – + xn(x3 – 1) = (x – 1)[1 + xn(x2 + x + 1)] = (x – 1)(xn+2 + xn+1 + 1) Câu 2: (1,5 điểm) Thực phép tính:

2

2 2

x y x y

:

y xy x xy x y xy

 

  

  

 

  

   

HD:

+ Điều kiện xác định: ( x0; y0;xy;x  ) y

+

2 2

2 2 2

x y x y x y xy(x y) x y

A :

xy(x y) x y

y xy x xy x y xy x y

 

     

     

 

   

   

Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: A x y x y

 

 HD:

+ Điều kiện xác định: ( x  ) y + Xét trường hợp:

x y x y

*NÕu x 0;y B 1; *NÕu x 0;y B 1;

x y x y

*NÕu x 0;y B ; *NÕu x 0; y B

x y x y

  

          

 

  

       

 

Câu 4: (1,5 điểm)

Tìm giá trị nguyên x để biểu thức

2

x

M

x  

 có giá trị nguyên HD:

+ M có nghĩa x

   

2

x x (x 2)(x 2) 1

M (x 2)

x x x x

x Z, M Z (x 2) ¦(1) 1;1 x 3;1

     

      

   

         

Câu 5: (3,5 điểm)

(2)

Biên soạn GV Hồng Xn Thìn

a)Chứng minh tam giác EDF vuông cân

b)Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD; I trung điểm EF; Chứng minh ba điểm O, C, I thẳng hàng

HD:

2

Câu 1:

Cho đa thức : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + a)Phân tích P(x) thành nhân tử

b)Chứng minh P(x) chia hết cho với x  Z HD:

a).P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x + = (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2)

=(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1)

b) P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – + 3) = 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) P(x) 6 (Đfcm). Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE  AB, CF  AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2

Câu 3: Cho phân thức

4

x x x 2x

F(x) (x Z)

x 2x x 4x

   

 

   

a)Rút gọn phân thức

b)Xác định giá trị x để phân thức có giá trị nhỏ Câu 4:

Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm đường cao AH = 120 cm Tính hai cạnh AB AC

Câu 5: Cho số dương a, b, c

Chứng minh rằng: (a b c) 1

a b c

 

     

 

Câu 6: Cho số dương a, b, c

Giải phương trình: a b x b c x c a x 4x

c a b a b c

     

   

 

3

Câu 1: Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2 – 6x + 1) Câu 2: Giải bất phương trình: x x

2

 

 

Câu 3: Tính giá trị biểu thức: A 2a b 5b a

3a b 3a b

 

 

 

Biết 10a2 – 3b2 + 5ab = 9a2 – b2 

Câu 4: Cho biểu thức:

4

1 P

2

  



   

x x x

x x x x

(3)

b)Rút gọn P

c)Với giá trị x biểu thức P có giá trị

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC

Câu 6:

Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Từ điểm E cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex // AM Ex cắt tia CA F tia BA G

Chứng minh EF + EG = 2AM

4 Câu 1:Rút gọn biểu thức: A 12

2

 

 

2 2

a a +

a a

Câu 2: Cho biểu thức B 0,5 2:

1 0,5 2

  

 

  

2 3

a a a

a a a( a)

a)Tìm a để B có nghĩa b)Rút gọn biểu thức B Câu 3:

1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 2) Giải phương trình: x2 2x2x + 1 20 Câu 4: Cho biểu thức: A = x2 + 6x + 15

a)Chứng minh A dương với x

b)Với giá trị x A có giá trị nhỏ hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ hay lớn

Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N trung điểm hai cạnh đối diện BC AD Cho MN AB DC

2 

 Chứng minh ABCD hình thang

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lấy điểm I Tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N

Chứng minh a) AM DM CB

AB  DN CN; b) ID

2

= IM.IN

5

Câu 1: Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a +ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 >

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: A

 





2 2

x x

x

Câu 3: Giải phương trình: x1  2x3  x 4

(4)

6

Câu 1: Cho a – b =

Tính giá trị biểu thức: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)

Câu 2: Thực phép tính cách nhanh nhất:

2

6

7

2

9

 

   

 

x x

Câu 3: Cho biểu thức B =

3

2

2 a

a :

1 0,5a a 2a a



 

 

   



 

a)Tìm x để B có nghĩa b)Rút gọn B

Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72

Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = m, CD = 15 cm, độ dài hai đường chéo AC = 16 cm, BD = 12 cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD E

1) Chứng minh ACE tam giác vng A 2) Tính diện tích hình thang ABCD

Câu 6: Cho tam giác ABC, đường phân giác góc C cắt cạnh AB D

Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB

7

Câu 1:Cho a, b hai số nguyên Chứng minh rằng:

Nếu a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư : a2 + b2 chia hết cho 13 Câu 2: Cho a, b số thực tuỳ ý

Chứng minh rằng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13  Đẳng thức xảy nào?

Câu 3: bên ngồi hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vng ABEF ADGH

Chứng minh:

1) AC = FH AC vng góc với FH 2) Tam giác CEG vuông cân

Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Với x nguyên) 1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử

2)Chứng minh P(x) chia hết cho

Câu 5: Cho tam giác ABC, BD CE hai đường cao tam giác ABC DF EG hai đường cao tam giác ADE Chứng minh rằng:

1)Hai tam giác ADE ABC đồng dạng 2)Chứng minh: FG//BC

Câu 6:

1)Chứng minh phương trình x4 – x3 – x – = có hai nghiệm 2)Giải biện luận phương trình: m2x + = x + m (m tham số)

8 Câu 1: Cho phân thức:

4

3

x 2x

A

x 3x

 



(5)

1) Tìm điều kiện x để A có nghĩa 2) Rút gọn A

3) Tính x để A <

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ phân thức: E 2

x 2x



  

Câu 3: Giải phương trình: 1 x(x1) 2

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ C đến đường thẳng AB AD; Gọi G chân đường vng góc kẻ từ B đến AC,

1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF 2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2

Bài tập tương tự:

1)Cho tam giác ABC có góc nhọn, hai đường cao BD CE cắt tại H Chứng minh BH.BD = CH.CE = BC2

2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB.AC + BD.DC

3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh   2

A2B  a b bc

4)Cho tam giác ABC Biết đường phân giác ngồi góc A cắt cạnh BC kéo dài E Chứng minh rằng: AE2 = EB.EC + AB.AC.

9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +

1)Trong trường hợp x số nguyên dương Chứng minh P(x) chia hết cho

2)Giải phương trình P(x) =

9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi 2p M điểm tứ giác Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;

2) p < MA + MB + MC + MD < 3p Câu 3: Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 =

1) Nếu x y z

a  b c Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 2) Nếu a3 + b3 + c3 = Tìm giá trị a, b, c

9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai đường cao BD CE cắt H

1) So sánh hai góc BAH CAH 2) So sánh hai đoạn thẳng BD CE

(6)

9

Câu 6: Giải phương trình: x a x b x c 1

bc ac ab a b c

    

      

  (Trong x ẩn)

10 Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – = 10

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

2 3

2 2

x y xy x y

A :

x y x y 2xy

  



  

10 Câu 3:

Chứng tỏ bất phương trình sau nghiệm với x:

2

4

5

x 2x



 

 

10

Câu 4: Tìm gái trị nhỏ biểu thức:

2

x 4x

A

x

 



10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vng AHKE

1)Chứng minh B450

2)Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh tam giác ABP vuông cân

3)Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng

4)Chứng minh HE // QK 11 Câu 1: (3đ)

Chứng minh biểu thức P =

2 2

(x a)(1 a) a x (x a)(1 a) a x

   

    không phụ thuộc vào biến x

11 Câu 2: (2đ) Giải phương trình: x3 + 12 = 3x2 + 4x 11

Câu 3: (2đ) Giải phương trình:

2

1 8x 4x 32x

0 8x 12x 3(4 16x )



  

  

11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:

2 2

4xy z 4yz x 4xz y

A ; B ; C

xy 2z yz 2x xz 2y

  

  

  

Trong x, y, z đơi khác

Chứng minh nếu: x + y + z = thì: A.B.C = 11 Câu 5: (4đ)

(7)

BC P Chứng minh rằng: MP//CD 11 Câu 6: (4đ)

Cho tam giác ABC Gọi O điểm nằm tam giác Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB

1)Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

2)Để tứ giác MNPQ hình chữ nhật điểm O nằm đường đặc biệt tam giác ABC? Giải thích sao?

12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x – 12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) 12 Câu 3: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

12 Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 =

12 Câu 5: Cho a, b, c, độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ac  a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc)

12 Câu 6: Cho a, b, c, độ dài ba cạnh tam giác

Chứng minh ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) tam giác tam giác

12 Câu 7: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng vng góc với AM M cắt CD E AB tạ F Chứng minh AM = FE

12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK Gọi N giao điểm BK AC

1)Tính diện tích tam giác AKN Biết diện tích tam giác ABC S 2)Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB AC I J

Chứng minh rằng:AB AC AI  AJ 

13 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 13 Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 13

Câu 3: Giải phương trình: 2 2x3 x

x x x



 



  

13 Câu 4:

Cho a, b, c, d số thực thoả mãn a  b, c  d Chứng minh: ac + bd  bc + ad

13 Câu 5:

Cho hình vng ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC Biết góc FAE = 450 Chứng minh chu vi tam giác CFE nửa chu vi hình vng ABCD

13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy điểm O nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh

OA OB OC

(8)

14

Câu 1: Cho ba số khác thoả mãn a b c 1 1

a b c

 

     

 

Tính giá trị biểu thức: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995)

14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba cho chia đa thức cho nhị thức là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) có số dư x = – đa thức nhận giá trị (– 18)

14 Câu 3: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Trên cạnh AB, AD lấy điểm M, N cho chu vi tam giác AMN Tính số đo góc MCN?

15

Câu 1: Cho biểu thức: A 2a a 3a 3a

 

 

 

1)Tính giá trị A a  

2)Tính giá trị A 10a2 + 5a =

15 Câu 2: Giải phương trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 15 Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB, gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Lấy C tia Ax, D tia By cho góc COD = 900

1) Chứng minh tam giác ACO tam giác BDO đồng dạng 2) Chứng minh : CD = AC + BD

3) Kẻ OM vng góc với CD M, gọi N giao điểm AD BC Chứng minh MN//AC

16

Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị biểu thức: A 5n 11 4n 13

 

 số tự nhiên

16 Câu 2:

Cho n số tự nhiên Chứng minh B = n3 + 6n2 – 19n – 24 chia hết cho

16

Câu 3: Tính tổng S(n) 1 (n N)

2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)

    

 

16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Tia Dx cắt AC, AB, CB I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng D qua I Chứng minh:

1) IM.IN = ID2

2) KM DM KN  DN

(9)

16 Câu 5:Giải phương trình : x1  x2  x3 14

16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên x, y đẳng thức: 2x3 + xy = 16 Câu 7: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh:

a b c d

1

a b c b c d c d a d a b

    

       

16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a đường cao AH = h Từ điểm M đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC P Q Vẽ PS QR vng góc với BC

1)Tính diện tích tứ giác PQRS theo a, h, x (trong AM = x) 2)Xác định vị trí điểm M AH để diện tích lớn 17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 7x –

17 Câu 2: (6đ)

Một trường tổ chức cho lớp trồng cây: Lớp thứ trồng 18 thêm 1/11 số lại Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 thêm 1/11 số lại Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 thêm 1/11 số lại Cứ lớp trồng hết số số trồng lớp Hỏi trường tồng cây?

17 Câu 3: (4đ)

Cho biểu thức: 3

3

x x

A

x

1 x

 



 

 



Hãy viết A dạng tổng biểu thức nguyên phân thức với bậc tử thấp bậc mẫu

17 Câu 4: (4đ) Chứng minh “Tổng độ dài ba trung tuyến tam giác

thì lớn

4 chu vi nhỏ chu vi tam giác ấy” 17 Câu 5: (4đ)

Gọi O điểm nằm tứ giác lồi MNPQ Giả sử bốn tam giác MON, NOP, POQ, QOM có diện tích

1) MP cắt NO A Chứng minh A trung điểm NP

2) Chứng minh O nằm đường chepos NQ đường chéo MP tứ giác MNPQ

18 Câu 1: (4đ)

Rút gọn biểu thức: A = 75(41993 + … + 42 + 5) + 25 18 Câu 2: (3đ)

Tìm giá trị lớn biểu thức: B 2 1 

 

x x

(10)

Chứng minh nếu: abc = a + b + c 1 a  b  c 

2 2

1 1

2 a  b  c 

18 Câu 4: (3đ) Tìm số nguyên dương n để: n1988 + n1987 + số nguyên tố 18 Câu 5: (3đ)

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai tia phân giác tam giác ABC Chứng minh rằng: GO//AC

18 Câu 6: (5đ)

Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm M cho BC = 3BM, tia đối tia CD lấy điểm N cho AD = 2CN Gọi I giao điểm AM BN

Chứng minh rằng: điểm A, B, I, C, D cách điểm 19 Câu 1: Chứng minh rằng: 2130 + 3921 chia hết cho 45

19 Câu 2: Cho a, b, c ba số dương

Chứng minh rằng:

2 2

a b c a b c

b c a c a b

 

  

  

19 Câu 3: Chứng minh x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM Qua điểm Q AB kẻ đường thẳng d song song với DM Đường thẳng d cắt BC R cắt AC P Chứng minh QA.QB = QP.QR tam giác ABC vuông C

19 Câu 5: Trên cạnh AB, BC, AC tam giác ABC cố định; Người ta lần

lượt lấy điểm M, N, P cho AM BN CP k (k 0)

MB  NC  PA  

Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC theo k Tính k cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ

20 Câu 1: Biết m + n + p = Tính giá trị biểu thức:

m n n p p m p m n

S

p m n m n n p p m

     

      

  

  

20 Câu 2: Cho tích hai số tự nhiên 19851986 Hỏi tổng haio số có phải bội 1986 hay khơng?

20 Câu 3: Một người xe gắn máy từ A đến B cách 200 km Cùng lúc có người xe gắn máy khác từ B đến A Sau hai xe gặp Nếu sau 1giờ 15 phút mà người từ A dừng lại 40 phút tiếp phải sau 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai người gặp Tính vận tốc cua người?

(11)

rằng tam giác AOB, BOC, COD DOA có chu vi tứ giác ABCD hình thoi

20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt O Kí hiệu S diện tích Cho SAOB = a2 (cm2) SCOD = b2 (cm2) với a, b hai số cho trước

1)Hãy tìm giá trị nhỏ SABCD ?

2) Giả sử SABCD bé Hãy tìm đường chéo BD điểm M cho

đường thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC hai đường chéo AC, BD chia thành ba phần

21 Câu 1: Chứng minh với x, y nguyên thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương

21 Câu 2: Phân tích đa thức nhân tử: (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3 21

Câu 3: Giải phương trình: 2 2 1 x 4x3 x 8x15 21 Câu 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 8x2 + 10x + 15 =

21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân A (góc A nhọn); CD đường phân giác góc ACB (D thuộc cạnh AB) Qua D kẻ đường vng góc với CD; đường cắt đường thẳng BC E Chứng minh: EC = 2BD

21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc đỉnh 200; cạnh đáy a, cạnh bên b Chứng minh: a3+ b3 = 3ab2

22 Câu 1:Giải phương trình: 2 2x5 3  7

22

Câu 2: Giải phương trình: 315 x 313 x 311 x

105 103 101

  

  

22

Câu 3: Cho biểu thức:

4

x x x

A

x x 2x x

  



   

1) Rút gọn A

2) Chứng tỏ A không âm với giá tị x 3) Tìm giá trị nhỏ A

22 Câu 4: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Các đường thẳng DN, CM cắt I Chứng minh:

1) Tam giác CIN vuông

2) Tính diện tích tam giác CIN theo a 3) Tam giác AID cân

23

Câu 1: (3đ) Cho phân thức:

5

2

x 2x 2x 4x 3x

M

x 2x

    



 

(12)

23

Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:

2

x 2x 1995

A (x 0)

x

 

 

23 Câu 3: (5đ) chứng minh rằng: n   *

10 9n1 27 nN

23 Câu 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, BD vng góc với BC

1) Tứ giác ABCD hình gì? Tại sao? 2) Tính góc tứ giác ABCD

2) So sánh diện tích tam giác ABD với diện tích tứ giác ABCD 24

Câu 1: Rút gọn tính giá tị biểu thức:

3

2a 12a 17a A

a

  



 Biết a nghiệm phương tình: a2 3a1 

24 Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ B giá trị tương ứng x với:

 2

B 3x1 4 3x1  24

Câu 3: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2

  

24 Câu 4: Cho điểm A, E, F, B theo thứ tự đường thẳng Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng ABCD; EFGH

1) Gọi O giao điểm AG BH Chứng minh tam giác OHE OBC đồng dạng

2) Chứng minh đường thẳng CE DF qua O 24 Câu 5:

Cho điểm E, F nằm cạnh AB BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I giao điểm AF CE

Chứng minh ID phân giác góc AIC

25 Câu 1: Tìm số có hai chữ số mà bình phương lập phương tổng chữ số

25 Câu 2: Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng

tam giác để biểu thức sau : A a b c

b c a a c b a b c

  

      đạt giá trị nhỏ

25 Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: S = (x – 1)1995 + y1996 + (z + 1) 1997

25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a Điểm M di động cạnh AB; Điểm N di động cạnh AD cho chu vi tam giác AMN không đổi 2a Xác định vị trí MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn tính giá trị lớn

25 Câu 5: Cho tam giác ABC có  

(13)

giác ABC biết số đo ba số tự nhiên liên tiếp 26

Câu 1:Chứng minh nếu: 1 1

a  b c abc (a + b)(b + c)(a + c) =

26 Câu 2: a) Giải phương trình: x3 2 x 2  x 1 

b) Giải phương trình: x4 + 7x2 – 12x + =

26 Câu 3: Hai đội bóng bàn hai trường A B thi đấu giao hữu Biết đối thủ đội A phải gặp đối thủ cua đội B lần số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ hai đội Tính số đấu thủ đội 26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD BC lấy điểm M, N

cho BM = DN Gọi I giao điểm cua BM DN Chứng minh IA phân giác góc DIB

26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ C đến đường thẳng AB AD

Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC 27 Câu 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

27 Câu 2: Tìm nghiệm đa thức: f(x) = x2 + x –

27 Câu 3: Cho a, b, c ba số đôi khác nhau, chứng minh rằng:

b c c a a b 2

(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a

  

    

        

27 Câu 4: Giải phương trình: m2x + 2m = 4x + m2 (với x ẩn)

27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Lấy điểm M tuỳ ý cạnh AC Kẻ tia Ax vng góc với BM Gọi H giao điểm Ax với BC K điểm đối xứng với C qua H Kẻ Ky vng góc với BM Gọi I giao điểm Ky với AB Tính góc AIM?

28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 + 1997x2 + 1996x + 1997

b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc

28 Câu 2: Tính giá trị biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz

Biết: x a ; y b ; z c

b c a c a b

  

  

28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích chúng là: 57120

28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Chứng minh:

1) Tứ giác ANFM hình vng

2) Điểm F nằm tia phân giác góc MCN góc ACF = 900

(14)

FA)

28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a Dựng hình vng PABC cho P đỉnh Q trung điểm cạnh AB

29 Câu 1: Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn điều kiện: a2 – b2 = c2 – d2

Chứng minh S = a + b + c + d hợp số

29 Câu 2: chứng minh a, b hai số dương thoả mãn điều kiện a + b = thì:

3

a b 2(b a)

b a (ab)



 

  

29 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 1996x2 + 1995x + 1996 29 Câu 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M Các tia

phân giác góc BAM DAM cắt cạnh BC E cắt cạnh CD F Chứng minh AM vng góc với FE

29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC) Trên tia đối tia BA lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E, cho BD = CE Gọi N trung điểm cạnh BC Vẽ hình bình hành ECNK hình bình hành BDFN Gọi M giao điểm DE FK Tìm quỹ tích điểm M D E di động

30 Câu 1: Cho biểu thức:

4

x 10 B

x 9x 9x 9x 10

 

   

a) Tìm điều kiện x để B có nghĩa b) Rút gọn biểu thức B

30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16, với n số nguyên

30 Câu 3:

1) Giải phương trình: 3

4x 3x (3 4x)(3x 1) 

 

   

2) Giải bất phương trình: x x

2

 

 

30 Câu 4: Giải biện luận phương trình sau

x a x b a

x a x b (x a)(x b)

   

 

    Trong a, b số

30 Câu 5: Cho hình thang vng ABCD có đáy CD = cm; đáy AB = cm, cạnh xiên BC = 13 cm Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = AB Đường thẳng vng góc với BC M cắt AD N

(15)

3) Tính diện tích hình thang ABCD 31 Câu 1: Giải phương trình:

 2  2   

2x x1998 4 x 3x950 4 2x x1998 x 3x950

31 Câu 2: Tính giá trị đa thức: f(x) = 6x4 – 7x3 – 22x2 + 7x + 2004, với x nghiệm phương trình 6x2 + 5x =

31 Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2

a b c d e a(b c de) 31 Câu 4: Chứng minh đẳng thức:

b c c a a b 2

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)

  

    

        

31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Các đường phân giác AD BE cắt I

1) Tính độ dài đoạn thẳng BD CD

2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG//BC suy độ dài đoạn thẳng IG

31 Câu 6:

1) Cho tam giác ABC có góc A = 300 Dựng bên tam giác BCD Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2

2) Tổng tất góc góc ngồi đa giác có số đo 47058,50 Tính số cạnh đa giác?

32 Câu 1:

1) Chứng minh với số nguyên chẵn n thì: n3 + 20n chia hết cho 48 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – a)b3 – (x – b)a3 + (a – b)x3

32 Câu 2: Chứng minh với a, b, c ta có:

2 2 19

a 9b c 2a 12b 4c

2

     

32 Câu 3:

Cho x, y, z ba số thoả mãn điều kiện: 2

3 3

x y z

  

 

  

 

  



Hãy tính giá trị biểu thức: P(x 1) 17 (y 1) (z 1) 1997

32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân A có H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H cạnh AC O trung điểm IH Chứng minh AO vng góc với IB

32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân A, lấy điểm E K trêncác tia AB AC cho AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng: EK > BC 33 Câu 1:

(16)

2) Cho A(x) = 8x2 – 26x + m B(x) = 2x – Tìm m để A(x) chia hết cho B(x)

33 Câu 2: Với giá trị a bất phương trình sau có nghiệm nhất: (xa)(x5)

33 Câu 3: Giải phương trình:

x  1 a(x1) 

33 Câu 4: Cho hình vng ABCD BC lấy điểm M cho BC = 3BM Trên tia đối tia CD lấy điểm N cho BC = 2CN Cạnh AM cắt BN I CI cắt AB K Gọi H hình chiếu M AC Chứng minh K, M, H thẳng hàng

33 Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = cm, góc BDC = 450 Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính diện tích hình thang ABCD hai cách

34 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) x8 + 3x4 + 2) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 34 Câu 2: Cho biểu thức:

2

2x 3y xy x

A

xy 2x 3y xy 2x 3y x

  

  

      

a) Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểut thức A

34 Câu 3:

Cho số a, b, c thoả mãn: a3 b2 b b3 c2 c c3 a2 a

        

Chứng minh a = b = c

34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD dựng đường thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích 34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh

35 Câu 1:

1) Chứng minh rằng: 8351634 + 8241142 chia hết cho 26

2) Chứng minh A số phương, biết A có dạng:



ˆ

ˆ ˆ 999 so

1998 so 1000 so

A 11 11 66



 

   

35

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:

4

x

B

x 2x

 

 

35 Câu 3:

Cho ba số a, b, c khác thoả mãn đẳng thức: a b c a c b b c a

c b a

     

 

Tính giá trị biểu thức: P (a b)(b c)(a c) abc

  

(17)

35 Câu 4: Các đường chéo tứ giác lồi ABCD vng góc với Qua trung điểm cạnh AB AD kẻ đường vng góc theo thứ tự với cạnh CD CB Chứng minh hai đường thẳng vng góc đường thẳng AC đồng quy

35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a CD =a Hãy xác định vị trí điểm M đường thẳng CD cho:

1) Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích 2) Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D có diện tích (n – 1) lần diện tích phần kia(n số tự nhiên lớn 2) 36 Câu 1:

Tính giá trị biểu thức: A 12 12 12 1 2

2 1998

     

         

     

36 Câu 2: Phân tích đa hức thành nhân tử: 1) x2 – x – 12

2) x2 + 8x + 15

36 Câu 3: Chứng minh rằng: (x 1)(x 3)(x4)(x6) 10 1  36 Câu 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – =

36 Câu 5:

Cho tam giác ABC (BC < AB) Từ C vẽ đường vng góc với đường phân giác BE F cắt AB K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK G

Chứng minh DF qua trung điểm đoạn thẳng GE 37 Câu 1: (3,5đ)

Cho biểu thức:

2

2 x 4x x x 3x

A :

2 x x x 2x x

      

     

   

   

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị x đê A dương

3) Tìm giá trị A trường hợp x7  37 Câu 2: (3,5đ)

Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm 1) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC

2) Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh tam giác ACD cân

3) Chứng minh rằng: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 37 Câu 3: (1,5đ)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm nằm cạnh BC Gọi E F hình chiếu B C xuống đường thẳng AM Xác định M BC để tổng BE + CF lớn

(18)

38 Câu 1:

1) Xác định giá trị m để bất phương trình sau vô nghiệm: (m2 3m2)x 3 2m

2) Giải biện luận phương trình ẩn x sau: x x

x m x

 



 

38

Câu 2: Cho ab  Chứng minh rằng: c a b c b a c b  c a a  c  b

38 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm D cạnh BC kẻ DE, DF vng góc với AB, AC E F Chứng minh: EA EB + FA.FC = DB.DC

38

Câu 4: Giải phương trình:

2

12x 12x 11 5y 10y

4x 4x y 2y

   



   

38 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 Gọi M điểm thuộc cạnh AD Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB N

1) Chứng minh: AB2 = DM.BN 2) BM cắt DN P Tính góc BPD 38 Câu 6:

Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 a 2;0b2;0  c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 

39 Câu 1:

1) Rút gọn biểu thức: A 1 2 4 8 1616

1 x x x x x x

     

     

2) Cho biểu thức:

2

1

x

x x

B

1 x

x x





 

 



 

a) Tìm điều kiện x để B có nghĩa b) Rút gọc biểu thức B

1) x3 + 3x2 + 2x + = 2) x2  1 a(x1) 

39 Câu 3: Cho a, b, c ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng: a b c bc  ac ab 

39 Câu 4: Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D cho BD = 3DA Trên BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD

Chứng minh rằng: FD = FC 39 Câu 5:

(19)

Chứng minh rằng: BC < MC.AB + MB.AC

39 Câu 6: Trong tất hình chữ nhật có độ dài đường chéo khơng đổi d Hãy tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

40 Câu 1:

1) Tính: S = 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 992- 1002 + 1012

1) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 53 Tính P = ab + ac + bc 40 Câu 2: Cho a, b, c, d bốn số thực thoả mãn: a + b + c + d =

Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd) 40 Câu 3: Chứng minh với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì:

a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14

40 Câu 4: Cho góc xOy = 600 Trên hai tia Ox, Oy lấy điểm tuỳ ý B C Chứng minh rằng: OBOC2BC

40 Câu 5:

Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD) Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD

Chứng minh nếu: BC + AD = 2MN ABCD hình thang 41 Câu 1: Giải phương trình:

1)

2

x x x x

1

x x x x

  

 

   

2) x2 5x5 10x 2x2 11

41 Câu 2: Cho a, b, c ba số thực đôi khác

1) Tính: S ab bc ac

(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)

  

     

2) Chứng minh rằng:

2 2

a b c

2 (bc) (ca)  (ab) 

41 Câu 3: Cho ba số dương có tổng Chứng minh tổng số ba số khơng bé tích ba số

41 Câu 4: Cho tam giác ABC cân A (Â < 900) Từ B kẻ BM vng góc với AC

2

AM AB

2

MC BC

 

   

 

41 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm BO, AO Trên cạnh AB lấy điểm F cho tia FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng:

AB BC

1) 2) BE AK BC

BF  BE   

42 Câu 1: Phân tích thành nhân tử:

(20)

42

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

2 2

x yz y xz z xy

A

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

  

  

     

42 Câu 3: Cho a 1; ac 1999; b 1999.  Chứng minh: abc 3998

42 Câu 4: Tìm x, y, z thoả mãn phương trình: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 =

42 Câu 5: Cho tam giác ABC (BA = BC) Trên cạnh AC chọn điểm K nằm A C Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho: CE = AK

Chứng minh BK + BE > BA + BC

42 Câu 6: Cho tam giác ABC Gọi M điểm nằm tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác không phụ thuộc vị trí điểm M

43

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x2 x

  

43

Câu 2: Cho biểu thức:  

2

2 3 3

2

1 x 1 x 1 x

B : x x

1 x x

1 x

     

     

 

   

a) Tìm x để B có nghĩa b) Rút gọn B

c) Chứng minh B dương với x thoả mãn điều kiện xác định B 43 Câu 3: Cho hình vng ABCD có cạnh a, E điểm

BC (E khác B C) Hai đường thẳng AE CD cắt F Tia Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng CD I

1) Chứng minh dóc AEI = 450

2) Chứng minh: 12 12 12 AB  AE  AF

3) Chứng minh diện tích tam giác AEI khơng nhỏ

2

a

43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD) Từ C kẻ CE CF vng góc với đường thẳng AB, AD (E thuộc AB F thuộc AD) Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2

43 Câu 5: 44 Câu 1:

Cho 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: P 2ab 2 4a b 

 44 Câu 2:

Giải biện luận phương trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x 44 Câu 3: Phân tích thành nhân tử: A = x3 + y3 + z3 – 3xyz

(21)

nên đến đích chậm xe thứ 12 phút đến sớm xe thứ ba phút Tính vận tốc xe, quãng đường đua va thời gian chạy xe

44 Câu 5:

Cho tam giác ABC cân đỉnh A Một điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD vng góc với AB, ME vng góc với AC Chứng minh tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M BC

44 Câu 6: Cho góc nhọn xAy Tìm tập hợp điểm M có tổng khoảng cách đến hai cạnh Ax Ay số cho trước

44 Câu 7: Cho tam giác ABC, qua điểm O tuỳ ý tam giác kẻ tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB điểm M, N, P

Chứng minh rằng: OM ON OP AM  BN  CP  45 Câu 1: Giải phương trình:

1) (x + 2)(x + 3)2(x + 4) = 12 2) 2x1 3 x1 2x 

45 Câu 2:

1) Cho tam giác ABC có đường cao BD CE Chứng minh: góc AED = góc ACB

2) Cho tam giác ABC coa đường phân giác AD Chứng minh: AD = AB.AC – DB.DC 45 Câu 3:

1) Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax2 + bx + c Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000

2).Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện: 1 1 a  b c abc Tính a25 b25b3 c3c2000 a2000

45 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â < 900) Dựng bên ngồi tam giác ABC hình vng ABDE ACFG Dựng hình bình hành AEIG Chứng minh: 1) ABC GIA CI = BF

2) Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng qui

45 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005

46 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 46

Câu 2: Cho x y z vµ a b c a  b  c x y  z 

2 2

x y z

1 a  b  c  46 Câu 3: Giải phương trình:

(22)

2) x 2 x13 x2 

46 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh rằng:

DB EC FA

1)

DC EA FB

1 1 1

2)

AD BE CF BC AC AB



    

46 Câu 5: 47

Câu 1: Rút gọn phân thức:

3 3

a b c 3abc

A

a b c

  



  47 Câu 2: Giải phương trình: x3 + x2 + = 47 Câu 3: Chứng minh nếu: abc =

a b c

1 aba1 bcb1 ac c 1

47 Câu 4: 5 4

Cho x, y0 vµ xy0 Chøng minh: x y x yxy 47 Câu 5: Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm AB Trên cạnh AC lấy

điểm E cho AE = 2EC Gọi O giao điểm CD BE Chứng minh rằng:

1) Hai tam giác BOC AOC có diện tích 2) BO = 3.EO

48 Câu 1:

Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC, biết

b c a

1 1

a b c

   

   

   

    Chứng minh tam giác ABC tam giác 48 Câu 2: Giải phương trình:

x 3x2 x1 

48 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2y+ xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz

48 Câu 4:

Xác định giá trị x, y để có đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + =

48 Câu 5: Trên cạnh AB hình vng ABCD người ta lấy điểm tuỳ ý E Tia phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh: AE + KC = DE 49 Câu 1:

Giải phương trình:

2

x x 2(x 2)

x x x x x

  

 

    

(23)

Tìm giá trị x để biểu thức A(x) x 2 (x 1999) 

 (với x > 0) đạt giá trị lớn

49 Câu 3:

1) Chứng minh x > 0, y > thì: 1 x  y  xy

2) Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác thì:

1 1 1

abc  b c a  acb a b  c

49 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900) đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm

1) Chứng minh: BH CM AD HC AM BD  2) Chứng minh: BH = AC

49 Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác x, y, z độ dài

đường phân giác tam giác Chứng minh: 1 1 1 x  y  z  a  b  c 50 Câu 1: Trong hộp đựng số táo Đầu tiên người ta lấy nửa

số táo bỏ lại quả, sau lấy thêm 1/3 số táo lại lấy thêm Cuối hộp lại 12 Hỏi hộp lúc đầu có táo

50 Câu 2: Cho a > 0, b > c > Chứng minh:

1 1

bc ac  ab abc 50 Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Cho biết AB = cm, BH = cm Tính BC ?

50 Câu 4: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AC E cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C F Gọi S giao điểm AC BF

Chứng minh rằng: SC2 = SE.SA 50 Câu 5:

51 Câu 1:

Giải phương trình: 2 39x x x 3x9 x 27   51 Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:

2 2

2 2 2

a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab

a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab

     

 

     

(24)

BD Gọi E F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình gì? chứng minh điều

2).Gọi CH CK đường cao tam giác ACB ACD

a) Chứng minh: CH CK CB  CD

b) Chứng minh hai tam giác CHK ABC đồng dạng với c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC

51 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M K cho AM = CK Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý Đoạn thẳng MK cắt PB PC E F Chứng minh rằng: SP FE SBME SCKF

51 Câu 5:

52 Câu 1: Phân tích thành tích: a3 + b3 + c3 – 3abc

52 Câu 2:Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x + y + xy – x2 – y2 giá trị tương ứng x y

52 Câu 3:

1) Giải phương trình: 3x3 + 4x2 + 5x – =

2) Giải bất phương trình: x x

 



52 Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B thuộc đoạn AC (B  A, B  C) Vẽ tia Bx vng góc với AC, tia Bx lấy điểm D E cho BD = AB BE = BC

1) Chứng minh rằng: CD = AE CD vng góc với AE

2) Gọi M trung điểm AE, N trung điểm CD, I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ I đến AC không đổi B di chuyển đoạn AC

3) Tìm vị trí điểm B đoạn AC cho tổng điện tích hai tam giác ABE BCD có giá trị lớn Tính giá trị lớn theo m

52 Câu 5: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ CH vng góc với CM Vẽ HN vng góc với DH (N thuộc BC)

1) Chứng minh hai tam giác DHC NHB đồng dạng với 2) Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB

53 Câu 1: Tính giá trị biểu thức:

2

3 2

x 25 y

A : BiÕt: x 9y 4xy 2xy x

x 10x 25x y y

 

     

   

53 Câu 2: Giải phương trình: 2x3 + 3x2 + 2x – = 53 Câu 3:

1) Chứng minh rằng: x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 

2) Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a)  abc, với a, b, c độ dài cạnh tam giác

(25)

và AD K điểm nằm C D Gọi P Q theo thứ tự điểm đối xứng K qua tâm M N

1) Chứng minh Q, A, B, P thẳng hàng

2) Gọi G giao điểm PN QM Chứng minh GK qua điểm I cố định K thay đổi tên đoạn CD

53 Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng:

1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC

2) H giao điểm đường phân giác tam giác FED 54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) x3 – 5x2 + 8x –

2) 3x2 1y2 2y

3 3

  

54 Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y – 4z - 14 54 Câu 3:

Cho biểu thức:

2

2 3

x x 6x 3x

A : x

x x

x x x 2x

  

 

      



  

 

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị x để A có giá trị âm

54 Câu 4: Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác ta vẽ hình vng ABDE ACGH

1) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân

2) Kẻ đường cao AH1 tam giác ABC Chứng minh đường thẳng AH1,

DE GH đồng quy

54 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vng góc với AC H Gọi M K trung điểm AH CD Chứng minh BM vng góc với MK

55 Câu 1: Giải bất phương trình: 1) x2 – 3x >

2) x2 

55 Câu 2: Chứng minh cá bất đẳgn thức: 1) a4 + b4  a3b + ab3

2) a4 + b4 + c4  a2b2 + b2c2 + a2c2 55 Câu 3:

Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau:

2

x x

y

x   

 55 Câu 4:

Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Cho biết AH = cm, CH = cm

(26)

2) Vẽ đường phân giác AD góc A tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABD

55 Câu 5: Cho hình thang ABCD có AD//BC BC = 10 cm, AD = cm, AB = cm CD = cm Các đường phân giác góc A B (trong hình thang) cắt M Các đường phân giác góc C D (trong hình thang) cắt N Tính MN?

56 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ab + ac + b2 + 2bc + c2

2) x4 + 2x2 –

3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) +

56 Câu 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức A với x + y = 2005 x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)

A

x(x 6) y(y 6) 2xy

    



   

56 Câu 3: Thực phép tính:

a b b c a c

(b c)(c a) (c a)(c b) (a b)(b c)

  

 

     

56 Câu 4:

Cho a + b + c = 1

a  b c  Chứng minh: a

2

+ b2 + c2 =

56 Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Điểm M nằm hình thang, vẽ hình bình hành MDPA, MCQB Chứng minh rằng: PQ//CD 57 Câu 1:

Cho a, b, c số khác thoả mãn a + b + c = 2002 1 1 a b  c 2002 Chứng minh số a, b, c tồn hai số đối

57 Câu 2:

Cho x, y, z số thoả mãn điều kiện: x + y + z = x2 + y2 + z2 = 14 Hãy tính giá trị biểu thức: A = + x4 + y4 + z4

57 Câu 3: Tìm số x, y, z cho:

2

x 5y 4xy10x22y xyz 26

57 Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) a2 b2a2 14a b2 , với a,b

2) 1

a  b ab, với a,b >

3) 1 1 1

a3b b3c  c3a a2bc b2ca  c2ab,với a,b,c >

(27)

Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB CD ta lấy hai điểm E

F cho: AE CF

BE  DF Chứng minh đường chéo AC qua trung điểm I đoạn FE AC chia đơi điện tích tứ giác ABCD

57 Câu 6:

Cho hình thoi ABCD biết Â = 1200 Vẽ tia Ax tạo với tia AB góc BAx = 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N

Chứng minh rằng: 2 2 42 AM  AN AB 58 Câu 1: Phân tích thành tích:

1) 3x2 – 2x – 2) x3+ 6x2 + 11x + 58 Câu 2:

1) Giải phương trình: x 2

x x x(x 2)



  

 

2) Giải bất phương trình: 4x 2x

 



58 Câu 3:

Chứng minh nếu: xyz = : 1 1

1xxy 1yyz 1 z xz  58 Câu 4:

1) Chứng minh rằng: a4 + a3b + ab3 + b4  0, với a, b Q

2) Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ lớn A = x2 + y2

58 Câu 5: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD P, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q Chứng minh rằng: PQ//CD

58 Câu 6: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, AC AB lấy điểm M, N, P

1) Chứng minh: ANP

ABC

S AN.AP

S  AB.AC

2) Chứng minh: SANP.SMPB.SMNC S ABC3 64



59 Câu 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức:

2

xy (x y) x y(x y)

A víi x 2;y

3

2y 2x

  

  



(28)

3 2

2

(27x y )(16y x )

A víi x 1; y

2 (x 4y)(9x 3xy y )

 

   

  

59 Câu 3: Xác định thương dư phép chia: (x4 – 1) : (2x2 + 1)

59 Câu 4: Cho hình vng ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Đường thẳng AN cắt DM, BP I J Đường thẳng CQ cắt BP, DM H, K Hỏi tứ giác IJHK hình gì? 59 Câu 5:

60

Câu 1: Phân tích thành nhân tử: x3 – 3x2 – 9x –

Câu 2: Chứng minh phương trình: x4 – 3x3 + 8x – 24 = có hai nghiệm

Câu 3:

Cho biểu thức:

3

2

x x x x x x

A :

1 x x

       

     

 

   

 

1) Tìm giá trị x để A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A (M thuộc cạnh CD), vẽ phân giác CN góc C (N thuộc cạnh AB) Các phân giác góc A C cắt BD E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN CFEM

61

Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức:

3

2

6x 7x 5x

x

2x x

  

   

61 Câu 2:

Rút gọn biểu thức:

2

2 3x x x

A

3 x

x x 2xy 2y xy 2y

 

  

   



   

  

61 Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) Gọi M, N trung điểm cạnh BC, AD, I trung điểm MN Một đường thẳng bấ kỳ qua I cắt hai đáy AB, CD E F CHứng minh hai tứ giác AEFD BEFC có diện tích

62 Câu 1: Giải phương trình: (x2 – 9)(x2 + 4x) = 62

Câu 2: Giải phương tình: x x

x x

 

 

62

Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để

3

2x 5x 5x

A

2x

  



 có giá trị số nguyên

62 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn hai đường cao AM BN cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm I BC

(29)

2) Chứng minh hai góc BDC BAC bù 62 Câu 5:

63

Câu 1: Cho biểu thức:

2

3x 9 x

A :

5x x 2x

 



  

1) Tìm x để A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 63

Câu 2: Rút gọn biểu thức: B x y z: x x: y x y, y z, x z

y z y z z x

  

   

  

63 Câu 3:

Tính giá trị biểu thức:

3

2

x x

C x 12, y 99

(1 xy) (x y) 

   

  

63 Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài cm 11 cm, góc cạnh bên đáy lớn 450 Tính diện tích hình thang cho

63 Câu 5: Một hình vng hình thoi có chu vi Hỏi diện tích hình lớn hơn? Giải thích sao?

64

2

x 2x

2x

x



 

 64

2

3

1 2x

x x x x



 

   

64

Câu 3: Giải biện luận phương trình (ẩn x): a x a

10



 

64

Câu 4: Giải biện luận phương trình (ẩn x): x a b x b a

b a a b

 

  

64 Câu 5: Cho hình thang cân ABCD với AB//CD Gọi I,J,K,L trung điểm AB, BC, CD, DA

1).Chứng minh tứ giác IJKL hình thoi

2) Cho biết diện tích ABCD 20 cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL 65 Câu 1: Giải phương trình sau:

1) 2x3 + 5x2 = 7x

2) x 11 x 12 x 33 x 67 x 88 x 89

89 88 67 33 12 11

     

    

3) 2 2 x2

4 x x 2x x 2x



 

  

65 Câu 2:

1) Cho x, y thoả mãn x > y > x2 + 3y2 = 4xy Tính: A 2x 5y x 2y

 

(30)

65

Câu 3: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2002x 2x B

x

 



65 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900), D điểm di động BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D AB AC

1) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng

2) Xác định vị trí điểm D để tổng 3.AD + 4.FE đạt giá trị nhỏ 65 Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, BD CE hai đường cao cắt

nhau H Chứng minh rằng: 1) HD.HB = HE.HC

2) Hai tam giác HDE HCB đồng dạng với 3) HB.BD + CH.CE = BC2

66 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a3 – b3 + c3 + 3abc

2) (a + 2)(a + 3)(a2 + a + 6) + 4a2 66 Câu 2: Giải phương trình:

1) x8 – 2x4 + x2 – 2x + =

2) 2 2 2

5 x 5x6  x 8x15  x 13x40   66 Câu 3:

1) Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d2 + e2  ab + ac + ad + ae 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + x

3) Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

3x 4x

B

x

 



66 Câu 4:Cho tam giác ABC cân C Kẻ đường phân giác AA1 góc A

đường trung tuyền CC1 tam giác ABC Biết AA1 = 2CC1 Tính số đo góc

ACB?

66 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm Hai đường chéo AC BD cắt O Biết số đo góc AOB = 300 Tính diện tích tứ giác ABCD

66 Câu 6: Trên hai cạnh AB BC hình vng ABCD lấy hai điểm P Q theo thứ tự cho BP = BQ Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B xuống CP Chứng minh số đo góc DHQ = 900

67 Câu 1:

Giải phương trình: 2x2 x 2x

  



67 Câu 2:

Cho biểu thức:

2

x 2x 2x 8x 10

A vµ B

x 4x x x 5x

   

 

    

(31)

2) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng x 3) Tìm giá trị x để A.B <

67 Câu 3:

Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH đường phân giác BD cắt I Chứng minh rằng:

1) Tam giác ADI cân 2) AD.BD = BI.DC

3) Từ D kẻ DK vng góc với BC K Tứ giác ADKI hình gì? chứng minh?

67 Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AD đường phân giác Chứng minh rằng: AD2 < AB.AC

68 Câu 1:

3

4x 6x 8x

A

2x

 



 có giá trị nguyên 68 Câu 2:

Tìm giá trị a, b để biểu thức B = a2 – 4ab + 5b2 – 2b + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

68 Câu 3:

Giải phương trình: 3x 2x 2

x x x 2x

 

  

   

68

Câu 4: Giải phương trình: x x x x x x 2002 2001 2000 1999 1998 1997

     

    

68 Câu 5: Trên quãng đường AB dài 72 km, hai người khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc người thứ 12 km/h, vận tốc người thứ hai 15 km/h Hỏi sau lúc khởi hành người thứ cịn cách B qng đường gấp đơi qng đường từ người thứ hai đến B

68 Câu 6: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC

1) Tính diện tích tứ giác AMND theo a

2) Phân giác góc CDM cắt BC P, chứng minh DM = AM + CP 68 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm nằm A C, qua

C dựng CE vng góc với đường thẳng BD E Chứng minh: 1) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC

2) AB.CE + AE.BC = AC.BE 69 Câu 1:

Cho xy0, y x0 – 2y2= xy Tính giá trị biểu thức: A x y x y

 

(32)

Giải phương trình: 2x 2x1  m x2 , với m tham số

69

Câu 3: Cho a, b hai số thoả mãn:

2

1 b

2a

4 a

   Chứng minh:

ab2 Dấu đẳng thức xảy nào?

69 Câu 4: Cho số a, b, c0;1  Chứng minh rằng:

2

ab c abbcca

69 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 69 Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi D điểm thuộc cạnh BC

Chứng minh rằng: AB2 CD + AC2.BD – AD2 BC = CD.BD.BC (Hệ thức Stewart)

(+) Nếu D trung điểm BC, tìm hệ thức liên hệ trung tuyến AD cạnh tam giác

(+) Nếu AD phân giác, tìm hệ thức liên hệ phân giác AD cạnh tam giác

70 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 10x + 16 70 Câu 2:

2

10x 7x A

2x

 



 có giá trị nguyên 70 Câu 3: Giải bất phương trình: m2x+ < m – x

70 Câu 4:

1) Tìm giá trị nhỏ của:

2

5x 4x

B (x 0)

x

 

 

2) Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

4x C

x

 



70 Câu 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD AD

1) Chứng minh rằng: NQ AB CD 



2) Trong trường hợp NQ AB CD 

 tứ giác ABCD hình gì? Vẽ

đường thẳng song song với AB cắt AD E, cắt MP O cắt BC F Chứng minh O trung điểm EF

70 Câu 6: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M Gọi P giao điểm hai đường thẳng AM CD

2 2

1 1

(33)

Cho 1

x y  z  Tính 2 yz xz xy x  y  z 71 Câu 2: Giải phương trình: x3 + 2x2 – x – = 71

Câu 3: Giải phương trình: x x 2

x x 6x x

 

 

   

71 Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc 71 Câu 5:

Cho a,b,c số dương Chứng minh: a b c 1 bc ac ab a  b c

71 Câu 6: Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm M, đường thẳng AM

cắt DC P Chứng minh rằng: 12 2 12 AB  AM  AP

71 Câu 7: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD BE vng góc với O Cho AC = b, BC = a Tính diện tích hình vng có cạnh AB 72 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 4x2 – 9y2 + 4x – 6y 2) x2 – x – 2001.2002

72 Câu 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 =

72 Câu 3: Chứng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +  với giá trị x

72

Câu 4: Rút gọn tính giá trị biểu thức

2

3

x 4x

A

x 2x 4x

 



   với x = 2002

72 Câu 5:

Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AD BC 1) Tìm điều kiện tứ giác để 2EF = AB + CD

2) Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm DF, EB, FA EC Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

1

1) x 2) x

x x

   

73 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: A = 3x2 + 2x + 1; B = x – x2

73 Câu 3:

(34)

73 Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức:

1) Cho a > 0, b > Chứng minh: a b 12ab ab

 

 2) Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b)  abc

73 Câu 5: Cho tam giác ABC cân A, vẽ phân giác AH Gọi I trung điểm AB, đường vuông góc với AB I cắt AH O Dựng M điểm cho O trung điểm AM

1) Chứng minh tứ giác IOMB hình thang vuông

2) Gọi K trung điểm OM Chứng minh tam giác IKB cân Chứng minh tứ giác AIKC có tổng góc đối 1800

73 Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ ba đường cao AD, BE CF 1) Chứng minh: Góc FEA = góc ABC

2) Chứng minh EB phân giác góc FED 74 Câu 1: Giải phương trình: x1  x5  4

74

Câu 2: Giải bất phương trình:

2

(x 1)(x 3)

x 2x

 



 

74 Câu 3: Chứng minh rằng: x2 + 4y2 + z2 + 14  2x + 12y + 4z, với x,y,z 74 Câu 4:

Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: bc ac ab a b c a  b  c    74 Câu 5:

1).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 + x + 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: N 5 x 

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A có độ dài cạnh huyền (đơn vị) Gọi AM, BN CP trung tuyến tam giác

1) Tính: AM2 + BN2 + CP2

2) Chứng minh: < AM + BN + CP <

74 Câu 7: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA CA lấy hai điểm di động M N cho BM = CN Gọi I trung điểm MN Hỏi điểm I di động đường nào?

75 Bài 1:

Cho a, b, c số hữu tỉ thoả mãn: abc =

2 2

a b c b c a

a b c

b  c a   

Chứng minh ba số a, b, c bình phương số hữu tỉ 75 Bài 2:

Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức:

2

1 y

2x

4 x

(35)

xy đạt giá trị nhỏ

75 Bài 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b + c =2 Chứng minh: 52 a2 b2 c2 2abc

27    

75 Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích 32 (đơn vị), tổng AB + BD + CD = 16 (đơn vị) Tính BD

75 Bài 5: Biết cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp Tìm độ dài cạnh tam giác nếu: 3Â + ˆB = 1800

75 Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có AB = cm, AC = cm Gọi I giao điểm đường phân giác trong, M trung điểm BC Tính số đo góc BIM

75 Bài 7: Cho BE CF hai đường phân giác tam giác ABC Gọi O giao điểm BE CF

Chứng minh tam giác ABC vuông A 2OB.OC = BE.CF

75 Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh 5cm, 6cm, 7cm Tính khoảng cách giao điểm đường phân giác trọng tâm tam giác

75 Bài 9: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N theo thứ tự di động hai cạnh AB AC cho BN = CM Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh đường phân giác góc BIC ln qua điểm cố định

75 Bài 10: Trên hai cạnh góc vng AC, BC tam giác vng ABC dựng bên ngồi tam giác hình vng ACKL BCMN Gọi R, P giao điểm BL với AN AC Gọi Q giao điểm BC AN Chứng minh diện tích tứ giác CPRQ diện tích tam giác ABR

75 Bài 11: Cho tam giác ABC, Gọi O trọng tâm tam giác M điểm thuộc cạnh BC (M không trùng với trung điểm BC) Kẻ MP MQ vng góc với AB AC, đường vng góc cắt OB, OC I K

1) Chứng minh tứ giác MIOK hình bình hành

2) Gọi R giao điểm PQ OM Chứng minh R trung điểm PQ 75 Bài 12: Tứ giác ABCD có trung điểm hai đương chéo M, N không trùng

nhau Đường thẳng MN cắt AD P cắt BC Q Chứng minh rằng: PA.QB = PD.QC

75 Bài 13: Cho tam giác ABC vng A, có góc ABC = 200 Kẻ phân giác BI vẽ góc ACH = 300 phía tam giác Tính số đo góc CIH 75 Bài 14:

Gọi AA1, BB1, CC1 đường phân giác tam giác ABC L giao

điểm AA1, B1C1 ; K giao điểm CC1 A1B1

Chứng minh rằng: BB1 phân giác góc LBK

(36)