Tối Ưu Hóa Đại HỌc CÔng Nghiệp

Bài Tập Lớn Tối Ưu Hóa DHCNHN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC TỐI ƯU HĨA Đề tài: Bài tốn lập kế hoạch sản xuất kẹo cơng ty Bibica Hà Nội Nhóm thực : Nhóm Thành viên nhóm : Giảng viên hướng dẫn : Hà Nội, 2019 Menu I Mục đích ý nghĩa toán Mục đích tốn Ý nghĩa toán .8 II Khảo sát xây dựng toán: .9 Khảo sát Xây dựng toán: 10 III THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH .11 IV Áp dụng thuật toán để giải: 14 V Ưng dụng phần mềm để giải (Excel): 14 Lời nói đầu Trong khoa học máy tính tốn học, tốn Tối ưu hóa tốn tìm kiếm lời giải tốt tất lời giải khả thi Tối ưu hóa có nhiều ứng dụng hiểu rộng rãi quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, việc tạo nên hệ hỗ trợ định quản lý phát triển hệ thống lớn Vì vậy, tối ưu hóa mơn học khơng thể thiếu đào tạo cho ngành liên quan đến kinh tế, kỹ thuật công nghệ thông tin Thông qua mơn học này, nhóm em nắm bắt kiến thức lĩnh vực tối ưu hóa Dựa kiến thức trang bị hướng dẫn Ths nhóm em xin phép chọn đề tài: Bài toán lập kế hoạch sản xuất kẹo công ty Bibica Hà Nội Trong trình thực khơng thể tránh khỏi sai lầm thiếu xót, kính mong nhận xét đóng góp Giảng Viên Nhóm em xin chân thành cảm ơn! I Mục đích ý nghĩa tốn Mục đích tốn - Bài tốn lập kế hoạch sản xuất tối ưu xí nghiệp sản xuất bánh kẹo phải số lượng (kg) nguyên liệu để làm kẹo cần sản xuất tháng, quý năm, yếu tố ảnh hưởng nhu cầu tiêu thụ, biến động thị trường, nhịp điệu cung cấp nguyên liệu, tình trạng vận hành thiết bị… Ở yêu cầu kế hoạch đặt phải kế hoạch tối ưu Một kế hoạch gọi tối ưu thoả mãn điều kiện:  Sản phẩm sản xuất phải đáp ứng nhu cầu người tiêu dùng phương diện khối lượng chất lượng  Phải phù hợp khả cung cấp nguyên liệu, sức sản xuất máy móc, thiết bị nhiều điều kiện nội khác xí nghiệp Đối với xí nghiệp chế biến gỗ, điều kiện nguyên liệu xem yếu tố quan trọng nhất, ln biến động tùy thuộc nguồn cung cấp…  Phải đạt tiêu kinh tế có lợi nhất, ví dụ: tiết kiệm ngun liệu nhất, giá thành thấp nhất, chi phí lượng nhất, thời gian quay vòng vốn lưu động nhanh nhất… Việc tìm kiếm phương án khơng phải q khó khơng phải ta làm được, sản xuất có nhiều yếu tố chi phối đến trình sản xuất mà ta chưa lường hết được, giới hạn mà phải tuân thủ Trong lý thuyết quy hoạch tốn học thường gọi giới hạn ràng buộc điều kiện biên điều kiện ràng buộc Bài toán quy hoạch cho ta nhiều nghiệm số.Trong nhiều nghiệm số ta phải chọn lấy Nghiệm phải thoả mãn điều kiện giới hạn phải làm cực đại cực tiểu tiêu kinh tế Để giải vấn đề này, quy hoạch tốn học cơng cụ chủ yếu mà ta phải sử dụng Điều khó khăn lớn ta phải khắc phục sử dụng phương pháp đồng thời lúc phải giải nghệ nhiều phương trình nghiệm quy hoạch ổn định Việc lựa chọn phương án tốt (tối ưu) tập hợp nhiều phương án chấp nhận trình tốn phức tạp, đơn mang tính chất tốn học Để thực q trình tính tốn ta phải sử dụng phương pháp tính riêng Giải tốn để tìm phương án tối ưu cho sản xuất thuộc loại tốn tìm cực trị, có điều kiện, nghĩa ta phải tìm giá trị lớn bé hàm nhiều biến đồng thời phải thoả mãn điều kiện ràng buộc biến Trong lập kế hoạch sản xuất, vấn đề có ý nghĩa quan trọng phải xác định tiêu mà ta cần tối ưu Ứng với tiêu cần tối ưu ta có giới hạn tương ứng Một điểm ta cần lưu ý dạng toán ta chọn tiêu tối ưu khác nghiệm tốn hồn tồn khác Chỉ tiêu tối ưu tức đại lương, số mà ta cần phải cưc đại hóa cực tiểu hóa Chỉ tiêu cần tối ưu hố có nhiều Các ngành khác có tiêu tối ưu khác nhau, chí ngành dây chuyền sản xuất loại sản phẩm có tiêu khác Trong công nghiệp chế biến kẹo, tiêu tối ưu thường đại lượng sau: Giá thành công xưởng thấp Lợi nhuận nhiều Nguyên liệu tiêu tốn Năng suất máy cao Nhân lực tham gia sản xuất Chi phí vận tải thấp Dữ trữ nguyên liệu lưu kho sản phẩm hợp lý Tiêu hao lượng Các số đặc tính sản phẩm đạt giá trị hay max Ngành sản xuất kẹo ngày chiếm tỷ trọng không nhỏ kinh tế quốc dân…Yêu cầu công tác quản lý sản xuất ngày khoa học chặt chẽ Trình độ sản xuất tiên tiến tính khoa học cơng tác quản lý cao Lập kế hoạch sản xuất khâu quan trọng công tác quản lý Kế hoạch sản xuất ngành, xí nghiệp động lực thúc đẩy sản xuất ngành, xí nghiệp phát triển Lập kế hoạch tối ưu bước phát triển cao công tác quản lý sản xuất Một kế hoạch tối ưu cho ta phương án cụ thể để sử dụng nhân lực, vốn đầu tư, quỹ thời gian, quỹ thiết bị, quỹ nguyên liệu,… để sản xuất mặt hàng theo chiều hướng có lợi Để giải toán cần lập kế hoạch tối ưu, phải tiến hành bước sau: Bước một: Xây dựng mơ hình định tính cho vấn đề thực tế, tức xác lập yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập qui luật mà chúng phải tuân theo Hay nói cách khác phải thể ý tưởng ta lời đối tượng cần quan tâm Ở cần phải xác định mục tiêu cần đạt gì, bị chi phối yếu tố Bước hai: Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề nghiên cứu Từ tư liệu ý tưởng xác định bước một, ta diễn tả lại chúng dạng ngôn ngữ tốn học Như vậy, mơ hình tốn học trừu tượng hóa dạng ngơn ngữ tốn học tượng thực tế, cần phải xây dựng cho việc phân tích cho phép ta hiểu chất tượng Mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ biến số tham số điều khiển tượng Việc làm quan trọng bước phải xác định hàm mục tiêu, tức đặc trưng số mà giá trị lớn (hoặc nhỏ) tương ứng với hiệu tốt giải vấn đề mà người nhận lời giải (người lập kế hoạch) mong muốn Tiếp theo, phải diễn tả phương trình bất phương trình điều kiện kinh tế kỹ thuật Đó ràng buộc tốn học mà biến số phải tuân theo Công việc bước địi hỏi người lập kế hoạch cần có kiến thức toán học định Bước ba: Sử dụng cơng cụ tốn học để khảo sát giải toán thiết lập bước hai.Căn toán xây dựng cần phải chọn xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp phải cụ thể hóa phương pháp giải thuật tốn tối ưu Nếu tốn có kích thước lớn khơng giải tay phải sử dụng máy vi tính Bước bốn: Phân tích kiểm tra lại kết tính tốn thu bước ba Trong bước cần xác lập mức độ phù hợp mơ hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà mơ tả Để thực bước này, làm thực nghiệm hoăc áp dụng phương pháp phân tích chun gia Ví dụ, thiết lập tốn tính thơng số cơng nghệ để thu sản phẩm ván có tiêu chất lượng xác định trước (theo điều kiện biên) sau thu lời giải, ta phải tiến hành thực nghiệm theo kết phân tích tiêu chất lượng sản phẩm xem chúng có thoả mãn điều kiện ràng buộc hay không Sau thực bước bốn, có hai khả xảy ra: Khả thứ kết tính tốn phù hợp với thực tế Khi áp dụng vào việc giải vấn đề từ thực tế đặt Nếu tốn đặt có qui mơ lớn có khả ứng dụng nhiều lần nên lập bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mơ hình tốn học thuật tốn tối ưu để tiến xây dựng phần mềm bảo đảm giao diện thuận tiện người sử dụng máy tính, khơng địi hỏi người sử dụng phải có trình độ chun mơn cao tốn Khả thứ hai kết tính tốn khơng phù hợp với thực tế Trong trường hợp cần phải kiểm tra: - Thuật tốn phương thức tính tốn ba bước (bằng tay hay máy tính điện tử) có đủ độ tin cậy hay không? Nếu kiểm tra thấy chắn toán thu tương ứng với quy hoạch xây dựng điều có nghĩa “trục trặc” nằm bước hai bước - Kiểm tra lại xem bước hai, với thông tin thu bước một, việc xây dựng dạng mơ hình hợp chưa, phản ảnh quy luật tượng hay chưa? - Kiểm tra lại bước xem có bỏ sót thứ hay khơng? Các yếu tố đưa vào mơ hình đặc trưng chưa? Nếu thấy có nghi ngờ phải rà sát lại lần thực lại bước nêu Việc kiểm tra, điều chỉnh sửa đổi lại mơ hình phải lặp lặp lại nhiều lần thu kết tính tốn phù hợp với thực tế để áp dụng vào việc giải vấn đề thực tế sản xuất đặt Ý nghĩa toán - Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu xí nghiệp sản xuất bánh kẹo phải số lượng (kg) nguyên liệu để làm kẹo cần sản xuất tháng, quý năm, yếu tố ảnh hưởng nhu cầu tiêu thụ, biến động thị trường, nhịp điệu cung cấp nguyên liệu, tình trạng vận hành thiết bị - Ngành sản xuất kẹo ngày chiếm tỷ trọng không nhỏ kinh tế quốc dân…Yêu cầu công tác quản lý sản xuất ngày khoa học chặt chẽ Trình độ sản xuất tiên tiến tính khoa học cơng tác quản lý cao - Lập kế hoạch sản xuất khâu quan trọng công tác quản lý Kế hoạch sản xuất ngành, xí nghiệp động lực thúc đẩy sản xuất ngành, xí nghiệp phát triển Lập kế hoạch tối ưu bước phát triển cao công tác quản lý sản xuất Một kế hoạch tối ưu cho ta phương án cụ thể để sử dụng nhân lực, vốn đầu tư, quỹ thời gian, quỹ thiết bị, quỹ nguyên liệu,… để sản xuất mặt hàng theo chiều hướng có lợi II Khảo sát xây dựng toán: Khảo sát Công ty thực sản xuất loại kẹo: kẹo dẻo, kẹo sữa, kẹo cafe, kẹo mút Có loại nguyên liệu sử dụng để sản xuất kẹo là: đường, sữa cafe Để sản xuất 1kg kẹo dẻo cần 1.8kg đường, 0.9kg sữa, 0.3kg cafe lãi 15000đ; Kẹo sữa cần 0.6kg đường, 2.7 kg sữa, 0.3 kg cafe lãi 13500đ; Kẹo cafe cần 0.6kg đường, 2.4kg sữa, 2.7 kg cafe lãi 9000; Kẹo mút cần 2.1kg đường, 0.6kg sữa, 0.3kg cafe lãi 12000đ Số lượng đường có 4500kg, sữa 1200kg cafe có 3000kg Số lượng tiêu thụ nguyên liệu, định mức tiêu hao chúng lãi bán cho kg kẹo thể bảng sau: Nguyên liệu Số lượng Định mức tiêu hao (kg) (kg) Kẹo dẻo Kẹo sữa Kẹo cafe Kẹo mút Đường 4500 1.8 0.6 0.6 2.1 Sữa 1200 0.9 2.7 2.4 0.6 Cafe 3000 0.3 0.3 2.7 0.3 15000 13500 9000 12000 Lãi (đ) Giả sử sử dụng nguyên liệu cho sản xuất kẹo tiêu thụ hết nhiêu ngun liệu Hãy lập mơ hình tốn với mục tiêu số tiền lãi thu từ việc bán kẹo nhiều Xây dựng toán: Dựa liệu khảo sát, đưa tốn quy hoạch tuyến tính: f(x) = 15000x1 + 13500x2 + 9000x3 + 12000x4 → max Các điều kiện ràng buộc : 1.8x1 + 0.6x2 + 0.6x3 + 2.1x4 ≤ 4500 0.9x1 + 2.7x2 + 2.4x3 + 0.6x4 ≤ 1200 0.3x1 + 0.3x2 + 2.7x3 + 0.3x4 ≤ 3000 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, III THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH Để giải bìa tốn QHTT (G) phương pháp đơn hình ta thực bước  Bước chuẩn bị: Đưa (G) dạng tắc chuẩn (N) cần  Bước 1: Xác định PACB xo xuất phát, biến hệ số sở (Nếu toán dạng (N) PACB tìm dễ dàng từ ma trận sơ cấp A – bảng đơn hình bước 2, ma trận sơ cấp giả định ma trận đơn vị cấp m tạo thành từ m dịng m cột đầu tiên, PACB xuất phát x0 = (b1, b2, …, bm, 0, …, 0))  Bước 2: Lập bảng đơn hình, tính giá trị hàm mục tiêu số ước lượng j Hệ số Biến PA sở sở CB x1 xn x2 …… xm xm+1 …… c1 c2 …… cm cm+1 …… i 10 cn c1 x1 b1 c2 x2 b2 cm xm bm a1n …… a 1,m+1 …… a2n …… a 2,m+1 …… …… …… …… …… …… …… amn …… Bảng Ở f (x0) 0 …… a m,m+1 …… m+1 …… n f(x0) = c1b1 + c2b2 + … + cmbm; m j = (j=1,…, m); j = �c a i 1 i ij  c j ; m  �j �n  Bước 3: Kiểm tra điều kiện tối ưu (Đối với toán MIN) a) Nếu  j �0 phương án xét tối ưu  STOP b) Nếu tồn  j  mà aij �0 hàm mục tiêu khơng bị chặn, tốn cho vô nghiệm  STOP c) Nếu tồn  j  với  j  có aij  phương án xét chưa tối ưu  Làm tiếp bước  Bước 4: Cải tiến PACB xét để PACB tốt (Đối với toán MIN) a) Chọn biến xv cho  v  max{ j  0} để đưa vào 11 b) Chọn biến cũ xr cho r  min{i  bi / aiv  0} aiv để đưa Tiếp theo chọn dòng thứ r làm dòng xoay, cột thứ v làm cột xoay, phần tử arv làm phần tử xoay biến đổi sơ cấp để bảng đơn hình với PACB tốt Cách biến đổi bảng đơn hình để nhận bảng PACB tốt Đổi cột biến sở: biến sở xv thay cho biến sở cũ xr dòng r Đổi cột hệ số sở: hệ số cv thay cho hệ số cr dòng r Biến đổi dòng xoay: Dòng = dòng cũ / phần tử xoay, Nghĩa chia phần tử dòng xoay cho phần tử xoay (arv > 0) Kết nhận gọi dòng (số xuất vị trí arv cũ) Biến đổi dịng khác theo qui tắc hình chữ nhật: Dòng = dòng cũ tương ứng - phần tử cột xoay × dòng chính, nghĩa Cột ≠ cột xoay Cột xoay (cột v) Dòng ≠ dòng xoay : a b a’ = a – bc Dịng (dịng r mới) : c Sau lặp lại bước 2, 3, P.A.C.B tối ưu dừng kết luận đáp số toán cho Chú ý  Ở bước kiểm tra điều kiện tối ưu toán MAX, ta làm sau: a) Nếu  j �0 phương án xét tối ưu  STOP 12 b) Nếu tồn  j  mà aij �0 hàm mục tiêu khơng bị chặn, tốn cho vô nghiệm  STOP c) Nếu tồn  j  mà với  j  có aij  phương án xét chưa tối ưu  Làm tiếp bước  Còn bước cải tiến PACB toán MAX, ta làm sau: a) Chọn biến xv cho  v  min{ j  0} để đưa vào b) Chọn biến cũ xr cho r  min{i  bi / aiv  0} aiv để đưa c) Tiếp theo chọn dòng thứ r làm dòng xoay, phần tử arv làm phần tử xoay biến đổi sơ cấp để bảng đơn hình  Cũng quy tốn MAX tốn MIN ngược lại cách đối dấu hàm mục tiêu  Dấu hiệu tốn vơ số nghiệm: Khi kiểm tra điều kiện tối ưu bước 3,  j �0 (đối với toán MIN)  j �0 (đối với toán MAX) đồng thời tồn  j  ứng với biến phi sở x j tốn có vơ số nghiệm  Cách tìm hết tất PATU tốn QHTT: Giả sử tìm 0 PATU x Khi giải hệ gồm phương trình f ( x )  f ( x ) ràng buộc ta tất PATU toán cho IV Áp dụng thuật toán để giải: 13 14 V Ứng dụng phần mềm để giải (Excel): - Sử dụng excel để giải toán tối ưu Giao diện ban đầu - Để giải toán, bước nhập hàm mục tiêu: f(x)=15000x1+13500x2+9000x3+12000x4 -> max sau: 15 - Tiếp theo nhập hàm điều kiện sau: 1.8x1 + 0.6x2 + 0.6x3 + 2.1x4 ≤ 4500 0.9x1 + 2.7x2 + 2.4x3 + 0.6x4 ≤ 1200 0.3x1 + 0.3x2 + 2.7x3 + 0.3x4 ≤ 3000 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, Hàm thứ 16 Hàm thứ Hàm thứ - Xác định ràng buộc cho hệ thống hiểu, dùng solver excel để thêm 17 - Sau ấn nút Solve ấn OK 18 - Chúng ta kết tốn - Có thể thấy f(x)=24000000 hàm điều kiện ràng buộc thỏa mãn 19 20