340 CauTN ON HKI TOAN 12 HDG

ĐỀ CƯƠNG ƠN THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN 12 PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu [2D1-1] Hàm số y = x − x + có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn B y = x − x + TXĐ: D = ¡ x =  x2 =  y′ = x − x = ⇔  ⇔  x = x=±   5 Ta thấy x = nghiệm kép, x = ± hai nghiệm đơn Do đó, hàm số có điểm cực trị x = ± Câu [2D1-1] Hàm số sau có cực trị? x−2 −x + A y = B y = x+2 x+2 C y = Lời giải x−2 − x2 − x2 + 2x −1 D y = x+2 Chọn C ax + b đơn điệu khoảng xác định hàm số cx + d ⇒ Loại đáp án A vàB x − ⇒ y′ = −5 x + x − 4± = ⇔ −5 x + x − = x = Xét hàm số: y = −x − ( − x − 2) x−2 ⇒ Hàm số y = có điểm cực trị −x − Câu [2D1-1] Cho hàm số y = 3x − x Khẳng định sau ĐÚNG? A Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) B Hàm số nghịch biến ( 0;1) Hàm số dạng y = C A ( 1; −1) điểm cực tiểu hàm số Chọn C y = 3x − x TXĐ: D = ¡ x = y ′ = 12 x − 12 x = ⇔  x = BBT: D Hàm số có điểm cực trị Lời giải Dựa vào BBT ta có: đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A ( 1; −1) Câu [2D1-1] Cho hàm số y = x + Phát biểu sau ĐÚNG? x +1 A Hàm số nghịch biến ( −3;1) B Hàm số khơng có cực trị C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −3) ( 1; +∞ ) Lời giải Chọn D TXĐ: D = ¡ \ { −1} ( x + 1) − ⇔  x = −3 y′ = − =0 = x = ( x + 1) ( x + 1)  Bảng biến thiên: Dựa vào BBT suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −3) ( 1; +∞ ) Câu [2D1-1] Hàm số sau đồng biến ¡ : A y = x + x − B y = x + x − x C y = sin x + x − Lời giải Chọn C Các hàm số dạng y = ax + bx + c y = ax + b không đồng biến ¡ cx + d ⇒ Loại A,C Xét hàm số y = sin x + x − TXĐ: D = ¡ \ { −1} y ′ = cos x + > , ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số y = sin x + x − đồng biến ¡  −1  x2 + x + Câu [2D1-1] GTLN hàm số y =  ;  2  x +1 D y = 2x x +1 A 10 C −2 B D 11 Lời giải Chọn A x2 + 2x + ⇒ y′ = − = x +1+ ( x + 1) x +1 x +1  x = −2 Cho y ′ = ⇔   x=0 Bảng biến thiên: Ta có y = Dựa vào bảng biến thiên suy GTLN hàm số 10 x2 + x + có đường tiệm cận? x − 3x + B C Lời giải Câu [2D1-1] Đồ thị hàm số y = A D Chọn B Áp dụng định nghĩa đường tiệm cận, ta tính giới hạn: x2 + x + lim = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x →±∞ x − x + x2 + x + x2 + x + lim+ = +∞ , lim− = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x →2 x − x + x →2 x − 3x + x2 + x + x2 + x + lim− = +∞ , lim+ = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x →1 x − x + x →1 x − x + Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ax − a Câu [2D1-1] Biết đồ thị ( C ) : y = có hai đường tiệm cận cắt I ( −1; ) Khi tỉ số bx + b A B C −2 D −1 Lời giải Chọn B Ta có hàm số phân thức bậc có tiệm cận ngang y = đường tiệm cận I ( −1; ) nên ta có y = a = b − x3 11 + x + x − , cặp điểm đối xứng qua trục Oy ? 3 −16   −16   B ( 3; −3) , ( −3; −3) C ( 3;3) , ( −3;3) D  3; ÷,  −3; ÷     Câu [2D1-1] Trên đồ thị hàm số y =  16   16  A  3; ÷ ,  −3; ÷ 3  3  a , mà theo giả thiết, từ tọa độ giao điểm hai b Lời giải Chọn A Để điểm đối xứng qua trục Oy hoành độ chúng đối nhau, tung độ chúng Thay giá trị x = x = −3 vào hàm số để tìm tung độ điểm nằm đồ thị, ta thấy cặp điểm  16   16   3; ÷ ,  −3; ÷ thỏa mãn 3  3  Câu 10 [2D1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ( −∞;3) B Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị C Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = ; y = D max ¡ ¡ Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( 1;3) , ( 2;0 ) Do đó, mệnh đề B Trên khoảng ( −∞;3) hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến nên mệnh đề A sai Đường thẳng x = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số, lim+ y = lim− y = Do đó, mệnh đề C x →1 x →1 sai Giá trị cực đại hàm số giá trị cực tiểu hàm số Đây không tương ứng giá trị lớn nhỏ hàm số Do mệnh đề D sai Câu 11 [2D1-1] Hàm số có đồ thị hình y −1 x O −3 A y = − x + x − −4 B y = − x + x − C y = x − x − D y = x − x2 − Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số bậc có hệ số x số dương nên loại hai đáp án A B, Mặt khác, hàm số đạt cực trị x = ±1 f ( ±1) = −4 nên loại đáp án D Câu 12 [2D1-1] Giá trị cực tiểu hàm số y = − x + x + A B C Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ¡ D −1 x = y ′ = −4 x3 + x = −4 x ( x − 1) ; y ′ = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu hàm số Câu 13 [2D1-1] Cho hàm số y = Khẳng định sau đúng? − 2x A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận B Đường thẳng x = tiệm cận ngang đồ thị hàm số 3 C Hàm số đồng biến ¡ \   2  5 D Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm  0; ÷  3 Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận hai đường thẳng x = ; y = B sai x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số 3 3   C sai hàm số đồng biến khoảng  −∞; ÷;  ; +∞ ÷ 2 2    5 D sai điểm  0; ÷ giao điểm đồ thị hàm số trục tung  3 Câu 14 [2D1-1] Hàm số sau đồng biến ¡ A y = x − x + x − C y = x3 + x − x + B y = x + D y = Lời giải Chọn A Đáp án A y ′ = 3x − x + > 0, ∀x ∈ ¡ > 0, ∀x ∈ ( −1; + ∞ ) Đáp án B sai y ′ = x +1  x ⇔  x > > 0, ∀x ≠ − Đáp án D sai y ′ = 2 ( x + 1) Câu 15 [2D1-1] Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên trục ¡ có bảng biến thiên x −1 2x +1 A Hàm số đồng biến ( −2; ) ∪ ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số đồng biến ¡ D Hàm số nghịch biến ( −∞; −2 ) Lời giải Chọn D Câu 16 [2D1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng? A Hàm số có bốn điểm cực trị C Hàm số khơng có cực đại B Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số đạt cực tiểu x = −5 Lời giải Chọn B Câu 17 [2D1-1] Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x − x + x −  32  A ( 1;0 ) B ( 0;1) C  ; − ÷  27  Lời giải  32  D  ; ÷  27  Chọn C x = Ta có y ′ = 3x − 10 x + Cho y ′ = ⇔  x =  Theo tính chất dấu tam thức bậc hai y ′ đổi dấu từ ( − ) sang ( + ) qua giá trị x = Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 32 yCT = − 27 x − x + Hàm số có: A Một cực đại hai cực tiểu B Một cực tiểu hai cực đại C Một cực đại khơng có cực tiểu D Một cực tiểu cực đại Lời giải Câu 18 [2D1-1] Cho hàm số y = Chọn A x =  Ta có y ′ = x − x = x ( x − ) Cho y ′ = ⇔  x = −2  x = Hàm số có cực đại hai cực tiểu 2x + Câu 19 [2D1-1] Hàm số y = có điểm cực trị? x +1 A B C Lời giải D Chọn B Ta có y ′ = − ( x + 1) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) Hàm số khơng có cực trị Câu 20 [2D1-1] Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? y O A y = x − x + B y = x − x + x C y = x + x + Lời giải Chọn A Căn hình dáng đồ thị ta có hàm số bậc ba với hệ số a > Câu 21 [2D1-1] Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = Mệnh đề đúng? D y = − x + 3x + ax + b với a , b , c , d số thực cx + d y x O −1 − A y ′ < , ∀x ≠ B y ′ < , ∀x ≠ C y ′ > , ∀x ≠ Lời giải D y ′ > , ∀x ≠ Chọn B Hàm số giảm ( −∞; ) ( 2; +∞ ) nên y ′ < , ∀x ≠ Câu 22 [2D1-1] Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? y x O A y = x − x + B y = − x + x + C y = x − x + Lời giải D y = − x + x + Chọn A Căn hình dáng đồ thị ta có hàm số bậc ba với hệ số a > Câu 23 [2D1-1] Cho hàm số y = − x + x có đồ thị hình bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình − x + x = m có bốn nghiệm thực phân biệt? y −1 O A m > B ≤ m ≤ x C < m < Lời giải D m < Chọn C Số nghiệm thực phương trình − x + x = m số giao điểm đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị suy − x + x = m có bốn nghiệm thực phân biệt < m < Câu 24 [2D1-1] Cho hàm số y = ( x − ) ( x + 1) có đồ thị ( C ) Mệnh đề đúng? A ( C ) cắt trục hoành hai điểm C ( C ) khơng cắt trục hồnh B ( C ) cắt trục hoành điểm D ( C ) cắt trục hoành ba điểm Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) trục hoành ( x − ) ( x + 1) = ⇔ x = Vậy ( C ) cắt trục hoành điểm Câu 25 [2D1-2] Giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông A m = −4 B m = −1 C m = D m = Lời giải Chọn D y = x − 2mx + TXĐ: D = ¡  x = Hàm số có điểm cực trị y ′ = x − 4mx = ⇔  m > (*) x = m  ( ) Giả sử hàm số có điểm cực trị A ( 0; ) , B − m ; − m C Dễ thấy điểm cực trị A , B , C tạo thànhuu tam ur uugiác ur cân A ⇔ AB ⊥ AC Khi đó, u cầu tốn ⇔ AB AC = ( ) m ; − m2 uuur uuur Với AB = − m ; − m , AC = ( ) ( m ; −m2 )  m = So với điều kiện (*) ta m = ⇒ −m + m = ⇔  m = Câu 26 [2D1-2] Đồ thị hàm số y = x − x + ax + b có điểm cực tiểu A ( 2; −2 ) Khi giá trị a − b A B C −4 D Lời giải Chọn C y ′ = x − x + a y ′′ = x −  y′ ( ) = a =  a =  ⇔ Hàm số có điểm cực tiểu A ( 2; −2 ) ⇔  y ′′ ( ) > ⇔ 6 > b =   −4 + a + b = −   y ( ) = −2 Vậy a − b = −4 Câu 27 [2D1-2] Điều kiện m để hàm số y = x + mx − 3x có điểm cực trị x1 , x2 thoả mãn x1 = −4 x2 A m = ± B m = ± C m = D m = ± 2 Lời giải Chọn A y ′ = 12 x + 2mx − = ⇔ 12 x + 2mx − = ( 1) Yêu cầu tốn ⇔ PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 = −4 x2  ∆′ >   m + 36 > 0, ∀m ∈ ¡   x1 + x2 = − m x2 = ±   m    ⇔ ⇒ −3 x2 = − ⇒ x x = −  m = ±     x = −4 x  x2 = 16  Vậy m = ± giá trị cần tìm 2 Câu 28 [2D1-2] Điều kiện m để hàm số y = x − mx + ( m − m + 1) x + đồng biến ¡ A m ≤ B m ≥ C m < D m ≤ Lời giải Chọn A TXĐ: D = ¡ y ′ = x − 2mx + m − m + Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y′ ≥ , ∀x ∈ ¡ ⇔ x − 2mx + m − m + ≥ , ∀x ∈ ¡ a > ⇔ ⇔ m −1 ≤ ⇔ m ≤  ∆′ ≤ 2 Câu 29 [2D1-2] Khoảng nghịch biến hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m + 2m có độ dài lớn A 2m B C Lời giải D m Chọn B TXĐ: D = ¡ \ { −1} y ′ = x − 6mx + ( m − 1) = ∆′ = > ⇒ phương trình y ′ = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì hệ số a > nên ta có BBT sau: Dựa vào BBT suy ra: hàm số nghịch biến ( x1 ; x2 ) A = x1 − x2 ⇒ A2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m − ( m − 1) = ⇒ A = Vậy max A = Câu 30 [2D1-2] Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = Đặt P = M m , khẳng định sau ĐÚNG? P < A B < P < P >4 Lời giải tan x +  π 0;  tan x −  4 C < P < D Chọn C  π Đặt t = tan x x ∈  0;  nên t = tan x ∈ [ 0;1]  4 t+2 ⇒ y′ = − < 0, ∀x ∈ D = 1+ Khi y = ( t − 2) t −2 t −1 Nên M = f ( ) = −1 m = f ( 1) = −3 Vậy P = Câu 31 [2D1-2] Có giá trị m để giá trị lớn hàm số y = x − x + m − [ 0;3] −1 ? A B C D Vô số Lời giải Chọn B  x =1 Ta có y ′ = x − ⇒ y′ = ⇔   x = −1 Bảng biến thiên: Để GTLN hàm số −1 ⇒ m + 17 = −1 ⇔ m = −18 Vậy có giá trị m = −18 thỏa mãn đề  π π Câu 32 [2D1-2] Giá trị nhỏ hàm số y = sin x − cos x + sin x +  − ;   2 A C Lời giải B D Chọn A Giả sử cạnh đáy a chiều cao SO = h Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy R = bán kính đường tròn nội tiếp đáy r = a 3 a ⇒ R = 2r V1 1 2 = Ta có V1 = π R h = π ( 2r ) h = π r h = 4.V2 Vậy V2 3 Câu 317 [2H2-3] Cho mặt cầu ( S ) đường kính AB = R Một mặt phẳng ( P ) di động ln vng góc với AB cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn Hình nón trịn xoay ( N ) có đỉnh A đáy thiết diện tạo mp ( P ) với mặt cầu ( S ) Thể tích khối nón hình nón ( N ) có giá trị lớn 32 34 33 17 π R3 π R3 π R3 π R3 A B C D 81 69 78 36 Lời giải Chọn A R h r Ta tích khối nón hình nón ( N ) tính theo cơng thức: V = π r h 2 2 2 Mặt khác: R = r + ( R − h ) ⇒ r = R − ( R − h ) = 2Rh − h 2 Do đó: V = π ( Rh − h ) h = 3 f Xét hàm: ( h ) = Rh − h ⇒ 4R Xét f ′ ( h ) = ⇔ h = π ( Rh − h3 ) f ′ ( h ) = Rh − 3h  32 64  32 Rπ Do Vmax = π  R − R ÷ =  27  81 Câu 318 [2H2-3] Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho π a2h π a2h A B C 3π a h D π a h Lời giải Chọn B Gọi O , O′ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A′B′C ′ AB a a Có AO = Khối trụ cho có chiều cao h , bán kính đáy R = AO = = 3  a  π a2h Thể tích khối trụ V = h.π R = h.π  ÷ ÷ =   Câu 319 [2H2-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có AB = a , AD = 2a , AA′ = 2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C ′ 3a 3a A R = 3a B R = C R = D R = 2a Lời giải Chọn C Tứ diện ABB′C ′ có đáy tam giác ABB′ vuông B , đường cao B′C ′ Có AB ⊥ ( BB′C ′ ) ⇒ AB ⊥ BC ′ ⇒ ·ABC ′ = 90° Mặt khác, ·AB′C ′ = 90° Ta tứ diện ABB′C ′ nội tiếp AC ′ AB + AD + AA′2 a + 4a + 4a 3a = = = 2 2 Câu 320 [2H2-3] Một lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy cm , chiều dài lăn 23cm (hình dưới) Sau lăn trọn 15 vịng lăn tạo nên hình phẳng có diện tích S Tính giá trị S mặt cầu đường kính AC ′ Bán kính mặt cầu: R = A 1735π ( cm ) 2 B 3450π ( cm ) C 862,5π ( cm ) Lời giải D 1725π ( cm ) Chọn D Diện tích xung quanh hình trụ S1 = π 5.23 = 115π Khi lăn sơn quay vòng quét diện tích diện tích xung quanh hình trụ Do lăn nước quay 15 vịng quét diện tích S = 15.S1 = 17259 Câu 321 [2H2-3] Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính , tính thể tích V khối chóp tích lớn nhất: A V = 144 B V = 576 C V = 576 D V = 144 Lời giải Chọn B S R K I A D H B C Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a , SH ⊥ ( ABCD ) SH = h Kẻ KI đường trung trực SA cắt SH I ⇒ SI = R SK SI SA.SK = ⇒ SI = Ta có: ∆SHA # ∆SKI ⇒ SH SA SH a 2  ÷ +h 2 Ta có:  SA AH + SH ⇒R= = ⇒ = ⇒ a = 36h − 2h 2SH 2SH 2h 2 h ( 36h − 2h ) Ta lại có: V = a h ⇒ V = 3 h ( 36h − 2h ) 72h − 6h ′ Xét hàm số: y = Suy ra: y = = 24h − 2h ( < h < 18 ) 3 h = Với y ′ = ⇒ 24h − 2h = ⇔   h = 12 Ta có bảng biến thiên: Vậy: Vmax = 576 Câu 322 [2H2-4] Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY X A V = ( ) 125 + π B V = ( ) Y 125 + 2 π 12 C V = Lời giải Chọn C ( ) 125 + π 24 D V = ( ) 125 + π Quay hình cho quanh trục XY ta khối tròn xoay bao gồm hình trụ ( 1) , hình nón cụt ( ) hình nón ( 3) Gọ hình nón, phần nằm hình trụ hình nón ( ) Đặt tên điểm hình vẽ Ta có hình trụ ( 1) có chiều cao h = AD = , bán kính đáy R1 = Thể tích hình trụ ( 1) : 2   125π V1 = π  ÷ = 2 XY Hình nón ( 3) có chiều cao bán kính đáy: h3 = R3 = = 2     π 125 Suy thể tích hình nón ( 3) : V3 = π  ÷  ÷ ÷ = 12  ÷   Hình nón cụt ( ) tích hiệu thể tích hình nón ( 3) hình nón ( ) Hình nón ( ) có chiều cao bán kính đáy: h4 = R4 = 2 1   125π Suy thể tích hình nón ( ) : V4 = h.π R = π  ÷ = 3 2 24 125 2π 125π Suy thể tích hình nón cụt ( ) : V2 = − 12 24 Vậy thể tích khối tròn xoay tạo ra: ( ) 125π 125 2π 125π 125 2π 625π 125 2π 125 + π + − + = + = 12 24 12 24 24 OAB Câu 323 [2H2-4] Cắt bỏ hình quạt trịn - hình phẳng có nét gạch hình, từ mảnh các-tơng hình trịn bán kính R dán lại với để phễu có dạng hình nón (phần mép dán coi khơng đáng kể) Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu, < x < 2π Tìm x để hình nón tích lớn V = V1 + V2 + V3 = r h O A x = π Chọn B B x = π A O R A 2π C x = Lời giải B D x = π Độ dài cung lớn »AB : l »AB = xR Sau dán lại thành phễu, cung lớn »AB biến thành đường trịn đáy Rx hình nón Đường trịn đáy hình nón có bán kính: r = 2π Hình nón có độ dài đường sinh R , theo định lí pi – ta – go, chiều cao hình nón  Rx  h = l −r = R − ÷  2π  2 R2 x2 R2 x2 Thể tích hình nón V = R − π 4π 4π [phương pháp tự luận] R2 x2 R2 x2 R2 x2 R2 x2 V = R2 − π V = R − π 4π 4π 4π 4π = R3 R3 x x 2 π − x x = 4π − x 2 24π 12π 2 ≤ R3 12π  x2 x2   π − x + + ÷÷  2 ÷  4π  R3 3π R  = =  ÷ 12π  ÷ 27   ÷   Vậy thể tích khối nón lớn 4π − x = x2 ⇔ x2 = π ⇔ x = π 3 [phương pháp trắc nghiệm] 6π thể tích hình nón đạt giá trị lớn Câu 324 [2H2-4] Từ khúc gỗ trịn hình trụ, đường kính cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vng miếng phụ kích thước x , y hình vẽ Hãy xác định x để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? Chọn R = , CALC bốn đáp án Khi x = x y A x = 41 − B x = Chọn C Ta có < x < −1 ; < y < ( C x = 17 − Lời giải D x = ± 41 − ) Áp dụng định lí pi – ta – go, ta có ( x + ) + y = 128 ⇔ y = 64 − x − 32 x Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn diện tích miếng phụ S ( x ) lớn Ta có S ( x ) = −4 x − 32 x + 64 x = f ( x ) [phương pháp tự luận] Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên: Suy S ( x ) lớn x = 17 − [phương pháp trắc nghiệm] S ( x ) = −4 x − 32 x + 64 x CALC bốn đáp án, x = 17 − cho S ( x ) đạt giá trị lớn Câu 325 [2H2-4] Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) song song với cắt mặt cầu tâm O bán kính R tạo thành hai đường trịn có bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai đường tròn đáy trùng với đường tròn lại Tính khoảng cách ( P ) ( Q ) để diện tích xung quanh hình nón lớn nhất: 2R A R B R C R D Lời giải Chọn D h l r Gọi r , h , l bán kính đáy, chiều cao độ dài đường sinh hình nón 2 h h 3h Ta có r = R −  ÷ Suy l = h + R −  ÷ = + R2 2 2 Diên tích xung quanh hình nón: S xq = π r.l = π R − h 3h + R2 4 [phương pháp tự luận] h 3h S xq = π r.l = π R − + R2 4 π 3h 3h π R 2 3π R Vậy diện tích xung quanh hình nón lớn 3R − + R2 ≤ = 4 3 3h 3h 3R − = + R2 ⇔ h2 = R2 ⇔ h = R 4 3 [phương pháp trắc nghiệm] h 3h 2 3 cho S xq đạt S xq = π r.l = π R − + R Cho R = , CALC bốn đáp án, h = R= 4 3 giá trị lớn Câu 326 [2H2-4] Cho mặt cầu ( S ) có bán kính r khơng đổi Gọi S ABCD hình chóp có chiều cao h , = nhận ( S ) làm mặt cầu nội tiếp Xác định h theo r để thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị nhỏ A h = 3r B h = 4r C h = 2r Lời giải D h = 2r Chọn B S M K I A D E H B C Gọi I tâm mặt cầu ( S ) , H giao điểm SI ( ABCD ) , E trung điểm CD Kẻ IM HK vng góc với SE Gọi cạnh hình vng ABCD có độ dài 2a SI IM h−r r hr = ⇔ = ⇔ HK = Theo định lí Ta-let, ta có SH HK h HK r−h 1 = 2+ Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SHE , ta HK h a 2 hr r −h Từ hai hệ thức trên, ta thu ( 2) = 12 + 12 ⇔ a = h − 2r hr h a 4r h Thể tích khối chóp S ABCD V = a h = 3 h − 2r [phương pháp tự luận]  4r 4r  4r 32r 4r h 2 = h − r + + r ≥ r + r = V = a h=  ÷  h − 2r 3 3 h − 2r  ) ( Vậy thể tích khối chóp nhỏ h − 2r = 4r ⇔ h − 4rh = ⇔ h = 4r h − 2r [phương pháp trắc nghiệm] Cho r = , CALC bốn đáp án, V nhỏ h = 4r = Câu 327 [2H2-4] Một cốc đựng nước hình nón đỉnh S , đáy tâm O bán kính R ( cm ) , chiều cao SO = ( cm ) , cốc nước chứa lượng nước có chiều cao a = 1( cm ) so với đỉnh S Người ta bỏ vào cốc viên bi hình cầu nước dâng lên vừa phủ kín viên bi khơng tràn nước ngồi, viên bi tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón Hãy tính bán kính viên bi theo R O O R R r r h α S S 3R A (R+ ) R + − 36 R B 3R R + R2 + R C (R+ ) R2 R + − 36 R D Lời giải Chọn C ( ) R + R + − 36 R R O R O r r h α S S Gọi số đo góc đỉnh hình nón 2α Gọi V1 , V2 thể tích phần nón có nước trước sau bỏ viên bi, V thể tích viên bi Ta có:  r R2 +  R + R2 + = r 1 + ÷ = r Chiều cao mực nước lúc bỏ bi: h = r +  ÷ sin α R R   Rh = r R + R + Bán kính mặt nước lúc dã bỏ bi: R′ = 3 Ta có V2 = V + V1 ⇔ r 27 ( R + R2 + R ) ) ( π R2 = π r3 + ⇔r= 27 R (R+ ) R + − 36 R Câu 328 [2H2-4] Khi cắt mặt cầu S ( O, R ) mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, cịn đường trịn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R = , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) để khối trụ tích lớn A r = , h= 2 B r = , h= 2 C r = , h= 3 D r = , h= 3 Lời giải Chọn C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O′ có hình chiếu O xuống mặt đáy ( O ') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h + r = R ( < h ≤ R = 1) ⇒ r = − h 2 Thể tích khối trụ V = π r h = π ( − h ) h = f ( h ) ⇒ f ′ ( h ) = π ( − 3h ) = ⇔ h = 2π (đvtt) r = h = ( 0;1] 3 Câu 329 [2H2-4] Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy ta lấy hai điểm A , B cho cung AB có số đo 120o Người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua A , B tâm hình trụ (tâm hình trụ trung điểm đoạn nối tâm hai đáy) để thiết diện hình vẽ Biết diện tích S thiết diện thu có dạng S = aπ + b Tính P = a+b Vậy: max V = A A P = 60 B P = 30 B C P = 50 Lời giải D P = 45 Chọn C Gọi I trung điểm OO′ , với O , O′ tâm hai đáy; H trung điểm OO′ ; α góc tạo thiết diện với mặt đáy IO AB   tan α = = ⇒ cos α = = Ta có AB = ; OH = R −  ; ÷ OH   Đưa hệ trục tọa độ Oxy vào mặt phẳng đáy, gốc trùng với tâm O , trục Ox vng góc với AB , trục Oy song song với AB Ta có S ABCD = ∫ 36 − x dx = 18 + 12π −3 Mặt khác, ta lại có cos α = S ABCD S ⇒ S ABEF = ABCD = 30 + 20π Do a = 20 , b = 30 S ABEF cos α Vậy P = a + b = 50 Câu 330 [2H2-4] Có bìa hình tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC a Người ta muốn cắt bìa thành hình chữ nhật MNPQ cuộn lại thành hình trụ khơng đáy hình vẽ A B M N Q P C Diện tích hình chữ nhật để diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất? a2 a2 a2 a2 A B C D 12 Lời giải Chọn D A B M N Q P C Do ∆ABC vng cân A có cạnh huyền BC = a , suy AB = AC = a 2 a a a  Đặt IP = x  < x < ÷ ⇒ PC = − x 2  NP CP CP AI a = ⇒ NP = = −x Ta có AI CI CI r Gọi bán kính hình trụ Gọi I trung điểm BC AI = x a đường sinh hình trụ l = NP = − x π 2 1 a a Diện tích xung quanh hình trụ S = 2π rl = x ( a − x ) ≤ = 2 a Đẳng thức xảy x = Khi diện tích hình chữ nhật MNPQ a a a PQ.PN = = Ta có chu vi đáy hình trụ 2π r = x ⇒ r = PHẦN BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu 331 [2D1-3] Trong tất hình chữ nhật có diện tích S hình chữ nhật có chu vi nhỏ bao nhiêu? A S B S C 2S D 4S Lời giải Chọn B S Đặt hai cạnh hình chữ nhật x , y Khi x y = S (không đổi) ⇒ y = x S Cos i 2S Ta có chu vi hình chữ nhật C = x + y = x + ≥ 2 x =4 S x x Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ S x = y = S Câu 332 [1D5-2] Một vật rơi tự với phương trình chuyển động S = tính giây ( s ) Vận tốc thời điểm t = ( s ) A 49 ( m/s ) B 25 ( m/s ) gt , g = 9,8 ( m/s ) t C 10 ( m/s ) Lời giải D 18 ( m/s ) Chọn A Ta có v ( t ) = S ′ ( t ) = 9,8t Suy ra, v ( ) = 49 ( m/s ) Câu 333 [2D1-3] Độ giảm huyết áp bệnh nhân đo công thức G ( x ) = 0, 025 x ( 30 − x ) , x ( mg ) x > liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều cần tiêm cho bệnh nhân liều lượng A 15 ( mg ) B 30 ( mg ) C 40 ( mg ) D 20 ( mg ) Lời giải Chọn D Theo ra, ta cần tìm x ∈ ( 0;30 ) để G ( x ) max 2 Ta có G′ ( x ) = 1,5 x − 0, 075 x , G′ ( x ) = ⇔ 1,5 x − 0, 075 x = ⇔ x = x = 20 Bảng biến thiên x 20 30 + – G′ ( x ) Gmax G ( x) 0 Từ bảng biến thiên ta có Gmax x = 20 ( mg ) Câu 334 [2D2-4] Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% / năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền m (triệu đồng) mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ 3 1, 01) 120 ( 1,12 ) ( 100.1, 01 100 ( 1, 01) A m = B m = C m = D m = 3 ( 1, 01) − ( 1,12 ) − Lời giải Chọn B Lãi suất năm 12% suy lãi suất hàng tháng 1% Cuối tháng thứ ông A nợ ngân hàng số tiền 100 ( + 0, 01) (triệu đồng) Sau hồn nợ tháng đầu ơng A cịn nợ số tiền 100 ( + 0, 01) − m (triệu đồng) Cuối tháng thứ , sau hoàn nợ m triệu số tiền ơng A cịn nợ ( 100 ( + 0, 01) − m ) ( + 0, 01) − m = 100 ( + 0, 01) − m ( + 0, 01) − m (triệu đồng) Cuối tháng thứ , sau hồn nợ m triệu số tiền ơng A nợ ( 100 ( + 0, 01) ) − m ( + 0, 01) ( + 0, 01) − m = 100 ( + 0, 01) − m ( + 0, 01) − m ( + 0, 01) − m = 100 ( + 0, 01) − m 1, 013 − (triệu đồng) 0, 01 Vì ông A trả hết nợ sau tháng thứ nên: 100 ( + 0, 01) = m 1, 013 − 0, 01 100.0, 01.1, 013 1, 013 = (triệu đồng) 1, 013 − 1, 013 − Câu 335 [2D2-4] Ông B gửi tiết kiệm số tiền 50 triệu với kỳ hạn tháng tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 6, 0% / năm Giả sử lãi suất không thay đổi Hỏi sau năm số tiền ông B nhận xấp xỉ giá trị nào? A 59.702.614,9 B 59.702.614, C 59.702.614,8 D 59.702.614, Lời giải Suy m = Chọn C Lãi suất ngân hàng 6, 0% / năm kỳ hạn gửi tháng nên lãi suất kỳ 6, 0.6 = 3, 0% 12 Áp dụng công thức lãi kép, số tiền ông B nhận sau năm ( kỳ) 50.000.000 ( + 0.03) ≈ 59.702.614,8 Câu 336 [2D2-2] Thang đo Richte Charles Francis đề xuất sử dụng lần vào năm 1935 để xếp số đo độ chấn động động đất với đơn vị Richte Cơng thức tính độ chấn động sau: M L = log A − log A0 , M L độ chấn động, A biên độ tối đa đo địa chấn kế A0 biên độ chuẩn Hỏi theo thang độ Richte, với biên độ chuẩn biên độ tối đa chận động đất độ Richte lớn gấp lần biên độ tối đa trận động đất độ Richte? A B 20 C 100 D 10 Lời giải Chọn C M Ta có biên độ tối đa tính theo cơng thức: A = A0 10 L Với trận động đất độ Richte ta có biên độ tối đa là: A5 = A0 105 Với trận động đất độ Richte ta có biên độ tối đa là: A7 = A0 107 A7 = 100 A5 Câu 337 [2D2-2] Dân số giới ước tính theo cơng thức S = A.e r N A dân số năm lấy mốc tính, S dân số sau N năm, r tỷ lệ tăng dân số năm Cho biết năm 2001 , dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người tỷ lệ tăng dân số năm 1, 7% năm Như vậy, tỉ lệ tăng dân số năm khơng đổi đến năm dân số nước ta mức khoảng 120 triệu người? A 2020 B 2026 C 2022 D 2024 Lời giải Vậy ta có: Chọn B Ta có A = 78.685.000; S = 120.000.000, r = 0, 017 S Suy N = ln  ÷ ≈ 25 ⇒ đến năm 2026 dân số nước ta mức khoảng 120 triệu người r  A Câu 338 [2D2-2] Số lượng loại vi khuẩn A phịng thí nghiệm tính theo cơng thức s ( t ) = s ( ) 2t , s ( ) số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s ( t ) số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu con? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút Lời giải Chọn C Ta có s ( 3) = 625; s ( t ) = 10.000 Suy s ( 3) = s ( ) 23 ; s ( t ) = s ( ) 2t = s ( 3) 2t −3 ⇒ t = + log  s ( t ) ÷ = 2 ÷  s ( 3)  ⇒ Sau phút số lượng vi khuẩn A 10 triệu Câu 339 [2D2-2] Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng (kể từ tháng thứ , tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền có tháng trước tiền lãi tháng sau đó) Hỏi sau tháng, người có nhiều 125 triệu đồng? A 47 tháng B 46 tháng C 45 tháng D 44 tháng Lời giải Chọn C  125  n Ta có A0 = 100; r = 0, 005 ⇒ An = 100 ( 1, 005 ) > 125 ⇒ n > log1,005  ÷ ≈ 44,  100  ⇒ Sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu đồng Câu 340 [2D1-3] Ông Nam gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 12% năm Sau n năm ông Nam rút tồn số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tìm số nguyên dương n nhỏ để số tiền lãi nhận lớn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) A B C D Lời giải Chọn D n Ta có Pn = P0 ( + r ) với Pn số tiền nhận (gồm vốn lãi) sau n kỳ, P0 số tiền ban đầu, r lãi suất n n Yêu cầu toán Pn − P0 > 40 ⇔ P0 ( + r ) − P0 > 40 ⇔ 100 ( + 0,12 ) − 100 > 40 ⇔ ( 1,12 ) − > 0, ⇔ ( 1,12 ) > 1, ⇔ n > log1,12 ( 1, ) ≈ 2,97 Vậy số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn n n 1.B 2.C 3.C 4.D BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 13.A 14.A 15.D 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.B 22.A 23.C 24.B 25.D 26.C 27.A 28.A 29.B 30.C 31.B 32.A 33.B 34.D 35.C 36.D 37.A 38.C 39.D 40.D 41.C 42.B 43.B 44.C 45.A 46.B 47.B 48.B 49.B 50.A 51.A 52.D 53.B 54.D 55.C 56.A 57.B 58.A 59.A 60.A 61.A 62.D 63.D 64.B 65.B 66.D 67.B 68.C 69.B 70.D 71.A 72.C 73.D 74.D 75.D 76.B 77.A 78.D 79.A 80.C 81.D 82.D 83.A 84.A 85.D 86.B 87.B 88.A 89.B 90.A 91.D 92.B 93.D 94.B 95.C 96.A 97.C 98.C 99.D 100.B 101.D 102.A 103.D 104.A 105.A 106.B 107.C 108.A 109.C 110.B 111.B 112.A 113.C 114.A 115.B 116.A 117.B 118.D 119.A 120.A 121.D 122.B 123.D 124.A 125.C 126.A 127.D 128.B 129.B 130.C 131.C 132.C 133.D 134.D 135.B 136.C 137.C 138.A 139.B 140.C 141.B 142.D 143.A 144.C 145.C 146.A 147.C 148.D 149.D 150.C 151.A 152.B 153.C 154.D 155.B 156.C 157.B 158.D 159.B 160.C 161.D 162.B 163.D 164.D 165.C 166.D 167.C 168.B 169.B 170.D 171.D 172.B 173.A 174.A 175.A 176.A 177.D 178.A 179.B 180.D 181.A 182.B 183.A 184.B 185.D 186.D 187.B 188.A 189.D 190.A 191.C 192.A 193.C 194.C 195.D 196.D 197.D 198.D 199.C 200.C 201.C 202.C 203.D 204.D 205.D 206.B 207.A 208.D 209.C 210.C 211.D 212.A 213.A 214.B 215.D 216.C 217.A 218.A 219.B 220.B 221.B 222.A 223.B 224.D 225.A 226.D 227.A 228.D 229.A 230.B 231.C 232.A 233.D 234.B 235.D 236.B 237.C 238.A 239.A 240.B 241.A 242.A 243.A 244.A 245.D 246.C 247.D 248.D 249.A 250.D 251.A 252.D 253.A 254.D 255.A 256.D 257.D 258.B 259.A 260.D 261.C 262.D 263.C 264.B 265.A 266.D 267.A 268.A 269.B 270.C 271.B 272.B 273.A 274.B 275.A 276.D 277.C 278.C 279.D 280.D 281.B 282.C 283.A 284.C 285.A 286.D 287.B 288.C 289.C 290.C 291.C 292.A 293.C 294.B 295.A 296.C 297.C 298.B 299.B 300.B 301.A 302.D 303.C 304.D 305.A 306.B 307.C 308.D 309.D 310.D 311.B 312.A 313.C 314.C 315.A 316.A 317.A 318.B 319.C 320.D 321.B 322.C 323.B 324.C 325.D 326.B 327.C 328.C 329.C 330.D 331.B 332.A 333.D 334.B 335.C 336.C 337.B 338.C 339.C 340.D ... + x12 + 21x32 = 20 x1 x2 + x2 x3 + 14 x3 x1 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: 5 • ( x12 + x22 ) ≥ x12 x22 = 20 x1 x2 ( 1) 3 2 • x2 + x3 ≥ x2 x32 = x1 x2 ( ) ⇔ 7 x12 + 36 x32 ) ≥ x12 36... kπ ÷ = −4 cos  + k 2π ÷ = > ⇒ x = + kπ điểm cực tiểu hàm số 12  12    π −11π Điểm cực đại hàm số x = + kπ với k = −1 ⇒ x = 12 12 Câu 47 [2D1-2] Số tiệm cận đồ thị hàm số y = A B x −1 C... cực đại điểm x = 12 −7π 13π C Hàm số đạt cực đại điểm x = D Tại x = hàm số đạt cực tiểu 12 Lời giải Chọn B Tập xác định D = ¡ y′ = −2sin x +  π π   x = + k 2π x = + kπ   12 y ′ = ⇔ sin x