về căn jacobson js căn và các lớp căn của nữa vành

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HOÀNG MAI VỀ CĂN JACOBSON, JS -CĂN VÀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến HUẾ - NĂM 2016 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế, hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Xn Tuyến Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Lê Hoàng Mai ii LỜI CÁM ƠN Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đặt toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS Trần Giang Nam (Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam) giúp đỡ tài liệu nghiên cứu thảo luận tốn có liên quan đến luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế, - Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Lê Hoàng Mai iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH VÀ NỬA MƠĐUN 1.1 Nửa vành nửa mơđun 1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương nửa môđun thương 1.3 Đồng cấu nửa vành đồng cấu nửa môđun 1.4 Kết luận Chương 11 11 17 21 28 Chương VỀ CĂN JACOBSON, JS -CĂN CỦA NỬA VÀNH 2.1 Về Jacobson nửa vành 2.2 Về Js -căn nửa vành 2.3 Về mối quan hệ Jacobson Js -căn nửa vành 2.4 Về V-nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn 2.5 Kết luận Chương 29 29 39 50 58 60 Chương VỀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH 3.1 Đặc trưng lớp nửa vành theo nửa vành chấp nhận 3.2 Về lớp lớp nửa vành 3.3 Về lớp di truyền nửa vành 3.4 Kết luận Chương 62 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 80 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 62 72 76 79 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu N Q+ R+ End(M ) Ker(f ) Ý nghĩa Nửa vành tất số tự nhiên Nửa vành tất số hữu tỷ không âm Nửa vành tất số thực không âm Nửa vành ma trận vuông cấp n nửa vành R Nửa vành đa thức ẩn x với hệ tử nửa vành R Nửa trường Boolean Nửa vành tự đồng cấu vị nhóm giao hốn (M, +) Nhân đồng cấu f Im(f ) Ảnh đồng cấu f f (R) Ri Ảnh thật đồng cấu nửa vành f : R → S Tích trực tiếp họ nửa vành (Ri )i∈I Ri Tích trực tiếp họ nửa vành (Ri )i∈I Mn (R) R[x] B i∈I sub i∈I (S) J(R) Js (R) Nil(R) I(R) K(R) (0 : M )R H U R S LA UM Iđêan sinh tập S Căn Jacobson (J -căn) nửa vành R Js -căn nửa vành R Căn Nil nửa vành R Tập tất iđêan nửa vành R Tập tất iđêan lập (k-iđêan) nửa vành R Linh hóa tử R-nửa môđun M nửa vành R Lớp tất nửa vành Lớp phổ dụng nửa vành H Lớp nửa vành U Lớp nửa đơn nửa vành U Lớp lớp A nửa vành Lớp lớp quy M nửa vành ACC DCC Điều kiện dãy tăng Điều kiện dãy giảm Z(R) Tập cộng hút nửa vành R V (R) Vành lớn nửa vành R ∼ Đẳng cấu nửa vành, nửa môđun = Nửa đẳng cấu nửa vành, nửa môđun ρ Quan hệ tương đẳng nửa vành, nửa môđun r/ρ lớp tương đương phần tử r theo tương đẳng ρ Cong(M ) Tập tất quan hệ tương đẳng nửa môđun M Sub(M ) Tập tất nửa môđun nửa môđun M M/ρ Nửa môđun thương nửa nửa môđun M theo tương đẳng ρ M/N Nửa môđun thương nửa môđun M theo tương đẳng Bourne ≡N Kết thúc chứng minh, nhận xét ví dụ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm nghiên cứu lần Cartan cho đại số Lie hữu hạn chiều trường đóng đại số Căn đại số Lie hữu hạn chiều A iđêan giải lớn A tổng tất iđêan giải A Đại số Lie A gọi nửa đơn Cartan đại số Lie nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn đại số Lie đơn Hơn nữa, ơng cịn mơ tả đại số Lie đơn hữu hạn chiều trường đóng đại số Do đó, cấu trúc đại số Lie nửa đơn hữu hạn chiều hoàn toàn xác định Wedderburn mở rộng kết nói cho đại số kết hợp hữu hạn chiều trường Ông định nghĩa đại số A vậy, kí hiệu rad(A), iđêan lũy linh lớn A tổng tất iđêan lũy linh A Tương tự Cartan, Wedderburn gọi đại số hữu hạn chiều A nửa đơn rad(A) = Ông chứng minh đại số hữu hạn chiều A nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn đại số đơn hữu hạn chiều Ai , Ai đại số ma trận đại số chia hữu hạn chiều Artin mở rộng định lý Wedderburn cho vành thỏa mãn điều kiện cực tiểu (gọi vành Artin) Với vành R vậy, tổng iđêan lũy linh R lũy linh, R có iđêan lũy linh lớn rad(R), gọi Wedderburn R Như vậy, định lý Wedderburn cho đại số đơn nửa đơn mở rộng thành công cho vành Artin phía Tuy nhiên, vành khơng Artin phía R, tổng iđêan lũy linh R khơng cịn lũy linh vậy, R khơng có iđêan lũy linh lớn nhất, khơng có khái niệm cho vành Năm 1945, Jacobson [26] đề xuất khái niệm (được gọi Jacobson) cho vành kết hợp tổng tất iđêan phải tựa quy phải Đặc biệt, R vành Artin phía khái niệm Jacobson Wedderburn R trùng Kể từ đây, khái niệm Jacobson trở thành công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc vành Căn Jacobson lý thuyết vành vấn đề liên quan trình bày tương đối đầy đủ có hệ thống tài liệu như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [37] Anderson-Fuller [6] Khái niệm nửa vành giới thiệu Vandiver [58] vào năm 1934, tổng quát hóa khái niệm vành kết hợp theo nghĩa khơng địi hỏi tính đối xứng phép cộng Trong thập niên 30 kỷ 20, khái niệm nửa vành chưa cộng đồng toán học quan tâm nhiều Tầm quan trọng nửa vành lý thuyết khoa hc mỏy tớnh, u tiờn c cụng nhn bi Schă utzenberger [54] Ngày nay, nửa vành quan tâm nghiên cứu phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng Các tính chất, ứng dụng nửa vành vấn đề liên quan trình bày tài liệu như: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] Polák [18] Gần đây, nửa vành cộng lũy đẳng (còn gọi nửa vành lũy đẳng số tác giả) nhà toán học quan tâm như: Gathmann [12] IzhakianRowen [24] nửa vành cộng lũy đẳng đối tượng nghiên cứu lý thuyết hình học miền nhiệt đới (tropical geometry) lý thuyết đại số tuyến tính đại số miền nhiệt đới (tropical algebra) Căn nửa vành bắt đầu quan tâm số nhà toán học từ thập niên 50 kỷ 20 Đặc biệt, năm 1951 Bourne [9] giới thiệu khái niệm Jacobson (hay J -căn) nửa vành theo iđêan nửa quy phía Ngồi ra, Bourne chứng minh iđêan trái (phải) lũy linh nửa vành chứa J -căn [9, Theorem 7] tính J -căn nửa vành ma trận nửa vành có đơn vị [9, Theorem 9] Năm 1958, Bounne Zassenhaus [10] giới thiệu lớp iđêan đặc biêt nửa vành mà gọi iđêan lập (hay k -iđêan) chứng minh J -căn nửa vành iđêan cô lập Căn Jacobson nửa vành tiếp tục nghiên cứu Iizuka theo quan điểm lý thuyết biểu diễn Trong [22], Iizuka sử dụng lớp nửa môđun trái bất khả quy để đặc trưng J -căn nửa vành [22, Theorem 8] Ông giới thiệu khái niệm iđêan nguyên thủy cô lập mạnh nửa vành đặc trưng J -căn giao tất iđêan nguyên thủy cô lập mạnh [22, Theorem 6], mối liên hệ J -căn nửa vành Jacobson vành sai phân [22, p 420] Ngồi ra, ơng giới thiệu lớp iđêan đặc biệt nửa vành mà gọi h-iđêan chứng minh J -căn nửa vành h-iđêan Trong [39], LaTorre chứng minh J -căn nửa vành k -iđêan (h-iđêan) phải sinh tập tất k -iđêan (h-iđêan) phải nửa quy phải [39, Theorem 3.1] R vành hai khái niệm Jacobson vành nửa vành trùng [39, Theorem 3.2] Ngồi ra, ơng thiết lập số tính chất quen thuộc liên quan đến Jacobson lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành Đặc biệt, LaTorre mô tả cấu trúc nửa vành cộng quy J -nửa đơn [39, Theorem 3.4] Tuy nhiên, kết liên quan đến J -căn nửa vành đến thời điểm khiêm tốn so với kết liên quan đến Jacobson lý thuyết vành Cùng với đó, khái niệm nửa môđun trái đơn nửa vành quan tâm nghiên cứu như: Izhakian-Rhodes-Steinberg [25] mô tả tất lớp nửa môđun trái đơn đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S mt na nhúm hu hn), Kendziorra-Zumbrăagel [33] ch luụn tồn nửa môđun trái đơn lớp nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng Katsov-NamZumbrăagel [30] ch luụn tn ti na mụun trỏi đơn lớp nửa vành đầy đủ có tương đẳng tầm thường với RR = Ngoài ra, chúng tơi chưa tìm thấy cơng trình chứng minh tồn nửa môđun trái đơn nửa vành Gần đây, Katsov-Nam nhận số kết liên quan đến J -căn nửa vành [27, Section 4], đặc biệt kết liên quan đến cấu trúc nửa vành thông qua J -căn định lý Hopkins nửa vành Artin [27, Corollary 4.4] định lý cấu trúc nửa vành nguyên thủy [27, Theorem 4.5] Tuy nhiên, hạn chế J -căn nửa vành cộng lũy đẳng thuộc lớp cảm sinh nó, tức là, R nửa vành cộng lũy đẳng J(R) = R ([27, Example 3.7] [55, Mệnh đề 2.5]) Để khắc phục vấn đề này, Katsov-Nam giới thiệu khái niệm Js -căn (một dạng tổng quát hóa Jacobson lý thuyết vành) nửa vành cách sử dụng lớp nửa môđun trái đơn [27, p 5076] nhận định lý mô tả cấu trúc nửa vành cộng lũy đẳng hữu hạn Js -nửa đơn [27, Theorem 3.11] Đồng thời, họ J -căn Js -căn trùng lớp tất vành trường hợp chung nửa vành khác nhau, chẳng hạn lớp nửa vành cộng lũy đẳng [27, Example 3.7], mối quan hệ chúng cho nửa vành cộng quy nửa vành giao hốn [27, Proposition 4.8] Tuy nhiên, mối quan hệ J -căn Js -căn nửa vành trường hợp tổng quát chưa biết Để làm sáng tỏ điều này, vấn đề tự nhiên đặt xét mối quan hệ Bài toán [27, Problem 1] Mô tả lớp nửa vành R cho Js (R) ⊆ J(R), trường hợp đặc biệt Js (R) = J(R) Trong luận án này, tiếp tục sử dụng công cụ J -căn Js -căn để nghiên cứu cấu trúc số lớp nửa vành, thiết lập số kết liên quan đến Jacobson lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành, mô tả mối quan hệ J -căn Js -căn số lớp nửa vành, qua trả lời phần Bài tốn [27, Problem 1] Ngoài ra, luận án quan tâm nửa vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur Đầu thập niên 50 kỷ 20, Amitsur [2, 3, 4] Kurosh [35] nhà toán học độc lập khám phá tất cổ điển có tính chất chung họ sử dụng tính chất đại số để tiên đề hóa định nghĩa lớp trừu tượng Năm 1988, Kurosh-Amitsur cho phạm trù đại số chung đề xuất Márki-Mlitz-Wiegandt [47] Năm 2004, vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur kết liên quan trình bày cách có hệ thống Gardner-Wiegandt [11] Trong đó, ứng với lớp γ cho trước ta ln xác định tốn tử hay phép lấy (gọi γ -căn hay Kurosh-Amitsur) ngược lại với toán tử ρ cho trước ta xác định lớp Năm 1983, Olson-Jenkins [50] tổng quát hóa khái niệm lớp lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành sau số vấn đề liên quan đến lớp nửa vành Olson cộng ơng trình bày loạt cơng trình [51, 52, 53] Ngồi ra, Kurosh-Amitsur cho phạm trù nửa trường nghiên cứu Weinert-Wiegandt [61, 62, 63], phạm trù nhóm nghiên cứu Krempa-Malinawska [34] Li-Zhang [43] Gần đây, Kurosh-Amitsur nửa vành tiếp tục nghiên cứu Trong [15, p 652], Hebisch-Weinert xây dựng lớp từ lớp đặc biệt đặc biệt yếu Morak [48] xây dựng ba trụ cột Kurosh-Amitsur nửa vành cách độc lập là: Lớp căn, lớp nửa đơn tốn tử Hebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] tương ứng 1-1 ba trụ cột Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert chứng minh từ lớp theo quan điểm lý thuyết vành xây dựng lớp theo quan điểm lý thuyết nửa vành Ngoài ra, Morak [48, Theorem 5.3] xây dựng lớp từ lớp quy nửa vành cho trước gọi lớp Trong [11, p 28], lớp lớp δ vành giao tất lớp chứa δ lớp nhỏ chứa δ , kí hiệu Lδ Có vài phương pháp xây dựng lớp lớp δ vành phương pháp Watters [60], phương pháp Kurosh [35] phương pháp Lee [41] Lớp lớp nửa vành định nghĩa tương tự lý thuyết vành lớp lớp A nửa vành kí hiệu LA Trong [65, Theorem 2.6], Zulfiqar xây dựng lớp lớp nửa vành theo phương pháp tương tự Watters Ngoài ra, Zulfiqar [64, 66] 72 Lớp R thỏa mãn điều kiện (1) (2) Định lý 3.1.3, suy R lớp U Nhận xét 3.1.18 Márki-Mlitz-Wiegandt [47] nghiên cứu Kurosh-Amitsur chung phạm trù đại số Phạm trù H tất nửa vành thỏa mãn tiên đề [47] Trong đó, quan hệ “ S nửa vành chấp nhận nửa vành R” “ M -quan hệ” [47] dễ dàng thấy quan hệ đóng đồng cấu bắc cầu Do đó, chứng minh Định lý 3.1.17 cách kiểm tra lớp R nửa vành phạm trù H thỏa mãn điều kiện để trở thành lớp [47] 3.2 Về lớp lớp nửa vành Trong tiết này, xây dựng lớp lớp nửa vành theo phương pháp tương tự Kurosh [35] lý thuyết vành, xây dựng lớp lớp nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự Lee [41] lý thuyết vành Lớp lớp nửa vành định nghĩa hoàn toàn tương tự lớp lớp vành [11, p 28] Cho A lớp lớp phổ dụng U nửa vành Giao tất lớp U chứa A lớp nhỏ U chứa A, kí hiệu LA Định nghĩa 3.2.1 ([65]) Cho A lớp lớp phổ dụng U nửa vành Lớp LA xác định gọi lớp U xác định lớp A Trong [65], Zulfiqar xây dựng lớp lớp nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự Watters [60] lý thuyết vành Tiếp theo, xây dựng lớp lớp nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự Kurosh [35] lý thuyết vành Ngoài ra, chứng tỏ lớp xây dựng theo cách lớp lớp nửa vành Giả sử A lớp lớp phổ dụng U nửa vành Chúng xác định lớp δλ (A) với số λ quy nạp Trước tiên, xác định bao đóng đồng cấu δ1 (A) A, tức δ1 (A) := {S ∈ U | S ảnh đồng cấu nửa vành A ∈ A} 73 Bắt đầu quy nạp, giả sử lớp δµ (A) xác định với số µ < λ Khi đó, chúng tơi xác định lớp δλ (A) sau: δλ (A) := {S ∈ U | ảnh đồng cấu khác không S có iđêan khác khơng thuộc δµ (A) với µ < λ} Cuối cùng, xác định lớp δ(A) := ∪δλ (A), hợp lấy tất số λ Định lý 3.2.2 Cho A lớp lớp phổ dụng U nửa vành Khi đó, lớp δ(A) lớp chứa A lớp phổ dụng U Chứng minh Vì A ⊆ δ1 (A) nên A ⊆ δ(A) Để chứng minh δ(A) lớp lớp phổ dụng U, chứng minh lớp δ(A) thỏa mãn điều kiện (1) (2) Định lý 3.1.3 - Chúng tơi chứng minh δλ (A) đóng đồng cấu quy nạp Giả sử T = ảnh đồng cấu S ∈ δ1 (A), theo định nghĩa δ1 (A), S ảnh đồng cấu A ∈ A Do đó, T ảnh đồng cấu A ∈ A suy T ∈ δ1 (A) hay δ1 (A) đóng đồng cấu Giả sử δµ (A) đóng đồng cấu với µ < λ A = ảnh đồng cấu S ∈ δλ (A) Với B = ảnh đồng cấu A suy B ảnh đồng cấu S , theo định nghĩa δλ (A), B có iđêan khác khơng thuộc δµ (A) với µ < λ Do đó, lần theo định nghĩa δλ (A), A ∈ δλ (A) hay δλ (A) đóng đồng cấu Từ định nghĩa δλ (A), ta dễ dàng suy δµ (A) ⊆ δλ (A) với µ < λ Vậy, δ(A) đóng đồng cấu Điều suy δ(A) thỏa mãn điều kiện (1) - Giả sử S ∈ U ảnh đồng cấu khác không S/I S (với I iđêan thật S ) ln có iđêan khác khơng J/I ∈ δ(A) Vì J/I ∈ δ(A) suy J/I ∈ δλ(I) (A), số λ(I) phụ thuộc vào iđêan I S Tập tất iđêan I S có dạng tập hợp nên tồn số ζ lớn số λ(I) δλ(I) (A) ⊆ δζ (A) Vì ảnh đồng cấu S/I = S ln có iđêan = J/I ∈ δζ (A) Khi đó, theo định nghĩa S ∈ δζ+1 (A) S ∈ δ(A) Điều suy δ(A) thỏa mãn điều kiện (2) Định lý 3.2.3 Cho A lớp lớp phổ dụng U nửa vành Khi đó, δ(A) = LA Chứng minh Giả sử R lớp lớp phổ dụng U R chứa A Ta chứng minh δλ (A) ⊆ R với λ quy nạp 74 Giả sử S ∈ δ1 (A) nên S ảnh đồng cấu A ∈ A ⊆ R Vì R lớp nên R đóng đồng cấu hay S ∈ R Do đó, δ1 (A) ⊆ R Giả sử lớp δµ (A) ⊆ R với số µ < λ S ∈ δλ (A) Khi đó, ảnh đồng cấu khác khơng S có iđêan = I ∈ δµ (A) với µ < λ Do đó, I ∈ R Vì R lớp nên áp dụng điều kiện (2) Định lý 3.1.3, suy S ∈ R Do đó, δλ (A) ⊆ R với số λ δ(A) ⊆ R Vậy, δ(A) lớp nhỏ chứa A lớp phổ dụng U, tức δ(A) = LA Lee [41, Theorem 1] xây dựng lớp từ lớp vành đóng đồng cấu Chúng tơi kết thúc tiết việc xây dựng lớp từ lớp nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự Lee Ngồi ra, chúng tơi chứng tỏ lớp xây dựng theo cách lớp lớp nửa vành đóng đồng cấu Định lý 3.2.4 Cho A lớp đóng đồng cấu lớp phổ dụng U nửa vành Khi đó, lớp Y A := {S ∈ U | ảnh đồng cấu khác khơng S có nửa vành chấp nhận khác không thuộc A} lớp chứa A lớp phổ dụng U Chứng minh Từ định nghĩa Y A ta dễ dàng thấy A ⊆ Y A Để chứng minh Y A lớp ta chứng minh Y A thỏa mãn điều kiện (1) (2) Định lý 3.1.3 Giả sử S ∈ Y A A = ảnh đồng cấu S Khi đó, ảnh đồng cấu B = A ảnh đồng cấu S , theo định nghĩa Y A, B có nửa vành chấp nhận khác khơng thuộc A Do đó, A ∈ Y A hay Y A đóng đồng cấu Điều suy Y A thỏa mãn điều kiện (1) Giả sử S ∈ U ảnh đồng cấu A = S ln có iđêan = I ∈ Y A Ta cần chứng minh S ∈ Y A Vì I ∈ Y A nên thân I có nửa vành chấp nhận = J ∈ A, suy J nửa vành chấp nhận A Vậy ảnh đồng cấu A = S ln có nửa vành chấp nhận = J ∈ A nên S ∈ Y A hay Y A thỏa điều kiện (2) Hệ 3.2.5 Nếu R lớp lớp phổ dụng U nửa vành Y R = R 75 Chứng minh Theo Định lý 3.2.4, ta có R ⊆ Y R Giả sử tồn nửa vành S ∈ Y R S ∈ / R Theo [17, Định lý 3.6], nửa vành thương = S/ R (S) ∈ S R R (S/ R (S)) = Theo [17, Định lý 3.6], lớp nửa đơn S R di truyền nên nửa vành chấp nhận S/ R (S) thuộc S R Do đó, theo [48, Định lý 7.1], khơng tồn nửa vành chấp nhận A khác không S/ R (S) A ∈ R Điều suy S ∈ / Y R (vô lý) Vậy, Y R = R Từ Hệ 3.2.5 suy hệ sau đây: Hệ 3.2.6 Nếu A lớp đóng đồng cấu lớp phổ dụng U nửa vành Y A lớp xác định A, tức Y A = LA Chứng minh Vì Y A lớp chứa A nên theo định nghĩa lớp ta có LA ⊆ Y A Mặt khác, theo định nghĩa Y A Hệ 3.2.5 ta có Y A ⊆ Y LA = LA Điều suy Y A = LA Ví dụ 3.2.7 ([11, Example 2.1.10]) Cho lớp phổ dụng U gồm tất nửa vành Gọi A lớp chứa tất nửa vành lũy linh U Khi đó, dễ dàng kiểm tra A lớp đóng đồng cấu, A khơng lớp U lớp A khơng thỏa mãn tính chất quy nạp Định lý 3.1.4 Thật vậy, đặt Tn nửa vành gồm tất ma trận tam giác cấp n ≥ với thành phần thuộc Q+ , tức Tn := {(aij )n | aij ∈ Q+ , aij = với i ≥ j} Khi đó, Tn nửa vành lũy linh bậc n Tnn = Tnn−1 = Xét nửa vành tổng trực tiếp T2 , T3 , , Tn , R := ⊕∞ n=2 Tn Trong nửa vành R có dây chuyền tăng T2 ⊆ T2 ⊕ T3 ⊆ ⊆ ⊕kn=2 Tn ⊆ iđêan T2 , T2 ⊕ T3 , , ⊕kn=2 Tn , R thỏa mãn R hợp k R = ∪∞ k=2 (⊕n=2 Tn ) 76 thành phần dây chuyền thành phần dây chuyền lũy linh, ta ln có (⊕kn=2 Tn )k = Tuy nhiên, nửa vành R khơng lũy linh Do đó, lớp A chứa tất nửa vành lũy linh U không thỏa mãn tính chất quy nạp Định lý 3.1.4 Theo Hệ 3.2.6, lớp Y A lớp nhỏ U chứa tất nửa vành lũy linh Nhận xét 3.2.8 Cho R vành Khi đó, giao tất iđêan nguyên tố vành R gọi Baer [37] vành R Theo [11, Example 2.2.2], lớp lớp tất vành lũy linh có phép lấy Baer Do đó, lớp Y A lớp A chứa tất nửa vành lũy linh có phép lấy tương ứng với Baer lý thuyết vành 3.3 Về lớp di truyền nửa vành Tiết chúng tơi trình bày lại điều kiện cần đủ để lớp nửa vành di truyền, từ suy lớp J Js di truyền Sau đó, chúng tơi cho ví dụ lớp lớp quy nửa vành mà khơng di truyền thiết lập điều kiện cần đủ để lớp lớp quy nửa vành di truyền Ngồi ra, chứng minh lớp lớp quy nửa vành có đơn vị ln di truyền, từ suy lớp Brown-McCoy di truyền Khái niệm lớp di truyền nửa vành, giới thiệu Morak [48, Section 6], tương tự khái niệm lớp di truyền vành nghiên cứu Anderson-Divinsky-Sulínski [5] Nhắc lại rằng: Một lớp R nửa vành lớp phổ dụng U gọi di truyền S ∈ R I iđêan S I ∈ R Các kết liên quan đến lớp di truyền vành phát biểu chứng minh Anderson-Divinsky-Sulínski [5, Theorem 1, Corollary and Corollary 3], Morak [48] phát biểu chứng minh phạm vi lớp nửa vành Morak thiết lập điều kiện cần đủ để lớp nửa vành di truyền Định lý 3.3.1 ([48, Theorem 6.2 6.4]) Giả sử R lớp lớp phổ dụng U nửa vành R toán tử tương ứng Khi đó, R di truyền R (I) = I ∩ R (S) với iđêan I nửa vành S ∈ U 77 Theo Ví dụ 3.1.10 Ví dụ 3.1.12(2), J Js toán tử tương ứng với lớp J Js lớp phổ dụng U nửa vành Từ Định lý 3.3.1, [22, Theorem 2] Mệnh đề 2.2.10 ta có hệ sau đây: Hệ 3.3.2 Cho lớp phổ dụng U gồm tất nửa vành Khi đó, lớp J Js U di truyền Sau đây, xét lớp lớp quy nửa vành mà khơng di truyền Ví dụ 3.3.3 ([48, Example 6.5]) Cho lớp phổ dụng U gồm tất nửa vành Cho S ∈ U, kí hiệu n S := { si ti | si , ti ∈ S} i=1 Đặt M := {S ∈ U | S = 0} Theo Định nghĩa 3.1.6, M lớp quy nửa vành U Theo Định nghĩa 3.1.7, lớp U M = {S ∈ U | ∀A = ảnh đồng cấu S suy A ∈ / M} lớp lớp quy M Tiếp theo lớp U M không di truyền Thật vậy, xét nửa vành S := {0, a, e} ∈ U với hai phép toán cộng nhân cho bảng sau: + a e × a e 0 a e 0 0 a a a e a 0 a e e e e e a e Vì nửa vành S có đơn vị e nên S ∈ U M Tuy nhiên, iđêan I = {0, a} S thỏa điều kiện I = nên I ∈ M Điều dẫn đến iđêan I ∈ / U M Do đó, lớp U M không di truyền Vậy, lớp lớp quy nửa vành nói chung khơng di truyền Tiếp theo, chúng tơi thiết lập điều kiện cần đủ để lớp lớp quy nửa vành di truyền Định lý 3.3.4 Giả sử M lớp quy lớp phổ dụng U nửa vành Khi đó, lớp U M di truyền lớp quy M thỏa 78 mãn điều kiện sau: Nếu I iđêan khác không S ∈ U A ∈ M ảnh đồng cấu khác không I tồn ảnh đồng cấu khác khơng B S cho B ∈ M Chứng minh ⇒ Giả sử U M di truyền, I iđêan khác không S ∈ U A ∈ M ảnh đồng cấu khác không I Theo định nghĩa lớp U M, I ∈ / U M S ∈ / U M U M di truyền Theo định nghĩa U M lần nữa, S có ảnh đồng cấu khác không B ∈ M ⇐ Giả sử lớp quy M thỏa mãn điều kiện đủ định lý tồn I iđêan khác không nửa vành S ∈ U M I ∈ / U M Điều suy tồn nửa vành = A ∈ M cho A ảnh đồng cấu I Theo giả thiết, S có ảnh đồng cấu khác khơng B ∈ M (mâu thuẫn) Do đó, iđêan khác khơng I nửa vành S ∈ U M thuộc U M Vậy, U M di truyền Đối với lớp lớp quy nửa vành có đơn vị, chúng tơi chứng minh di truyền Định lý 3.3.5 Nếu M lớp quy nửa vành có đơn vị lớp phổ dụng U lớp U M di truyền Chứng minh Giả sử I iđêan khác không S ∈ U M ϕ : I −→ A tồn cấu khác khơng với A ∈ M Khi đó, I/kerϕ ∼ = A, kerϕ := {(x, y) ∈ I | ϕ(x) = ϕ(y)} tương đẳng nhân ϕ I Vì A ∈ M nên I/kerϕ ∈ M Do đó, I/kerϕ nửa vành có phần tử đơn vị e với e ∈ I Theo [27, Lemma 3.14], quan hệ ρ S xác định bởi: Với a, b ∈ S a ρ b ⇔ (eae, ebe) ∈kerϕ tương đẳng S đồng cấu tự nhiên π : S/ρ −→ I/kerϕ xác định r −→ ere đẳng cấu nửa vành Điều I/kerϕ ∈ M ảnh đồng cấu khác không S Theo Định lý 3.3.4, U M di truyền Theo Ví dụ 3.1.8(2), lớp Brown-McCoy lớp phổ dụng U nửa vành lớp lớp quy nửa vành có đơn vị có iđêan tầm thường Theo Định lý 3.3.5, ta có hệ sau đây: Hệ 3.3.6 Cho lớp phổ dụng U tất nửa vành Khi đó, lớp BrownMcCoy U di truyền 79 3.4 Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau (1) Giới thiệu khái niệm nửa vành chấp nhận (Định nghĩa 3.1.15) Đặc trưng lớp nửa vành theo nửa vành chấp nhận đồng cấu nửa vành (Định lý 3.1.17) (2) Xây dựng lớp lớp nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự Kurosh lý thuyết vành (Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.3) Sử dụng khái niệm nửa vành chấp nhận phương pháp tương tự Lee lý thuyết vành, xây dựng lớp lớp nửa vành đóng đồng cấu (Định lý 3.2.4 Hệ 3.2.6) (3) Chứng tỏ lớp J Js nửa vành di truyền (Hệ 3.3.2) Thiết lập điều kiện cần đủ để lớp lớp quy nửa vành di truyền (Định lý 3.3.4) Chứng minh lớp lớp quy nửa vành có đơn vị di truyền (Định lý 3.3.5), từ kết suy lớp Brown-McCoy lớp phổ dụng U nửa vành di truyền (Hệ 3.3.6) Nội dung chương viết dựa kết báo [56] [23] 80 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, chúng tơi thu kết sau (1) Sử dụng khái niệm J -căn nửa vành, mơ tả cấu trúc nửa vành cộng π -chính quy J -nửa đơn (2) Chứng tỏ tồn nửa mơđun trái đơn nửa vành có đơn vị chứng minh Js -căn trùng với Nil lớp nửa vành có đơn vị giao hốn phi khả đối Từ kết này, nhận kết tương tự Snapper Jacobson vành đa thức vành có đơn vị giao hốn cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hốn phi khả đối Ngồi ra, chúng tơi mơ tả cấu trúc nửa vành có đơn vị giao hốn phi khả đối Js -nửa đơn (3) Thiết lập điều kiện cần đủ để J -căn Js -căn trùng lớp nửa vành nửa đơn, lớp nửa vành cộng π -chính quy, lớp nửa vành phản bị chặn lớp V-nửa vành trái Từ kết này, trả lời phần Bài tốn [27, Problem 1] Ngồi ra, mô tả số lớp nửa vành mà V-nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn Qua đó, chúng tơi trả lời phần Bài toán [1, Problem 1] (4) Đề xuất khái niệm nửa vành chấp nhận đặc trưng lớp nửa vành theo nửa vành chấp nhận đồng cấu nửa vành Xây dựng lớp lớp nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự Kurosh lý thuyết vành Sử dụng khái niệm nửa vành chấp nhận phương pháp tương tự Lee lý thuyết vành, xây dựng lớp lớp nửa vành đóng đồng cấu (5) Thiết lập điều kiện cần đủ để lớp lớp quy nửa vành di truyền chứng minh lớp lớp quy nửa vành có đơn vị ln di truyền Từ kết suy lớp Brown-McCoy lớp phổ dụng U nửa vành di truyền 81 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN (1) Mai L H and Tuyen N X (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J Math (DOI 10.1007/s10013016-0226-7) (2) Inassaridze H., Mai L H and Tuyen N X (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math J., 7(1), pp 69-74 (3) Mai L H and Tuyen N X (2016), On Js -semisimple left (right) V-semirings, J Adv Math Stud., 9(3), pp 437-443 (4) Mai L H (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ J Sci., 107(8), pp 87-94 (5) Tuyen N X and Mai L H (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ J Sci., 82(4); pp 207217 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI: (1) Đại hội Tốn học Tồn Quốc Lần thứ 8, Trường Sĩ quan Thông tin, TP Nha Trang, 08-2013 (2) Hội nghị nhóm, biểu diễn nhóm vấn đề liên quan, Trường ĐH KHTN- ĐHQG TP HCM, 11-2013 (3) Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên Lần thứ 1, Trường ĐH Quy Nhơn, 08-2015 (4) Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Buôn Ma Thuột - Đắk Lắk, 10-2016 (5) Seminar Bộ mơn Đại số - Hình học thuộc Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO Abuhlail J Y., Il’in S N., Katsov Y and Nam T G (2015), On V-Semirings and semirings all of whose cyclic semimodules are injective, Comm Algebra, 43, pp 4632-4654 Amitsur S A (1951), A general theory of radicals I, Radicals in complete lattices, American J Math., 74, pp.774-786 Amitsur S A (1954), A general theory of radicals II, Radicals in rings and bicategories, American J Math., 76, pp 100-125 Amitsur S A (1954), A general theory of radicals III, Applications, American J Math., 76, pp 126-136 Anderson T., Divinsky N J and Sulínski A (1965), Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canad J Math., 17, pp 594-603 Anderson F W and Fuller K R (1992), Ring and categories of modules, 2nd Sd., Springer-Verlag, New York-Berlin Bashir R E., Hurt J., Janˇcaˇrík A and Kepka T (2001), Simple commutative semirings, J Algebra, 236, pp 277-306 Berstel J and Reutenauer C (1988), Rational series and their languages, Monogr Theoret Comput Sci EATCS Ser., vol 12, Springer-Verlag, Berlin Bourne S (1951), The Jacobson radical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 37, pp 163-170 10 Bourne S and Zassenhaus H (1958), On the semiradical of a semiring, Proc Nat Acad Sci., 44, pp 907-914 11 Gardner J and Wiegandt R (2004), Radical theory of rings, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel 12 Gathmann A (2006), Tropical algebraic geometry, Jahresber Deutsch Math.Verein, 108(1), 3-32 83 13 Golan J (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London 14 Grillet P A (1969), On free commutative semigroups, J Nat Sci Math., 9, pp 71-78 15 Hebisch U and Weinert H J (1997), Radical theory for semirings, Quaestiones Math., 20, pp 647-661 16 Hebisch U and Weinert H J (2001), On the interrelation between radical theories for semirings and rings, Comm Algebra, 29, pp 109-129 17 Hebisch U and Weinert H J (2002), Semisimple classes of semirings, Algebra Colloq., 2, pp 177-196 18 Polák L (2004), A classification of rational languages by semilattice-ordered monoids, Arch Math (Brno), 40(4), pp 395-406 19 Il’in S N (2012), V-semirings, Siberian Math J., 53(2), pp 222-231 20 Il’in S N and Katsov Y (2011), On p-schreier varieties of semimodules, Comm Algebra, 39, pp 1491-1501 21 Il’in S N., Katsov Y and Nam T G (2017), Toward homological structure theory of semimodules: On semirings all of whose cyclic semimodules are projective, J Algebra, 476, pp 238-266 22 Iizuka K (1959), On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math J., 2, pp 409 - 421 23 Inassaridze H., Mai L H and Tuyen N X (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math J., 7(1), pp 69-74 24 Izhakian Z and Rowen L (2010), Supertropical algebra, Adv Math., 225(4), pp 2222-2286 25 Izhakian Z., Rhodes J and Steinberg B (2011), Representation theory of finite semigroups over semirings, J Algebra, 336, pp 139-157 26 Jacobson N (1945), The radical and semisimplicity of arbitrary rings, American J Math., 67, pp 300-320 84 27 Katsov Y and Nam T G (2014), On radicals of semirings and related problems, Comm Algebra, 42, pp 5065-5099 28 Katsov Y., Nam T G and Tuyen N X (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloq., 16, pp 415-426 29 Katsov Y., Nam T G and Tuyen N X (2011), More on subtractive semirings: simpleness, perfectness, and related problems, Comm Algebra, 39, pp 4342-4356 30 Katsov Y., Nam T G and Zumbrăagel J (2014), On simpleness of semirings and complete semirings, J Algebra Appl., 13, pp 1450015 (29 pages) 31 Kepka T and Nˇemec P (2015), Simple semirings with left multiplicatively absorbing elements, Semigroup Forum, 91(1), pp 159-170 32 Kepka T., Kortelainen J and Nˇemec P (2016), Simple semirings with zero, J Algebra Appl., 15(3), pp 1650047 (9 pages) 33 Kendziorra A and Zumbrăagel J (2013), Finite simple additively idempotent semirings, J Algebra, 388, pp 43-64 34 Krempa J and Malinawska I A (2011), On Kurosh-Amitsur radicals of finite groups, An S¸t Univ Ovidius Constant¸a, 19(1), pp 175-190 35 Kurosh G (1953), Radicals of rings and algebras, Math Sb., 33, pp 13-26 36 Lam T Y (2001), Lectures on modules and rings, 2nd ed., Springer-Verlag, New York-Berlin 37 Lam T Y (2001), A first course in noncommutative rings, 2nd ed., SpringerVerlag, New York-Berlin 38 LaTorre D R (1965), On h-ideals and k-ideals in hemirings, Publ Math Debrecen, 12, pp 219-226 39 LaTorre D R (1967), A note on the Jacobson radical of a hemirings, Publ Math Debrecen, 14, pp 9-13 40 LaTorre D R (1967), The Brown-McCoy radicals of a hemiring, Publ Math Debrecen, 14, pp 15Ọ28 85 41 Lee Y L (1969), On the construction of lower radical properties, Pacific J Math., 28, pp 393–395 42 Lescot P (2012), Absolute algebra III-saturated spectrum, J Pure Appl Algebra, 216, pp 1004-1015 43 Li X and Zhang Z (2015), Hereditary upper radical properties and dual supplementing radicals of hereditary radicals of groups, Comm Algebra, 43, pp 3282-3293 44 Mai L H (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ J Sci., 107(8), pp 87-94 45 Mai L H and Tuyen N X (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J Math (DOI 10.1007/s10013-016-0226-7) 46 Mai L H and Tuyen N X (2016), On Js -semisimple left (right) V-semirings, J Adv Math Stud., 9(3), pp 437-443 47 Márki L., Mlitz R and Wiegandt R (1988), A general Kurosh-Amitsur radical theory, Comm Algebra, 16, pp 249-305 48 Morak B (1999), On the radical theory for semirings, Contributions to Algebra and Geometry, 40, pp 533-549 49 Mukherjee T K., Sen M K and Ghosh S (1996), Chain conditions on semirings, Internat J Math & Math Sci., 19, pp 321-326 50 Olson D M and Jenkins T L (1983), Radical theory for hemirings, J Nat Sci Math., 23, pp 23-32 51 Olson D M and Nance A C (1989), A note on radicals for hemirings, Quacstiones Math., 12, pp 307-314 52 Olson D M., Heyman G A P and Leroux H J (1992), Weakly special classes of hemirings, Quacstiones Math., 15, pp 119-126 53 Olson D M., Leroux H J and Heyman G A P (1994), Three special radicals for hemirings, Quacstiones Math., 17, pp 205-215 86 54 Schă utzenberger M P (1961), On the definition of a family of automata, Inform Control, 4, pp 245-270 55 Tuyen N X and Mai L H (2010), Hopkins theorem about Jacobson radical for additively cancellative semirings, Hue Uni J Sci., 59, pp 155-162 56 Tuyen N X and Mai L H (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ J Sci., 82(4); pp 207-217 57 Tuyen N X and Nam T G (2007), On radicals of semirings, Southeast Asian Bull Math., 31, pp 131-140 58 Vandiver H S (1934), Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold, Bull Am Math Soc., 40, pp 914-920 59 Wang H (1997), On characters of semirings, Houston J Math., 23, pp 391405 60 Watters J F (1969), Lower radicals in associative rings, Canad J Math., 21, pp 466–476 61 Weinert H J and Wiegandt R (1992), A Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields, Comm algebra, 20(8), pp 2419-2458 62 Weinert H J and Wiegandt R (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields I, Math Pannonica, 14(1), pp 3-28 63 Weinert H J and Wiegandt R (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields II, Math Pannonica, 14(2), pp 149-164 64 Zulfiqar M (2003), The sum of two radical classes of hemirings, Kyungpook Math J., 43(3), pp 371-374 65 Zulfiqar M (2008), A note on lower radicals of hemirings, Bull Korean Math Soc., 45(4), pp 757-762 66 Zulfiqar M (2009), A note on the intersection of a radical class with the sum of radical classes of hemirings, Novi Sad J Math., 39(1), pp 57-64 67 Zumbrăagel J (2008), Classification of finite congruence-simple semirings with zero, J Algebra Appl., 7, pp 363-377 ... dụng nửa vành H Lớp nửa vành U Lớp nửa đơn nửa vành U Lớp lớp A nửa vành Lớp lớp quy M nửa vành ACC DCC Điều kiện dãy tăng Điều kiện dãy giảm Z(R) Tập cộng hút nửa vành R V (R) Vành lớn nửa vành. .. Căn Jacobson (J -căn) nửa vành R Js -căn nửa vành R Căn Nil nửa vành R Tập tất iđêan nửa vành R Tập tất iđêan cô lập (k-iđêan) nửa vành R Linh hóa tử R-nửa mơđun M nửa vành R Lớp tất nửa vành Lớp. .. trùng lớp nửa vành nửa đơn, lớp nửa vành cộng π -chính quy, lớp nửa vành phản bị chặn lớp V-nửa vành trái Mô tả số lớp nửa vành mà V-nửa vành trái (phải) Js -nửa đơn Đặc trưng lớp nửa vành theo khái