Toán hình nâng cao lớp 7

Bài 6: Trên quãng đường AB dài 31,5 km.. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tố[r]

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC ( Các đề thi violympic toán 7)

BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng:

a) ∆ABE = ∆ADC b)

120

BMC 

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngồi tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM

Bài 3:Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chứng minh :

45

PCQ

Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D

a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân

c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC

Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN

c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC

Bài 6: Cho tam giác vuông ABC:

90

A , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia

đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho

CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E

Chứng minh: AE = BC

Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC

Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

a) ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều

b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB

Bài 8: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:

ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EHBC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Bài 9: Cho tam giác ABC cân A có

A20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam

giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC

Bài 10: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K Chứng minh AK + CE = BE

**************************************** BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ Bài Tìm giá trị n nguyên dương:

a) 1.16

n  n

; b) 27 < 3n < 243

Bài Thực phép tính:

( 1 )1 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng

Bài 4: a) Tính: P =

1 1 2

2010 2011 2012 2009 2010 2011

5 5 3

2010 2011 2012 2009 2010 2011

   



   

b) Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203

c) Cho: A =

3 2

2

3 0, 25

x x xy

x y

  



Tính giá trị A biết 1;

x y số nguyên âm lớn

Bài 5: Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?

Bài 6: Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:

Tính quãng đường người tới lúc gặp ?

Bài 7: a) Tìm x biết:

2012 2011 2010 2009 x x x x

  

Bài 8: a)Tìm số tự nhiên n để phân số   n n

có giá trị lớn

b)Tìm x, y, z biết: y x  ; z y

 x2y2 16

c) Tìm x, y, z biết

216 64

3x  y  z

2x2 2y2z2 1

d) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Bài 9: Chứng minh với số n nguyên dương có: a) A = 5n(5n1)6n(3n2)  91

b) B36384133 chia hết cho 77

c) C = 3n3 3n12n32n2 chia hết cho

d) Chứng minh 2006

10 53

9

 là số tự nhiên

Bài 10: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút

Tính thời gian tơ từ A đến B?

Bài 11: Tìm xZ để A Z tìm giá trị

a) A =   x x

b) B =   x x

Bài 12: Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây.Hỏi lớp có h/ s Biết số lớp trồng Bài 13: Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu nửa sai nửa: a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải

c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

Bài 14: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) b) Biết c bx ay b az cx a cy bz     

Chứng minh rằng:

z c y b x a  

Bài 15: Cho

z y x t y x t z x t z y t z y x           

CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:

z y x t y x t z x t z y t z y x P            

Bài 16: Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây

Bài 17: Cho a c

M

E

D

B C

A

N

M

F

E

H A

B C

a) 2 2

b c b b) a2c2  a Bài 18: Tìm A biết rằng: A =

a c

b b a

c c b

a

   



Bài 19: Số A chia thành số tỉ lệ theo 2 1: :

5 Biết tổng bình phương

của ba số 24309 Tìm số A ?

Đáp án:

BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng:

a) ∆ABE = ∆ADC b)

120

BMC  Giải:

a) Xét ∆ABE ∆ADC :

AB = AD; AE = AC ( tam giác đều)

60

BAEDAC BAC

nên ∆ABE = ∆ADC ( c - g - c)

b) Ta có : BMCMCEMEC ( t/c góc ngồi) = MCAACEMEC

Từ ∆ABE = ∆ADC

MCAMEA ( cặp góc tương ứng)

nên BMCACEMECMEA ACEAEC = 600 + 600 = 1200

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngồi tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM

Giải:

a) Ta có : AHB EMA ( ch - gn)

Vì

90

AHBEMA AB = AE ( gt)

BAH AEM ( phụ với MAE) Suy : EM = AH (1)

Tương tự: AHC FNA ( ch - gn) HC NA

  (2)

Từ (1) (2) Suy : EM + HC = AH + NA = NH b) Từ AHC FNA AHNF ( 3)

Từ (1) (3) Ta có : EM = MF

I

A D

C B

P

Q

H K

M

I

D E

C

A B

Bài 3: Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chứng minh :

45

PCQ Giải:

Trên cạnh AB lấy điểm P

Vẽ đường tròn(P; PB) đường tròn ( C;CB) Cắt I Gọi J = PIAD

Ta có : APQ có chu vi cm Thật vậy: PBC BIC c c c(   )

ICP BCP

  (*)

Nên

90

PICPBC

Suy : QIC QDC ch cgv(  )

;

IQ QD ICQ DCQ

   (**)

Vậy Chu vi APQAPPQAQ APPIIQAQ

= AP+ PB + QD + AQ = AB + AD = Từ (*) (**) Ta có :

0 90

45

2 2

ICB ICD BCD

PCQPCIICQ    

Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D

a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân

c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC

Giải:a) Ta có: 450

22,5

ABEACD 

Nên ACD ABE g(  c g) BE CD

  ; AD = AE

b) Vì ABC vuông cân A nên AM đường trung tuyến AM đường cao

Suy : MAB; MAC tam giác vng Có góc 450

tam giác vuông cân

c) ABK có BE vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ABK cân B

Suy : BE đường trung trực Nên EK = EA  AEB KEB c c c(   )

0

90

EKC

  ;

45

J

I

N M

E L

B C

A

D

J

E I

D H

M

A C

B

nên EK // AM Suy : EKH vuông cân K

( Vì

90 ;

K 

Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông g?c với BC kẻ t? D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN

c) Đường thẳng vuông góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC

Giải: a) Ta có : DMB ENC( g-c-g) ( Vì MBDNCE ACB) Nên MD = NE

b) Xét DMI ENI :

90

D E , MD = NE ( cmt) MIDNIE ( Hai góc đối đỉnh)

Nên DMI = ENI ( cgv - gn) MI NI

 

c) Từ B C kẻ đường thẳng vng Góc với AB AC cắt J

Ta có : ABJ  ACJ(g c g)JBJC

Nên J thuộc AL đường trung trực ứng với BC Mặt khác : Từ DMB ENC( Câu a)

Ta có : BM = CN

BJ = CJ ( cm trên)

90

MBJ NCJ

Nên BMJ  CNJ ( c-g-c) MJ NJ

  hay đường trung trực MN

Luôn qua điểm J cố định

Bài 6: Cho tam giác vuông ABC:

90

A , đường cao AH, trung tuyến AM

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho

CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song

với AC cắt đường thẳng AH E

Chứng minh: AE = BC

a) Ta có : AMB DMC c(  g c)

AB DC

 

F E

D A

H C

B

Mặt khác :

: 90 ;

ACI ACI AC CI

   : vuông cân

ACJ ICJ

   ( CH -CGV)

ACJ ICJ

  hay CJ phân giác ACI hay ACJ vuông cân J Nên AJ = AC

Xét EJA ABC :

90

BACJAE ; AJ = AC ( cmt);

( )

EAJ BAC BAH

Nên EJA = ABC ( g-c-g) ) AEBC

Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC

Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

a) ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều

b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB

Bài 10:

I

K'

J K

C D

B A