Ôn Tập Học Kì 1 Môn Toán Lớp 9

+Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diệ[r]

(1)

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn

ƠN TẬP HKI MƠN TỐN LỚP Phần A- Đại số

Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA A - LÝ THUYẾT

I ĐẠI SỐ:

1) Định nghĩa, tính chất bậc hai

a) Với số dương a, số ađược gọi bậc hai số học a

b) Với a  ta có x = a 

 

   

 



a a x x

2

c) Với hai số a b khơng âm, ta có: a < b  a  b d) A neu A

A A

A neu A

 

  

 



2) Các công thức biến đổi thức A2  A

2 AB  A B (A  0, B  0) A A

B  B (A  0, B > 0)

A B A B (B  0)

5 A B A B2 (A  0, B  0) A B  A B2 (A < 0, B  0) A AB

B  B

(AB  0, B  0)  

2

C A B

C

A B AB 

(A  0, A  B2)

8 A A B B B 

(B > 0) C C A B

A B

A B 

(A, B  0, A  B)  Bài tập:

 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định:

1) 2x3 2)

2

x

3)

3 

x 4)

5

2

 x

5) 3x4 6) 1x2 7)

x

3

 8)

3  

x

 Rút gọn biểu thức Bài

1) 125 3 48 2) 5 203 45 3) 324 85 18

4) 124 275 48 5) 12 75 27 6) 187 2 162

7) 202 454 8) ( 22) 22 9)

1

  

10)

2

1

 

 11)

2

 

 12)

2

 

13) ( 282 14 7) 7 14) ( 143 2)26 28 15) ( 6 5)2  120 16) (2 33 2)2 2 63 24 17) (1 2)2  ( 23)2 18) ( 32)2  ( 31)2

(2)

21) 4x (x12)2(x2) 22)

5

5 7

5

    

23) x2y (x2 4xy4y2)2(x2y)

Bài

1) 3 2 2  3 22 2) 2 3 2  2 32 3) 532   532 4) 82 15 - 82 15 5) 52  + 82 15

6)

8

5

2

5

2 4

  

   

 Giải phương trình: Phương pháp:

A2B2  A B;  A B A B

0

0  

    



 A B A hay B

A B

0 ( 0)

  

   

 

B

A B

A B2

0  

   



 A B A hay A

A B A B

0

   

      

  

B

A B

A B hay A B

0  

     

 A B  A B hay A B  A B A B

0

0  

    



 Chú ý:  |A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤

Bài Giải phương trình sau:

1) 2x1 2) x5 3 3) 9(x1) 21 4) 2x 50 0

5)  12 0

x 6) (x3)2 9 7) 4x2 4x16 8) (2 1)2 3 x

9) 4x2 6 10) 4(1x)2 60 11) 12

x 12) 32 2

x Bài Giải phương trình sau:

a) (x3)2  3 x b) 4x220x252x5 c) 12 x36x2 5

a) 2x 5 1x b) x2 x 3x c) 2x2 3 4x3

d) 2x 1 x1 e) x2  x x3 f) x2 x 3x5

a) x2 x x b) 1x2  x c) x24x  3 x

d) x2 1 x2 1 e) x2   4 x f) 2 x2  x

a) x22x 1 x21 b) 4x24x  1 x c) x42x2  1 x

d) x2 x x

   e) x48x216 2 x f) 9x26x 1 11 2

a) 3x  1 x b) x2  3 x

c) 9x212x 4 x2 d) x24x 4 4x212x9

(3)

a) x2   1 x b) x28x16  x c) 1x2 x 1

d) x2 4 x24x 4

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.Các bước thực hiên:

 Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được)

Quy đồng, gồm bước:

+ Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn

B.Bài tập luyện tập:

Bài Cho biểu thức : A =

1

x x x

 

  với ( x >0 x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức A x 3 2

Bài Cho biểu thức : P = 4

2

a a a

a a

   

  ( Với a  ; a  )

a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị a cho P = a +

Bài 3: Cho biểu thức A =

1

x x x x

x x

  



 

a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A;

c)Với giá trị x A< -1

Bài 4: Cho biểu thức : B =

x x x

x  2 21

2

1

a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị B với x =3;

c) Tìm giá trị x để

2 

A

Bài 5: Cho biểu thức : P =

x x x

x x

x

      

4 2 2

a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P =

Bài 6: Cho biểu thức: Q = ( )

2 (

: )

1

   

 

 a

a

a a

(4)

a) Tìm TXĐ rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương;

c) Tính giá trị biểu thức biết a = 9-

Bài : Cho biểu thức : K =

3 x x x x 3 x x 11 x 15        

a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; c) Tìm x K=

2

;

d) Tìm giá trị lớn K

Bài : Cho biểu thức: G=

2 x x x x x x

x 2 

           

a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị G x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn G;

e)Tìm x  Z để G nhận giá trị nguyên;

f)Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm;

Bài : Cho biểu thức: P=

2 x : x 1 x x x x x x              

Với x ≥ ; x ≠

a)Rút gọn biểu thức trên; b)Chứng minh P > với x≥ x ≠

Bài 10 : cho biểu thức Q= 

                  a 1 a 1 a a 2 a 2 2

a)Tìm a dể Q tồn tại; b)Chứng minh Q không phụ thuộc vào giá trị a Bài 11: Cho biểu thức :

A= x x x x y xy x y xy x        1 2 2

a)Rút gọn A b)Tìm số nguyên dương x để y = 625 A < 0,2

Bài 12:Xét biểu thức: P=   

                  

 a

5 a : a 16 a 4 a a a a

(Với a ≥0 ; a ≠ 16)

1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố

Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ:

Khái niệm hàm số

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x cho giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số

* Hàm số cho cơng thức cho bảng II HÀM SỐ BẬC NHẤT:

 Kiến thức bản:

3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc

(5)

Hàm số đồng biến R a > Nghịch biến R a <

4) Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc)

5) Cho (d): y = ax + b (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0) Ta có:

(d)  (d')

  

  

' '

b b

a a

(d)  (d')

  

  

' '

b b

a a

(d)  (d')  a  a' (d)  (d')  a.a ' 1

6) Gọi  góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox thì: Khi a > ta có tan = a

Khi a < ta có tan’ a (’ góc kề bù với góc

 Các dạng tập thường gặp:

-Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox Xem lí thuyết

-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm khơng thuộc đồ thị:

Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị khơng?

Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0y1 điểm M khơng thuộc đồ thị

-Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng ( xác định hệ số a b hàm số y=ax+b) Phương pháp chung:

Gọi đường thẳng phải tìm có dạng (hoặc cơng thức hàm số ): y=ax+b Căn vào giả thiết để tìm a b

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1)

+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a b

+ Thay giá trị a b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy:

Ví dụ: Cho đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )

- Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng

Phương pháp: Xem lại lí thuyết -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,

Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d 1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đường thẳng

Tính chu vi - diện tích hình tạo đường thẳng: Phương pháp:

+Dựa vào tam giác vuông định lý Py- ta -go để tính độ dài đoạn thẳng khơng tính trực tiếp Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh

(6)

(d2) : y = x +1

(d3) : y = -x +3

a) C/m m thay đổi d1 qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 d1 vng góc d2

c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui  Bài tập:

Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) (d2) cắt

2) Với m = – , vẽ (d1) (d2)trên mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2)bằng phép tính

Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?

Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m0)và y = (2 - m)x + ;(m2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên:

a)Song song; b)Cắt

Bài 5: Với giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm

trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = x

1 

cắt trục hồnh

tại điểm có hồnh độ 10

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3)

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =

2

2x (d2): y =  x

a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)?

Bài 9: Cho đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị m (d1) // (d2)

b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m =

c; C/m m thay đổi đường thẳng (d1) ln qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị song song với y = 2x +3 qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo đường thẳng với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với đường thẳng y = - 4x +3 ?

(7)

a) Với giá trị m y hàm số bậc

b) Với giá trị m hàm số đồng biến

c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ

e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hoành

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1

g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn

Bài 12: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:

a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đ/thẳng 2y- x =5

c) Đường thẳng d tạo với Ox góc nhọn

d) Đường thẳng d tạo với Ox góc tù

e) Đường thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ

f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ

g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =

h) Đường thẳng d qua giao điểm hai đường thảng 2x -3y=-8 y= -x+1

Bài 13: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5

a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định m thay đổi

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vuông cân

d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 45o

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 30o , 60o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 điểm 0y

h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 điểm 0x

Bài 14 Cho hàm số y = (m -2)x + m +

a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến

b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy

d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích

Phần B - HÌNH HỌC Chương I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 Hệ thức cạnh đường cao:Hệ thức cạnh góc: +b2 a.b,;c2 a.c,

+ h2 b,.c, + a.hb.c

+ 12 12 12

h b c

+ a2 b2 c2 + ab,c,

+ ,

, 2 , , 2

.;

b c b c c b c

b  

Tỷ số lượng giác:

D K Cotg K D Tg H K Cos H D

Sin ;  ;  ; 

Tính chất tỷ số lượng giác:

1/ Nếu  900 Thì:

 

Sin Cos

Cos Sin

 

Tan Cot

Cot Tan

 

(8)

*sin2 + cos2  = *tan = sin

cos *cot = cos

sin *tan  cot =1 Hệ thức cạnh góc:

+ Cạnh góc vng cạnh huyền nhân Sin góc đối:ba.SinB.;ca.SinC + Cạnh góc vng cạnh huyền nhân Cos góc kề: ba.CosC.;ca.CosB

+ Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Tan góc đối:bc TanB c .; b TanC + Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Cot góc kề:bc CotC c .; b CotB

Bài Tập áp dụng:

Bi Cho ABC vuông A, đường cao AH

a) Biết AH = 12cm, CH = 5cm Tính AC, AB, BC, BH b) Biết AB = 30cm, AH = 24cm Tính AC, CH, BC, BH c) Biết AC = 20cm, CH = 16cm Tính AB, AH, BC, BH d) Biết AB = 6cm, BC = 10cm Tính AC, AH, BH, CH e) Biết BH = 9cm, CH = 16cm Tính AC, AB, BC, AH Bài Cho tam giác ABC vng A có B600, BC = 20cm

a) Tính AB, AC b) Kẻ đường cao AH tam giác Tính AH, HB, HC Bài Giải tam giác ABC vuông A, biết:

a) AB = 6cm,Bµ400 b) AB = 10cm,Cµ350 c) BC = 20cm,Bµ580

d) BC = 82cm, Cµ420 e) BC = 32cm, AC = 20cm f) AB = 18cm, AC = 21cm

Bài Khơng sử dụng bảng số máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: sin 650; cos 750; sin 700; cos 180; sin 790

Chương II ĐƯỜNG TRÒN:

.Sự xác định đường tròn: Muốn xác định đường tròn cần biết: + Tâm bán kính,hoặc

+ Đường kính( Khi tâm trung điểm đường kính; bán kính 1/2 đường kính) ,

+ Đường trịn qua điểm ( Khi tâm giao điểm hai đường trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó)

 Tính chất đối xứng:

+ Đường trịn có tâm đối xứng tâm đường tròn

+ Bất kì đường kính vào trục đối xứng đường tròn  Các mối quan hệ:

1 Quan hệ đường kính dây:

+ Đường kính (hoặc bán kính)  Dây  Đi qua trung điểm dây Quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:

+ Hai dây Chúng cách tâm + Dây lớn Dây gần tâm

Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn:

+ Đường thẳng khơng cắt đường trịn Khơng có điểm chung d > R (d khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R bán kính đường trịn)

+ Đường thẳng cắt đường trịn Có điểm chung d < R

+ Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn Có điểm chung d = R  Tiếp tuyến đường tròn:

1 Định nghĩa: Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng tiếp xúc với đường trịn

2 Tính chất: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vng góc đầu mút bán kính đường trịn tiếp tuyến đường trịn

BÀI TẬP TỔNG HỢP HỌC KỲ I:

Bài Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D a/ Chứng minh: AD đường kính;

b/ Tính góc ACD;

(9)

Bài Cho ( O) A điểm nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm )

a/ Chứng minh: OA BC

b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO

c/Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm?

Bài 3: Cho đường trịn đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ A , B đến d H chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chửựng minh:

a/ CE = CF b/ AC phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE

Bài 4: Cho đường trịn đường kính AB vẽ tiếp tuyến A x; By từ M đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax C cắt B y D gọi N giao điểm BC Và AO .CMR

a/CN NB

AC  BD b/ MN  AB c/ góc COD = 90º

Bài 5: Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM

a)CMR: NE  AB b) Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến (O)

c) Chứng minh: FN tiếp tuyến đtròn (B;BA) d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2

Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tuỳ ý nửa đường tròn

( M  A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D

a) Chứng minh: CD = AC + BD góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2

c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ

Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N

a/ Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân

b/ Hạ OI vng góc với MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến đường tròn (O)

c/ Chứng minh AM.BN = R2

d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh hoạ Bài 8: Cho tham giác ABC cĩ gĩc nhọn Đường trịn (O) cĩ đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm BE CD

a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh : IDˆE=IAˆE

c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác

Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường tròn E , cắt BC D Chứng minh :