Hình được tạo thành từ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi ta bỏ đi các điểm trong của mặt phẳng (ABCD) có phải là một hình đa diện không.. Hướng dẫn làm bài:.[r]
(1)Giải SBT Toán 12: Đề toán tổng hợp - chương Khối đa diện Bài 1.28 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Hình tạo thành từ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta bỏ điểm mặt phẳng (ABCD) có phải hình đa diện khơng?
Hướng dẫn làm bài:
Khơng phải hình đa diện, hình có cạnh (chẳng hạn AB) khơng phải cạnh chung hai đa giác
Bài 1.29 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Chứng minh đỉnh hình đa diện đỉnh chung ba cạnh
Hướng dẫn làm bài:
Lấy đỉnh B tùy ý hình đa diện (H) Gọi M1 mặt hình đa diện
(H) chứa B Gọi A, B, C ba đỉnh liên tiếp M1 Khi AB, BC hai cạnh
của (H) Gọi M2 mặt khác với M1 có chung cạnh AB với M1 Khi M2
cịn có đỉnh D cho A, B, D ba đỉnh khác liên tiếp M2
Nếu D≡C M1 M2 có hai cạnh chung AB BC, điều vơ lí Vậy D phải
khác C Do qua đỉnh B có ba cạnh BA, BC BD Bài 1.30 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông cân C Cạnh B’B = a tạo với đáy góc 600 Hình chiếu vng góc hạ từ B’ lên đáy trùng
với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ theo a
(2)Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ˆB′BG=600,B′G=a√3/2,BG=a/2
Gọi D trung điểm AC, BD=3a/4
Ta có BC2 + CD2 = BD2, BC2+BC2/4=5BC2/4=9a2/16
Suy BC2=9/20a2, S
ABC=BC2/2=9/40a2
VABC.A′B′C′=a√3/2.9a2/40=9√3/80.a3
Bài 1.31 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy ngũ giác nội tiếp đường trịn bán kính r
Hướng dẫn làm bài:
Chia đáy hình lăng trụ cho thành năm tam giác cân có chung đỉnh O tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Khi diện tích đáy 5/2r2sin720 Do thể
tích lăng trụ 5/2hr2sin720
Bài 1.32 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, mặt (SAB) (SAD) vng góc với đáy Góc mặt (SAC) đáy 600, AB = 2a, BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a
Hướng dẫn làm bài:
(3)⟹ góc((SBC),(ABCD))=ˆSBA=600
Do đó: SA=2atan600=2a√3
VS.ABCD=1/32a√3.2a.a=4√3/3.a3
Vì CD // AB nên d(AB CD) = d(AB, (SCD)) Hạ AH SD, để ý rằng⊥ CD (SAD) AH (SCD).⊥ ⇒ ⊥
Do d(AB, SC) = AH Ta có: AH.SD=SA.AD
⇒AH=SA.AD/ =2a√3.a/ =2√3/13.a
Bài 1.33 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Gọi M, N E theo thứ tự trung điểm BC, CC’ C’A’ Đường thẳng EN cắt đường thẳng AC F, đường thẳng MN cắt đường thẳng B’C’ L Đường thẳng FM kéo dài cắt AB I, đường thẳng LE kéo dài cắt A’B’ J
a) Chứng minh hình đa diện IBM.JB’L A’EJ.AFI hình chóp cụt
b) Tính thể tích khối chóp F.AIJA’
c) Chứng minh mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ cho thành hai khối đa diện tích
(4)a) Gọi S giao hai đường thẳng MN BB’ Khi S, I, J điểm chung hai mặt phẳng (MNE) (ABB’A) nên chúng thẳng hàng Do đó, ba đường thẳng BB’, MN IJ đồng quy nên hình chóp cụt Tương tự, đa diện A’EJ.AFI hình chóp cụt
b) Hai tam giác NCF NC’E có ˆC=ˆC′=900, NC=NC′,ˆCNF=ˆC′NE nên
chúng Do đó, CF=C′E=a/2
Tương tự, C′L=CM=a/2 Từ suy tam giác MCF cân C
Ngoài ta cịn có: ˆCMF=ˆBMI=300 ˆIBM=600 nên ˆMIB=900,
IB=BM/2=a/4 IM=√3/2BM=√3/4.a
Vì FI AB,FI AA' nên FI (AIJA′) Ta có diện tích hình thang vng AA’JI⊥ ⊥ ⊥ 1/2(3a/4+a/4)b=ab/2
Gọi K trung điểm MF tam giác MCF cân C nên CK MF Từ đó⊥ suy hai tam giác vng CMK BMI
Do MF = MK = MI Từ suy FI=3√3/4.a Vậy VF.AIJA′=1/3(ab/2)3√3/4/a=√3/8a2b
c) Tương tự câu b) ta có C′L=CM=a/2, LJ A′B′ LJ=3√3/4a⊥
Giả sử mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ cho thành hai khối đa diện (H) (H’), (H’) khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) khối đa diện chứa đỉnh B’
Ta thấy V(H′)=VIBM.JB′L−VN.EC′L,V(H)=VJA′E.IAF−VN.FCM
Vì ΔIBM=ΔJA′E, ΔJB′L=ΔIAF, BB′=AA′ nên VIBM.JB′L=VJA′E.IAF
Ngồi hai hình chóp N.EC’L N.FCM có đường cao có đáy tam giác nên chúng tích
Từ suy V(H) = V(H’)
Bài 1.34 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho hai đoạn thẳng AB CD chéo nhau, AC đường vng góc chung chúng Biết AC = h, AB = a, CD = b góc hai đường thẳng AB CD 600 Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD.
(5)Dựng BE song song DC, DF song song BA Khi đó, ABE.FDC lăng trụ đứng
Ta có: SABE=1/2ab.sin600=ab√3/4
VC.ABE=1/3.√3/4ab.h=√3/12abh
Từ suy VA.BCD=VA.BCE=√3/12abh
Bài 1.35 trang 22 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho tứ diện ABCD Gọi (H) hình bát diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện Tính tỉ số V(H)/VABCD
Hướng dẫn làm
Gọi cạnh tứ diện ABCD a cạnh hình bát diện (H) a/2 Khi VABCD=a3/√2/12,V(H)=1/3(a/2)3√2=a3√2/24
Từ suy V(H)/VABCD=1/2
Bài 1.36 trang 23 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M trung điểm BB’ Tính theo a:
a) Khoảng cách AC DC’
b) Độ dài đoạn vng góc chung CM AB’
Hướng dẫn làm bài
(6)Gọi d(AC, DC’) = h
Ta có C’A’ // CA , đó:
d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h
Ta có: VA′.CDC′=1/3.a2/2a=a3/6
Để ý tam giác A’C’D tam giác cạnh a√2
Do đó: SA′C′D=a2√3/2
VC.A′C′D=1/3SA′C′D.h=1/3.a2√3/2.h=VA′.CDC′=a3/6
(7)Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’, cắt DD’ N A’D’ kéo dài J Đặt h1 = d(MC’, AB’) = d(M, (AB’N))
Ta có: VM.AB′N=VN.AB′M=1/3.a2/4/a=a3/12
Để ý N trung điểm DD’, A’J = 2A’D’ JA = JB’
Gọi I trung điểm AB’, JI AB′⊥
Ta có: = a√5;AI=a√2/2
Suy ra: IJ= = 3a/√2
SJAB′=1/2.3a/√2a√2=3a2/2
Do đó: SAB′N=1/2SJAB′=3a2/4
VM.AB′N=1/3.3a2/4.h1=a2h1/4=a3/12
Suy ra: h1=a/3
Chú ý: Có thể tính thể tích SAB’N cách khác
Để ý rằng:
AN=a√5/2,AB′=a√2
(8)Hay 9a2/4=5a2/4+2a2−2.a√5/2.a√2cosα
⇒cosα=1/√10 sinα=3/√10⇒
Do đó: SAB′N=1/2AB′.AN.sinα=1/2a√2.a√5/2.3/√10=3a2/4
Bài 1.37 trang 23 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho tứ diện ABCD Gọi hA , hB, hC, hD đường cao tứ diện xuất phát từ A, B, C, D r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng:
1/hA+1/hB+1/hC+1/hD=1/r
Hướng dẫn làm bài:
Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V thể tích tứ diện Ta có
V=VIBCD+VICDA+VIDAB+VIABC
⇒I=VIBCD/V+VICDA/V+VIDAB/V+VIABC/V
=r(1/hA+1/hB+1/hC+1/hD)
⇒1/r=1/hA+1/hB+1/hC+1/hD