+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.. Câu 1.C[r]
(1)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0
0
lim ( ) ( )
x x f x f x
Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước:
B1: Tính f(x0)
B2: Tính
0 lim ( )
x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim ( )
x x f x , lim ( )
x x f x )
B3: So sánh
0 lim ( )
x x f x với f(x0) rút kết luận
2 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng
3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b)
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
Hàm số đa thức liên tục R
Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0
Hàm số y = ( )
( ) f x
g x liên tục x0 g(x0)
4 Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = min ( )a b; f x , M = max ( )a b; f x Khi với T (m; M) ln tồn
ít số c (a; b): f(c) = T
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:
Tìm giới hạn hàm số yf x( ) x x0 tính f x( )0
Nếu tồn
0 lim ( )
x x f x ta so sánh
lim ( )
x x f x với f x( )0
Chú ý:
1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm
2
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x f x l x x f x x x f x l
3 Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x liên tục 0
lim ( )
x x
x x f x k.
4 Hàm số
2
( ) ( )
( )
f x x x
f x
f x x x liên tục điểm x x
0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x f x x x f x f x
Chú ý:
Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x liên tục x x
0 lim ( )
x x f x k
Hàm số ( )
( )
f x x x
y
(2)0 lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
Câu 1 Cho hàm số
2
1
x f x
x
2
2 2
f m với x2 Giá trị mđể f x liên tục x2là:
A 3 B 3. C 3. D 3
Câu 2.Cho hàm số 4
f x x Chọn câu câu sau:
(I) f x liên tục x2
(II) f x gián đoạn x2
(III) f x liên tục đoạn 2; 2
A Chỉ I III B Chỉ I C Chỉ II D. Chỉ II và
III
Câu 3.Cho hàm số
2
1
3;
6
3 3;
x
x x
f x x x
b x b
Tìm b để f x liên tục x3
A 3 B 3. C 2
3 . D
2
Câu Cho hàm số
1
x f x
x Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x gián đoạn x1.
II f x liên tục x1.
III
1
1 lim
2
x f x
A Chỉ I B Chỉ I C Chỉ I III D. Chỉ II và
III.
Câu 5.Cho hàm số
2 8 2
2 2
0 2
x
x
f x x
x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
I
2
lim 0
x f x
II f x liên tục x2.
III f x gián đoạn x2.
A Chỉ I III B Chỉ I II C Chỉ I D Chỉ I
Câu Cho hàm số
2
4 2
1
x x
f x
x Tìm khẳng định khẳng định sau:.
I f x không xác định x3.
II f x liên tục x2.
III lim2 2
x f x
A Chỉ I B Chỉ I II
(3)Câu 7 Cho hàm số
sin
0
2
x
x
f x x
a x
Tìm ađể f x liên tục x0.
A 1. B 1. C 2. D 2.
Câu 8.Cho hàm số
2
2
2
1 , , ,
x x
f x x x
k x
Tìm k để f x gián đoạn x1
A k 2 B k2 C k 2 D k 1
Câu 9.Cho hàm số
2
4
( )
4
x
x x
f x
x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x4
B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x4
C Hàm số không liên tục x4
D Tất sai
Câu 10. Cho hàm số
2
2
3 2
2 1
( ) 1
3 1 1
x x
x
f x x
x x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục x1
D Tất sai
Câu 11. Cho hàm số cos 2 1 1 1
x
x f x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục tại x1và x1
B Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1
C Hàm số không liên tục tại x1và x1
D Tất sai
Câu 12. Chọn giá trị f(0) để hàm số ( ) 2 1 1
( 1)
x f x
x x liên tục điểm x0
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 13.Chọn giá trị f(0) để hàm số
3 2 8 2
( )
3 4 2
x f x
x liên tục điểm x0
A 1 B 2 C 2
9 D
1 9
Câu 14.Cho hàm số
2
1
( ) 1
2 3 1
x x
x
f x x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục tại x0 1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục tại x0 1
(4)Câu 15. Cho hàm số
3
1 1
0 ( )
2 0
x x
x
f x x
x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x0 0
B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 0
C Hàm số không liên tục x0 0
D Tất sai
Câu 16.Cho hàm số
3 1
1
( )
x
x x
f x
x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục tại x1
D Tất sai
Câu 17.Cho hàm số
2
2
2
2 2
( ) 2
3 2
x x
x x
f x x
x x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x0 2
B Hàm số liên tục điẻm
C Hàm số không liên tục x0 2
D Tất sai
Câu 18. Tìm a để hàm số
2 0 1 khi 0
x a x
f x
x x x liên tục x0
A 1
2 B
1
4 C 0 D 1
Câu 19.Tìm a để hàm số
4 1 1
0
( ) (2 1)
3 0
x
x
f x ax a x
x
liên tục x0
A 1
2 B
1
4 C
1 6
D 1
Câu 20.Tìm a để hàm số
2
3
1
( )
( 2)
x
x x
f x
a x
x x
liên tục x1
A 1
2 B
1
4 C
3
(5)DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
+ Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng
Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I 21
1
f x
x
liên tục
II f x sinx
x có giới hạn x 0.
III 9
f x x liên tục đoạn 3;3 .
A Chỉ I II B Chỉ II III C Chỉ II D Chỉ III
Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau:
I
1
x f x
x liên tục với x1
II f x sinx liên tục
III f x x
x liên tục x1
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ I III D Chỉ II III
Câu 3.Cho hàm số
2
3
,
3
2 ,
x
x
f x x
x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục x 3
II f x gián đoạn x 3
III f x liên tục
A Chỉ I II B Chỉ II III
C Chỉ I III D Cả I , II ,III
Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau:
I 5– 1
f x x x liên tục
II 12
1
f x
x liên tục khoảng –1;1
III f x x liên tục đoạn 2;
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II III D Chỉ I III
Câu 5.Cho hàm số
3 9
, 0 9
, 0 3
, 9
x
x x
f x m x
x x
Tìm m để f x liên tục 0;
(6)Câu 6.Cho hàm số
6 5
1 )
( 2
2
x x
x x
f Khi hàm số yf x liên tục khoảng sau đây?
A 3; 2 B 2; C ;3 D 2;3
Câu 7. Cho hàm số
2
5
2
2 16
2
x x
khi x
f x x
x khi x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục 2 :
D Hàm số gián đoạn điểm x2
Câu 8.Cho hàm số
3
3
1
1 1
( )
1 2
1 2
x
x x
f x
x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 1:
D Hàm số gián đoạn điểm x1
Câu 9.Cho hàm số
tan
, ,
2 ,
x
x x k k
f x x
x
Hàm số yf x liên tục khoảng
nào sau đây?
A 0;
2
B ;
4
C ;
4
D ;
Câu 10.Cho hàm số
2
2
, 2,
2 , 2
a x x a
f x
a x x Giá trị a để f x liên tục là:
A 1 B 1 –1 C –1 D 1 –2
Câu 11.Cho hàm số
2
3
, 1 2
, 0 1 1
sin , 0
x x
x
f x x
x x x x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
A f x liên tục B f x liên tục \ 0
C f x liên tục \ 1 D f x liên tục \ 0;1
Câu 12.Cho hàm số ( ) 2 2
6
x f x
x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B TXĐ : D\ 3; 2 Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3
C Hàm số liên tục x2,x3
D Tất sai
Câu 13.Cho hàm số ( ) 3 1
f x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;
3 3
(7)C TXĐ : ; 1 1 ;
2 2
D
D Hàm số liên tục điểm 1 ; 1
3 3
x
Câu 14.Cho hàm số f x( ) 2sin x3tan 2x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm
C TXĐ : \ ,
2
D k k D Hàm số gián đoạn điểm
,
4 2
x k k
Câu 15.Cho hàm số
2 3 2
1 1
1
x x
khi x x
f x
a x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 1: D Hàm số gián đoạn điểm x1
Câu 16. Cho hàm số
2 1 1
0
0 0
x
khi x
f x x
khi x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 0; D Hàm số gián đoạn điểm x0
Câu 17.Cho hàm số
2 1 0 ( ) ( 1) 0 2
1 2
x x
f x x x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x2
Câu 18.Cho hàm số
2
2
( )
3
x x x
f x
x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x1
Câu 19.Xác định a b, để hàm số
sin 2 khi
2
x x
f x
ax b x
liên tục
A
2
a b
B
2
a b
C
1
a b
D
2
a b
Câu 20.Xác định a b, để hàm số
3 3 2
( 2) 0 ( 2)
( ) 2 0
x x x
x x x x
f x a x
b x
(8)A 10
1
a
b B
11 1
a
b C
1 1
a
b D
12 1
a b
Câu 21.Tìm m để hàm số
3 2 2 1
1
( ) 1
3 2 1
x x
x
f x x
m x
liên tục
A m1 B 4
3
m C m2 D m0
Câu 22.Tìm m để hàm số
2
1 1
0 ( )
2 3 1 0
x
x
f x x
x m x
liên tục
A m1 B 1
6
m C m2 D m0
Câu 23.Tìm m để hàm số
2
2 4 2
( ) 1
2
2 3 2
x x
f x x
x
x mx m
liên tục
A m1 B 1
6
(9)DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( )
liên tục D có hai số a b D, cho f a f b( ) ( ) 0
Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục
trên D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a f a( ) (i i1) 0
Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục đoạn a b; f a f b . 0 phương trình f x 0 có nghiệm
II f x không liên tục a b; f a f b . 0 phương trình f x 0 vô nghiệm
A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II D Cả I II sai
Câu 2 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục đoạn a b; f a f b . 0 tồn số ca b; sao cho f c 0
II f x liên tục đoạn a b; b c; không liên tục a c;
A Chỉ I B Chỉ II
C Cả I II đúng. D Cả I II sai.
Câu 3 Cho hàm số f x x3–1000x20,01 Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng
các khoảng sau đây?
I 1;0 II 0;1 III 1; 2
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0
0
lim ( ) ( )
x x f x f x
Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước:
B1: Tính f(x0)
B2: Tính
0 lim ( )
x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim ( )
x x f x , lim ( )
x x f x )
B3: So sánh
0 lim ( )
x x f x với f(x0) rút kết luận
2 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng
3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b)
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
Hàm số đa thức liên tục R
Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0
Hàm số y = ( )
( ) f x
g x liên tục x0 g(x0)
4 Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = min ( )a b; f x , M = max ( )a b; f x Khi với T (m; M) ln tồn
(10)B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:
Tìm giới hạn hàm số yf x( ) x x0 tính f x( )0
Nếu tồn
0 lim ( )
x x f x ta so sánh
lim ( )
x x f x với f x( )0
Chú ý:
1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm
2
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x f x l x x f x x x f x l
3 Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x liên tục 0
lim ( )
x x
x x f x k.
4 Hàm số
2
( ) ( )
( )
f x x x
f x
f x x x liên tục điểm x x
0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x f x x x f x f x
Chú ý:
Hàm số
0
( )
f x x x
y
k x x liên tục x x
0 lim ( )
x x f x k
Hàm số
0
( ) ( )
f x x x
y
g x x x liên tục x x
0
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
Câu 1 Cho hàm số
2 1
1
x f x
x
2
2 2
f m với x2 Giá trị mđể f x liên tục x2là:
A 3 B 3. C 3. D 3
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Hàm số liên tục x2 lim2 2
x f x f .
Ta có
2
2
1
lim lim 1
1
x x
x
x
x .
Vậy 2
3
m m
m .
Câu 2.Cho hàm số 4
f x x Chọn câu câu sau:
(I) f x liên tục x2
(II) f x gián đoạn x2
(III) f x liên tục đoạn 2; 2
A Chỉ I III B Chỉ I C Chỉ II D. Chỉ II và
III
Hướng dẫn giải:
(11)Ta có: D ; 2 2; .
2
lim lim
x f x x x .
2 0
f .
Vậy hàm số liên tục x2.
Câu 3.Cho hàm số
2
1
3;
6
3 3;
x
x x
f x x x
b x b
Tìm b để f x liên tục x3
A 3 B 3. C 2
3 . D
2 Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục 3 lim3 3 x
x f x f .
2 3
1 1
lim
6 3
x
x
x x .
3
f b .
Vậy: 3 1 3 1 2
3 3 3
b b .
Câu Cho hàm số
1
x f x
x Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x gián đoạn x1.
II f x liên tục x1.
III
1
1 lim
2
x f x
A Chỉ I B Chỉ I C Chỉ I III D. Chỉ II và
III.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\ 1 D
1
1 1 1
lim lim
1 1 2
x x
x
x x
Hàm số không xác định x1. Nên hàm số gián đoạn x1..
Câu 5.Cho hàm số
2 8 2
2 2
0 2
x
x
f x x
x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
I
2
lim 0
x f x
II f x liên tục x2.
III f x gián đoạn x2.
A Chỉ I III B Chỉ I II C Chỉ I D Chỉ I Hướng dẫn giải:
(12)
2 2
2 2 2
lim lim lim
2 2
x x x
x x x
x x x x .
Vậy lim2 2
x f x f nên hàm số liên tục x2..
Câu Cho hàm số
2
4 2
1
x x
f x
x Tìm khẳng định khẳng định sau:.
I f x không xác định x3.
II f x liên tục x2.
III
2
lim 2
x f x
A Chỉ I B Chỉ I II
C Chỉ I III D Cả I ; II ; III đều sai. Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2; 2
D
f x không xác định x3.
2
lim
x x ; f 2 0 Vậy hàm số liên tục x2.
2
lim lim
x f x x x ; xlim2 f x 1 Vậy không tồn giới hạn hàm số x 2..
Câu 7 Cho hàm số
sin 5
0 5
2 0
x
x
f x x
a x
Tìm ađể f x liên tục x0.
A 1. B 1. C 2. D 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
0
sin 5
lim 1
5
x
x
x ; f 0 a 2.
Vậy để hàm số liên tục x0thì a 2 1 a1.
Câu 8.Cho hàm số
2
2
2
1 , , ,
x x
f x x x
k x
Tìm k để f x gián đoạn x1
A k 2 B k2 C k2 D k1
Hướng dẫn giải: Chọn A.
TXĐ: D
Với x1 ta có f 1 k2
Với x1 ta có
1
lim lim 3 4
x f x x x ;
2
1
lim lim 1 4
x f x x x suy limx1 f x 4
Vậy để hàm số gián đoạn x1khi lim1
x f x k
2
4
k k2
Câu 9.Cho hàm số
2
4
( )
4
x
x x
f x
x
Khẳng định sau
(13)B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x4
C Hàm số không liên tục x4
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có :
4 4
2 1 1
lim ( ) lim lim (4)
4 2 4
x x x
x
f x f
x x
Hàm số liên tục điểm x4
Câu 10. Cho hàm số
2
2
3 2
2 1
( ) 1
3 1 1
x x
x
f x x
x x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục x1
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 2 2
1
x x
x x
f x
x
1 1
lim ( ) lim 3 1 3 lim ( )
x f x x x x x f x
Hàm số không liên tục x1
Câu 11. Cho hàm số cos 1
x
x f x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục tại x1và x1
B Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1
C Hàm số không liên tục tại x1và x1
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1
Câu 12. Chọn giá trị f(0) để hàm số ( ) 2 1 1
( 1)
x f x
x x liên tục điểm x0
A 1 B 2 C 3 D 4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có :
0 0
2 1
lim ( ) lim lim
( 1) ( 1) 2 1 1
x x x
x x
f x
x x x x x
Vậy ta chọn f(0) 1
Câu 13.Chọn giá trị f(0) để hàm số
3 2 8 2
( )
3 4 2
x f x
x liên tục điểm x0
A 1 B 2 C 2
9 D
1 9 Hướng dẫn giải:
(14)Ta có :
0 3
2 3 4 2 2
lim ( ) lim
9
3 (2 8) 2 2 8 4
x x
x f x
x x
Vậy ta chọn (0) 2
9
f
Câu 14.Cho hàm số
2
1
( ) 1
2 3 1
x x
x
f x x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục tại x0 1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục tại x0 1
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: f( 1) 1
1
lim ( ) lim 2 3 1
x f x x x
2
1 1
2
lim ( ) lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x x
f x
x x x x
1
2
lim
2
x
x
x x
Suy xlim 1 f x( )xlim ( ) 1 f x
Vậy hàm số không liên tục x0 1
Câu 15. Cho hàm số
3
1 1
0 ( )
2 0
x x
x
f x x
x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x0 0
B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 0
C Hàm số không liên tục x0 0
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: f(0) 2
3
0 0
1 1
lim ( ) lim lim
x x x
x x x
f x
x x
3
0
1
lim 1 2 (0)
1 1 1
x x x f
Vậy hàm số liên tục x0
Câu 16.Cho hàm số
3 1
1
( )
x
x x
f x
x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x1
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục tại x1
D Tất sai
(15)Chọn C.
Ta có :
3
3
1 4
1 1
lim ( ) lim lim (1)
1 1
x x x
x
f x f
x x x
Hàm số liên tục điểm x1
Câu 17.Cho hàm số
2
2
2
2 2
( ) 2
3 2
x x
x x
f x x
x x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục x0 2
B Hàm số liên tục điẻm
C Hàm số không liên tục x0 2
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có :
2
( 1)( 2)
lim ( ) lim 2 4
2
x x
x x
f x x
x
2 2
lim ( ) lim 3 5 lim ( )
x f x x x x x f x
Hàm số không liên tục x0 2
Câu 18. Tìm a để hàm số
2 0 1 khi 0
x a x
f x
x x x liên tục x0
A 1
2 B
1
4 C 0 D 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có :
0
lim ( ) lim ( 1) 1
x f x x x x
0
lim ( ) lim ( )
x f x x x a a
Suy hàm số liên tục 0 1
2
x a
Câu 19.Tìm a để hàm số
4 1 1
0
( ) (2 1)
3 0
x
x
f x ax a x
x
liên tục x0
A 1
2 B
1
4 C
1 6
D 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có :
0
4 1 1
lim ( ) lim
2 1
x x
x f x
x ax a
0
4
lim
2
2 1
x ax a x a
Hàm số liên tục 0 2 3 1
2 1 6
x a
(16)Câu 20.Tìm a để hàm số
2
3
1
( )
( 2)
x
x x
f x
a x
x x
liên tục x1
A 1
2 B
1
4 C
3
4 D 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có : 2
1
3
lim ( ) lim
1
x x
x f x
x
2
1
( 2)
lim ( ) lim
3
x x
a x a
f x
x
Suy hàm số liên tục 1 3 3
2 8 4
a
(17)DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
+ Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng
Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I 21
1
f x
x
liên tục
II f x sinx
x có giới hạn x 0.
III 9
f x x liên tục đoạn 3;3 .
A Chỉ I II B Chỉ II III C Chỉ II D Chỉ III
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết. Hàm số: 9
f x x liên tục khoảng3;3 Liên tục phải liên tục trái 3 .
Nên 9
f x x liên tục đoạn 3;3.
Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau:
I
1
x f x
x liên tục với x1
II f x sinx liên tục
III f x x
x liên tục x1
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ I III D Chỉ II III
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có II hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định
Ta có III
, 0 , 0
x
x
x x
f x
x x
x x
Khi
1
lim lim 1 1
x f x x f x f
Vậy hàm số yf x x
x liên tục x1
Câu 3.Cho hàm số
2 3
,
3
2 ,
x
x
f x x
x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục x 3
II f x gián đoạn x 3
(18)A Chỉ I II B Chỉ II III
C Chỉ I III D Cả I , II ,III
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Với x 3 ta có hàm số
2 3
3
x f x
x liên tục khoảng ; 3 3; , 1
Với x 3 ta có f 3 2 3
2
3
3
lim lim 2 3 3
3
x x
x
f x f
x nên hàm số liên tục
3
x , 2
Từ 1 2 ta có hàm số liên tục
Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x x5–x21 liên tục
II 12
1
f x
x liên tục khoảng –1;1
III f x x liên tục đoạn 2;
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II III D Chỉ I III
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có I f x x5 x21 hàm đa thức nên liên tục
Ta có III f x x liên tục 2;
2
lim 2 0
x f x f nên hàm số liên tục
2;
Câu 5.Cho hàm số
3 9
, 0 9
, 0 3
, 9
x
x x
f x m x
x x
Tìm m để f x liên tục 0;
A 1
3 B
1 2.C
1
6 D 1
Hướng dẫn giải: Chọn C.
TXĐ: D0;
Với x0 ta có f 0 m
Ta có
0
3
lim lim
x x
x f x
x
1 lim
3
x x
1 6
Vậy để hàm số liên tục 0;
0
lim
x f x m
1 6 m
Câu 6.Cho hàm số
6 5
1 )
( 2
2
x x
x x
f Khi hàm số yf x liên tục khoảng sau đây?
A 3; 2 B 2; C ;3 D 2;3
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Hàm số có nghĩa 5 6 0 3
2
x
x x
(19)Vậy theo định lí ta có hàm số
2
1
5
x f x
x x liên tục khoảng ; 3;3; 2 2;
Câu 7. Cho hàm số
2
5
2
2 16
2
x x
khi x
f x x
x khi x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số liên tục điểm
C Hàm số không liên tục 2 :
D Hàm số gián đoạn điểm x2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
TXĐ : D\ 2
Với
2
5
2 ( )
2 16
x x
x f x
x hàm số liên tục
Với x 2 f x( ) 2 x hàm số liên tục
Tại x2 ta có : f(2) 0
2
lim ( ) lim 2 0
x f x x x ;
2
2 2
( 2)( 3)
lim ( ) lim lim ( )
2( 2)( 4) 24
x x x
x x
f x f x
x x x
Hàm số không liên tục x2
Câu 8.Cho hàm số
3
3
1
1 1
( )
1 2
1 2
x
x x
f x
x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 1:
D Hàm số gián đoạn điểm x1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Hàm số xác định với x thuộc
Với ( )
2
x
x f x
x hàm số liên tục
Với
3 1
1 ( )
1
x
x f x
x hàm số liên tục
Tại x1 ta có : (1) 2
3 f
3
3
1 1
1 ( 1)( 1) 2
lim ( ) lim lim
3
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x
f x
x x x x ;
2 1
1 2
lim ( ) lim lim ( ) (1)
2
x x x
x
f x f x f
x
Hàm số liên tục x1
(20)Câu 9.Cho hàm số
tan
, ,
2 ,
x
x x k k
f x x
x
Hàm số yf x liên tục khoảng
nào sau đây?
A 0;
2
B ;
4
C ;
4
D ;
Hướng dẫn giải: Chọn A
TXĐ: \ ,
2
D k k
Với x0 ta có f 0 0
0
tan
lim lim
x x
x f x
x 0
sin 1
lim .lim cos
x x
x
x x 1 hay limx0 f x f 0
Vậy hàm số gián đoạn x0
Câu 10.Cho hàm số
2
2
, 2,
2 , 2
a x x a
f x
a x x Giá trị a để f x liên tục là:
A 1 B 1 –1 C –1 D 1 –2
Hướng dẫn giải: Chọn D.
TXĐ: D
Với x 2 ta có hàm số f x a x2 liên tục khoảng 2;
Với x 2 ta có hàm số 2
f x a x liên tục khoảng ; 2
Với x 2 ta có f 2 2a2
2
lim lim 2 2
x x
f x a x a ; 2
2
lim lim
x x
f x a x a .
Để hàm số liên tục x 2
2
lim lim
x x
f x f x f 2 2 2
a a 2 0
a a 1
2
a
a
Vậy a1hoặc a2 hàm số liên tục
Câu 11.Cho hàm số
2
3
, 1 2
, 0 1 1
sin , 0
x x
x
f x x
x x x x
Tìm khẳng định khẳng định sau:
A f x liên tục B f x liên tục \ 0
C f x liên tục \ 1 D f x liên tục \ 0;1
Hướng dẫn giải: Chọn A.
TXĐ:
TXĐ: D
Với x1 ta có hàm số f x x2 liên tục khoảng 1;. 1
Với 0 x 1 ta có hàm số
3
2
x f x
x liên tục khoảng 0;1 2
Với x0 ta có f x xsinx liên tục khoảng ;0 3
Với x1 ta có f 1 1;
1
lim lim 1
x f x x x ;
3
1
2
lim lim
1
x x
x f x
(21)Suy
1
lim 1 1
x f x f
Vậy hàm số liên tục x1
Với x0 ta có f 0 0;
3
0
2
lim lim
1
x x
x f x
x ; xlim0 f x xlim sin0x x
2
0
sin
lim lim 0
x x
x x
x
suy lim0 0 0
x f x f
Vậy hàm số liên tục x0 4
Từ 1 , 2 , 3 4 suy hàm số liên tục
Câu 12.Cho hàm số ( ) 2 2
6
x f x
x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B TXĐ : D\ 3; 2 Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3
C Hàm số liên tục x2,x3
D Tất sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
TXĐ : D\ 3; 2
Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn x2,x3
Câu 13.Cho hàm số
( ) 1
f x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục
B Hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;
3 3
x
C TXĐ : ; 1 1 ;
2 2
D
D Hàm số liên tục điểm 1 ; 1
3 3
x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
TXĐ : ; 1 1 ;
3 3
D
Ta có hàm số liên tục điểm ; 1 1 ;
3 3
x
1
1 lim ( ) 0
3
x
f x f hàm số liên tục trái
3 x
1
1 lim ( ) 0
3
x
f x f hàm số liên tục phải
3 x
Hàm số gián đoạn điểm 1 ; 1
3 3
x
Câu 14.Cho hàm số f x( ) 2sin x3tan 2x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm
C TXĐ : \ ,
2
D k k D Hàm số gián đoạn điểm
,
4 2
(22)Chọn D.
TXĐ : \ ,
4
D k k
Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm
,
4 2
x k k
Câu 15.Cho hàm số
2
3 2
1 1
1
x x
khi x x
f x
a x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 1: D Hàm số gián đoạn điểm x1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục điểm x1 gián đoạn x1
Câu 16. Cho hàm số
2 1 1
0
0 0
x
khi x
f x x
khi x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 0; D Hàm số gián đoạn điểm x0
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục điểm x0 gián đoạn x0
Câu 17.Cho hàm số
2 1 0 ( ) ( 1) 0 2
1 2
x x
f x x x
x x
Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục điểm x2và gián đoạn x2
Câu 18.Cho hàm số
2
2
( )
3
x x x
f x
x x Khẳng định sau
A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục
C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục điểm x1và gián đoạn x1
Câu 19.Xác định a b, để hàm số
sin 2 khi
2
x x
f x
ax b x
liên tục
A
2
a b
B
2
a b
C
1
a b
D
2
a b
(23)Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục
2 1 2 0 1 2 a b a b a b
Câu 20.Xác định a b, để hàm số
3 3 2
( 2) 0 ( 2)
( ) 2 0
x x x
x x x x
f x a x
b x
liên tục
A 10
1 a b B 11 1 a b C 1 1 a b D 12 1 a b Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hàm số liên tục 1
1 a b
Câu 21.Tìm m để hàm số
3 2 2 1
1
( ) 1
3 2 1
x x x
f x x
m x
liên tục
A m1 B 4
3
m C m2 D m0
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với x1 ta có ( ) 2
1 x x f x
x nên hàm số liên tục khoảng \ 1
Do hàm số liên tục hàm số liên tục x1
Ta có: f(1) 3 m
3
1
2
lim ( ) lim
1 x x x x f x x
1 3
2 lim 1
( 1) 2 ( 2)
x x x
x x x x x
2
2
1 3
2
lim 1 2
2 ( 2)
x x x
x x x x
Nên hàm số liên tục 1 3 2 2 4
3
x m m
Vậy 4
3
m giá trị cần tìm
Câu 22.Tìm m để hàm số
2
1 1
0 ( )
2 3 1 0
x x
f x x
x m x
liên tục
A m1 B 1
6
m C m2 D m0
(24) Với x0 ta có f x( ) x 1
x nên hàm số liên tục 0;
Với x0 ta có f x( ) 2 x23m1 nên hàm số liên tục ( ;0)
Do hàm số liên tục hàm số liên tục x0
Ta có: f(0) 3 m1
0 0
1 1 1 1
lim ( ) lim lim
2 1 1
x x x
x f x
x x
0
lim ( ) lim 2 3 1 3 1
x f x x x m m
Do hàm số liên tục 0 3 1 1 1
2 6
x m m
Vậy 1
6
m hàm số liên tục
Câu 23.Tìm m để hàm số
2
2 4 2
( ) 1
2
2 3 2
x x
f x x
x
x mx m
liên tục
A m1 B 1
6
m C m5 D m0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với x2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục khoảng ; 2 liên tục x2
Hàm số liên tục ; 2 tam thức
2
( ) 2 3 2 0, 2
g x x mx m x
TH 1:
2
' 3 2 0 3 17 3 17
2 2
(2) 6 0
m m
m
g m
TH 2:
2
2
3
'
2 '
' ( 2)
m m
m m
m
x m
m 3 17
3 17
6
2 2
6
m m
m
Nên 17
2
m (*) g x( ) 0, x
2
lim ( ) lim 2 4 3 3
x f x x x
2
2
1 3
lim ( ) lim
2 3 2 6
x x
x f x
x mx m m
Hàm số liên tục 2 3 3 5
6
x m
m (thỏa (*))
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( )
(25) Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a f a( ) (i i1) 0
Câu 1 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục đoạn a b; f a f b . 0 phương trình f x 0 có nghiệm
II f x khơng liên tục a b; f a f b . 0 phương trình f x 0 vô nghiệm
A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II D Cả I II sai
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Câu 2 Tìm khẳng định khẳng định sau:
I f x liên tục đoạn a b; f a f b . 0 tồn số ca b; sao cho f c 0
II f x liên tục đoạn a b; b c; không liên tục a c;
A Chỉ I B Chỉ II
C Cả I II đúng. D Cả I II sai. Hướng dẫn giải:
Chọn D.
KĐ sai KĐ sai
Câu 3 Cho hàm số f x x3–1000x20,01 Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng
các khoảng sau đây?
I 1;0 II 0;1 III 1; 2
A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III
Hướng dẫn giải: Chọn B.
TXĐ: D
Hàm số 1000 0,01
f x x x liên tục nên liên tục trên1;0, 0;1 1; 2, 1
Ta có f 1 1000,99; f 0 0,01 suy f 1 f 0 0, 2
Từ 1 2 suy phương trình f x 0 có nghiệm khoảng 1;0
Ta có f 0 0,01; f 1 999,99 suy f 0 1f 0, 3
Từ 1 3 suy phương trình f x 0 có nghiệm khoảng 0;1
Ta có f 1 999,99; f 2 39991,99suy f 1 f 2 0, 4