50 Câu Trắc Nghiệm Hàm Số Liên Tục Có Đáp Án - Toán Lớp 11 - Thư Viện Học Liệu

+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.. Câu 1.C[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 

0

lim ( ) ( )

 

x x f x f x

 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước:

B1: Tính f(x0)

B2: Tính

0 lim ( )



x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim ( )





x x f x , lim ( )





x x f x )

B3: So sánh

0 lim ( )



x x f x với f(x0) rút kết luận

2 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng

3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b)

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

 

 

x a f x f a x b f x f b

 Hàm số đa thức liên tục R

 Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0

 Hàm số y = ( )

( ) f x

g x liên tục x0 g(x0) 

4 Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = min ( )a b;  f x , M = max ( )a b; f x Khi với T  (m; M) ln tồn

ít số c  (a; b): f(c) = T

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp:

 Tìm giới hạn hàm số yf x( ) x x0 tính f x( )0

 Nếu tồn

0 lim ( )



x x f x ta so sánh

lim ( )



x x f x với f x( )0

Chú ý:

1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm

2

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

 

  

   

x x f x l x x f x x x f x l

3 Hàm số

0

( )

 



 

f x x x

y

k x x liên tục 0

lim ( )



  

x x

x x f x k.

4 Hàm số

2

( ) ( )

( )  



 

f x x x

f x

f x x x liên tục điểm x x

0

lim ( ) lim ( ) ( )

 

 

 

x x f x x x f x f x

Chú ý:

 Hàm số

0

( )

 



 

f x x x

y

k x x liên tục x x

0 lim ( )

 

x x f x k

 Hàm số ( )

( )  

f x x x

y

0 lim ( ) lim ( )

 

 



x x f x x x g x

Câu 1 Cho hàm số  

2

1  

 x f x

x  

2

2   2

f m với x2 Giá trị mđể f x  liên tục x2là:

A 3 B  3. C  3. D 3

Câu 2.Cho hàm số   4

 

f x x Chọn câu câu sau:

(I) f x liên tục x2

(II) f x gián đoạn x2

(III) f x liên tục đoạn 2; 2

A Chỉ  I III  B Chỉ  I C Chỉ  II D. Chỉ  II và

III

Câu 3.Cho hàm số  

2

1

3;

6

3 3;

 

 



  



  

 

x

x x

f x x x

b x b

Tìm b để f x liên tục x3

A 3 B  3. C 2

3 . D

2 

Câu Cho hàm số  

1  

 x f x

x Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x gián đoạn x1.

 II f x liên tục x1.

III  

1

1 lim

2

 

x f x

A Chỉ  I B Chỉ I C Chỉ  I III  D. Chỉ  II và

III.

Câu 5.Cho hàm số  

2 8 2

2 2

0 2

  

  

 

 

 x

x

f x x

x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I  

2

lim 0



  

x f x

 II f x liên tục x2.

III f x gián đoạn x2.

A Chỉ  I III  B Chỉ  I  II C Chỉ  I D Chỉ  I

Câu Cho hàm số  

2

4 2

1



    



 



x x

f x

x Tìm khẳng định khẳng định sau:.

 I f x không xác định x3.

 II f x liên tục x2.

III lim2   2

 

x f x

A Chỉ  I B Chỉ  I  II

Câu 7 Cho hàm số  

sin

0

2



 



  

 x

x

f x x

a x

Tìm ađể f x liên tục x0.

A 1. B 1. C 2. D 2.

Câu 8.Cho hàm số  

 2

2

2

1 , , ,

  

 

  



 



x x

f x x x

k x

Tìm k để f x  gián đoạn x1

A k 2 B k2 C k 2 D k 1

Câu 9.Cho hàm số

2

4

( )

4

 

 

  

 

 

x

x x

f x

x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x4

B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x4

C Hàm số không liên tục x4

D Tất sai

Câu 10. Cho hàm số

2

2

3 2

2 1

( ) 1

3 1 1

  

 



 

   



x x

x

f x x

x x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục x1

D Tất sai

Câu 11. Cho hàm số   cos 2 1 1 1 

 



  



x

x f x

x x



Khẳng định sau

A Hàm số liên tục tại x1và x1

B Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1

C Hàm số không liên tục tại x1và x1

D Tất sai

Câu 12. Chọn giá trị f(0) để hàm số ( ) 2 1 1

( 1)   

 x f x

x x liên tục điểm x0

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 13.Chọn giá trị f(0) để hàm số

3 2 8 2

( )

3 4 2

  

  x f x

x liên tục điểm x0

A 1 B 2 C 2

9 D

1 9

Câu 14.Cho hàm số

2

1

( ) 1

2 3 1

  

  

 

  



x x

x

f x x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục tại x0 1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục tại x0 1

Câu 15. Cho hàm số

3

1 1

0 ( )

2 0

   

 



 



x x

x

f x x

x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x0 0

B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 0

C Hàm số không liên tục x0 0

D Tất sai

Câu 16.Cho hàm số

3 1

1

( )

 

 

  

 

 

x

x x

f x

x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục tại x1

D Tất sai

Câu 17.Cho hàm số

2

2

2

2 2

( ) 2

3 2

  

 



 

   



x x

x x

f x x

x x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x0 2

B Hàm số liên tục điẻm

C Hàm số không liên tục x0 2

D Tất sai

Câu 18. Tìm a để hàm số  

2 0 1 khi 0

 

 

  



x a x

f x

x x x liên tục x0

A 1

2 B

1

4 C 0 D 1

Câu 19.Tìm a để hàm số

4 1 1

0

( ) (2 1)

3 0

  

 

  

 

 x

x

f x ax a x

x

liên tục x0

A 1

2 B

1

4 C

1 6

 D 1

Câu 20.Tìm a để hàm số

2

3

1

( )

( 2)

  

 

 

 

 

 

 x

x x

f x

a x

x x

liên tục x1

A 1

2 B

1

4 C

3

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

+ Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng

Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I   21

1 

 f x

x

liên tục 

 II f x  sinx

x có giới hạn x 0.

III   9

 

f x x liên tục đoạn 3;3 .

A Chỉ  I  II B Chỉ  II III  C Chỉ  II D Chỉ III 

Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I  

1  

 x f x

x liên tục với x1

 II f x sinx liên tục 

III f x  x

x liên tục x1

A Chỉ  I B Chỉ  I  II C Chỉ  I III D Chỉ  II III

Câu 3.Cho hàm số  

2

3

,

3

2 ,

 

 

  

 

x

x

f x x

x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x  liên tục x 3

 II f x  gián đoạn x 3

III f x  liên tục 

A Chỉ  I  II B Chỉ  II III

C Chỉ  I III D Cả  I , II ,III

Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I   5– 1

 

f x x x liên tục 

 II   12

1 

 f x

x liên tục khoảng –1;1

III f x  x liên tục đoạn 2;

A Chỉ  I B Chỉ  I  II C Chỉ  II III D Chỉ  I III

Câu 5.Cho hàm số  

3 9

, 0 9

, 0 3

, 9

  

  

 

 



 

 

x

x x

f x m x

x x

Tìm m để f x  liên tục 0;

Câu 6.Cho hàm số

6 5

1 )

( 2

2

 

 

x x

x x

f Khi hàm số yf x  liên tục khoảng sau đây?

A 3; 2 B 2; C  ;3 D 2;3

Câu 7. Cho hàm số  

2

5

2

2 16

2

  

 

 

  



x x

khi x

f x x

x khi x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục 2 : 

D Hàm số gián đoạn điểm x2

Câu 8.Cho hàm số

3

3

1

1 1

( )

1 2

1 2

 

 

 



  



 

 x

x x

f x

x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1: 

D Hàm số gián đoạn điểm x1

Câu 9.Cho hàm số  

tan

, ,

2 ,



    

 

 



 x

x x k k

f x x

x

 

Hàm số yf x  liên tục khoảng

nào sau đây?

A 0;

2

 

 

 



B ;

4

 

 

 

 



C ;

4

 



 

 

 

D   ; 

Câu 10.Cho hàm số  

 

2

2

, 2,

2 , 2

  

 

 

 



a x x a

f x

a x x Giá trị a để f x  liên tục  là:

A 1 B 1 –1 C –1 D 1 –2

Câu 11.Cho hàm số  

2

3

, 1 2

, 0 1 1

sin , 0

 

 

  

 

 



x x

x

f x x

x x x x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

A f x  liên tục  B f x  liên tục \ 0 

C f x  liên tục \ 1  D f x  liên tục \ 0;1 

Câu 12.Cho hàm số ( ) 2 2

6  

  x f x

x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B TXĐ : D\ 3; 2   Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3

C Hàm số liên tục x2,x3

D Tất sai

Câu 13.Cho hàm số ( ) 3 1

 

f x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

C TXĐ : ; 1 1 ;

2 2

   

    

   

D

D Hàm số liên tục điểm 1 ; 1

3 3

 

  

 

x

Câu 14.Cho hàm số f x( ) 2sin x3tan 2x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số liên tục điểm

C TXĐ : \ ,

2

 

    

 

 

D  k k D Hàm số gián đoạn điểm

,

4 2

   

x  k k

Câu 15.Cho hàm số  

2 3 2

1 1

1

  

 

 

 



x x

khi x x

f x

a x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1:  D Hàm số gián đoạn điểm x1

Câu 16. Cho hàm số  

2 1 1

0

0 0

  

 



 

 x

khi x

f x x

khi x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 0;  D Hàm số gián đoạn điểm x0

Câu 17.Cho hàm số

2 1 0 ( ) ( 1) 0 2

1 2

 

 

   



 



x x

f x x x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x2

Câu 18.Cho hàm số

2

2

( )

3

   

 

 

 

x x x

f x

x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x1

Câu 19.Xác định a b, để hàm số  

sin 2 khi

2 

 

 

  

 

x x

f x

ax b x



 liên tục 

A

2 

     

a b

 B

2 

     

a b

 C

1 

     

a b

 D

2 

     

a b



Câu 20.Xác định a b, để hàm số

3 3 2

( 2) 0 ( 2)

( ) 2 0

  

 



 



 

 

  

x x x

x x x x

f x a x

b x

A 10

1   

 

a

b B

11 1   

 

a

b C

1 1   

 

a

b D

12 1   

 

a b

Câu 21.Tìm m để hàm số

3 2 2 1

1

( ) 1

3 2 1

   

 

 

  



x x

x

f x x

m x

liên tục 

A m1 B 4

3 

m C m2 D m0

Câu 22.Tìm m để hàm số

2

1 1

0 ( )

2 3 1 0

  

 



   

 x

x

f x x

x m x

liên tục 

A m1 B 1

6 

m C m2 D m0

Câu 23.Tìm m để hàm số

2

2 4 2

( ) 1

2

2 3 2

   



 

 

  



x x

f x x

x

x mx m

liên tục 

A m1 B 1

6 

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp :

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( )

liên tục D có hai số a b D,  cho f a f b( ) ( ) 0

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục

trên D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a f a( ) (i i1) 0

Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:

I f x  liên tục đoạn a b;  f a f b   . 0 phương trình f x  0 có nghiệm

II f x  không liên tục a b;  f a f b   . 0 phương trình f x 0 vô nghiệm

A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II D Cả I II sai

Câu 2 Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x  liên tục đoạn a b;  f a f b   . 0 tồn số ca b; sao cho f c 0

 II f x  liên tục đoạn a b;  b c;  không liên tục a c; 

A Chỉ  I B Chỉ  II

C Cả  I  II đúng. D Cả  I  II sai.

Câu 3 Cho hàm số f x  x3–1000x20,01 Phương trình f x  0 có nghiệm thuộc khoảng

các khoảng sau đây?

I 1;0 II 0;1 III 1; 2

A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 

0

lim ( ) ( )

 

x x f x f x

 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước:

B1: Tính f(x0)

B2: Tính

0 lim ( )



x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim ( )





x x f x , lim ( )





x x f x )

B3: So sánh

0 lim ( )



x x f x với f(x0) rút kết luận

2 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng

3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b)

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

 

 

x a f x f a x b f x f b

 Hàm số đa thức liên tục R

 Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0

 Hàm số y = ( )

( ) f x

g x liên tục x0 g(x0) 

4 Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = min ( )a b;  f x , M = max ( )a b; f x Khi với T  (m; M) ln tồn

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp:

 Tìm giới hạn hàm số yf x( ) x x0 tính f x( )0

 Nếu tồn

0 lim ( )



x x f x ta so sánh

lim ( )



x x f x với f x( )0

Chú ý:

1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm

2

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

 

  

   

x x f x l x x f x x x f x l

3 Hàm số

0

( )

 



 

f x x x

y

k x x liên tục 0

lim ( )



  

x x

x x f x k.

4 Hàm số

2

( ) ( )

( )  



 

f x x x

f x

f x x x liên tục điểm x x

0

lim ( ) lim ( ) ( )

 

 

 

x x f x x x f x f x

Chú ý:

 Hàm số

0

( )

 



 

f x x x

y

k x x liên tục x x

0 lim ( )

 

x x f x k

 Hàm số

0

( ) ( )

 



 

f x x x

y

g x x x liên tục x x

0

lim ( ) lim ( )

 

 



x x f x x x g x

Câu 1 Cho hàm số  

2 1

1  

 x f x

x  

2

2   2

f m với x2 Giá trị mđể f x  liên tục x2là:

A 3 B  3. C  3. D 3

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Hàm số liên tục x2 lim2    2



 

x f x f .

Ta có  

2

2

1

lim lim 1

1

 



  



x x

x

x

x .

Vậy 2

3

 

     

m m

m .

Câu 2.Cho hàm số   4

 

f x x Chọn câu câu sau:

(I) f x liên tục x2

(II) f x gián đoạn x2

(III) f x liên tục đoạn 2; 2

A Chỉ  I III  B Chỉ  I C Chỉ  II D. Chỉ  II và

III

Hướng dẫn giải:

Ta có: D    ; 2  2; .

 

2

lim lim

    

x f x x x .

 2 0

f .

Vậy hàm số liên tục x2.

Câu 3.Cho hàm số  

2

1

3;

6

3 3;

 

 



  



  

 

x

x x

f x x x

b x b

Tìm b để f x liên tục x3

A 3 B  3. C 2

3 . D

2  Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục  3 lim3     3 x

x f x f .

2 3

1 1

lim

6 3



    x

x

x x .

 3  

f b .

Vậy: 3 1 3 1 2

3 3 3



     

b b .

Câu Cho hàm số  

1  

 x f x

x Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x gián đoạn x1.

 II f x liên tục x1.

III  

1

1 lim

2

 

x f x

A Chỉ  I B Chỉ I C Chỉ  I III  D. Chỉ  II và

III.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

 

\ 1  D

1

1 1 1

lim lim

1 1 2

 



 

 

x x

x

x x

Hàm số không xác định x1. Nên hàm số gián đoạn x1..

Câu 5.Cho hàm số  

2 8 2

2 2

0 2

  

  

 

 

 x

x

f x x

x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I  

2

lim 0



  

x f x

 II f x liên tục x2.

III f x gián đoạn x2.

A Chỉ  I III  B Chỉ  I  II C Chỉ  I D Chỉ  I Hướng dẫn giải:

   

2 2

2 2 2

lim lim lim

2 2

  

     

    

  

     

x x x

x x x

x x x x .

Vậy lim2    2

   

x f x f nên hàm số liên tục x2..

Câu Cho hàm số  

2

4 2

1



    



 



x x

f x

x Tìm khẳng định khẳng định sau:.

 I f x không xác định x3.

 II f x liên tục x2.

III  

2

lim 2

 

x f x

A Chỉ  I B Chỉ  I  II

C Chỉ  I III  D Cả     I ; II ; III đều sai. Hướng dẫn giải:

Chọn B.

 2; 2

  D

 

f x không xác định x3.

2

lim

   

x x ; f 2 0 Vậy hàm số liên tục x2.

 

2

lim lim

 

    

x f x x x ; xlim2 f x  1 Vậy không tồn giới hạn hàm số x 2..

Câu 7 Cho hàm số  

sin 5

0 5

2 0



 



  

 x

x

f x x

a x

Tìm ađể f x liên tục x0.

A 1. B 1. C 2. D 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

0

sin 5

lim 1

5

 

x

x

x ; f  0  a 2.

Vậy để hàm số liên tục x0thì a  2 1 a1.

Câu 8.Cho hàm số  

 2

2

2

1 , , ,

  

 

  

 

 

x x

f x x x

k x

Tìm k để f x  gián đoạn x1

A k 2 B k2 C k2 D k1

Hướng dẫn giải: Chọn A.

TXĐ: D

Với x1 ta có f  1 k2

Với x1 ta có

   

1

lim lim 3 4

 

  

x f x x x ;    

2

1

lim lim 1 4

 

 

  

x f x x x suy limx1 f x  4

Vậy để hàm số gián đoạn x1khi lim1  

 

x f x k

2

4

 k   k2

Câu 9.Cho hàm số

2

4

( )

4

 

 

  

 

 

x

x x

f x

x

Khẳng định sau

B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x4

C Hàm số không liên tục x4

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có :

4 4

2 1 1

lim ( ) lim lim (4)

4 2 4

  



   

 

x x x

x

f x f

x x

Hàm số liên tục điểm x4

Câu 10. Cho hàm số

2

2

3 2

2 1

( ) 1

3 1 1

  

 



 

   



x x

x

f x x

x x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục x1

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

1

( 1)( 2)

lim ( ) lim 2 2

1

 

 

 

 

    



 

x x

x x

f x

x

 

1 1

lim ( ) lim 3 1 3 lim ( )

  

  

    

x f x x x x x f x

Hàm số không liên tục x1

Câu 11. Cho hàm số   cos 1 

 



  



x

x f x

x x



Khẳng định sau

A Hàm số liên tục tại x1và x1

B Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1

C Hàm số không liên tục tại x1và x1

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1

Câu 12. Chọn giá trị f(0) để hàm số ( ) 2 1 1

( 1)   

 x f x

x x liên tục điểm x0

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có :

 

0 0

2 1

lim ( ) lim lim

( 1) ( 1) 2 1 1

  

 

  

   

x x x

x x

f x

x x x x x

Vậy ta chọn f(0) 1

Câu 13.Chọn giá trị f(0) để hàm số

3 2 8 2

( )

3 4 2

  

  x f x

x liên tục điểm x0

A 1 B 2 C 2

9 D

1 9 Hướng dẫn giải:

Ta có :  

 

0 3

2 3 4 2 2

lim ( ) lim

9

3 (2 8) 2 2 8 4

 

 

 

   

x x

x f x

x x

Vậy ta chọn (0) 2

9 

f

Câu 14.Cho hàm số

2

1

( ) 1

2 3 1

  

  

 

  



x x

x

f x x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục tại x0 1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục tại x0 1

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: f( 1) 1   

1

lim ( ) lim 2 3 1

 

      

x f x x x

2

1 1

2

lim ( ) lim lim

1 ( 1)( 2)

  

     

   

 

   

x x x

x x x x

f x

x x x x

1

2

lim

2 

 





 

x

x

x x

Suy xlim 1 f x( )xlim ( ) 1 f x

Vậy hàm số không liên tục x0 1

Câu 15. Cho hàm số

3

1 1

0 ( )

2 0

   

 



 



x x

x

f x x

x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x0 0

B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 0

C Hàm số không liên tục x0 0

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: f(0) 2

3

0 0

1 1

lim ( ) lim lim

  

 

    

    

 

 

x x x

x x x

f x

x x

3

0

1

lim 1 2 (0)

1 1 1



 

    

   

 

x x x f

Vậy hàm số liên tục x0

Câu 16.Cho hàm số

3 1

1

( )

 

 

  

 

 

x

x x

f x

x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x1

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục tại x1

D Tất sai

Chọn C.

Ta có :

3

3

1 4

1 1

lim ( ) lim lim (1)

1 1

  



   

  

x x x

x

f x f

x x x

Hàm số liên tục điểm x1

Câu 17.Cho hàm số

2

2

2

2 2

( ) 2

3 2

  

 



 

   



x x

x x

f x x

x x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục x0 2

B Hàm số liên tục điẻm

C Hàm số không liên tục x0 2

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có :

2

( 1)( 2)

lim ( ) lim 2 4

2

 

 

 

 

    



 

x x

x x

f x x

x

 

2 2

lim ( ) lim 3 5 lim ( )

  

  

    

x f x x x x x f x

Hàm số không liên tục x0 2

Câu 18. Tìm a để hàm số  

2 0 1 khi 0

 

 

  



x a x

f x

x x x liên tục x0

A 1

2 B

1

4 C 0 D 1

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có :

0

lim ( ) lim ( 1) 1

 

     

x f x x x x

0

lim ( ) lim ( )

 

    

x f x x x a a

Suy hàm số liên tục 0 1

2

  

x a

Câu 19.Tìm a để hàm số

4 1 1

0

( ) (2 1)

3 0

  

 

  

 

 x

x

f x ax a x

x

liên tục x0

A 1

2 B

1

4 C

1 6

 D 1

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có :

 

0

4 1 1

lim ( ) lim

2 1

 

  

 

x x

x f x

x ax a

  

0

4

lim

2

2 1



 



   

x ax a x a

Hàm số liên tục 0 2 3 1

2 1 6

    



x a

Câu 20.Tìm a để hàm số

2

3

1

( )

( 2)

  

 

 

 

 

 

 x

x x

f x

a x

x x

liên tục x1

A 1

2 B

1

4 C

3

4 D 1

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có : 2

1

3

lim ( ) lim

1

 

 

 

 



x x

x f x

x

2

1

( 2)

lim ( ) lim

3

 

 



 



x x

a x a

f x

x

Suy hàm số liên tục 1 3 3

2 8 4

  a   

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

+ Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng

Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I   21

1 

 f x

x

liên tục 

 II f x  sinx

x có giới hạn x 0.

III   9

 

f x x liên tục đoạn 3;3 .

A Chỉ  I  II B Chỉ  II III  C Chỉ  II D Chỉ III 

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết. Hàm số:   9

 

f x x liên tục khoảng3;3 Liên tục phải liên tục trái 3 .

Nên   9

 

f x x liên tục đoạn 3;3.

Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I  

1  

 x f x

x liên tục với x1

 II f x sinx liên tục 

III f x  x

x liên tục x1

A Chỉ  I B Chỉ  I  II C Chỉ  I III D Chỉ  II III

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có  II hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định

Ta có III  

, 0 , 0 

 



 

 

  x

x

x x

f x

x x

x x

Khi      

1

lim lim 1 1

 

    

x f x x f x f

Vậy hàm số yf x x

x liên tục x1

Câu 3.Cho hàm số  

2 3

,

3

2 ,

 

 

  

 

x

x

f x x

x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x  liên tục x 3

 II f x  gián đoạn x 3

A Chỉ  I  II B Chỉ  II III

C Chỉ  I III D Cả  I , II ,III

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Với x 3 ta có hàm số  

2 3

3  

 x f x

x liên tục khoảng  ; 3  3;  ,  1

Với x 3 ta có f  3 2 3    

2

3

3

lim lim 2 3 3

3

 



  



x x

x

f x f

x nên hàm số liên tục

3 

x ,  2

Từ  1  2 ta có hàm số liên tục 

Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x x5–x21 liên tục 

 II   12

1 

 f x

x liên tục khoảng –1;1

III f x   x liên tục đoạn 2; 

A Chỉ  I B Chỉ  I  II C Chỉ  II III D Chỉ  I III

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có  I f x  x5 x21 hàm đa thức nên liên tục 

Ta có III f x   x liên tục 2;    

2

lim 2 0



  

x f x f nên hàm số liên tục

2;

Câu 5.Cho hàm số  

3 9

, 0 9

, 0 3

, 9

  

  

 

 



 

 

x

x x

f x m x

x x

Tìm m để f x  liên tục 0;

A 1

3 B

1 2.C

1

6 D 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.

TXĐ: D0;

Với x0 ta có f  0 m

Ta có  

0

3

lim lim

 

 

 



x x

x f x

x

1 lim

3







 

x x

1 6 

Vậy để hàm số liên tục 0;  

0

lim 

 

x f x m

1 6  m

Câu 6.Cho hàm số

6 5

1 )

( 2

2

 

 

x x

x x

f Khi hàm số yf x  liên tục khoảng sau đây?

A 3; 2 B 2; C  ;3 D 2;3

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Hàm số có nghĩa 5 6 0 3

2  

    

 

x

x x

Vậy theo định lí ta có hàm số  

2

1

5

 

 

x f x

x x liên tục khoảng   ; 3;3; 2  2;

Câu 7. Cho hàm số  

2

5

2

2 16

2

  

 

 

  



x x

khi x

f x x

x khi x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục 2 : 

D Hàm số gián đoạn điểm x2

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

TXĐ : D\ 2 

 Với

2

5

2 ( )

2 16

 

   



x x

x f x

x hàm số liên tục

 Với x 2 f x( ) 2  x hàm số liên tục

 Tại x2 ta có : f(2) 0

 

2

lim ( ) lim 2 0

 

    

x f x x x ;

2

2 2

( 2)( 3)

lim ( ) lim lim ( )

2( 2)( 4) 24

  

  

 

  

  

x x x

x x

f x f x

x x x

Hàm số không liên tục x2

Câu 8.Cho hàm số

3

3

1

1 1

( )

1 2

1 2

 

 

 



  



 

 x

x x

f x

x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1: 

D Hàm số gián đoạn điểm x1

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với x thuộc 

 Với ( )

2  

   

 x

x f x

x hàm số liên tục

 Với

3 1

1 ( )

1 

   

 x

x f x

x hàm số liên tục

 Tại x1 ta có : (1) 2

3  f

3

3

1 1

1 ( 1)( 1) 2

lim ( ) lim lim

3

1 ( 1)( 1)

  

  

  

  

   

x x x

x x x

f x

x x x x ;

2 1

1 2

lim ( ) lim lim ( ) (1)

2

  

  

 

   



x x x

x

f x f x f

x

Hàm số liên tục x1

Câu 9.Cho hàm số  

tan

, ,

2 ,



    

 

 



 x

x x k k

f x x

x

 

Hàm số yf x  liên tục khoảng

nào sau đây?

A 0;

2

 

 

 



B ;

4

 

 

 

 



C ;

4

 



 

 

 

D   ; 

Hướng dẫn giải: Chọn A

TXĐ: \ ,

2

 

    

 

 

D  k k

Với x0 ta có f  0 0

 

0

tan

lim lim

  

x x

x f x

x 0

sin 1

lim .lim cos

 



x x

x

x x 1 hay limx0 f x  f  0

Vậy hàm số gián đoạn x0

Câu 10.Cho hàm số  

 

2

2

, 2,

2 , 2

  

 

 

 



a x x a

f x

a x x Giá trị a để f x  liên tục  là:

A 1 B 1 –1 C –1 D 1 –2

Hướng dẫn giải: Chọn D.

TXĐ: D

Với x 2 ta có hàm số f x a x2 liên tục khoảng  2;

Với x 2 ta có hàm số   2 

 

f x a x liên tục khoảng  ; 2

Với x 2 ta có f  2 2a2

     

2

lim lim 2 2

 

   

x x

f x a x a ;   2

2

lim lim

 

 

x x

f x a x a .

Để hàm số liên tục x 2      

2

lim lim

 

 

  

x x

f x f x f 2 2 2 

 a   a 2 0

 a  a  1

2     

 a

a

Vậy a1hoặc a2 hàm số liên tục 

Câu 11.Cho hàm số  

2

3

, 1 2

, 0 1 1

sin , 0

 

 

  

 

 



x x

x

f x x

x x x x

Tìm khẳng định khẳng định sau:

A f x  liên tục  B f x  liên tục \ 0 

C f x  liên tục \ 1  D f x  liên tục \ 0;1 

Hướng dẫn giải: Chọn A.

TXĐ:

TXĐ: D

Với x1 ta có hàm số f x  x2 liên tục khoảng 1;. 1

Với 0 x 1 ta có hàm số  

3

2 

 x f x

x liên tục khoảng 0;1  2

Với x0 ta có f x xsinx liên tục khoảng  ;0  3

Với x1 ta có f  1 1;  

1

lim lim 1

 

  

x f x x x ;  

3

1

2

lim lim

1

 

 

 



x x

x f x

Suy    

1

lim 1 1

  

x f x f

Vậy hàm số liên tục x1

Với x0 ta có f  0 0;  

3

0

2

lim lim

1

 

 

 



x x

x f x

x ; xlim0 f x xlim sin0x x

2

0

sin

lim lim 0

 

 

 

x x

x x

x

suy lim0   0  0

  

x f x f

Vậy hàm số liên tục x0  4

Từ  1 ,  2 ,  3  4 suy hàm số liên tục 

Câu 12.Cho hàm số ( ) 2 2

6  

  x f x

x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B TXĐ : D\ 3; 2   Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3

C Hàm số liên tục x2,x3

D Tất sai

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

TXĐ : D\ 3; 2  

Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3

Câu 13.Cho hàm số

( ) 1

f x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

x

C TXĐ : ; 1 1 ;

2 2

   

    

   

D

D Hàm số liên tục điểm 1 ; 1

3 3

 

  

 

x

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

TXĐ : ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

D

Ta có hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

x

1

1 lim ( ) 0

3 

 

  

 

 

   

 

x

f x f hàm số liên tục trái

3  x

1

1 lim ( ) 0

3 

      

 

   

 

x

f x f hàm số liên tục phải

3  x

Hàm số gián đoạn điểm 1 ; 1

3 3

 

  

 

x

Câu 14.Cho hàm số f x( ) 2sin x3tan 2x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số liên tục điểm

C TXĐ : \ ,

2

 

    

 

 

D  k k D Hàm số gián đoạn điểm

,

4 2

   

Chọn D.

TXĐ : \ ,

4

 

    

 

 

D  k k

Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm

,

4 2

   

x  k k

Câu 15.Cho hàm số  

2

3 2

1 1

1

  

 

 



 

x x

khi x x

f x

a x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1:  D Hàm số gián đoạn điểm x1

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục điểm x1 gián đoạn x1

Câu 16. Cho hàm số  

2 1 1

0

0 0

  

 



 

 x

khi x

f x x

khi x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 0;  D Hàm số gián đoạn điểm x0

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục điểm x0 gián đoạn x0

Câu 17.Cho hàm số

2 1 0 ( ) ( 1) 0 2

1 2

 

 

   



 



x x

f x x x

x x

Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2;  D Hàm số gián đoạn điểm x2

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục điểm x2và gián đoạn x2

Câu 18.Cho hàm số

2

2

( )

3

   

 

 

 

x x x

f x

x x Khẳng định sau

A Hàm số liên tục  B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2;  D Hàm số gián đoạn điểm x1

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục điểm x1và gián đoạn x1

Câu 19.Xác định a b, để hàm số  

sin 2 khi

2 

 

 

  

 

x x

f x

ax b x



 liên tục 

A

2 

     

a b

 B

2 

     

a b

 C

1 

     

a b

 D

2 

     

a b

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số liên tục

2 1 2 0 1 2                      a b a b a b   

Câu 20.Xác định a b, để hàm số

3 3 2

( 2) 0 ( 2)

( ) 2 0

               

x x x

x x x x

f x a x

b x

liên tục 

A 10

1      a b B 11 1      a b C 1 1      a b D 12 1      a b Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Hàm số liên tục 1

1        a b

Câu 21.Tìm m để hàm số

3 2 2 1

1

( ) 1

3 2 1

            x x x

f x x

m x

liên tục 

A m1 B 4

3 

m C m2 D m0

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Với x1 ta có ( ) 2

1      x x f x

x nên hàm số liên tục khoảng \ 1 

Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x1

Ta có: f(1) 3 m

3

1

2

lim ( ) lim

1        x x x x f x x  

1 3

2 lim 1

( 1) 2 ( 2)

                    x x x

x x x x x

2

2

1 3

2

lim 1 2

2 ( 2)

                  x x x

x x x x

Nên hàm số liên tục 1 3 2 2 4

3

     

x m m

Vậy 4

3 

m giá trị cần tìm

Câu 22.Tìm m để hàm số

2

1 1

0 ( )

2 3 1 0

           x x

f x x

x m x

liên tục 

A m1 B 1

6 

m C m2 D m0

 Với x0 ta có f x( ) x 1

x nên hàm số liên tục 0; 

 Với x0 ta có f x( ) 2 x23m1 nên hàm số liên tục ( ;0)

Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x0

Ta có: f(0) 3 m1

0 0

1 1 1 1

lim ( ) lim lim

2 1 1

  

  

 

  

 

x x x

x f x

x x

 

0

lim ( ) lim 2  3 1 3 1

 

    

x f x x x m m

Do hàm số liên tục 0 3 1 1 1

2 6

     

x m m

Vậy 1

6 

m hàm số liên tục 

Câu 23.Tìm m để hàm số

2

2 4 2

( ) 1

2

2 3 2

   



 

 

  



x x

f x x

x

x mx m

liên tục 

A m1 B 1

6 

m C m5 D m0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Với x2 ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục  hàm số phải liên tục khoảng  ; 2 liên tục x2

 Hàm số liên tục  ; 2 tam thức

2

( )  2 3  2 0,  2

g x x mx m x

TH 1:

2

' 3 2 0 3 17 3 17

2 2

(2) 6 0

      

  



  



m m

m

g m

TH 2:

2

2

3

'

2 '

' ( 2)

   

     



 

 

   

 

   



m m

m m

m

x m

m 3 17

3 17

6

2 2

6

 

 



    

  

m m

m

Nên 17

2 

m (*) g x( ) 0,   x

  

2

lim ( ) lim 2 4 3 3

 

 

   

x f x x x

2

2

1 3

lim ( ) lim

2 3 2 6

 

 



 

   

x x

x f x

x mx m m

Hàm số liên tục 2 3 3 5

6

    



x m

m (thỏa (*))

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp :

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( )

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a f a( ) (i i1) 0

Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:

I f x  liên tục đoạn a b;  f a f b   . 0 phương trình f x  0 có nghiệm

II f x  khơng liên tục a b;  f a f b   . 0 phương trình f x 0 vô nghiệm

A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II D Cả I II sai

Hướng dẫn giải: Chọn A.

Câu 2 Tìm khẳng định khẳng định sau:

 I f x  liên tục đoạn a b;  f a f b   . 0 tồn số ca b; sao cho f c 0

 II f x  liên tục đoạn a b;  b c;  không liên tục a c; 

A Chỉ  I B Chỉ  II

C Cả  I  II đúng. D Cả  I  II sai. Hướng dẫn giải:

Chọn D.

KĐ sai KĐ sai

Câu 3 Cho hàm số f x  x3–1000x20,01 Phương trình f x  0 có nghiệm thuộc khoảng

các khoảng sau đây?

I 1;0 II 0;1 III 1; 2

A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III

Hướng dẫn giải: Chọn B.

TXĐ: D

Hàm số   1000 0,01

  

f x x x liên tục  nên liên tục trên1;0, 0;1 1; 2,  1

Ta có f 1 1000,99; f 0 0,01 suy f 1   f 0 0,  2

Từ  1  2 suy phương trình f x  0 có nghiệm khoảng 1;0

Ta có f  0 0,01; f  1 999,99 suy f    0 1f 0,  3

Từ  1  3 suy phương trình f x  0 có nghiệm khoảng 0;1

Ta có f  1 999,99; f  2 39991,99suy f    1 f 2 0,  4