Đề thi thử khối B và đáp án trường chuyên Quốc Học Huế năm học 2014 lần 1

Suy ra phương trình BC là x-8y+20=0 Thử lại ta thấy các điểm B, C nằm về hai phía của đường thẳng AD nên AD là đường phân giác trong tam giác ABC.[r]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUÊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN Môn: TOÁN; khối B – Năm học: 2013-2014 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số yx33x 2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)của hàm số cho

b) Gọi d đường thẳng qua A(2;4) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C)tại ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC cân O ( với O gốc toạ độ)

Câu (1,0 điểm) Giải phương trình cosx= cos2x(x R)

sin 2x cosx 

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3

2

x 2y x 4y

(x,y R)

13x 41xy 21y

   

 

   

 Câu ( 1,0 điểm) Tính giới hạn sau:

x

3

a) lim lim (x 4)sin

x

 

3

x

2x 3x

b) lim

x



  



Câu (1,0 điểm) Cho x;y;z số thực dương thay đổi cho x+y+z=2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

Fx y z 2xyz

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần ( phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD Các đỉnh B D đường thẳng d : x y 01    d : x 2y 02    Đường thẳng AC có phương trình x 7y 31 0   Tìm toạ độ đỉnh hình thoi ABCDbiết diện tích hình thoi ABCDbằng 75 điểm A có hồnh độ âm

Câu 8a(1,0 điểm) Cho a 5 log5393x 17và

3

1

log (3 1)

b 



 Tìm số thực x biết số hạng chứa a khai triển Niu-tơn (a b) 8là 224

Câu 9a(1,0 điểm) Tìm số thực m để bất phương trình 4x22x m.2x22x 1 m

   nghiệm với

 

x 0;2

B Theo chương trình Nâng Cao

Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(4:3); đường phân giác đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác có phương trình x 2y 0   4x 13y 10 0   Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC

Câu 8b (1,0 điểm) Chứng minh 1 C2 120132 C2 22013 2012 C 201320122013 C2 201320132013 2014 2  2011

Câu Đáp án Điểm

1a  Tập xác định D=R  Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

3

3

15x 9x x

(1) 29y y y

    

    

2

y '3x 3;y '0x  1 0x  1

0,25

Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1) (1;) ; nghịch biến khoảng (-1;1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 1,yCD  ; đạt cực tiếu X1,yCT  - Giới hạn:

xlim y  và xlim y  

0,25

- Bảng biến thiên

0,25

 Đồ thị

0,25

1b Đường thẳng d qua A(2;4) với hệ số góc k có phương trình ykx 2k 4 Phương trình hồnh độ giao điểm (C)và d : x33x 2 kx 2k 

2

(x 2)(x 2x k 1)

     

x

  x22x k 0(* )  

0,25

d cắt (C)tại điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác

1 (1 k) k

(* * )

9 k k

   

 

 

  

 

O,B,C không thẳng hàng O d k2(* * * )

Theo định lý Vi-ét: B C

B C

x x

x x k

       

Ta có yByC (kxB2k4) (kx C2k4)k(xBx )C

Và yByC (kxB2k4) (kx C2k4)k(xBx ) 4k 8C    6k 8 Tam giác OBC cân O OBOCxB2 xB2 xC2 yC2

B C B C C B C B B C B C

(x x )(x x ) (y y )(y y ) 2(x x ) k(x x )( 6k 8)

             

2 k( 6k 8)

      (xBx )C

2

3k 4k k

      k

3

 ( thoả mãn (**) (***))

0,25

Điều kiện: cosx x k (k Z)

sinx

        

Phương trình cho tương đương với: cosx cos2x

sinx sinx cosx cosx

0,25

2

cos x sinx cos2x sinx cos2x sin x sinx(cos2x sinx)

        0,25

cos2x sinx=0

  ( sinx0)

2

sinx

2sin x sinx 1

sinx            

 sinx x k2

2 

       (kZ) ( không thoả mãn điều kiện)

0,25  x k2 6 sinx x k2               

(kZ) ( không thoả mãn điều kiện) 0,25

3 3

2

x 2y x 4y(1) 13x 41xy 21y 9(2)

   



   



Nhân vế trái (1) với vế phải (2) vế phải (1) với vế trái (2) ta phương trình:

3 2 2

9(x 2y ) (x 4y)(13x 4xy 21y ) 22x 11x y 143xy 66y

          

0,25

(2x y)(x 2y)(x 3y) y 2x

       x2y x 3y 0,25

Thay y=2x vào (1), ta được: (1)

15x 9x x

     , lúc y=0 Thử lại x=y=0 nghiệm hệ cho

Thay x=-3y vào (1),ta được: (1) 29x3y0y , lúc x=0 Thử lại x=y=0 khơng phải nghiệm hệ cho

0,25

4

a/

x x x

3

sin sin

3 3(x 4) x x

lim (x 4)sin lim lim (1 )

3

x x x

x x

  



    0,25

Vì x 7y 0  

x

4

lim 3(1 )

x

   x

3

lim

x

  nên x

3 sin x lim x

  Suy

x

3

lim (x 4)sin

x

  

b/

3

x x

2x 3x 3x 2x

lim lim 2x

x x x

 

 

      

    

    

2

x 3

3x 2x

lim 2x

(x 2)( 2x (x 2)( (3x 5) (3x 5)



   

    

  

    

 

 

0,25

2

x 3

3 2x

lim 1

(3x 5) 2x



  

    

   

 

 

0,25

5

Gọi N, H trung điểm BC MB Suy AN trung trực BC trung trực MB đường thẳng d qua H song song vs AC

Suy O giao điểm AN d

Ta có SO(ABC)nên góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) góc SBO 60  Tam giác HAO vuông cân H nên HO HA 3AB 3a

4

  

0,25

Tam giác BHO vuông H nên BO BH2HO2 a 104 Ta có:

a 30

SO BO.tan60

4

  

Do

3

SABC ABC

1 a 30

V S SO ;

3  24

 

0,25

Vì SO(ABC)và OHABnên SHAB

Suy SH SO2 OH2 a 39

  

2

ABC

1 a 39

S AB.SH

2

 



0,25

S.ABC

ABC

3V a 130

d(C,(SAB))

S 13

 



0,25

6 Khơng tính tổng qt, giả sử z số nhỏ Lúc 0 z 1( z 1

x  y z 2)

Ta có F(x y) 2z22xy(z 1) (2 z) 2z22xy(1 z)

Mặt khác

2

x y z

xy

2

 

   

   

    nên

2

2 z

2xy(1 z) (1 z)

2 

 

      

 

Từ F 1(z3 z2 4)(1)

  

0,25

Xét f (z) 1z3 z2 4

2

   với 0 z Ta có f '(z) 1(3z2 2z) z (0;1)

2

     

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy f (z) 52(2) 57 

Từ (1) (2) ta có f (z) 52 57

 Vậy Fmin 52 57

 đạt x y z

  

0,25

1

B d B(b;8; b) Dd2 D(2d 3;d) Suy BD  ( b 2d 3;d b 8)  

I trung điểm BD nên I b 2d d b 8;

2

   

 

 

 

0,25

Theo tính chất hình thoi BD AC u BDAC 8b 13d 13 b

I AC I AC 2b 3d d



    

    

  

   

      

   

Vậy B(0;8),D( 1;1),I 9;

2

 

  

 

0,25

Ta có

2

2

15 63 15

IA 7a a a

2 2

 

   

           

     

a=6

Suy A(10;3) A(-11;6) Do xA  nên A(-11;6), từ C(10;3)

0,25

Ta có    

1

x 3 x 5

a 9 ;b 3 1

   0,25

Số hạng chứa a khai triển Niu-tơn (a b)

là:

     

3

1

5 x 3 x 5 x x 1

8

C  9   3 1  56 9 (3 1) 

    

   

   

0,25

Theo giả thiết, ta có: 56 9 x 1 7 3 x 1 112243x 1 24.3x 1  3

0,25

x

x

x

3

x

3







  

 



 

 0,25

Đặt t2x22x Vì 0x2nên t

Bất phương trình cho trở thành

2

2 t

t 2mt m m f (t)

2t 

     

 với

1

t

2  0,25

Ta có

 

2

2

2t 2t

f '(t) 0, t ;1

2 2t             

, f(t) liên tục đoạn 1;1

 

 

 nên suy

hàm số f(t) nghịch biến đoạn 1;1       0,25 Do ;1 1

m f (t), t ;1 m minf (t) m f (t) m

2  

   

 

         

  0,25

Gọi AD phân giác AM trung tuyến Toạ độ A nghiệm hệ:

x 2y x

4x 13y 10 y

               

Vậy A(9;-2) Từ phương trình AC là: x  y

0,25

Gọi C’ điểm đối xứng C qua đường phân giác AD C’ thuộc AB

Đường thẳng CC’ qua C(4;3) vng góc với AD nên có phương trình: 2x-y-5=0 0,25 Gọi H giao điểm CC’ AD H(3;1) Từ C’(2;-1)

Suy phương trình AB x 7y 0  

0,25

Đường thẳng MH qua H(3;1) song song với AB nên có phương trình x+7y-10=0 Vì M giao điểm MH AM nên M(-4;2) Suy phương trình BC x-8y+20=0 Thử lại ta thấy điểm B, C nằm hai phía đường thẳng AD nên AD đường phân giác tam giác ABC Vậy AC: x+y-7=0; AB: x+7y+5=0 BC: x-8y+20=0

0,25

8b Ta có (1 x) 2013C02013C12013x C 20132  C 20132013x2012C2013 20132013x 0,25

Lấy đạo hàm vế, ta được:

2012 2012 2011 2013 2012

2013 2013 2013 2013

2013(1 x) C 2C x 2012C  x 2013C x (1)

Nhân vế với x, ta được:

2012 2 2012 2012 2013 2013

2013 2013 2013 2013

2013x(1 x) C x 2C x  2012C x 2013C x

Lấy đạo hàm vế, ta được:

2011 2 2012 2011 2013 2012

2013 2013 2013 2013

2013(1 x) (2013x 1) C 2 C x 2012 C  x 2013 C x

0,25

Cho x=1, ta 2 2 2012 2013 2011

2013 2013 2013 2013

1 C 2 C  2012 C 2013 C 2013 2014 2  (đpcm)0,25

Ta có phương trình cho tương đương với

2

x

m 2x

   Xét hàm số f(x)=

2

x

m 2x

  

có tập xác định D=R

2012 2 2012 2012 2013 2013

2013 2013 2013 2013

2013x(1 x) C x 2C x  2012C x 2013C x

2

2 2

2(36 x ) f '(x)

2x 9(9 2x 9)( 2x 1)

 

    

0,25

3

f '(x) x 6;f (6) ;f ( 6)

4

      

x x

1

lim ; lim f (x)

2

    0,25

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Phương trình cho có nghiệm m

  m

2

   0,25