ÔNTẬP TOÁN LỚP 11 HỌC KÌ I I> ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1. Phương trình lượng giác A. Phương trình dạng sin cosa u b u c + = Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ Bài tập: Giải các phương trình sau 1. + =cosx 3 sin x 3 2. − =3 sin x cos x 2 3. + = 6 sin x cosx 2 4. + =sin x 3 cosx 2 5. + =3 sin x cos x 2sin 7x 6. = +2 cos13x sinx cos x 7. − = −2 sin3x 6 cos3x 2 8. − = −2 sin 4x 2 cos4x 1 9. 3sin5x cos5x 2sin3x− = 10. ( ) π π + − − = ÷ cos 2x 3 cos 2x 1 2 B. Phương trình qui về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Cách giải: Ta đặt ẩn phụ cos ; sin ; tan ; cott u t u t u t u= = = = và đưa phương trình đã cho về dạng 2 0at bt c+ + = . Tính ∆ và giải phương trình này. Luu ý khi cos ; sint u t u= = ta chọn nghiệm t thỏa điều kiện 1 1t − ≤ ≤ . Bài tập: Giải các phương trình sau 1. − + = 2 5 3 sin x sin x 0 2 2 2. 2 + = 2 2 sin 2x 2sin x 3 3. 2 + + = 2 cos 2x 3 sin2x 1 0 4. − − = 2 3 2 3 cot gx 6 0 sin x 5. + = 9 3 sin2x 4tgx 2 6. − + = 2 1 2 5 tg x 0 2 cosx 2 7. ( ) − + = + 2 2 2 1 2 2 sinx 1 cot g x 8. ( ) + + + = 2 2 3 3tg x tgx cot gx 1 sin x C. Phương trình đẳng cấp bậc hai dạng 2 2 sin sin cos cos (*)a u b u u c u d+ + = Cách giải: Bước1. Kiểm tra cos 0u = có thỏa phương trình hay không, nếu có, nhận 2 u k π π = + là nghiệm. Bước 2. Xét cos 0u ≠ . Chia hai vế phương trình cho 2 cos u đưa phương trình đã cho về dạng 2 2 tan tans (1 tan )a u b u c d u+ + = + . Giải phương trình bậc hai theo tanu . Bài tập: Giải các phương trình sau 1. + − = 2 2 sin x 6 3 sin x.cos x cos x 5 2. − + = 2 2 sin x 10sin x cos x 21cos x 0 3. − = + 3 3 sin x cos x sin x cos x 4. − + = 2 cos x 3sin x cosx 1 0 5. + = 1 sin x cos x cosx 6. = + 1 4sin x 6cosx cos x 7. ( ) ( ) − + + + = 2 2 2 1 cos x 2sin x.cosx 2 1 sin x 2 8. + − = + 2 2 cos x 2sin 2x sin x 2 3 2. Giải phương trình và bất phương trình liên quan đến k k n n n C ; A ; P Cách giải: + Thuộc lòng các công thức ! ! ; ; !; ! 1.2.3 ( 3)( 2)( 1) !( - )! ( - )! k k n n n n n C A P n n n n n n k n k n k = = = = − − − + Chú ý ! ! ! ; ( 1); ( 1)( 2) ( 1)! ( 2)! ( 3)! n n n n n n n n n n n n = = − = − − − − − để rút gọn. Tài liệu ôntập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 1 Bài tập: Giải các phương trình và bất phương trình sau 1. 1 2 2 1 1 8 28 2 n n n C A C + − ≥ − 2. 3 2 5 21 n n A A n+ ≤ 3. 2 2 1 2 3 9 3 x x C A x + + = + 4. 3 3 2 16 x x A C x+ = 5. 1 2 3 6 6 81 14 x x x C C C x+ + = − 6. 4 2 1 3 210 n n n P A P − + − = 7. 1 2 3 7 2 n n n n C C C+ + = 8. 4 2 1 3 210 n n n P A P − + − = 9. 4 3 2 1 1 2 5 0 4 x x x C C A − − − − − = 10. 3 2 1 1 3 2 n n n A A P + + = 3. Tìm hệ số của p x trong khai triển nhị thức Newton Cách giải: + Thuộc lòng công thức 0 ( ) n n k n k k n k a b C a b − = + = ∑ . + Chú ý tính đúng các lữy thừa . ; ; ( ) ; q q p p q p q p q r p q rq pq r r pq q p x a a x x x x a x a x x x b x bx + − − = = = = ÷ ÷ Bài tập: Tìm hệ số của p x trong các khai triển sau nhị thức Newton sau 1. 10 3 2 3 2x x − ÷ ( 15)p = 2. 12 2 1 2x x − ÷ ( 0)p = 3. 10 2 1 2x x − ÷ ( 0)p = 4. 12 3 1 x x + ÷ ( 0)p = 5. 18 4 2 x x + ÷ ( 0)p = 6. 5 3 2 2 3x x − ÷ ( 5)p = 7. 10 2 3 2 3 x x + ÷ ( 10)p = 8. 10 2 3 2 2 x x − ÷ ( 6)p = 9. ( ) 10 2 1 2 3x x+ + ( 10)p = 10. 17 4 3 3 2 1 x x + ÷ ÷ ( 0)p = 4. Tìm 1 u và q của một cấp nhân Cách giải: + Học thuộc lòng hai công thức sau 1 1 1 1 ; . 1 n n n n q u u q S u q − − = = − + Dùng hai công thức trên để đưa hệ đã cho về dạng chỉ chứa 1 u và q . Đặt nhân tử chung cho mỗi phương trình của hệ rồi lập tỉ số giữa hai phương trình để khủ bớt một ẩn rồi giải. Bài tập: Tìm 1 u và q của các cấp số nhân, biết: 1. 3 5 2 6 90 240 u u u u + = − = 2. 4 2 5 3 72 144 u u u u − = − = 3. 1 3 5 1 7 65 325 u u u u u − + = + = 4. 1 9 5 1280 u u = = 5. 4 2 2 2 2 1 2 3 4 15 85 S u u u u = + + + = 6. 1 1 2 4 24 u q u u = + = 7. 2 4 5 3 5 6 10 20 u u u u u u − + = − + = Tài liệu ôntập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 2 II> HÌNH HỌC 1. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua một trong các phép biến hình sau: A. Phép tịnh tiến v T r B. Phép đối xứng tâm I D C. Phép vị tự ( ) ;A k V Cách giải: Bước 1. Tìm tâm ( ; )J a b và bán kính R của đường tròn Bước 2. Tìm ảnh của ( ; )J a b là ( ; )J a b ′ ′ ′ qua: A. Nếu là phép tịnh tiến v T r thì áp dụng cơng thức : ( ; ) v v v a a x T J a b b b y ′ = + ′ ′ ′ ⇒ ′ = + r r r Phương trình của 2 2 2 ( ) : ( ) ( )C x a y b R ′ ′ ′ − + − = . B. Nếu là phép đối xứng tâm I D thì áp dụng cơng thức 2 : ( ; ) 2 I I I a x a D J a b b y b ′ = − ′ ′ ′ ⇒ ′ = − Phương trình của 2 2 2 ( ) : ( ) ( )C x a y b R ′ ′ ′ − + − = . C. Nếu là phép vị tự ( ) ;A k V thì áp dụng cơng thức ( ) ; ( ) : ( ) A A I k A A a k a x x V b k b y y ′ = − + ′ = − + Phương trình của 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) ( )C x a y b kR ′ ′ ′ − + − = . Bài tập: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua một trong các phép biến hình sau: Phép tịnh tiến v T r , Phép đối xứng tâm I D , Phép vị tự ( ) ;A k V , biết: 1. 2 2 ( ) : 2 8 3 0C x y x y+ − + − = ; (1; 2)v = − r ; (3; 1)I = − ; (3; 1)A − và 1 2 k = − 2. 2 2 ( ) : 2 4 11 0C x y x y+ − + − = ( 1;3)v = − r ; (2; 1)I = − ; (1; 1)A − và 2k = − 3. 2 2 ( ) : 4 8 16 0C x y x y+ − + − = ( 1;3)v = − r ; (2; 1)I = − ; ( 1;2)A − và 1 2 k = 2. Hình khơng gian Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm SAD∆ . a) Tìm ( ) I GM ABCD= I . Chứng minh IC = 2ID. b) Tìm ( ) J AD OMG= I . Tính JA JD c) Tìm ( ) K SA OMG= I . Tính KA KS . Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang (AB // CD). Một mặt phẳng lưu động ( α ) chứa AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại C’, D’. a) Hãy xác đònh giao tuyến (SAD) và (SBC). b) Gọi I là giao điểm của AD’ và BC’. Tìm tập hợp điểm I . Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. a) Chứng minh : HKIJ là hình bình hành. b) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và (HKM). Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB. a) Chứng minh : MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Tài liệu ơntập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 3 c) Gọi I là giao điểm AN và DP. Chứng minh : SI // AB // CD. d) Hình tính của tứ giác SABI. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành . Lấy M trên cạnh AD. Gọi ( ) α là mặt phẳng qua M và song song với SA và CD. ( ) α cắt BC, SC, SD tại N, P, Q. a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? b) Gọi I là giao điểm của MQ và NP . Chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố đònh khi M di động trên cạnh AD. Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. a) Gọi ( ) α là mặt phẳng qua DC cắt SA và SB tại M, N. Chứng minh DCMN là hình thang. b) Gọi I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh S, I, O thẳng hàng . Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC. M là một điểm di động trên cạnh SA. Gọi ( ) α là mặt phẳng di động luôn qua C’M và song song với BC. a) Chứng minh ( ) α luôn chứa một đường thẳng cố đònh. b) Xác đònh thiết diện mà ( ) α cắt hình chóp S.ABCD . Đònh m để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp các giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M chuyển động trên cạnh SA. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC , ( ) α là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) Chứng minh ( ) α luôn chứa một đường thẳng cố đònh. b) Tìm các giao điểm H và K của ( ) α với SB, SD. Chứng minh rằng : SB SD SC SH SK SM + − có giá trò không đổi. ĐỀ THI HỌC KÌ I – MƠN TỐN 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình lượng giác sau 2 2sin 2 3sin 1 cos2 0x x x+ + − = Câu 2. (1,5 điểm) Giải bất phương trình sau 3 4 2 2 3 n n n A C A− ≥ Câu 3. (1,5 điểm) Tìm số hạng đầu 1 u và cơng bội q của cấp số nhân n (u ) , biết: 2 4 5 3 5 6 22 44 u u u u u u − + = − + = − Câu 4. (1 điểm) Cho khai triển 3 2 5 2 15 0 1 2 15 ( 1) x x x a a x a x a x+ − − = + + + + . Tính 10 a . Câu 5. (1 điểm) Tìm ảnh của đường tròn 2 2 ( ) : 4 10 25 0C x y x y+ − + + = qua phép vị tự tâm A(-2;1) tỉ số 1 k= 2 . Câu 6. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy một điểm M khơng trùng với S và A. Gọi ( ) α là mặt phẳng qua M và song song với AB và SD. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD). b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) α . Thiết diện là hình gì ? Tài liệu ơntập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 4 . − = 10. 3 2 1 1 3 2 n n n A A P + + = 3. Tìm hệ số của p x trong khai triển nhị thức Newton Cách giải: + Thuộc lòng công thức 0 ( ) n n k n k k n k a b. = = = = ÷ ÷ Bài tập: Tìm hệ số của p x trong các khai triển sau nhị thức Newton sau 1. 10 3 2 3 2x x − ÷ ( 15)p = 2. 12 2 1 2x