Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

́ ̀ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAṂ THÀNH PHÔ HÔ CHÍMINH  ́ KHÓA LUÂṆ TÔT NGHIÊPP ̀ TÊN ĐÊTÀI: ́ TÁCH KHÔI TÂM CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬTƯƠNG TÁC VỚI TƯ TRƯƠNG̀ THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG ̃ ́ SVTH: NGUYÊN ANH TUÂN – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018 ́ ̀ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAṂ THÀNH PHÔ HÔ CHÍMINH  ́ KHÓA LUÂṆ TÔT NGHIÊPP ̀ TÊN ĐÊTÀI: ́ TÁCH KHÔI TÂM CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬTƯƠNG TÁC VỚI TƯ TRƯƠNG̀ THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG ̃ ́ SVTH: NGUYÊN ANH TUÂN – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018 LỜI CẢM ƠN Việc thực đề tài không kể đến đóng góp GS Lê Văn Hồng đề nghị đề tài theo sát em suốt q trình làm khóa luận Hơn nữa, thơng qua việc giảng dạy, Thầy Hoàng người truyền cảm hứng cho em việc nghiên cứu vấn đề liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả hứng thú tìm tịi tài liệu liên quan đến môn đề tài Sự thành cơng khóa luận nhờ vào cơng ơn lớn Thầy Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lê Đại Nam, người góp ý cho em sửa chữa hồn chỉnh khóa luận Khóa luận em khơng thể hồn thiện khơng có hướng dẫn giúp đỡ thầy Em xin cảm ơn đến thầy tổ Vật Lý Lý Thuyết tạo điều kiện cho em thực đề tài này, tạo điều kiện cho em có hội nghiên cứu vấn đề khoa học Mặc dù kĩ phân tích vấn đề trình bày vấn đề em cịn có nhiều thiếu sót thầy nhiệt tình bảo hướng dẫn em Đây điều may mắn lớn em Lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè, người ln động viên khích lệ tinh thần em suốt thời gian qua để em tập trung hồn thành khóa luận TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Anh Tuấn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC HÌNH Chương Chương MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TỐN NGUN TỬ TRUNG HỊA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1 Tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa đặt từ trường 1.2 Tách khối tâm cho toán nguyên tử heli chưa đặt từ trường .13 CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 18 2.1 Ảnh hưởng từ trường lên hạt mang điện chuyển động 18 2.2 Tách khối tâm cho tốn ngun tử hydro trung hịa từ trường 20 2.3 Tách khối tâm cho toán nguyên tử heli trung hòa từ trường 26 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG 34 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 KẾT LUẬN 37 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 PHỤ LỤC 38 A Toán tử động lượng suy rộng hệ N hạt mang điện 38 B Các biểu thức giải tích 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Tiếng Việt 41 Tiếng Anh 41 DANH MỤC CÁC HÌNH Chương Hình 1: Ngun tử hydro hệ tọa độ Descartes Hình 2: Nguyên tử heli hệ tọa độ Descartes 12 Chương Hình 3: Nguyên tử hydro đặt từ trường tọa độ Descartes 19 Hình 4: Nguyên tử heli đặt từ trường tọa độ Descartes 25 MỞ ĐẦU Đối với học lượng tử, khảo sát chuyển động đối tượng vi mô (như hạt hay hệ hạt chẳng hạn nguyên tử), ta viết Hamiltonian cho hệ đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải nghiệm hàm sóng ( ) lượng Hàm sóng thân khơng có ý nghĩa vật lí Tuy nhiên, theo Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy hạt vi phân thể tích [1] Tuy nhiên, toán nguyên tử (hệ gồm hai nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger phức tạp số bậc tự toán nhiều Giả sử xét chuyển động nguyên tử hydro từ trường, ta phải xét vector bán kính hạt nhân vector bán kính electron Trong khơng gian Descartes, vector có ba thành phần, Hamiltonian hệ có đến sáu bậc tự [18] Điều gây khó khăn giải phương trình Schrodinger Để giảm số bậc tự do, ta đưa toán hệ quy chiếu khối tâm Lúc này, thay xét vector bán kính hạt nhân electron , ta đưa vector bán kính khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron (đối với tốn có nhiều electron xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối electron) Sau đó, Hamiltonian biến đổi qua hệ khối tâm Lúc này, phép biến đổi giải tích, ta đưa Hamiltonian hệ khối tâm dạng phân ly biến số, tức chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron nguyên tử tách cách rõ rệt Việc giải phương trình Schrodinger lúc đơn giản hai biến số hoàn toàn độc lập với Do đó, khảo sát chuyển động nguyên tử, ta ln tìm cách đưa Hamiltonian ngun tử hệ quy chiếu khối tâm biểu diễn Hamiltonian dạng phân ly biến số, từ việc giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng đơn giản nhiều Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, nay, việc tách khối tâm tốn ngun tử khơng có điện từ trường giải trình bày, điển hình tốn ngun tử hydro khơng có điện từ trường [1] Tiếp sau tốn ngun tử heli với cách giải gần tương tự mà đề tài giải Còn nguyên tử từ trường, lời giải cho toán nguyên tử hydro, heli công bố [4, 5, 13, 14] Tất trình bày lại cách hệ thống đề tài Sau đạt thành công việc tách khối tâm tốn ngun tử trung hịa khơng có điện từ trường từ trường, nhà khoa học bắt đầu chuyển đối tượng nghiên cứu exciton không trung hòa bán dẫn, nghĩa số electron số lỗ trống không Lúc họ gặp phải số khó khăn định việc đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số [15, 16] Vấn đề đặt exciton khơng trung hịa Hamiltonian hệ quy chiếu khối tâm đưa dạng phân ly biến số cách dễ dàng ngun tử trung hịa Và liệu có điều kiện, hay phép gần giúp ta làm điều này? Đây vấn đề nan giải mà báo khoa học đặt Đề tài nghiên cứu kĩ bước để tách khối tâm cho toán nguyên tử Đối tượng nghiên cứu ban đầu nguyên tử hydro heli chưa có từ trường Khi đặt nguyên tử trung hòa từ trường, có xuất vector nên tốn tử xung lượng hạt bị biến đổi [1] Lúc việc tách khối tâm phức tạp Đề tài khác biệt Hamiltonian nguyên tử từ trường với Hamiltonian ngun tử khơng có từ trường trình bày bước cách để tách khối tâm toán nguyên tử từ trường Ban đầu, để đơn giản, ta chọn đối tượng nguyên tử hydro từ trường Sau heli mở rộng ion có hạt nhân Z electron, kiểm chứng xem với cách làm tốn tách khối tâm cho tốn ion khơng Mặc dù phạm vi đề tài đến bước thiết lập Hamiltonian nguyên tử dạng phân ly biến số chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron, kết làm tiền đề cho nghiên cứu sâu hơn, exciton khơng trung hịa bán dẫn hai chiều Ngoài phần Mở đầu Kết luận hướng phát triển, khóa luận gồm có hai chương: Chương 1: Khối tâm toán nguyên tử trung hòa chưa đặt từ trường Chương trình bày chi tiết bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa chưa đặt từ trường Đối tượng nghiên cứu nguyên tử hydro heli Chương bao gồm hai phần, nguyên tử trình bày phần Chương 2: Khối tâm toán nguyên tử trung hòa từ trường Chương trình bày chi tiết bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa từ trường Chương bao gồm ba phần Hai phần đầu trình bày việc tách khối tâm cho hydro heli Phần thứ ba, chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với hạt nhân electron với ≠ để kiểm chứng với bước tách khối tâm thực tốn hydro heli ion có thành cơng hay khơng CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TƯ TRƯỜNG 1.1 Tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa đặt từ trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm haṭ nhân môṭ proton môṭ electron chuyển đôngg̣ xung quanh haṭnhân Trong nguyên tử hydro chưa đặt từ trường thìlưcg̣ tác dungg̣ proton vàelectron làlưcg̣ Coulomb Goị ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ) ≡ ( , , ) lần lươṭ làvector toạ đô g̣của haṭnhân electron, ℎ lần lươṭ làkhối lươngg̣ haṭnhân vàelectron z − y x Hình 1: Nguyên tử hydro hệ tọa độ Descartes Hamiltonian nguyên tử hydro đươcg̣ viết sau ̂ ( , ,̂ ̂ lần lươṭ làtốn tử xung lươngg̣ haṭnhân vàelectron, có dạng ∇ la toan tư Nabla, đươcg̣ đinh ̀ ́ ̉ ∇= Đểđưa tốn vềhê tg̣ oạ g̣khối tâm, ta se s̃ dungg̣ hai vector sau = r làvector mơ tảchuyển đơngg̣ tương đối electron so với haṭ nhân; R vector toạ đô g̣khối tâm nguyên tử hydro Ta se ̃biến đổi sang hệ quy chiếu khối tâm qua công thức liên ng̣ hư sau = = {= − ℎ −ℎ, − ℎ (1.7) (1.8) ̂ −1 = ̂ −1 = Tiếp theo, từ kết trên, ta biến đổi các số hạng cịn lại Hamiltonian sau ( × ) =( − Thay (2.75), (2.76), (2.77), (2.78), (2.79), (2.80), (2.81) vào (2.68), Hamiltonian cuối sau biến đổi có dạng ̂′ (ℏ )2 = + ( ̂+ Lúc Hamiltonian phân ly thành thành phần chuyển động sau ̂ thành phần chuy 32 ̂ thành phần chuyển động tương đối proton electron ̂ ̂ = (2.84) (2.85) 33 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TƯ TRƯỜNG Trong phần này, ta xét ion bao gồm hạt nhân ( ≠ 1) electron Ta đưa Hamiltonian hệ hệ quy chiếu khối tâm tương tự hydro, heli từ trường kiểm chứng xem với bước làm tương tự đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hai hạt hệ hay khơng Đây coi bước đầu tiếp cận với tốn exciton khơng trung hịa bán dẫn Goị rh ( xh , electron, ℎ y z lần ) lần lươṭ vector toạ đô g̣của haṭ nhân lươṭ làkhối lươngg̣ haṭnhân vàelectron Hamiltonian nguyên tử từ trường đươcg̣ viết sau ( )= , ,̂ ̂ toán tử động lượng hạt nhân electron Từ (2.3), vector chọn (2.19), (2.20) Từ (3.1), biến đổi Hamiltonian hê,g̣ta đươcg̣ ̂ (,)= ̂ + Biến đổi theo bước tương tự toán hydro heli từ trường, ta thu Hamiltonian ion hệ quy chiếu khối tâm từ trường sau 34 + ( 2 +( + Toán tử động lượng suy rộng tốn có dạng ̂ =− ℏ Ta biến đổi Hamiltonian trở thành ′ ̂ = với ̂ , phương trình hàm riêng trị riêng có dạng [11] = exp { [ℏ + ( ( −1 + + ℏ ℎ ) ( × )] } ℏ thành phần trị riêng phương trình hàm riêng trị riêng ℎ ) ( × ) thành phần phép biến đổi Power – Zienau – Wolley [6] (3.3) (3.4) (3.5) [8] Biến đối tương tự toán hydro heli từ trường, ta Hamiltonian ion có dạng ̂ 35 ′( , ) = + + +[ Biểu thức Hamiltonian (3.5) cịn chứa thành phần ( × )( × ) khiến ta tách riêng chuyển động khối tâm chuyển động tương đối electron hạt nhân Tuy nhiên, ta tìm điều kiện cho thành phần triệt tiêu, ta đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số Thật vậy, để Hamiltonian đưa dạng phân ly biến số Mà > ℎ + > hạt nhân ln mang điện tích dương nên = Trong trường hợp ≠ , Hamiltonian khơng có dạng phân ly biến số Tuy nhiên tồn phép biến đổi Hamiltonian, khác với (3.22) giúp ta đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số trường hợp tổng quát ≠ [11] 36 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN KẾT LUẬN Trong đề tài này, tơi đã: • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho tốn ngun tử heli chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro đặt từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử heli đặt từ trường; • Kiểm chứng bước tách khối tâm áp dụng cho toán ion ( , ) từ trường HƯỚNG PHÁT TRIỂN Đề tài chưa đề cập đến cách tách khối tâm cho toán exciton bán dẫn Việc giải toán hàm riêng trị riêng khơng giống tốn trình bày Khi đó, hàm sóng tìm có dạng phức tạp hơn, dẫn đến việc đưa Hamiltonian hệ dạng phân ly biến số gặp khó khăn Tuy nhiên, bước tách khối tâm từ đầu bước giải phương trình hàm riêng trị riêng toán exciton bán dẫn giống toán nguyên tử hydro, heli từ trường [15, 16] Do đó, đề tài bước đệm cho nghiên cứu sâu hơn, mà điển hình chuyển động exciton bán dẫn, tính cấp thiết ứng dụng chúng vật liệu bán dẫn [10] Tôi hi vọng qua đề tài này, người đọc có nhìn tổng quan việc tách khối tâm cho tốn ngun tử khơng có từ trường từ trường, hiểu ý nghĩa việc tách khối tâm áp dụng vào nghiên cứu 37 PHỤ LỤC A Toán tử động lượng suy rộng hệ N hạt mang điện Xét hệ gồm N hạt mang điện, hạt có điện tích có khối lượng ( = 1,2,3, … , ) không gian từ trường Giá trị vector vị trí hạt thứ thể = ( ) Lúc này, để tổng quát, ta chưa chọn định chuẩn cho vector Hamiltonian cho hệ có dạng ̂ =∑ Ta xét đại lượng bảo tồn, xung lượng suy rộng hệ Khi hệ từ trường, từ trường gây thay đổi giá trị vector Cụ thể biết , xây dựng phương trình ngược để tìm lại vector, thuộc dạng tích phân xuất số tùy ý Do đó, ta cần phải có định chuẩn áp đặt lên vector Dạng xung lượng suy rộng (A.2) =∑( với = 1,2,3 ba bậc tọa độ Descartes Lại có = × , thay vào biểu thức ta ̂ =∑( ̂ − =1 + × ) (A.3) Và cách xây dựng này, ta ln có [ ̂; ̂ ] = Ta sử dụng định chuẩn Lorentz = × [3], tốn tử xung lượng suy rộng hệ ̂ trở thành 38 ̂ =1 Xét giao hoán tử xung lượng suy rộng tọa độ hệ Descartes sau [ ; ]= ℏ ∑ , kí hiệu Levi-Civita = có hai số trùng Vậy trường hợp tổng quát, thành phần toán tử ̂ khơng giao hốn với Chúng giao hoán ∑ = 0, nghĩa tổng đại số điện tích hệ khơng Khi đó, thành phần ̂ trị riêng xác định theo phương trình ̂̂ Do [ ; ] = ̂ riêng trị riêng = , ta tìm trị riêng E toán tử B Các biểu thức giải tích dạng Xét hạt có vector bán kính ≡ ( , , ) chuyển động hệ tọa độ Descartes Toán tử động lượng hạt học lượng tử có ký hiệu tốn tử Nabla viết tường minh dạng = Vậy toán tử động lượng hạt viết dạng tường minh sau ̂=− ℏ( Đối với nguyên tử chuyển động hệ tọa độ Descartes, ta có tốn tử động lượng hạt nhân với vector bán kính ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ) electron với vector bán kính ≡ ( , , ) viết sau 39 ∂ ∂ + + ∂yh + ∂ ∂zh) ∂ ∂ye + ∂ze) (B.4) (B.5) Thế vect or ( đượ c sử dụn g tron g đề tài theo Avr on et al 197 [15] , có dạn g =2 × Hàm cho nguyên tử gồm hạt nhân mang điện tích Q N electron có dạng ̂ =∑ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn Hoàng (2015), Bài giảng Cơ học Lượng tử, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [2] Avron E J., Herbst W I and Simon B (1977), “Separation of Center of Mass in Homogenerous Magnetic Fields”, Ann Phys 114, pp 431 – 451 [3] Avron E J., Herbst W I and Simon B (1978), “Schrodinger Operators with Magnetic Fields I General interactions”, Duke Math J 45, pp 847 – 883 [4] Becken W., Schmelcher P and Diakonos K F (1999), “The Helium Atom in a Strong Magnetic Field”, J Phys B: At Mol Opt Phys 32, pp 1557 – 1578 [5] Brandi S H (1975), “Hydrogen Atoms in Strong Magnetic Fields”, Phys Rev A 11, pp 1835 – 1839 [6] Cuvelliez C., Baye D and Vincke M (1992), “Center-of-mass corrections to the electromagnetic transitions of hydrogen atoms in strong magnetic fields”, Phys Rev A 46, pp 4055 – 4059 [7] Johnson R B., Hirschfelder O J and Yang K-H (1983), “Interaction of Atoms, Molecules, and Ions with Constant Electric and Magnetic Fields” Rev Mod Phys 55, pp 109 – 153 [8] Lai D (1995), “Motion and Ionization Equilibrium of Hydrogen Atoms in Superstrong Magnetic Field”, Phys Rev A 52, pp 2611 – 2623 [9] Lai D (2001), “Matter in Strong Magnetic Fields”, Rev Mod Phys 73, pp 629 – 658 41 [10] Lozovik E Y., Ovchinnikov V I., Volkov Y S., Butov V L and Chemla S D (2001), “Quasi-two-dimensional Excitons in Finite Magnetic Fields”, Phys Rev B 65, pp 235304 – 11 [11] Palmer F W and Taylor J R (1980), “Separability of Center of Mass and Relative Motion of Hydrogen in Very Strong Magnetic Fields”, Master thesis, The Ohio State University, Columbus, Ohio 43210 [12] Pinheiro D and Mackay S R (2008), “Interaction of Two Charges In a Uniform Magnetic Field: II Spacial Problem”, Nonlinearity 18, pp 615 – 661 [13] Ruder H., Wunner G., Herold H., Geyer F (1994), Atoms in Strong Magnetic Fields, Springer-Verlag, Berlin [14] Schmelcher P., Schweizer W (1997), Atoms and Molecules in Strong External Fields, Springer, Boston [15] Stébé B., Feddi E and Munschy G (1987), “Excitonic Trions In A Low Magnetic Field”, Phys Rev B 35, pp 4331 – 4337 [16] Stébé B., Ainane A and Dujardin F (1996), “Landau Levels of Two- dimensional Negatively Charged Three-particle Coulomb States”, J Phys.: Condens Matter 8, pp 5383 – 5392 [17] Schimeczek C (2014), “2D calculations for atoms and ions in strong magnetic fields of white dwarfs and neutron stars”, Doctor Thesis, University of Stuttgart, Germany [18] Thirumalai A (2007), “Hydrogen and Helium Atom In Strong Magnetic Fields”, Master thesis, The University of British Columbia, Canada [19] Vincke M., Baye D (1988), “Centre-of-mass Effects on the Hydrogen Atom in a Magnetic Field”, J Phys B: At Mol Opt Phys 21, pp 2407 - 2424 42 Chữ ký Chủ tịch Chữ ký GVHD Chữ ký SVTH Hội đồng 43 ... để tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử heli chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán. .. 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1 Tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa đặt từ trường 1.2 Tách khối tâm cho toán nguyên tử heli... đổi [1] Lúc việc tách khối tâm phức tạp Đề tài khác biệt Hamiltonian nguyên tử từ trường với Hamiltonian nguyên tử từ trường trình bày bước cách để tách khối tâm toán nguyên tử từ trường Ban đầu,