[r]
(1)Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách đều. Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99
Nhận xét: Nếu học sinh có sáng tạo sÏ thÊy tæng: + + + +
98 + 99 cã thĨ tÝnh hoµn toàn tơng tự nh 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau:
B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, B = + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi
cặp có số hạng đợc 49 cặp d số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng d bao nhiêu?), đến học sinh bị vớng mắc
Ta cã thĨ tÝnh tỉng B theo c¸ch kh¸c nh sau:
C¸ch 2:
B = + + + + 97 + 98 + 99 +
B = 99 + 98 + + + +
2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100
2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999
Lêi gi¶i:
Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng trờn cú 500 s l.
áp dụng trªn ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thÊy:
1 = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 -
999 = 2.500 -
Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống dới ta xác định đợc số số hạng dãy số C 500 s hng
áp dụng cách trªn ta cã:
C = + + + 997 + 999 +
C = 999 + 997 + + +
2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000
2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm của
bài tập để tìm số số hạng tổng D nh sau: Ta thấy:
(2)998 = 2.498 +2
998 10
495
2
Tơng tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: hay
sè c¸c sè hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm 1
Khi ú ta có:
D = 10 + 12 + + 996 + 998 +
D = 998 + 996 + + 12 + 10
2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008
2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 (998 10)495
2
D
Thùc chÊt
Qua ví dụ , ta rút cách tổng quát nh sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d,
1 1 n
u u n
d
Khi số số hạng dãy (*) là: (1)
( )
2 n n
n u u
S
Tổng số hạng dÃy (*) (2)
Đặc biệt từ công thức (1) ta tính đợc số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d
( 1)
n n
Hoặc u1 = d = S1 = + + + + n Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10
Lêi gi¶i
Ta đa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có:
(1011 9899).98
9910
100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 +
1112 + 1213 + + 9899) + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05
(9899 1011)
1 98 101
(Ghi chó: V× số số hạng dÃy )
Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Lời giải
Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
( 4006)
.2004 ( 2003).2004
a a
a
S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = Khi ta
cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004
VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010
(3)(4)Dạng 2: Dãy số mà số hạng không cách đều. Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Lêi gi¶i
Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó:
Gäi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
………
an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
1.2 2.3 n n( 1)
( 1)( 2)
n n n
= n(n + 1)(n + 2) A =
C¸ch 2: Ta cã
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) -
( 1)( 2)
n n n
- (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = * Tỉng qu¸t ho¸ ta cã:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức nh sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)
Lêi gi¶i
áp dụng tính kế thừa ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
( 1) ( 1)( 2)
n n n n
B =
Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Lêi gi¶i
Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) ……
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
(5)= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) =
3(2 2)
n n
( 1)( 2) 3(2 2)
3
n n n n n
( 1)( 5)
3
n n n
= n(n + 1)(n + 2) +C= =
Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + + n2
Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, bài
ny l tớch ca hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +
+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 )
+ (1 + + + + n) Mặt khác theo bµi tËp ta cã:
( 1)( 2)
n n n ( 1)
n n
( 1)( 2)
n n n ( 1)
n n ( 1)(2 1)
n n n
A = vµ + + + … + n = 12 + 22 + 32 + … + n2 = =- =
Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + … + n3
Lời giải
Tơng tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đa tổng B tæng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)
+ … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) =
= (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - ( 1)
2
n n
- (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - ( 1)
2
n n ( 1) ( 1)( 2)
n n n n
(13 + 23 + 33 + … + n3) = B + Mà ta biết B = E = 13 + 23 + 33 + … + n3 =
( 1) ( 1)( 2)
n n n n ( 1)
n n ( 1)
2
n n
= + =
C¸ch 2: Ta cã:
A1 = 13 = 12
A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2
A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2
Gi¶ sư cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chøng minh:
Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) ( 1)
2
k k
Thật vậy, ta biết: + + + … + k = ( 1)
2
k k
Ak = []2 (1') Céng vµo hai vÕ cđa (1') víi (k + 1)3 ta cã: ( 1)
2
k k
( 1)
k k
(6)2
( 1)( 2)
k k
= Vậy tổng với Ak+1, tức ta ln có:
Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 =
2
( 1)( 2)
k k
= Vậy ta có:
2
( 1)
n n
E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 =
Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp To¸n häc.
- Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) nhng giải đợc phạm vi cấp THCS
Bài (Trang 23 SGK Toán tập 1)
Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh đợc tổng
S = 22 + 42 + 62 + … + 202
Lêi gi¶i
Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 =
= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32
+ … + 102) = 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S thì
ta tính đợc P ngợc lại Tổng quát hóa ta có:
( 1)(2 1)
n n n
P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = (theo kÕt trên)
Khi ú S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 đợc tính tơng tự nh trên, ta có:
S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = ( 1)(2 1)
6
n n n ( 1)(2 1)
n n n
= =
( 1)
n n
2 2
2
( 1) ( 1)
8 ( 1)
2
n n n n
n n
Cßn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = Ta
tÝnh S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13
+ 23 + 33 + … + n3) lóc nµy S = 8P, VËy ta cã: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = áp dụng kết trên, ta có tập sau:
Bµi a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2
b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3
Lêi gi¶i
a)Theo kết trên, ta có: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)
6
n n n n n n
= Mµ ta thÊy:
(7)(2 1)(4 1)
n n n ( 1)(2 1)
n n n (22 1)
n n
= - =
b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3
- 23 + 43 + 63 ++ (2n)3 áp dụng kết tập trªn ta cã:
13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2.
VËy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3= n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 =
= 2n4 - n2
Ngày dạy: 20/9/2009
(8)Một số tập dạng khác Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + … + 263
Lời giải Cách 1:
Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2)
Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã:
2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263)
= 264 - Hay S
1 = 264 - C¸ch 2:
Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = + 2S
1 - 264 S1 = 264 -
Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lời giải:
Cách 1: áp dụng cách làm 1:
Ta cú: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta đợc:
3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)
2001
3
2
Hay: 2S = 32001 - S =
Cách 2: Tơng tự nh cách trên:
Ta cã: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001
2001
3
2
2S = 32001 - S =
*) Tỉng qu¸t ho¸ ta cã:
Sn = + q + q2 + q3 + … + qn (1)
Khi ta có:
C¸ch 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2)
1 1
1 n q
q
Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = qn+1 - S = C¸ch 2: Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(S
n - qn) = + qSn - qn+1 qS
n - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 -
1 1
1 n q
q
S =
Bµi Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 H·y so s¸nh A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25
(V× 26 = 2.25) VËy râ rµng ta thÊy B > A
(9)A = + + 22 + 23 + … + 29 (1)
2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2)
Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã:
2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29)
= 210 - hay A = 210 - 1
Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28
VËy B > A
* Ta tìm đợc giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh đợc A với B mà khơng gặp khó khăn
Bµi Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1)
Ta cã: 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2)
Trừ vế (2) cho (1) ta đợc:
5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) +
+ 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100
100
6
5
6100
499.6100
S' = thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6100 - - =
100
499.6 25
S =
Bµi Ngêi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải
Ta thy: T đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, nh chữ số thứ 673 phải nằm dãy số có chữ số Vậy ta xét tiếp:
Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số
Nh từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261
Mét sè bµi tËp tù gi¶i:
TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2
TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4
TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001
TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801
TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n!
Cho d·y sè: 1; 2; 3; … Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào?
(10)thể loại toán phân số:
1 1
1.2 2.3 3.4 (n1).nBài Tính giá trị biểu thøc A =
Lêi gi¶i
1 1 1
1 2 n n
Ta cã: A = sau bá dÊu ngc ta cã:
1
1 n
n n
A =
1
( )
m
b b m b b m Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng và
đúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: (Hiệu hai thừa số mẫu giá trị tử phân số ln viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng cịn số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản
4 4
3.7 7.11 11.15 95.99Bài Tính giá trị biểu thøc B =
4 4
3.7 7.11 11.15 95.99
B = vận dụng cách làm cđa phÇn nhËn xÐt, ta
có: - = (đúng tử) nên ta có:
1 1 1 1
3 7 11 11 15 95 99
1 32
3 99 99 B = =
2 2
7 7
2.9 9.16 16.23 65.72Bµi Tính giá trị biểu thức C =
7 1
2.9 2 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 ë tử nên ta áp dụng cách làm
của (ở tử chứa 72), giữ ngun phân số ta khơng thể
tách đợc thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đợc Mặt khác ta thấy: , để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản
Vậy ta biến đổi:
7 7
7
2.9 9.16 16.23 65.72
1 1 1 1
7
2 9 16 16 23 65 72
C = = =
1 35 29
7
2 72 72 72
(11)3 3
1.3 3.5 5.7 49.51Bµi Tính giá trị biểu thức D = Lêi gi¶i
Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đa đa vào thay
2 3 3
2 1.3 3.5 5.7 49.51
3 2 2
2 1.3 3.5 5.7 49.51
Ta cã: D = =
3 1 1 1 1
2 3 5 49 51
3 1 50 25 51 51 17
= =
1 1 1
7 91 247 475 775 1147 Bài Tính giá trị biĨu thøc E = Lêi gi¶i
Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37
Tơng tự tập ta có:
1 6 6 6
6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37
1 1 1 1 1 1 1
6 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37
1 1 36
1
6 37 37 37
E = =
==
Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003)
2 2
60.63 63.66 117.120 2003 So s¸nh: A = vµ
5 5
40.44 44.48 76.80 2003 B = Lêi gi¶i
2 3
3 60.63 63.66 117.120 2003
Lại áp dụng cách làm ta cã: A= =
2 1 1 1
3 60 63 63 66 117 200 2003
2 1 2
3 60 120 2003 120 2003
== =
1
180 2003 =
Tơng tự cách làm ta có:
5 1 5 5
4 40 80 2003 80 2003 64 2003
B =
1 2 4
2
180 2003 180 2003 90 2003
(12)B > 2A hiển nhiên B > A
Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986)
So s¸nh hai biĨu thøc A vµ B:
1 1
124
1.1985 2.1986 3.1987 16.2000
A =
1 1
1.17 2.18 3.19 1984.2000 B =
Lêi gi¶i
124 1 1 1
1984 1985 1986 1987 16 2000
Ta cã: A = =
1 1 1
16 16 1985 1986 2000
=
1 1 1
16 17 18 1984 2000
1 1 1
16 1984 17 18 2000
Cßn
B = = =
1 1 1 1 1 1
16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000
=
1 1 1
1
16 16 1985 1986 2000
=
VËy A = B
(13)thĨ lo¹i toán phân số (tiếp)
2
2
1 1 1
5 13 25 n n1 2
Bµi Chøng tá r»ng: víi mäi n N Lêi giải
Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy:
1 2
; ;
52.4 134.6 256.8 2 ( 1)
n n
2
2 (2n n 1) ta phải so sánh: với:
2
1 ( 1)
n n 2
1
( 1) 2
n n n n
2 1
2 (2n n2) n n(2 2) 2n 2n ThËt vËy:= cßn
2
1 ( 1)
n n
2
2 (2n n 1) n Nnªn hiĨn nhiªn <
2
2
1 1 2 2
5 13 25 n n1 2.4 4.6 6.8 2 (2n n2)
VËy ta cã:
2 1 1 1 1
; ;
2.4 2 4.6 4 6.8 6 (2n n2)2n 2n2 Mà: nên:
2 2 1 1 1 1
2.4 4.6 6.8 2 (2n n2) 2 4 6 8 2n 2n2
1 1
2 2 n22 =
hiển nhiên với số tự nhiên n
2
1 1 1 1 1 1
5 13 25 n (n1) 2 4 6 8 2n 2n2 VËy: hay
2
1 1 1
5 13 25 n (n1) 2
2
2
3
(1.2) (2.3) ( 1)
n n n
Bµi TÝnh giá trị biểu thức M = Lời giải
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 (n1) n n (n1) Ta cã ngay: M =
2
2
1 ( 1)
1
( 1) ( 1)
n n n 2
2 2
( 1)( 1) 1 ( 2)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n n n n
n n n n
= =
1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n( 1)(n2)Bµi 10 TÝnh giá trị biểu thức N = Lời giải
1 2 2
2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n.( 1)(n 2)
Ta cã: N =
1 1 1 1 1
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n n.( 1) (n 1)(n 2)
=
1 1
2 (n 1)(n 2)
(14)1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 (n1) (n n1)(n2)Bµi 11 Tính giá trị biểu thức: H = Lời gi¶i
1 3
3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1) .(n n 1).(n 2)
Ta cã: H =
1 1 1 1
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 1) .(n n 1) n n.( 1).(n 2)
=
1 1
3 n n( 1)(n 2)
=
12 12 12 12
1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.602Bµi 12 Chøng minh r»ng P = Lêi gi¶i
6 6
2
1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60
Ta cã: P =
1 1 1 1
2
1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60
= =
1 854 427 427
2
4 57.60 3420 855 854
1
2 = VËy P <
2 2
1 1
1
2 100
Bµi 13 Chøng minh r»ng S = Lêi gi¶i
2 2
1 1 1 1
; ;
2 1.2 2.3 3.4 100 99.100 Ta thấy: áp dụng cách làm tập trên
ta có:
1 1 1
1 1
1.2 2.3 3.4 99.100 100
S < hay S <
1 1
1.2 3.4 2005.2006 A =
Bài 14 Đặt
1 1
1004.2006 1005.2006 2006.1004
B = A
B Z Chøng minh r»ng
Lêi gi¶i
áp dụng trên, ta có:
1 1
1.2 3.4 2005.2006
A = 1 1 1
2 2005 2006
= =
1 1 1 1
1
3 2005 2006
= =
1 1
1
2 2006
1 1
2
2 2006
= - =
1 1
1
2 2006
1 1
1
2 1003
1 1
(15)
2 1
3010 1004 1005 2006
3010
1505
A
Z B
Cßn B=
Nh vậy, phần ta giải đợc lợng lớn tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung khơng đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hớng sau: - Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn đợc biểu thức tính đợc giá trị
(16)Một số toán khác * N 1 ( 1) ! n n n n a n
Bµi Víi n , kÝ hiƯu
H·y tÝnh tỉng a1 + a2 + a3 + … + a2007 Lêi gi¶i * n N 1 ( 1) ! n n n n a n
2 1 1
( 1) ( 1)
! ! ( 1) !
n n n n n n
n n n n
Ta thÊy: th×: =
2 3 2006 2007
1! 2! 2! 3! 2005! 2006!
Do đó: a
1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 +
-2006 2007 2007 2007
3
2005! 2006! 1! 2006! 2006!
-
0 1991
1 1992
2 2 2 2 Bµi XÐt biĨu thøc: S = Chøng minh r»ng S < 4 Lêi gi¶i
0 1 1990 2 990 1990
2 4 1992 1991
2 2 2 2 2 2
Ta cã: 2S = =
0 1990 1991 1991 1990
1 1991 1992 1992 1
3
2 2 2 2 2
= =
1989
1990
1991 1991
1
1 1992 1992 1
3
1
2 2 1 2 2
2 S S = 1990 1991 1992 2
S = - hay S < 4 Bài Ta viết lần lợt phân số sau:
1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 3
1990
1930 Sốđứng vị trí phân số trên? Lời giải
Sè thø nhÊt cđa d·y sè cã tỉng cđa tư sè vµ mÉu sè b»ng 2, hai sè tiÕp theo cã tỉng cđa tư sè vµ mÉu sè b»ng 3, ba sè tiÕp theo cã tỉng cđa tư vµ mÉu sè b»ng 4…
1990
1930 Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số 2,
cách phân số đến mẫu số 3, … phân số đứng vị trí thứ 1930 nhóm số có tổng tử mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số số đứng trớc nhóm + + + … + 3918 = 1959.3919 Vì nhóm có tổng tử mẫu số 3920 gồm 3919 số nên nhóm đứng trớc nhóm gồm 3918 số
1990
1930 Vậy số đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 Bài tập tự giải
1 1
(17)
2 2
5 5
1.6 6.11 11.16 26.31 TÝnh: B =
1 1 1
1
2 1990 996 1990
Chøng minh r»ng:
1
2! 3! 4! !
n n
TÝnh: C =
2! 2! 2! 2!
3! 4! 5! n! Chøng tá r»ng: D = < 1
1 1 1
1
2 199 200
Cho biÓu thøc P =
1 1
101 102 200 a) Chøng minh r»ng: P =
b) Gải toán trờng hợp tổng quát
( 0, 1)
n Z n n
1 1
1.2 2.3 3.4 n n( 1) Chứng minh rằng: Q = không
phải số nguyên
2 2
1 1 1
2 4 6 200 2 Chøng minh r»ng: S =