Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.. Dùng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.[r]
(1)Giải tập Toán 11 tập ôn tập chương 1: Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng
Bài (trang 34 SGK Hình học 11): Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm ảnh tam giác AOF.
a Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
b Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE c Qua phép quay tâm O góc quay 120o.
Lời giải:
Ảnh tam giác AOF:
a Qua phép tịnh tiến TAB tam giác BCO vì: AB=OC=FO
b Qua phép đối xứng trục ĐBE tam giác COD vì: • A C đối xứng qua đường thẳng BE;
• O bất biến trịn phép đối xứng trục ĐBE • F D đối xứng qua đường thẳng BE
c Qua phép quay Q(O;120o) tam giác EOD vì: Q(O;120o), biến:
(2)A(-1; 2) đường thẳng d có phương trình 3x + y + = Tìm ảnh của A d.
a Qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; 1); b Qua phép đối xứng trục Oy;
c Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ; d Qua phép quay tâm O góc 90o.
Lời giải:
Gọi A’, d’ ảnh A d qua phép biến hình a Qua phép tịnh tiến Tv
Vậy A’(1 ;3)
d’//d nên phương trình d’ có dạng: 3x + y + C = => C = -
Vậy phương trình d’ 3x + y – = b Ta thấy d qua A B (0 ; -1)
ĐOy biến A thành A’(1 ; 2), biến B thành B (0 ; -1) Vậy d’ đường thẳng A’B’ có phương trình:
c Đo biến A thành A’(1 ; -2), biến B thành B’(0 ; 1) Vậy d’ đường thẳng A’B’ có phương trình:
(3)Q(O;90o) biến N thành N’(-2 ; 0), biến A thành A’, biến M thành B(0 ;
-1)
Vậy Q(O;90o) biến hình chữ nhật ONAM thành hình chữ nhật ON’A’B
Do A’(-2 ; -1) qua A B, Q(O;90o) biến A thành A’(-2 ;-1) biến
B thành B’(1 ; 0)
Vậy Q(O;90o) biến d thành d’ qua hai điểm A’, B’
Do phương trình d’ :
Bài (trang 34 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm I(3 ; -2), bán kính 3
a Viết phương trình đường trịn
b Viết phương trình ảnh đường trịn (I ; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2 ; 1)
c Viết phương trình ảnh đường tròn (I ; 3) qua phép đối xứng trục Ox
d Viết phương trình ảnh đường trịn (I ; 3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Lời giải:
a Phương trình đường trịn : (x – 3)2 + ( y + 2)2 =
b Trong phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 1) điểm I biến thành I’ có tọa độ:
(4)c Qua phép đối xứng trục Ox, điểm I(3 ; -2) biến thành điểm I’(3 ; 2) Vậy phương trình đường trịn cần tìm là: (x – )2 + (y – )2 =
d Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ, điểm I(3 ; -2) biến thành điểm I’(-3 ;2) nên phương trình đường trịn cần tìm là:
(x + 3)2 + ( y – )2 =
Bài (trang 34 SGK Hình học 11): Cho vectơ v, đường thẳng d vng góc với Gọi d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v/2. Chứng minh phép tịnh tiến theo vectơ v kết việc thực liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng d d’. Hướng dẫn Dùng định nghĩa phép tịnh tiến phép đối xứng trục Lời giải:
(5)Bài (trang 35 SGK Hình học 11): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng Gọi I, F, J, E trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh tam giác AEO qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ phép vị tự tâm B, tỉ số 2.
Lời giải:
ĐIJ biến A thành B, E thành F; O thành O nên biến ΔAEO thành
(6)Bài (trang 35 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính Viết phương trình ảnh đường trịn (I; 2) qua phép đờng dạng có đưuọc từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép đối xứng qua trục Ox. Lời giải:
Vậy J(3; -9)
=>Phép vị tự V(0; 3) biến đường tròn (I; 2) thành đường trịn tâm J, bán kính R’ = 3R = =
=> Phép đối xứng trục ĐOx biến đường tròn (J; 6) thành đường tròn (J1; 6)
*Phương trình đường trịn (J1; 6) là: (x – )2 + (y – )2 = 36
Bài (trang 35 SGK Hình học 11): Cho hai điểm A, B đường trịn tâm O khơng có điểm chung với đường thẳng AB Qua điểm M chạy đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh rằng điểm N thuộc đường trịn xác định.
Lời giải:
MABN hình bình hành
(7)