100 đề THI HSG 9

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI MÔN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho phương trình a) Giải phương trình x + 3x3 − mx + x + = ( m tham số) m = −2 b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm dương Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình x − x x − + x − = x, y b) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 = y ( x + y + y ) a, b, c Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thoả mãn a+b+c =3 Chứng minh ( a + b + c ) − ( a + b3 + c3 ) ≥ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O) với AB < AC Gọi M ( O) BC AM MDC D A trung điểm , cắt điểm khác Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng AB F khác AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng B E, M , F BDF , CDE a) Chứng minh hai tam giác b) Chứng minh đồng dạng ba điểm OA ⊥ EF thẳng hàng c) Phân giác góc CN , BN lượt cắt · BAC P cắt EF điểm N PQ Q Câu (1,0 điểm) Tập hợp Phân giác góc Chứng minh song song với A = { 1;2;3; ;3n − 1;3n} A hợp cân đối chia thành n n ( tập hợp · CEN · BFN lần BC số nguyên dương) gọi tập A1 , A2 , , An thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai ( i = 1,2, , n ) gồm ba số phân biệt có số tổng hai số lại ii) Các tập hợp A1 , A2 , , An a) Chứng minh tập b) Chứng minh tập đơi khơng có phần tử chung A = { 1;2;3; ;92;93} không tập hợp cân đối A = { 1;2;3; ;830;831} tập hợp cân đối —— Hết—— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………… ; Số báo danh:………………………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) a − b = 29 + 12 − 1) Cho Tính giá trị biểu thức: A = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 xy + (1 + x )(1 + y ) = x, y 2) Cho hai số thực thỏa mãn x + y + y + x = Chứng minh Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x   x − y − = x + y + − x + y − 2) Giải hệ phương trình Câu III (2,0 điểm) x, y x + x − y − y + 20 = 1) Tìm số nguyên thỏa mãn k k − 8k + 23k − 26k + 10 2) Tìm số nguyên để số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 = + AK AB AC 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành a, b (a + b)3 + 4ab ≤ 12 Câu V (1,0 điểm) Cho số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b Chứng minh bất đẳng thức -Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề Câu (4đ) A = ( 2n − 1) ( 2n + 1) a) Chứng minh b) Tìm số số nguyên n cho chia hết cho với số tự nhiên n B = n2 − n + 13 Câu (5đ) a) Giải phương trình x2 − 2x + = 2x2 − 4x + b) Giải hệ phương trình 2 x − y = 1− xy  2 x + y = 3xy + 11 Câu (3đ) số phương Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2010  1 1  x + y + z = 2010  P = ( x2007 + y2007 ) ( y2009 + z2009 ) ( z2011 + x2011 ) Tính giá trị biểu thức Câu (6đ) AB = R Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố định, Điểm P di động dây AB ( C;R1 ) (P khác A B) Gọi đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , ( D;R2 ) ( C;R1 ) đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) B hai đường tròn ( D;R2 ) cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đưởng thẳng MP ln qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn ? xy + yz + zx = 670 Câu Cho số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện x y z + + ≥ x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z Chứng minh rằng: PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a Cho biểu thức M= a a −b b a b − − a −b a+ b b− a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết b Tìm số nguyên a, b thoả mãn c Cho a, b, c thỏa mãn Tính giá trị biểu thức H= Bài 2: (4,5 điểm) ( − a ) ( − b) + ab = − + 18 = a+b a−b a+ b+ c =7 ; a + b + c = 23 ; abc = 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − 4+ + 4− a Tính giá trị biểu thức N= b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn Chứng minh ≠ với a, b > a b + 13 (a + 27 − 10 ) + b2 − ( a + b ) + (1 − ab) = −4ab + ab số hữu tỉ x2 − x − = x − ( − x ) c Giải phương trình Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh x + y = xy + 1 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn Tốn: Lớp NĂM HỌC 2016 - 2017 (Thời gian làm bài: 150 phút) Họ tên thí sinh SBD: Bài 1: (5,0 điểm)  x+2 x  x −1 P= + + ÷: x x − x + x + 1 − x   Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P P= b) Tìm x để c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) x, y ∈ Z y x + x + y + = x + y + xy a) Tìm thỏa mãn: b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1  1 1  + + ÷ = + + b c a b c a Chứng minh rằng: a + b3 + c3 Với x ≥ 0, x chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + ≠ Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi 12/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) x= a) Cho 10 + ( − 1) 6+2 − b) Cho biểu thức ( P = 12x + 4x – 55 Tính giá trị a + a a −1 a − a a + a −1 M= + + a a− a a −a a N= Với giá trị a biểu thức M ) 2017 với a > 0, a ≠ nhận giá trị nguyên? Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình: x − 2mx + m − m − = m phương trình có hai nghiệm x1 x2 (m tham số) Với giá trị cho x1 + x = ? b) Cho hệ phương trình 2 2   x y − 2x y − x y + 2xy + 3x − =  2017 y + x = y + 3m   Tìm giá trị m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x ; y2 ) thỏa mãn điều kiện Bài (2,0 điểm) ( x + y ) ( x + y1 ) + = a) Tìm tất số nguyên dương a, b cho b) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng: a3 + ( b + c) + b3 b3 + ( c + a ) + a + b2 a3 ( x ; y1 ) chia hết cho c3 c3 + ( a + b ) a 2b − ≥1 Bài (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn điểm P điểm Q (P nằm A Q) a) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Bài (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A -Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Đề thức Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Số báo danh Câu I (5,0 điểm) x − 2m x + 2m − = 1) Cho phương trình: nghiệm x1 , x2 đổi Chứng minh phương trình ln có hai P= với m Tìm giá trị lớn biểu thức 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn A = a2 + b2 + c2 số hữu tỉ x1 x2 + x + x22 + 2(1 + x1 x2 ) 1 1 + = a b c m thay Chứng minh x, y , z (b) Cho ba số hữu tỉ đôi phân biệt Chứng minh rằng: 1 B= + + 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x) số hữu2 tỉ  x   x  10  ÷ + ÷ =  x −1   x +1 Câu II (5,0 điểm).1) Giải phương trình:  1 1  x + x + 1 + ÷ = y y    x + x + x + =  y2 y y3 2) Giải hệ phương trình: Câu III (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC · BPE Tính O ∉ AB Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( ) P điểm di P ≠ A, B động đoạn thẳng AB ( P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P N≠P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( ) ·ANP = BNP · 1) Chứng minh bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V (4,0 điểm) a1 < a2 < < a45 ≤ 130 a1 , a2 , , a45 Cho 45 số tự nhiên dương thoả mãn Đặt d j = a j +1 − a j , ( j = 1, 2, , 44) dj Chứng minh 44 hiệu xuất 10 lần a , b, c a + b + b + c + c + a = 2011 Cho ba số dương thoả mãn: a b2 c2 2011 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Chứng minh rằng: HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 1) 2) THANH HĨA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức:  x+2 x  x −1 P= + + ÷: x x − x + x + 1 − x   a) Rút gọn biểu thức P P= b) Tìm x để c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) x, y ∈ Z a) Tìm y x + x + y + = x + y + xy thỏa mãn: b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1  1 1 + + = + +  ÷ b c a b c a Chứng minh rằng: a + b3 + c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) 10 Với x ≥ 0, x ≠ Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh cm E điểm nằm cạnh BC (E khác B C) Đường thẳng qua B, vng góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F, Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K, E, F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH Câu (3,5đ) Cho hai đường tròn cắt ( C1 ) ( C1 ) ,( C2 ) cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A M (M khác A) Tiếp tuyến A ( C1 ) ( C2 ) cắt ( C2 ) điểm N (N khác A) Đường thẳng MB cắt P (P khác B) Đường thẳng NB cắt B) a) Chứng minh tam giác AMP , AQN đồng dạng b) Chứng minh -Hết ( C2 ) ( C1 ) Q (Q khác MB.NA = NB.MA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Mơn thi : TỐN – BẢNG A Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) Câu (4 điểm) a) Tìm hệ số a, b, c đa thức – x = b) Giải hệ phương trình Câu (4 điểm) a) Giải phương trình P(x) = x2 + bx + c x2 + xy2 − xy − y3 =  2( x + 1) − x ( y + 1) − y = x + = 1− x2 + 1+ x b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P= biểu thức Câu (3 điểm) biết P (x) có giá trị nhỏ 2a 1+ a + Cho tam giác ABC có dài cạnh AB AC b 1+ b + ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn c 1+ c2 · BAC = 1350,BC = 5cm 92 đường cao AH = cm Tìm độ Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D điểm cung BC không chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC ACE Gọi P Q hình chiếu K BC AB, gọi I giao điểm EK với AC a) Chứng ba điểm P, I, Q thẳng hàng b) Chứng minh PQ qua trung điểm KH Câu (4 điểm) a) Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn 1 1 + + + + =1 m n p q mnpq b) Trên bảng có ghi hai số Ta ghi số lên bảng theo quy tắc sau: Nếu có hai số phân biệt bảng thi ghi thêm số minh số bảng (trừ số 1) có dạng PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC 3k + z = xy + x + y Chứng với số k tự nhiên KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HĨA LỚP NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đê) Ngày thi: 26 tháng 11 năm 2016 Bài (4,0 điểm) 1) Cho a+b+c=0 a,b,c khác Rút gọn biểu thức: A= ab bc ca + 2 2+ 2 2 a + b −c b +c −a c +a −b 2) Tính giá trị biểu thức: P= x3 + x2 + 5x + − x3 − 2x2 − 7x + x = 1+ + Bài (4,0 điểm) x2 + xy + y2 =  x − y − xy = 1) Giải hệ phương trình 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: ( 2x + 5y + 1) ( 2x + x2 + x + y) = 105 Bài (4,0 điểm) ( 2014 2014 1) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn n + 2012n 93 + 1) chia hết cho 2x2 + x = 3y2 + y 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn Chứng minh x – y ; 2x +2y+1 3x +3y+1 số phương Bài (6,0 điểm) Cho đường trịn (O;R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO b) Chứng minh CM vng góc với OE c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB Bài (2,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c a +b +c = abc a3 + b3 + c3 Chứng minh ≠0 1 a+ b+ c = + + = a b c 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 Mơn thi: TỐN – Bảng A Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (3,0 điểm) + 7+ 10 + 33 − 33 − 5+ + a) Rút gọn biểu thức x3 + y − x y = b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn −1 27 Tính giá trị biểu thức Bài (3,0 điểm) a) Với số nguyên n, chứng minh : b) Tìm số tự nhiên n để 24 + 27 + 2n n(n + 2)(73n2 − 1)M24 số phương Bài (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình : b) Giải hệ phương trình : 2− 3x = −3x2 + 7x − 3x − y2 − ( x − 2) ( y + 1) = −5  −2x + y2 + y = Bài (7,0 điểm) 94 x y Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC ( H ∈ BC ) ( M ≠ B;M ≠ C ) Kẻ MH vng góc với BC , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB K Hia đường thẳng AK CM giao E a) Chứng minh · · HKB = CEB CN ⊥ AB BE2 = BC.AB b) Từ C kẻ (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE P Chứng minh NP = PE c) Chứng minh NE tiếp tuyến nửa đường trịn đường kính AB NE = 2.NC Bài (2,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn A= Tìm giá trị nhỏ nhấ biểu thức a + b + 2ab = 12 a2 + ab b2 + ab + a+ 2b 2a+ b 95 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 2+ 2− 2 P= + 4+ 4− 1+ 1− 2 Câu Tính giá trị ( 2017− x) + ( 2017− x) ( x − 2018) + ( x − 2018) = 13 2 ( 2017− x) − ( 2017− x) ( 2018− x) + ( x − 2018) 37 2 Câu Giải phương trình Câu Cho a, b, c >0 Chứng mnh rằng: a) a a > a+ 2b a + b b) a b c + + >1 a+ 2b b + 2c c + 2a Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn (H;HM) (K;KM) a) Chứng minh hai đường trịn (H) (K) ln cắt b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn (H) (K) Chứng minh MN qua điểm cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho 7p+1 lập phương số tự nhiên SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học : 2011-2012 MƠN: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) x= a) Cho ( 2 + 1− 1 − + 1+ ) A = x4 − x3 − x2 + 2x − Tính giá trị biểu thức 2012 96 P = n3.( n2 − 7) − 36n b) Chứng minh biểu thị Câu (3,0 điểm) chia hết cho với số nguyên n a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Tìm đường thẳng ∆ điểm M(x;y) ∆ có phương trình thỏa mãn đẳng thức y2 − 3y x + 2x = b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình Tìm a, b để d qua điểm B(1;2) y = x+1 y = ax + b tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình y = 2x2 Câu (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình x1;x2 b) Gọi thực)  x + y =   x + y = hai nghiệm phương trình 2012x2 − ( 20a− 11) x − 2012 = (a số Tìm giá tri nhỏ biểu thức Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực a, b, c cho  x −x 1 P = ( x1 − x2 ) + 2 + − ÷ x1 x2   1≤ a,b,c ≤ Chứng minh ( a+ b+ c)  1 1 + + ÷ ≤ 10  a b c b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có học sinh tham gia trị chơi ném bóng vào rổ học sinh ném tất 100 bóng vào rổ Số bóng ném vào rổ học sinh khác Chứng minh có học sinh ném tổng số bóng vào rổ khơng 50 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường trịn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB đường thẳng AC D E (D E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng MA vng góc với DE b) Chứng minh điểm B, E, D, C thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn qua điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH hình ? 97 · · ACB = α;AMB = β Đặt Chứng minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ( sinα + cosα ) = 1+ sinβ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm)  x+4   x + 5 A = + : 1− ÷ ÷  x− ÷  x − x+2 ÷     Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình : ( x + 1) ( x − 2) ( x + 6) ( x − 3) = 45x2 b) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên x, y thỏa mãn 3x + 2y = x ( x2 + x + 1) = 4y − Tính giá trị nhỏ biểu thức H = x − y + xy + x + y − 2 Câu (3,0 điểm) < AC < Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C thuộc đoạn AB cho tia Cx vng góc với AB C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt cho AB; CE CA = = CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt điểm H (H không trùng với C) a) Chứng minh · · ADC = EBC ba điểm A, H, E thẳng hàng HC ⊥ AD b) Xác định vị trí C để c) Chứng minh điểm C thay đổi đường thẳng HC qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + 2y + z ≥ ( − x) ( − y) ( − z) x + y + z = Chứng minh Câu Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đường trịn Chứng minh tồn 98 đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm cịn lại có điểm nằm bên đường tròn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày: 11/04/2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu (5,0 điểm) P= 2m+ 16m + m+ m − + m− m−1 + m+ −2 Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên ( a + 15a− 25) Tính giá trị Câu (5,0 điểm) 2013 với a = 13− + 13+ ( ) x + + 3− x − 15− 2x − x2 + = Giải phương trình: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  2x + mx − 1=   mx − x + = Câu (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa Cho hai số x, y thỏa mãn 1 + + =2 x y z x + y ≤  2 x + y + xy = T = x2 + y2 − xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Tìm điểm M đường trịn để MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi P điểm di động cung BC không chứa A Gọi M, N hình chiếu vng góc hạ từ A xuống PB, PC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 99 Gọi I, D, E chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác IDE không đổi A, B, C thay đổi đường trịn (O;R) cho diện tích tam giác ABC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮC LẮC ĐỀ CHÍNH THỨC a2 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN – THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) Ngày thi : 05/4/2017 Bài (4 điểm) 1) Cho số thực a mà a > Rút gọn biểu thức  ( a− 1) a − + ( a − 1) a − − 1 A =  +  a  a+ a − a − a −  2) Giải hệ phương trình Bài (4 điểm) x2 − 3x y + y =  16  −3 y = x 1) Tìm m để phương trình x2 + ( 2m+ 1) x + 3m− 1= có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn x +x =5 2 2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P(x) = x2 + bx + 2017 số thực dương Chứng minh hai phương trình 4x2 − 12 10x − b = Bài (4 điểm) có giá trị nhỏ 4x2 − 12 10x + b = có hai nghiệm phân biệt 1) Tìm số ngun x, y thỏa mãn 1+ 2x = y2 M(n) = 2n + 24n +1−n 2M (n) − 2) Với số tự nhiên n, ta đặt Chứng minh chia hết cho 31 Bài (4 điểm) Cho đường trịn (O) có tâm O Dây AB cố định khơng phải đường kính Gọi I trung điểm đoạn AB Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E cho góc CIA EIB góc nhọn CI cắt đường trịn (O) điểm D khác C EI cắt đường tròn (O) điểm F khác E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C D cắt M, tiếp tuyến với đường tròn (O) E F cắt N Nối OM cắt CD P ON cắt EF Q Chứng minh 100 1) Tứ giác PQNM nội tiếp 2) MN song song với AB Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC cân C, có góc đỉnh 360 Chứng minh AC 1+ = AB 1≤ a ≤ 2;1≤ b ≤ Bài (2,0 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi cho lớn biểu thức Tìm giá trị  2  A =  a + b2 + + ÷ b + a2 + + ÷ a b  b a  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH Đề thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’  x+2 x − 2 Q= − ÷ x+ x  x+ x +1 x−1 ÷   ( ) Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: ( Với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn Q 2.Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên x− 13  x − + y + = 10    − 2y + = − 11  x − y + Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: bc ca ab + + ≥ a+ b+ c a b c Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c số thực dương CMR : Bài 4: (3 đ) Cho đường trịn (O,R) đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A,B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB CMR điểm M,D,O,H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn điểm I CMR I tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD theo thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M (d) cho diện tích ∆ MPQ bé Bài 5: (1 đ) : Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức: A = + 13 − − 13 − -* 101 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHỊNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN (chuyên)Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 25 tháng năm 2012 Đề thi gồm : 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) A= 3) Cho 15 x − 11 x − 2 x + − − x+ x −3 x −1 x +3 Rút gọn tìm giá trị lớn A x + ax + b = Cho phương trình có hai nghiệm ngun dương biết a,b hai số dương thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm Câu II ( 2,0 điểm) 4) 4x2 − x + = − 3) Giải phương trình: 4) Giải hệ phương trình: 16 x + x +  4 x − x + y =   y + y − xy =  Câu III (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: a 4b 9c + + >4 b+c c +a a +b Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AA’.Gọi AD đường phân giác góc · ( D ∈ BC ) BAC M,I trung điểm BC AH 3) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’ 4) Gọi P giao điểm AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB AC Q R.Chứng minh Q R hình chiếu vng góc P lên AB,AC Câu V (3,0 điểm) x + y + z = 2012 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 102 2) Cho hình vng 12x12, chia thành lưới hình vng đơn vị Mỗi đỉnh hình vng đơn vị tơ hai màu xanh đỏ Có tất 111 đỉnh màu đỏ Hai số đỉnh màu đỏ nằm đỉnh hình vng lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm cạnh cạnh hình vng lớn (khơng trùng với đỉnh hình vng lớn ) hình vng đơn vị tơ màu theo quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ tơ màu đỏ, cạnh có hai đầu mút màu xanh tơ màu xanh, cạnh có đầu mút màu đỏ đầu mút màu xanh tơ màu vàng Giả sứ có tất 66 cạnh vàng Hỏi có cạnh màu xanh Hết -Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh……………… ………… Chữ kí giám thị 1: ……………………….……… Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể phát đề) Câu (7 điểm) a) Chứng minh nguyên A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 (x B= − 3) + 12x2 chia hết cho 16 với n số 2 x + ( x + 2) − 8x b) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức B tìm giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: Câu (3 điểm) 2y2x + x + y + 1= x2 + 2y2 + xy y = x2 − 6x + − x − Cho hàm số có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) hàm số b) Với giá trị m phương trình x2 − 6x + − x − = m c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm bất phương trình: Câu (2 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa: vô nghiệm x2 − 6x + ≥ x  y2 = 2017 (1) x + xy +   y2 = 1009 (2) (x ≠ 0,z ≠ 0,x ≠ − z) z +  x2 + xz + z2 = 1008 (3)   103 2z y + z = x x+ z Chứng minh Câu (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường trịn ( O1 ) đường kính AE đường trịn ( O2 ) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường trịn với M tiếp điểm thuộc ( O1 ) ( O2 ) N tiếp điểm thuộc a) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB b) Với AB = 18 cm AE = cm, Vẽ đường trịn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A nhỏ 900 Từ B kẻ BM vng góc với AC M (điểm M thuộc AC) Chứng minh AM  AB  + 1= 2 ÷ MC  BC  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017 Môn thi: Tốn (chun) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức:   x 3  A= + + + 1÷ ÷ x x + x + x − 27    (với x ≠ 0; x ≠ ) Rút gọn biểu thức A x= 3+ − − 29 − 12 Tính giá trị biểu thức A Câu (3,0 điểm) Giải phương trình x3 − x − x x − − = 104 Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) n  x + xy − y =   xy + y + x = A = n 2018 + n 2008 + Tìm số tự nhiên để số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, M điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác A B) Qua A B kẻ đường thẳng d d’ tiếp tuyến với đường tròn Tiếp tuyến M đường tròn cắt d d’ C D Đường thẳng BM cắt d E Chứng minh CM = CA = CE AD ⊥ OE Chứng minh Tính độ dài đoạn AM theo R, AE = BD Câu (1,0 điểm) a ≥ 2; b ≥ a; b Cho thoả mãn Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1) ≥ ( a + b)( ab + 1) + Hết ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 25/6/2009 Thời gian làm 150 phút (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Bài I (3 điểm) 1) Tìm số ngun dương n để A=có giá trị số nguyên dương 2) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thứcx2+y(y2+y-3x)=0 Bài II (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y, z ẩn) Bài III (3 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) Gọi BD CE hai đường cao tam giác ABC 105 1/ Chứng minh AD.AC=AE.AB 2/ Tia AO cắt BC A1và cắt cung nhỏ BC A2 Tia BO cắt AC B1và cắt cung nhỏ AC B2 Tia CO cắt BA C1và cắt cung nhỏ AB C2 Chứng minh: ++=1 3/ Từ A vẽ tia Ax vng góc với DE Cho cạnh BC cố định , đỉnh A di động cung lớn BC cho ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh tia Ax qua điểm cố định Bài IV (1 điểm) Cho đa thức P(x)= x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d số) Biết P(1)=10, P(2)=20, P(3)=30 Tính giá trị biểu thức Bài V (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm bên ngồi đường trịn (O) cho ∆ABC có ba góc nhọn chu vi đường trịn ngoại tiệp ∆ABC khơng lớn chu vi (O) ………………………… Hết……………………… Họ tên thí sinh : ………………………………… Số báo danh: …………………… Chữ kí giám thị số 1………………… Chữ kí giám thị số 2…………….…… 106 ... HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 12/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang)... DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ Câu    ( a + 1)2  a+5... VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2 điểm)