32 đề vào 10 hà nội bản đẹp

32 ĐỀ THI MƠN TỐN VÀO LỚP 10 CỦA HÀ NỘI LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG Ngã Quảng Oai - 0988666363 - Dạy tâm Học thử tháng, nộp phí học sinh hài lịng xin học tiếp 200k/8 bu ổi Ưu tiên: Hộ nghèo,Minh Châu, Sơn Tây= 100k, Ngô Quyền =160k, Ở xa = 180k Lớp 12 = 55 học sinh, Lớp 11 =48 học sinh , Lớp 10 =50 học sinh , Lớp =28 học sinh 9A gia sư =4 học sinh, 9B gia sư = học sinh Lớp gia sư=2 học sinh, lớp gia sư=4 học sinh Thứ 2: 19h00: Gia sư 9B Thứ 3: 13h30: Gia sư Thứ 4: 13h00: Gia sư 9B Thứ 5: 13h30: Gia sư Thứ 6: 13h30: Gia sư Thứ 7: 19h15: Gia sư 9A Chủ nhật: 07h15: Lớp 10 14h00: Lớp 12 17h30: Lớp 15h00: Gia sư 17h30: Lớp 10 17h15: Lớp 12 17h30: Lớp 11 19h15: Gia sư 9A 09h15: Lớp 11 16h15: Lớp Thầy Ngô Long – Giảng viên – 15 năm kinh nghiệm luyện chấm thi đại học Nhận dạy gia sư nhóm nhỏ 500k/buổi chia cho số học sinh Bài I ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức A = ( ) x +1 B = 25 − x  15 − x  x +1 +  : x +  x −  x − 25 ng Đề số 2) Rút gọn biểu thức B Ng 1) Tìm giá trị biểu thức A x = Lo với x ≥ 0; x ≠ 25 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình : Hai đội công nhân làm chung công việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày hồn thành xong cơng việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m diện tích đáy ,32 m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Bài III (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x − x − 18 = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y = 2mx − m + parabol ( P) : y = x a) Chứng minh (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 −2 + = +1 x1 x2 x1 x2 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Bài V ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P = a + b − ab với a, b số thực thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Đề số Bài (2,0 điểm) x 4 x 1  B  với x  0, x  x 1 x 2 x 3 x 3 ng Cho hai biểu thức A  b) Chứng minh B  x 1 c) Tìm tất giá trị x để Lo a) Tính giá trị biểu thức A x  Ng ô A x  5 B Bài (2,0 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Bài (2,0 điểm)   4x  y   a) Giải hệ phương trình   x 2 y 2     b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y  (m  2)x  parabol (P ) : y  x i) Chứng minh (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt ii) Tìm tất giá trị m để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hoành độ số nguyên Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB ( S khác A ) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC , SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB a) Chứng minh năm điểm C , D, H ,O, S thuộc đường trịn đường kính SO  b) Khi SO  2R , tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD c) Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC , cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC d) Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định Bài (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x Đề số Bài I (2,0 điểm) x 5  20  x , với x  0, x  25 x  25 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B  x 5 ng x 5 B  Lo x 2 Ng ô Cho hai biểu thức A  3) Tìm tất giá trị x để A  B x  Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình, hệ phương trình: Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn quảng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Bài III (2,0 điểm)  x  y    1) Giải hệ phương trình  4 x  y    2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0;5) với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x (với x  x ) cho x  x Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB2 = NK.NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 Đề số B  x x 3 x 8 1) Tính giá trị biểu thức 𝐴 x = 25 2) Chứng minh B  x 8 x 3  x  24 với x ≥ 0; x ≠ x 9 Lo Ng ô Cho biểu thức A  ng Bài I (2,0 điểm) 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên Bài II ( 2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720𝑚2 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III ( 2,0 điểm)  3x   4  x  y  1) Giải hệ phương trình   2x  5   x  y  2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 - parabol (P): y = x2 a) Chứng minh (𝑑) cắt (𝑃) hai điểm phân biệt với 𝑚 b) Gọi 𝑥1 ; x2 hoành độ giao điểm (𝑑) (𝑃).Tìm 𝑚 để (𝑥1 + 1)(x2 + 1) = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (𝑂) điểm 𝐴 nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến 𝐴𝐵 với đường tròn (𝑂) (𝐵 tiếp điểm) đường kính 𝐵𝐶 Trên đoạn 𝐶𝑂 lấy điểm 𝐼 ( 𝐼 khác 𝐶, 𝐼 khác 𝑂) Đường thẳng 𝐴𝐼 cắt (𝑂) hai điểm 𝐷 𝐸 (𝐷 nằm 𝐴 𝐸) Gọi 𝐻 trung điểm 𝐷𝐸 1) Chứng minh bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝑂, 𝐻 nằm đường tròn AB BD  AE BE 3) Đường thẳng 𝑑 qua 𝐸 song song với 𝐴𝑂, 𝑑 cắt 𝐵𝐶 𝐾 Chứng minh 𝐻𝐾// 𝐷𝐶 2) Chứng minh 4) Tia 𝐶𝐷 cắt 𝐴𝑂 điểm 𝑃, tia 𝐸𝑂 cắt 𝐵𝑃 điểm 𝐹 Chứng minh tứ giác 𝐵𝐸𝐶𝐹 hình chữ nhật Bài V ( 0,5 điểm) Với số thực 𝑥; 𝑦 thỏa mãn x  x   y   y tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Đề số Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức P = x+3 Q = x −2 x −1 x − với x > 0, x ≠ + x−4 x +2 ng 1) Tính giá trị biểu thức P x = P đạt giá trị nhỏ Q Ng ô 3) Tìm giá trị x để biểu thức Lo 2) Rút gọn biểu thức Q Bài II (2,0 điểm) Giái tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Bài III (2,0 điểm) 2( x + y ) + x + = 1) Giải hệ phương trình  ( x + y ) − x + =−5 2) Cho phương trình : x2 - (m + 5)x + 3m + = (x ẩn số) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB = CH.CD 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH 4) Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = ab Tìm giá trị lớn biểu thức: M = a+b+2 Đề số Bài I (2,0 điểm) ng x +1 x = x −1 Ng ô  x +1  x−2 2) Cho biểu= thức P  với x > x ≠ +  x +  x −1 x+2 x Lo 1) Tính giá trị biểu thức A = a)Chứng minh P = x +1 x b)Tìm giá trị x để = 2P x + Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Bài III (2,0 điểm)   x + y + y −1 =  1) Giải hệ phương trình:   − = −1  x + y y − 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Đề số Bài I: (2,0 điểm) 2+ x = B x x −1 x +1 + x x+ x 3) Tìm x để Ng ô 2) Rút gọn biểu thức B Lo 1) Tính giá trị biểu thức A x = 64 ng Với x > 0, cho hai biểu thức A = A > B Bài II: (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Qng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Bài III: (2,0 điểm) 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 1) Giải hệ phương trình:  4(x + 1) − (x + 2y) = 2) Cho parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = mx − m2 + m +1 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B (d) (P) b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 cho x1 − x = Bài IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC 4) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài V: (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 1 + + ≥3 a b2 c2 Đề số Bài I (2,5 điểm) x +4 Tính giá trị biểu thức A x = 36 x +2  x  x + 16 2) Rút gọn biểu thức (với x ≥ 0, x ≠ 16) = B  +  : x + x − x + 4   3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: 12 Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 x + y =  1) Giải hệ phương trình  6 − =  x y Ng ô Lo ng 1) Cho biểu thức A = 2) Cho phương trình : x − (4m − 1) x + 3m − 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh  ACM =  ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB = R Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng MA HK Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y Tìm giá trị nhỏ x2 + y biểu thức M = Đề số Bài I (2,5 điểm) x 10 x − − x − x − 25 x +5 Với x ≥ 0, x ≠ 25 ng Cho A = Lo 1) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm x để A < Ng 2) Tính giá trị A x = Bài II (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x − m + 2 1) Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) đường thẳng (d) m = 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B.Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, N 1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ∠ENI = ∠EBI ∠MIN = 90 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI 4) Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + + 2011 4x 70 Q ng C Lo M P A Ng ô H E K  1) Tứ giác CBKH có hai góc đối HCB = vịng trịn đường kính HB 2) Góc  ACM =  ABM chắn cung  AM Vậy  ACM =  ACK O B  HKB = 900 nên tứ giác CBKH nội tiếp    chắn cung HK  ACK = HCK = HBK 3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc  chắn cung MC  nên tam giác = MBC  MAC  = 450 chắn cung CB  = 900 Vậy ta có CM = CE CMB Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM OBM AP.MB AP OB = = R⇔ = Mặt khác ta có PAM Theo giả thuyết ta có ABM MA MA MB chắn cung  AM tam giác đồng dạng Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ) Bài V: (0,5 điểm) x2 + y2 M= với x, y số dương x ≥ 2y xy x(2y) x + 4y x + y + 3y = Ta có ≤ (Bất đẳng thức Cauchy) = M 2(x + y ) 4(x + y ) 4(x + y ) 3y 3y + ≤ + = + = (Thay mẫu số số nhỏ hơn) 2 2 4(x + y ) 4(4y + y ) 20 5 Suy Max = x = 2y, giá trị nhỏ M = đạt x = 2y M = 71 ĐỀ SỐ Bài 1: 1/ Rút gọn ( x − 5) ( x − 5)( x + ) ( x − 5) x − 10 x + 25 = ( x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 5) ) x + x − 10 x − x + 25 = x −5 x +5 ( )( ) ng x + − 10 x − Lo ( Ng ô x x 10 x − − = x − x − 25 x +5 A= x −5 x +5 A= 2/ Với x = ta có x = Vậy A = 3−5 −2 = =− 3+5 3/ Ta có: A< ⇔ x −5 x − 15 − x − − 0, tấn) Số ngày quy định 140 ngày x Do chở vượt mức nên số ngày đội chở 140 −1 x khối lượng hàng đội chở  140  − 1 ( x + ) = 140 + 10 ⇔ (140 − x )( x + ) = 150 x   x  ⇔ 140 x + 700 − x − x 2= 150 x ⇔ x + 15 x − 700= Giải x = 20 x = - 35 ( loại) Vậy số ngày đội phải chở theo kế hoạch 140:20=7 ( ngày) Bài 3: 1/ Với m = ta có (d): y = 2x + Phương trình hồnh độ điểm chung (P) va (d) x2 = 2x + x2 – 2x – = Giải x = => y = 16 72 x = -2 => y = Tọa độ giao điểm (P) (d) (4 ; 16) (-2 ; 4) (1) Lo x2 – 2x + m2 – = ng 2/ Phương trình hồnh độ điểm chung (d) (P) Ng ô Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  ac < => m2 – <  (m – 3)(m + 3) < Giải có – < m < Bài 1/ Xét tứ giác AIEM có góc MAI = góc MEI = 90o => góc MAI + góc MEI = 180o.=> tứ giác AIEM nội tiếp 2/ Xét tứ giác BIEN có góc IEN = góc IBN = 90o  góc IEN + góc IBN = 180o  tứ giác IBNE nội tiếp  góc ENI = góc EBI = ½ sđ AE (*)  Do tứ giác AMEI nội tiếp => góc EMI = góc EAI = ½ sđ EB (**) Từ (*) (**) suy góc EMI + góc ENI = ½ sđ AB = 90o 3/ Xét tam giác vuông AMI tam giác vng BIN có góc AIM = góc BNI ( cộng với góc NIB = 90o)  ∆AMI ~ ∆ BNI ( g-g)  AM AI = BI BN  AM.BN = AI.BI 4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta có hình vẽ Do tứ giác AMEI nội tiếp nên góc AMI = góc AEF = 45o Nên tam giác AMI vuông cân A Chứng minh tương tự ta có tam giác BNI vng cân B 73  AM = AI, BI = BN Áp dụng pitago tính Ng Bài 5: ng 3R R 3R Vậy S MIN = IM IN = ( đvdt) ; IN = 2 Lo MI = CÁCH 1: 1 + 2011 = x − x + + x + + 2010 4x 4x = (2 x − 1) + ( x + ) + 2010 4x M = x − 3x + Vì (2 x − 1) ≥ x > ⇒ ≥ x 1 > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x 4x 1 = = 4x  M = (2 x − 1) + ( x + ) + 2010 ≥ + + 2010 = 2011 4x  x=    x=  2 x − =0     1     M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy   x = ⇔  x = ⇔   x = 4x     x > x >     x = −    x > ⇔x= Vậy Mmin = 2011 đạt x = CÁCH 2: M = 2x² + 2x² + 1/4x - 3x + 2011 Do x > nên áp dụng Cosi cho số dương 2x², 2x² 1/4x ta có 2x² + 2x² + 1/4x ≥ 3 x = 3x  M = (2x² + 2x² + 1/4x) - 3x + 2011 ≥ 3x -3x + 2011 = 2011  M ≥ 2011 Dấu "=" 2x² = 1/4x x³ =1/8 x = 1/2Vậy Mmin = 2011 đạt x= 74 CÁCH 3: 1 1  + 2011 =  x − x +  + x + + + 2010 + 4x 4 8x 8x  ng M = x − 3x + x2 + 1 ta có , 8x 8x Ng ô Áp dụng cô si cho ba số x , Lo 1 1  M =  x −  + x + + + + 2010 2 8x 8x  1 1 1 ⇔ x³ =1/8 ⇔ x = + ≥ 33 x = Dấu ‘=’ xẩy x= = 8x 8x 8x 8x 8x 8x 2 1  mà  x −  ≥ Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2=> M ≥ + + + 2010 = 2011 Vậy Mmin = 2011 4 2  đạt x = ĐỀ SỐ 10 Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ x ≠ ta có : x x 3x + x ( x − 3) x ( x + 3) x + + − = + − x−9 x−9 x−9 x +3 x −3 x−9 x − x + x + x − 3x − x − 3( x − 3) = = = = x −9 x−9 x −9 x +3 ⇔ x = ⇔ x = 36 = 2) A = ⇔ x +3= x +3 3) A = lớn ⇔ x + nhỏ ⇔ x = ⇔ x = x +3 Bài II: (2,5 điểm) Gọi x (m) chiều rộng hình chữ nhật (x > 0) ⇒ chiều dài hình chữ nhật x + (m) Vì đường chéo 13 (m) nên ta có : 132 = x + ( x + 7) ⇔ x + 14 x + 49 − 169 = ⇔ x2 + 7x – 60 = (1), (1) có ∆ = 49 + 240 = 289 = 172 −7 − 17 −7 + 17 Do (1) ⇔ x = (loại) = hay x = 2 Vậy hình chữ nhật có chiều rộng m chiều dài (x + 7) m = 12 m Bài III: (1,0 điểm) 1) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: -x2 = mx – ⇔ x2 + mx – = (2), phương trình (2) có a.c = -1 < với m ⇒ (2) có nghiệm phân biệt trái dấu với m ⇒ (d) cắt (P) điểm phân biệt 2) x1, x2 nghiệm (2) nên ta có : x1 + x2 = -m x1x2 = -1 1) A = 75 o   1) Tứ giác FCDE có góc đối FED = 90 = FCD nên chúng nội tiếp 2) Hai tam giác vuông đồng dạng ACD DEB  = CBE  chắn cung CE, nên ta hai góc CAD DC DE = ⇒ DC.DB = DA.DE có tỉ số : DA DB 3) Gọi I tâm vòng tròn ngoại tiếp với tứ giác  = CEA  (cùng chắn cung CD) FCDE, ta có CFD F C Ng ô I ng ⇔m+1=3⇔m=2 Bài IV: (3,5 điểm) Lo x12 x2 + x22 x1 − x1 x2 = ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 − 1) = ⇔ −1(−m − 1) = E D A O B  = CBA  (cùng chắn cung AC) Mặt khác CEA  = OCB  tam OCB cân O, nên CFD    Ta có : ICD = IDC = HDB  = OBD  HDB  + OBD = OCD 900  + DCI = ⇒ OCD 900 nên IC tiếp tuyến với đường tròn tâm O Tương tự IE tiếp tuyến với đường tròn tâm O 4) Ta có tam giác vng đồng dạng ICO FEA có góc nhọn  1=  COI  (do tính chất góc nội tiếp) = CAE COE CO R   tgCIO  = = = ⇒ tgAFB Mà tgCIO = = IC R Bài V: (0,5 điểm) Giải phương trình : x + x + = ( x + 4) x + Đặt t = x + , phương trình cho thành : t + x =( x + 4)t ⇔ t = x hay t = 4, ⇔ t − ( x + 4)t + x = ⇔ (t − x)(t − 4) = Do phương trình cho ⇔ = x + hay = x2 + x  x + = x2 ⇔ x + = 16 hay  ⇔ x2 = ⇔ x = ±3 x ≥  Cách khác : x + x + = ( x + 4) x + ⇔ x + + 4( x + 4) − 16 − ( x + 4) x + = ⇔ ( x + 4)(4 − x + 7) + ( x + − 4)( x + + 4) = ⇔ x + 7= − hay − ( x + 4) + x + 7= +4 ⇔ = x + hay = x + x ⇔ x2 = ⇔ x = ±3 ĐỀ SỐ 11 Bài I: 1) Ta có: 76 A A x −2 ( ( )( x +2 + + x −2 x +2 x +2 ) ) ( ) )( ) ( x ( x + 2) x = ( x − )( x + ) x − x+ x +2 + x −2 = x −2 x +2 ng ( x −2 x + x+2 x x −2 )( x +2 ) Lo = A Ng x A= + x−4 2) Tính giá trị A x = 25 Với x = 25= ta có A 3) Tìm x để A = − A= − ⇔ Khi 25 = 25 − 3 x = − ⇔3 x = − x +2 x −2 1 ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = (tmdk ) Bài II: Giải cách lập phương trình: * Gọi số áo tổ may ngày x ( x ∈ N ; áo/ngày) Số áo tổ may ngày x + 10 (áo) ngày tổ thứ may 3(x +10) (áo) ngày tổ thứ may 5x (áo) Tổ may ngày tổ may ngày 1310 áo nên ta có pt: 3(x+10) + 5x = 1310 ⇔ 3x+30+5x=1310 ⇔ 8x= 1310 − 30 ⇔ 8x = 1280 ⇔x= 160 (tmdk ) Vậy ngày tổ may 160 + 10 = 170 áo Mỗi ngày tổ may 160 áo Cách 2:Học sinh làm theo nhiều cách khác nhau: chẳng hạn giải cách lập hệ pt: * Gọi số áo tổ may ngày x ( x ∈ N ; áo/ngày) * Số áo tổ may ngày y ( y ∈ N ; áo/ngày) ngày tổ thứ may 3x (áo) ngày tổ thứ may 5y (áo) Vì tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1310 Mỗi ngày tổ may nhiều tổ 10 áo nên ta có pt: 77 x – y = 10 Ta có hệ pt: Lo Ng Giải hệ ta x = 170; y= 160 Bài III: Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + = 1)Giải phương trình cho m = Khi m = Phương trình x − 4x + = Vì + (-4) + = 0, theo hệ thức Vi-ét pt có hai nghiệm phân biệt: ng 1310 3x + y =  10 x − y = = x1 1= ; x2 2)Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 + x2 = 10 *) Pt có hai nghiệm ⇔ Δ ' ≥ x2 – 2(m+1)x + m2 + = (1) ⇔ (m + 1) − (m + 2) ≥ ⇔ m + 2m + − m − ≥ ⇔ 2m − ≥ ⇔ m ≥ *) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có:  x1 + x2 = 2(m + 1)  m2 +  x1 x= Ta có x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2x1 x2 = 10 ⇔ ( 2(m + 1) ) − 2(m + 2) = 10 ⇔ (m + 2m + 1) − 2m − − 10 = ⇔ 4m + 8m + − 2m − 14 = ⇔ 2m + 8m − 10 =  m = (tmdk ) ⇔  m = (không tmđk) Vy vi m = thoả mãn yêu cầu đề Bài IV 78 M B P K A O E Ng ô Lo ng Q C N 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét (O): AB⊥OB (AB tiếp tuyến (O)) ⇒ góc OBA = 90o Chứng minh tương tự: góc OCA = 90o ⇒ góc OBA +góc OCA = 180o Xét tứ giác ABOC: góc OBA +góc OCA = 180o (cmt) Mà B C hai đỉnh đối ⇒tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt) 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA = R2 Ta có AB, AC hai tiếp tuyến (O) ⇒ AB = AC AO phân giác góc BAC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒∆ABC tam giác cân A (dhnb tam giác cân) Mà AO phân giác góc BAC (cmt) ⇒ AO⊥BC (t/c tam giác cân) ⇔AO⊥BE Xét tam giác OBA vuông B: AO⊥BE (cmt) ⇒OE.OA=OB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) ⇔OE.OA=R2 3) Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Xét (O): PB, PK hai tiếp tuyến (O) (gt) ⇒PK = PB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự QK = QC Ta có chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + KQ Mà PK = PB; KQ = QC (cmt) ⇒Chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PB + QC = AP + PB + AQ + QC 79 Ng ô Lo ng Chu vi tam giác APQ = AB + AC Mà A, (O) cố đinh ⇒ Tiếp tuyến AB, AC cố định ⇒AB, AC không đổi Chu vi tam giác APQ = AB + AC không đổi K di chuyển cung BC nhỏ 4) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN +) Chứng minh được: ∆AMN cân A ⇒ góc M = góc N (tc tam giác cân) ⇒ góc A + góc M1 = 180o (*) Ta có góc A + góc BOC = 180o (tứ giác OBAC tgnt) Chứng minh góc BOC = góc POQ ⇒ góc A + 2góc POQ = 180 o (**) Từ (*) (**) ta có góc M1 = góc POQ Ta có góc PON góc ngồi ∆MOP ⇒ góc PON = góc P1 + góc M1 ⇔góc POQ + góc O1 = góc P1 + góc M1 Mà góc M1 = góc POQ (cmt) ⇒góc O1 = góc P1 Xét ∆ONQ ∆PMO: gócM1 = gócN1 (cmt) gócO1 = gócP1 (cmt) ⇒∆ONQ đồng dạng với ∆PMO ⇒ NQ ON (đn tam giác đồng dạng) = MO PM ⇒PM.NQ = OM.ON = OM2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số PM>0 PN >0 ta có: PM + PN ≥ PM PN ⇔ PM + PN ≥ OM ⇔ PM + PN ≥ 2OM ⇔ PM + PN ≥ MN Câu V Giải phương trình x2 − ( 1 + x + x += 2x + x + 2x + 4 ) 1   x (2x + 1) + (2x + 1)  ⇔ x − +  x +=   2 2  ⇔ x2 − 1 (2x + 1)( x + 1)  + x +=  2  1  1  ⇔  x −  x +  + x + =  x +  x +  2  2  (   1 ) Điều kiện:  x +  ( x + 1) ≥ ⇔ x ≥ − 2  Phương trình tương đương: 80  1  1  1  ⇔  x −  x +  +  x +  =  x +  x +  2  2  2  ( ) ng ( 1 1 1  1    ⇔ x+  = x+  x +1 ⇔ x+  = x+  x +1 2 2 2  2    ) ( 1 1   ⇔  x +  x + − =0 ⇔  x +  x =0 2 2     x+ = x= −   ⇔ ⇔ 2 (tm®k)   x =   x = ( ) Ng ô ( Lo  1    ⇔  x +  x − +  =  x +  x +  2    ) )   ⇒ S =− ;    ĐỀ SỐ 12 Câu I Rút gọn P Điều kiện: x ≥  x + 1+ x  x + x   P  = ⇔P  x x +  x    ⇔ P= x +1+ x Với x = ⇒ P = + + = 2 ( )  x+ x +1   x x +1  ( )  x    ( ) x +1    x  Tìm x để: 13 13 ⇔ x +1+ = ⇔ 3x + x + = 13 x ⇔ 3x − 10 x + = x Đặt= t x >0 P= 3t − 10t + = Ta có: Δ ' = 25 − = 16 ⇒ 3t − 10t + = ⇔ t1 = , t2 = 3 1 Với t1 = ⇒ x = Với t3 = ⇒ x = 81 Vậy nghiệm : x = x = 9 Ng ô Lo ng Câu II Gọi tháng thứ tổ I sản xuất x ( chi tiết máy) Do tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy nên tháng thứ hai tổ II sản xuất 900 – x (chi tiết máy) (Điều kiện: 0< x < 900) Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất số chi tiết máy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất số chi tiết máy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x) 110% ( chi tiết máy) (2) Trong tháng hai hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy, nên từ (1) (2) ta có phương trình: 115x 110 ( 900 − x ) + = 1010 100 100 ⇔ 5x + 99000 = 101000 ⇔ 5x = 2000 ⇔x= 400 Vậy tháng thứ tổ I sản xuất 400 (chi tiết máy) Vậy tháng thứ tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy) Câu III Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: (1) x = mx + ⇔ x − 4mx − 4= ( 1) (1) có hai nghiệm phân biệt với m a.c = - < (2) Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt 2.Phương trình (1) có: Δ=' 4m + > Phương trình (1) có nghiệm: x1 =2m − m + , x =2m + m + Ta chọn: x A = 2m − m + xB = 2m + m + Thay vào (d): y = mx + ta được: yA = mxA + yB = mxB + Gọi A’ B’ hình chiếu A B lên trục Ox Gọi S1 diện tích hình thang ABB’A’ ta có: Gọi S2 diện tích tam giác AOA’: S2 = S AOA ' = y A ( − x A ) ( x A < ) S = S AOA ' = ( mxA + 1)( − xA ) Gọi S3 diện tích tam giác BOB’: y B ( xB ) = S3 S= ( mxB + 1)( xB ) BOB ' = S3 S= BOB ' 1 ( mxA + 1)( − xA ) + ( mxB + 1)( xB ) ( xA < ) 2 1 S += S3 m ( xB2 − x A2 ) + ( xB − x A ) 2 Vậy S + = S3 Diện tích: S ABO = S1 − S − S3 1 m ( xB2 − x A2 ) + ( xB2 − x A2 ) − m ( xB2 − x A2 ) − ( xB − x A ) 2 S ABO = ( xB − x A ) S ABO = m += m + ( dvdt ) S ABO = Câu IV Lo Ng ô  y A + yB  = S1 S=   ( x A − xB ) ABB ' A '   S ABB= m ( xB2 − x A2 ) + ( xB − x A ) ' A' ng 82 83 Lo Ng ô 1    KAF = AEK = KEB = KOB ( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) (2) suy ra: ∆KAF  ∆KEA ( g.g )  Do EK đường phân giác góc AEB ng 1) Xét hai ΔKAF ΔKEA có:  chung (1) Góc K nên K điểm cung AB suy OK ⊥ AB Mà OK = OE nên cân O  = OEK  ( 3) OKE Mặt khác: I giao điểm đường trung trực EF OE nên IF = IE ∆IEF cân I =  ( 4) ⇒ IFE IEF  = OKE  Từ (3) (4) suy IFE Vậy IF // OK ⇒ IF ⊥ AB ( OK ⊥ AB ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) AE cắt (I) M, BE cắt (I) N  = 90o suy MN đường kính đường tròn ( I ) nên MN qua I Mà MEN  Hơn EF phân giác góc MEN Theo chứng minh tương tự câu a ta suy IF ⊥ MN Vậy MN // AB Theo đề ta có NF cắt AK P, MF cắt BK Q  MFN  Suy = PFQ = 90o ( hai góc đối đỉnh)  = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) ) Mà góc PKQ Vậy tứ giác PKQF tứ giác nội tiếp đường tròn  = KFQ  ( chắn cung KQ ) Suy KPQ  = KFQ  ( đối đỉnh) Mà MFE    ( chắn cung ME MN // AB ) Mặt khác MFE = MNE = ABE  = ABE  ( chắn cung AE ) Hơn PKF  = KPQ  FKQ  = QPF  (chắn cung FQ) Suy PKF   Vậy FPK = PKQ = 90o suy PKQF hình chữ nhật 1   Mặt khác: PAF = KEB = AEB = 45o ⇒ ∆APF vuông cân P Suy AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà ∆AKB vuông cân K ⇒ AK = 2R Vậy chu vi tam giác KPQ là: 84 P= PK + KQ + PQ= 2R + PQ= 2R + KF ( PQ = KF) Vậy Pmin ⇔ KFmin ⇔ F trùng với O hay E điểm cung AB 2 Lo ( *) Ng ô A = ( x − 1) + ( x − ) + ( x − 1) ( x − ) ng Câu V Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Đặt x – = t, đó: ( *) ⇔ A = ( t + 1) + ( t − 1) + ( t + 1) ( t − 1) 2 ⇔ A = t + 4t + 6t + 4t + + t − 4t + 6t − 4t + + ( t − 1) ⇔ A= 2t + 12t + + 6t − 12t + = 8t + ≥ ( t ≥ 0) Vậy Amin = = tức x – = hay x = _Hết ... CME nhỏ Đề số 18 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Ap dụng: Cho hai hàm số bậc y = 0,2x-7 y = 5-6x Hỏi hàm số đồng biến , hàm số... theo kế hoạch (x > 0) 1100 ⇒ Số ngày theo kế hoạch : x 1100 Số ngày thực tế Theo giả thiết tốn ta có : x +5 1100 1100 = x x +5 ⇔ 1100 (x + 5) − 1100 x= 2x(x + 5) ⇔ 2x + 10x − 5500 = ⇔x= 50 hay... trình có tập hợp nghiệm Đề số 25 A/ lý thuyết : Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Lo x Đề : Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành B/ Bài tập 1/ Xét biểu