CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = f(x) = 2x2 − x + x0 = b) y = f(x) = 3− 2x x0 = –3 c) y = f(x) = 2x + x0 = x−1 d) y = f(x) = sinx x0 = π f) y = f(x) = x + x + x0 = e) y = f(x) = x x0 = x−1 Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x + x − x x =4 b) y = x + − x x =1 c) y = x − x x =2 π π d) y = sin x + cos x x =0 e) y = sin 2 x x = f) y = tan x + x = Bài 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x) = x2 − 3x + b) f(x) = x3 − 2x d) f(x) = 2x − e) f(x) = sinx c) f(x) = x + 1, (x > − 1) f) f(x) = cosx VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Bài 1: Tính đạo hàm hàm số 3 a) y = x + x − x − x + x − b) y = 1 − x + x − 0,5 x 4 e) y = ( ) x +1 − 1÷ x k) y = 2x + j) y = − x + x x x2 f) y = 2x4 − x3 + x − g) y = x − x + x − x Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: 2x + a) y = (x2 + 3x)(2 − x) l) y = 1− 3x b) y = (2 x − 3)( x − x) 1+ x − x2 m) y = c) y = ( x + 1)(5 − x ) 2x −1 g) y = 4x − x + 10 h) y = 4x − − x + 5x − i) y = 3x − 3 c) y = 2x4 − x3 + x − d) y = x(2 x − 1)(3 x + 2) e) y = ( x − x + 3).(2 x + 3) f) y = x x x x3 x d) y = − + − x + a (a số) 1− x + x n) y = x − 3x + x−1 o) y = 2x − 4x + x− p) y = 2x2 x2 − 2x − 2x − x −1 2x r) y = x −1 5x − s) y = x + x +1 q) y = Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: x2 + x − t) y = x −1 u) y = x + − x −1 x2 + 2x + v) y = x +1 2x − 4x + w) y = 2x + x + x +1 x) y = x − x +1 2x + y) y = x − 5x + a) y = ( x + x ) b) y = (2 x − x − x + 1) 2x + 1 h) y = ÷ x−1 c) y = (1 − x )3 i) y = d) y = ( x − x )32 e) y = ( x − x + 1)3 ( x + x + 1) 2 f) y = (x + x + 1) j) y = (x + 1)2 l) y = 1− x (x2 − 2x + 5)2 o) y = Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x + x x + b) y = + x − x c) y = d) y = f) y = x −1 + x −1 x2 + − − x2 x2 + x g) y = x − ÷ x 1+ x h) y = 1− x i) y = 1− x e) y = ÷ 1+ x x+ x+ x j) y = x − x + 1− x + 2x k) y = ( x − x + 1)5 2+ x 5x − x − m) y = − x + 3x − n) y = (1 + x)(2 + x )(3 − x ) (x − 1) k) y = ( 3− 2x2 ) g) y = (1− 2x2)5 k) y = l) y = + x + x (2 − x )(3 − x ) 1− x + x2 m) y = 2x2 − 5x + n) y = x3 − x + o) y = x + x p) y = (x − 2) x2 + q) y = 4x + x2 + 2 r) y = + x x s) y = x3 x−1 t) y = (x − 2)3 u) y = ( 1+ 1− 2x ) Bài 5: Cho hàm số f ( x ) = 3x − x Tính f '(4); f '(a ) a số khác Bài 6: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a) (sinn x.cosnx)' = nsinn−1 x.cos(n + 1)x b) (sinn x.sinnx)' = n.sinn−1 x.sin(n + 1)x c) (cosn x.sinnx)' = n.cosn−1 x.cos(n + 1)x Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: sinx a) y = ÷ 1+ cosx b) y = x.cosx c) y = sin3(2x + 1) e) y = sin + x2 f) y = sinx + 2x h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x i) y = (2 + sin2 2x)3 j) y = sin( cos2 xtan2 x) x + 1 ÷ k) y = cos ÷ x − l) y = sin x + cos x sin x − cos x m) y = d) (cosn x.cosnx)' = − n.cosn−1 x.sin(n + 1)x cos x − sin x n) y=sinxcos2x o) y = ( cos x − sin x ) p) y = sin (cos(tan x))) q) y = sin x cos x r) y = (sin x + cos x) ; s) y = 5sin x − 3cos x t) y = sin( x − x + 2) u) y = sin x v) y = cos x w) y = cos x + x) y = 2sin x cos5 x sin x + cos x sin x − cos x z) y = cos x sin x x + a1) y = x sin x y = sin(cos x ) + cos(sin x) b1) x + sin x c1) y = x − sin x d1) y = (sin x + cos x ) e1) y = 3cos 2 x − 2cos x y) y = + cos x f1) y = ÷ − cos x g1) y = cos x + sin x h1) y = 1 − cos x sin x π i1) y = cos x − ÷ 4 j1) y = sin x − x cos x cos x − x sin x Bài 8: Tính đạo hàm hàm số sau: x +1 b) y = tan x + cot x + tan x f) y = − tan x g) y = tan(sin x) c) y = cot x + h) y = a) y = tan d) y = tan x − cot x e) y = x cot x x tan x i) y = tan x + cot x j) y = (1 + tan x) 2 k) y = cot2x π l) y = cot (2 x + ) ; m) y = tan (sin(cos3 x)) Bài 9: Tính đạo hàm hàm số đa thức y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ax + b (a, b, c, d số) Tính f '( x ) cx + d ax + bx + c Bài 11: Cho hàm số y = f ( x) = (a, b, c, m, n số) Tính f '( x ) mx + n Bài 10: Cho hàm số y = f ( x ) = VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) Dạng 3.1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Phương pháp: phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) Chú ý: +) Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ tiếp điểm x0 , ta dạng toán +) Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ tiếp điểm y0 , ta giải phương trình f ( x ) = y0 để tìm hồnh độ tiếp điểm Dạng 3.2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: B1: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) B2: Gọi M ( x0 ; f ( x0 )) hoành độ tiếp điểm Giải phương trình f ( x0 ) = k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 B3: Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 3.1) Dạng 3.3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua điểm M(a;b) Phương pháp: B1: Tính f '( x ) B2: Gọi M ( x0 ; f ( x0 )) tiếp điểm Khi phương trình tiếp tuyến tiếp điểm y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) Theo tiếp tuyến qua điểm M nên ta có b = f '( x0 )( a − x0 ) + f ( x0 ) (1) B3: Giải phương trình (1) tìm hồnh độ tiếp điểm viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1) Bài tập Bài 1: Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vng góc với đường thẳng x + 4y = d) Vng góc với đường phân giác thứ góc hợp trục tọa độ Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = − x + x2 (C) x−1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình ttiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 3x + (C) 1− x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hồnh c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y = x + 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với ∆: 2x + 2y – = Bài 4: Cho hàm số (C): y = x3 − 3x2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài 5: Cho hàm số (C): y = 1− x − x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = Bài 6: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến a) song song với đường thẳng y = −3 x + b) vng góc với đường thẳng y = c) qua điểm A(0;2) Bài Cho đường cong (C): y = x−4 x+2 x−2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) a) điểm có hồnh độ b) điểm có tung độ c) biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 Bài 8: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến a) nhận điểm A(2;4) làm tiếp điểm b) song song với đường thẳng y = x + c) qua điểm B(0;2) VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y(n) = (yn−1)/ Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức Bài 1: Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cosx a) Tính f '(x),f ''(x) π 2 b) Tính f ''(π), f '' ÷,f ''(1) Bài 2: Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: a) y = cosx, y''' b) y = 5x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 7, y'' d) y = 2x − x2 , y'' e) y = xsinx, y'' g) y = (x2 + 1)3,y'' x− , y'' x+ f) y = xtanx, y'' c) y = h) y = x6 − 4x3 + 4, y(4) i) y = Bài 3: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: (n) a) ÷ 1+ x = (−1)n n! n+1 (1+ x) (n) b) (sinx) = sin x + n.π ÷ , y(5) 1− x (n) c) (cosx) = cos x + n.π ÷ Bài 4: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x+ 1− x d) y = 1+ x a) y = b) y = c) y = x2 − 3x + e) y = sin2 x x x2 − f) y = sin4 x + cos4 x Bài 5: Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: y = 2x − x2 b) y = xsinx a) xy''− 2(y'− sinx) + xy = y y''+ 1= x− y = d) x + 2y′2 = (y − 1)y'' y = xtanx 2 x y''− 2(x + y )(1+ y) = c) VẤN ĐỀ 5: Các tốn khác Bài 1: Giải phương trình f '(x) = với: a) f(x) = 3cosx − 4sinx + 5x c) f(x) = sin2 x + 2cosx b) f(x) = cosx + 3són + 2x − d) f(x) = sinx − cos4x cos6x − 3π + x f) f(x) = sin3x − 3cos3x + 3(cosx − 3sinx) Bài 2: Giải phương trình f '(x) = g(x) với: a) f(x) = sin 3x b) f(x) = sin 2x g(x) = sin6x g(x) = 4cos2x − 5sin4x 2x x f(x) = 4xcos f(x) = 2x2 cos2 c) d) g(x) = x − x2 sinx g(x) = 8cos x − 3− 2xsinx f '(x) > g'(x) Bài 3: Giải bất phương trình với: e) f(x) = 1− sin(π + x) + 2cos a) f(x) = x3 + x − 2, g(x) = 3x2 + x + 2 b) f(x) = 2x3 − x2 + 3, g(x) = x3 + x − 2 x c) f(x) = , g(x) = x − x3 Bài 4: Chứng minh hàn số y = sin x + cos x + 3sin x cos x có đạo hàm Bài 5: Chứng minh a) y = tan x thỏa mãn hệ thức y '− y − = b) y = cot x thỏa mãn hệ thức y '+ y + = Bài 6: Giải phương trình y ' = trường hợp sau: a) y = sin x − 2cos x b) y = cos x + sin x c) y = 3sin x + 4cos x + 10 x d) y = tan x + cot x cos x π ÷ biết f ( x) = cos x 6 Bài 7: Tính f ' Bài 8: Xác định m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ R: a) f '(x) > vớif(x) = mx − 3x2 + mx − 3 b) f '(x) < vớif(x) = mx − mx + (m + 1)x − 15 VẤN ĐỀ 6*: Tính tổng nhờ đạo hàm tính giới hạn nhờ đạo hàm Bài 1: Tính tổng sau: a) P ( x) = + x + 3x + + nx n−1 b) Q ( x ) = 12 + 2 x + 32 x + + n x n−1 Bài 2: Tìm giới hạn sau: x +8 −3 x →1 x + x − x + x + x + + x n − n c) lim x →1 x −1 a) lim b) lim x →1 x3 − 3x − x −1 Bài 3: Chứng minh a) Cn1 + 2Cn2 + + (n − 1)Cnn−1 + nCnn = n 2n−1 b) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + nCnn−1 + ( n + 1)Cnn = n + n2 n−1 Bài 4: Tính tổng sau: 19 − 2C20 + 3C20 − + 19C20 − 20 a) S = C20 29 − 2C30 + 3C30 − + 29C30 − 30 b) S = C30 ... B(0;2) VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y(n) = (yn? ?1) / Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng... mx − mx + (m + 1) x − 15 VẤN ĐỀ 6*: Tính tổng nhờ đạo hàm tính giới hạn nhờ đạo hàm Bài 1: Tính tổng sau: a) P ( x) = + x + 3x + + nx n? ?1 b) Q ( x ) = 12 + 2 x + 32 x + + n x n? ?1 Bài 2: Tìm giới... −3 x ? ?1 x + x − x + x + x + + x n − n c) lim x ? ?1 x ? ?1 a) lim b) lim x ? ?1 x3 − 3x − x ? ?1 Bài 3: Chứng minh a) Cn1 + 2Cn2 + + (n − 1) Cnn? ?1 + nCnn = n 2n? ?1 b) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + nCnn? ?1 + (