CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH HPT

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM a Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + bx + c = (*) x ẩn; a, b, c hệ số cho trước với ( a  0) Cách giải: x = + Nếu c = , ta có phương trình: ax + bx =  x ( ax + b ) =   x = − b a  + Nếu b = , ta có phương trình: ax + c =  x = − Khi − c c  x =  − a a Khi − c  phương trình vơ nghiệm a c a x =  + Nếu b  0; c  , biến đổi phương trình dạng: a ( x −  )( x −  ) =   x =  b Công thức nghiệm phương trình bậc hai Để giải phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a  0) * Biệt thức Delta:  = b2 − 4ac - Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b +  −b −  ; x2 = 2a 2a - Nếu  = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b ; 2a * Lưu ý: a.c  (a, c trái dấu) phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu c Cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a  0) b = 2b Tính biệt thức:  = b2 − ac Nếu   phương trình có nghiệm phân biệt x1 = −b +   −b −  ; x2 = a a Nếu  = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b a Nếu   phương trình vơ nghiệm d Hệ thức Viet ứng dụng + Định lý Viet: x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: ax + bx + c = ( a  0) tổng tích b   S = x1 + x2 = − a hai nghiệm là:  P = x x = c  a + Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X − SX + P = (Điều kiện để có hai số là: S − P  ) e Cách nhẩm nghiệm phương trình: + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = , x2 = c a c + Nếu a − b + c = phương trình có nghiệm x1 = −1 , x2 = − a + Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n ; x1 x2 = mn phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n f Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a  0) a  a = b = Phương trình vơ nghiệm      c  a  Phương trình có nghiệm kép    = a  Phương trình có nghiệm phân biệt     Phương trình có nghiệm dấu  a.c  a   Phương trình có nghiệm dấu     P   a     Phương trình có nghiệm dương   P   S  a     Phương trình có nghiệm phân biệt dương   P   S  a     Phương trình có nghiệm âm   P   S  a     Phương trình có nghiệm phân biệt dương   P   S  a     10 Phương trình có nghiệm đối   P   S = a   11 Phương trình có nghiệm phân biệt thỏa x1    x2    a f   ( )  a     12 Phương trình có nghiệm phân biệt thỏa   x1  x2  a f ( )   S   a     13 Phương trình có nghiệm phân biệt thoả x1  x2    a f ( )   S   g Các biểu thức thường gặp việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số (   0) : • x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − p • ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − p 2 • x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3Sp • x14 + x2 = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = ( S − p ) − p 2 • 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 p x1 x2 x12 + x22 S − p • + = = x2 x1 x1 x2 p Đây số biểu thức nhất, thường xuất tốn phương trình bậc hai có thức tham số, nằm cấu trúc đề thi vào 10 Do đó, em cần nắm vững kiến thức này, để vận dụng thục, giúp biến đổi loại biểu thức khác để giải toán cách đơn giản CÁC DẠNG TOÁN Dạng Phương trình bậc hai khơng có tham số Phương trình bậc hai ax + c =  x = − ( a  0) dạng khuyết hạng tử bậc ( b = 0) , ta có phương trình: c a Khi − c c  x =  − a a Khi − c  phương trình vơ nghiệm a Phương trình bậc hai dạng khuyết hạng tử tự ( c = 0) , ta có phương trình: x = ax + bx =  x ( ax + b ) =   x = − b a  Phương trình bậc hai có đầy đủ hạng tử ( b  0; c  0) : x =  Ta biến đổi phương trình dạng: a ( x −  )( x −  ) =   x =  Ví dụ minh hoạ 1: Chỉ hệ số a, b, c phương trình, sau giải phương trình: a 3x + x = b x − 16 = Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x + x = , có hệ số a = 3; b = c = x = x = 3x + x =  x ( 3x + ) =    x = − x + =   Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = ; x = − b Phương trình x − 16 = , có hệ số a = 1; b = c = −16 x2 − 16 =  x = 4 Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = −4 ; x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Đưa phương trình sau dạng ax + bx + c = ( a  0) Rồi hệ số a, b, c? x − x − = 3x + a 3x2 + 3x + = 5x + b c − x + x − = x + d x2 − 3( k − 2) x − = − k Bài 2: Giải phương trình sau: a x − 5x = b x − 32 = c 3x + = d x + x = Bài 3: Đưa phương trình sau cách chuyển dạng f ( x ) = m với m số: a x − 10 x + = b x2 + x − = c x2 + x + = d x2 − x + = Hướng dẫn giải: Bài 1: Đưa phương trình sau dạng ax + bx + c = ( a  0) Rồi hệ số a, b, c? a Phương trình 3x2 + 3x + = 5x +  3x2 − x + = có hệ số a = ; b = −2 ; c = b Phương trình 3 10 10 x − x − = 3x +  x − x − = có hệ số a = ; b = −7 ; c = − 4 3 ( ) c Phương trình − x + x − = x +  − x + − x − = có hệ số a = − ; b = − ; c = −4 d Phương trình x2 − 3( k − 2) x − = − k  x2 − 3( k − 2) x + k − = có hệ số a = 1; b = k − ; c = k2 −9 Bài 2: Giải phương trình sau: x = a Phương trình x − 5x =  x ( x − 5) =   x = Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = x = b Phương trình x − 32 =  x ( x − 16 ) =    x = 16 Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = 16 c Phương trình 3x + =  3x = −4 VT = 3x2  với x, VP = −4  Do đó, phương trình 3x = −4 vơ nghiệm d Phương trình x + x =  x ( x = 2x +1 =   x = −  ) Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = − Bài 3: Giải phương trình sau cách chuyển dạng: f ( x ) = m với m số: a Phương trình x2 − 10 x + =  x − 10 x + 25 − 16 =  x2 − 10 x + 25 = 16  ( x − 5) = 16  ( x − 5) = 42 2 �ơng pháp giải ax + by = c  ax + by = c Cách 1: Tìm ( x; y ) theo m, tìm điều kiện m Cách 2: + Hệ có nghiệm  + Hệ vơ nghiệm  a b  a b a b c =  a b c + Hệ có vơ số nghiệm  a b c = = a b c  Bài tập mẫu  x − my = Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm mx + y = Giải chi tiết x =  Với m = hệ   , hệ có nghiệm y =  Với m  Hệ có nghiệm  −m   −m2   m2  −2 (luôn đúng) m Vậy phương trình ln có nghiệm với m * Khi lập tỉ số a b  a  b có tham số m ta phải xét thêm trường hợp a = b = a  b mx − y = 2m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình  Tìm điều kiện m để phương trình có −2 x + y = m + nghiệm tìm nghiệm Giải chi tiết mx − y = 2m (1) Hệ  −2 x + y = m + (2) Hệ có nghiệm  m −2   m  −2 Từ phương trình (2) ta có: y = x + m + Thay vào phương trình (1) ta được: mx − ( x + m + 1) = 2m  ( m − ) x = 4m +  x = 4m + , ( m  4) m−4 m + 5m  4m +   y =   + m +1 = m−4  m−4   4m + m2 + 5m  Vậy với m  hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;   m−4 m−4  3x − y = 2m + Ví dụ 3: Cho hệ phương trình  (m tham số)  x + y = 3m + a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x + y = Giải chi tiết a) Với m = , ta có hệ: 3x − y = 6 x − y = 14 7 x = 21 x =     x + y = x + y = 3x − y = y = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm ( 3; ) b) Vì −1  nên hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y )  3x − y = 2m + 6 x − y = 4m + 7 x = m + x = m +1      x + y = 3m +  x + y = 3m + 3x − y = 2m +   y = ( m + 1) − 2m − = m Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( m +1; m) Theo đề bài, ta có: x + y = m =  ( m + 1) + m2 =  2m2 + 2m − =  ( m − 1)( m + ) =   m = −2 Vậy m = m = −2 phương trình có nghiệm thỏa mãn đề  x + ay = 3a Ví dụ 4: Cho hệ phương trình  (I) (a tham số) −ax + y = − a a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn 2y số nguyên x +3 (Đề thi vào lớp 10 mơn Tốn tỉnh Lào Cao năm 2018 – 2019) Giải chi tiết x + y = 2 y = y = a) Với a = , ta có hệ:    − x + y =  x = − y x = Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm (1;2) x = b) Với a = hệ   , hệ có nghiệm y = Với a  Hệ có nghiệm  a   −a   a  −1 (luôn đúng) −a Hệ phương trình ln có nghiệm với a  x = 3a − ay  x + ay = 3a y =  x = 3a − ay        2 2 −a ( 3a − ay ) + y = − a x = a −ax + y = − a ( a + 1) y = 2a + (Vì a +  nên rút gọn ta có y = ) Hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y ) = ( a;2) Xét: A = 2y = x +3 a +3 Ta có: a +  3, a  Mà theo đề để A 4  , a   A  a +3 3 a = A =  a + =  a =   a = −1 Vậy a = a = −1 thỏa mãn đề Lưu ý: Đối với tốn tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên ta tìm khoảng giá trị biểu thức A, tìm giá trị nguyên A khoảng thay vào tìm a Phân biệt với tốn tìm a số nguyên để A nhận giá trị nguyên có a +  Ư (4) mx − y = − m Ví dụ 5: Cho hệ phương trình  (m tham số) Tìm m để hệ phương trình có  x − my = 2m nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải chi tiết  y = −3 Với m = , ta có hệ:  Hệ có nghiệm x = Với m  , hệ phương trình có nghiệm  m −1   m2   m  1 −m Vậy với m  1 hệ phương trình có nghiệm m  x = − y = mx + m −   y = mx + m − mx − y = − m   m +1     2  x − m ( mx + m − 3) = 2m  x − my = 2m (1 − m ) x = m − m  y = −m + m −  m +1 m    x = − m +  x = −1 + m +    y = −2 m −  y = −2 −   m +1 m +1 Cộng hai vế hai phương trình ta khử tham số m Hệ thức cần tìm x + y = −3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải hệ phương trình sau: x + y = 1)  2 x + y = 13 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm 2018 – 2019) 9 x + y = 11 2)  5 x + y = (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Dương năm 2018 – 2019) Câu 2: Giải hệ phương trình sau:   x + y −1 = 1)   4 x − y − = (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018)  3x + y + = 11 2)   5 x − y + = 13 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018) x = Câu 3: Cho hệ phương trình  (m tham số) Tìm m để x + y nhỏ mx + y = m +  (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lào Cai năm 2017 – 2018) Gợi ý giải Câu 1: 1) Nghiệm hệ phương trình ( 4;1) 2) Nghiệm hệ phương trình (1;2) Câu 2: 1) Điều kiện: x  0; y  Đặt a = x ; b = y −1 ( a  0; b  0) a + 2b = a = x = Ta có hệ:  (thỏa mãn điều kiện)   4a − b = b =  y = 2) Điều kiện: y  −6 Đặt b = y + ( b  0) 3x + b = 11  x =  x = Ta có hệ:  (thỏa mãn điều kiện)   5x − b = 13 b =  y = −2 Nghiệm hệ phương trình là: (3; −2) Câu 3: x = x = x =      2 mx + y = m + 2m + y = m +  y = m − 2m + Hệ phương trình có nghiệm với m Ta có: A = x + y = m2 − 2m + = ( m − 1) +  A  4, m Giá trị nhỏ x + y đạt m = CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hệ phương trình khơng thay đổi  f ( x, y ) = Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng  ,  g ( x, y ) = Bước 1: Đặt S = x + y; P = xy Điều kiện: S  4P  f ( x, y ) = f ( y, x )   g ( x, y ) = g ( y, x ) ...x + y đạt m = CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổ... mn phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n f Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a  0) a  a = b = Phương trình vơ nghiệm      c  a  Phương trình có nghiệm kép    = a  Phương. ..y nghiệm phương trình bậc hai X =1 X − X + =  ( X − 1)( X − 3) =   X = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;9) , (9;1) Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải Hệ phương trìn